TENSIONS ET COMPRESSIONS DANS DES CORPS EN ROTATION

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1 A 005 PHYS. I ÉCLE NATINALE DES PNTS ET CHAUSSÉES, ÉCLES NATINALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRNAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCMMUNICATINS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCMMUNICATINS DE BRETAGNE, ÉCLE PLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CNCURS D'ADMISSIN 005 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filièe MP (Duée de l'épeuve : 3 heues) Sujet mis à disposition des concous : Cycle intenational, ENSTIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont piés de mentionne de façon appaente su la pemièe page de la copie : PHYSIQUE I -MP L'énoncé de cette épeuve, paticulièe aux candidats de la filièe MP, compote 5 pages. Si, au cous de l épeuve, un candidat epèe ce qui lui semble ête une eeu d énoncé, il le signale su sa copie et pousuit sa composition en expliquant les aisons des initiatives qu il est amené à pende. Il ne fauda pas hésite à fomule les commentaies (incluant des considéations numéiques) qui vous sembleont petinents, même losque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Notations : vecteu V (on poua écie V ) ; vecteu unitaie de la coodonnée c : ˆ c. I. Fluide en otation g TENSINS ET CMPRESSINS DANS DES CRPS EN RTATIN R H Un ésevoi cylindique de ayon R, de hauteu H, est empli complètement pa un fluide de masse volumique µ 0 au epos. Le ésevoi toune à une vitesse angulaie constante autou de l axe vetical (z) du cylinde ; il entaîne le fluide dans son mouvement. n se place en égime pemanent. n note g l intensité du champ de pesanteu et la distance à l axe de otation. Les phénomènes ne dépendont explicitement que de la vaiable adiale. p ( ) satisfait 1 Monte que la pession Fig. 1 : cylinde en otation l équation difféentielle, notée [1], d p d = µ (). n pécisea le phénomène décit pa cette équation et le éféentiel dans lequel elle s applique. Est-il légitime de ne pas teni compte de la dépendance de p selon la cote z?

2 TENSIN ET CMPRESSIN DANS UN CRPS EN RTATIN m µ (), où m la masse d une molécule de fluide et k B la constante de Boltzmann. Ce gaz est en équilibe themique. Touve la loi de la distibution de la pession ; cette loi est déteminée ici à une constante multiplicative pès, qui est déteminée dans la question qui vient. Le fluide est un gaz pafait d équation d état p ()= k T B 3 En expimant la consevation de la masse, et en notant P 0 la pession au epos, établi et commente la elation mr ()= P 0 p exp m k B T k B T exp m. [] R 1 k B T = µ 0R Fluide incompessible 4 n suppose dans cette question que la masse volumique µ 0 est constante, ce que l on expime en disant que le fluide est incompessible. Quelle est, sous cette hypothèse, la nouvelle loi de la distibution de la pession? Peut-on détemine la constante d intégation? Fluide compessible 5 n abandonne l hypothèse d incompessibilité. n adopte comme équation d état du fluide, liant la masse volumique à la pession, l équation µ = µ 0 [ 1 + χ 0 ( p P 0 )], où χ 0 est une constante. Véifie que χ 0 n est aute que le coefficient de compessibilité isotheme du fluide, χ T, à la pession P 0 : χ 0 = χ T ( P 0 ). 6 n suppose que ε = χ 0 ( p P 0 ) véifie ε << 1. Intége alos l équation [1] de la question 1 et monte qu au pemie ode en ε la masse volumique dépend de selon la loi µ ()= µ χ 0 0 µ + K. 7 Détemine la constante K en expimant la consevation de la masse et donne l expession complète de la distibution de pession. Tace l allue du gaphe de p ( ) pou 0 R. Le ésultat obtenu seait-il valable pou un fluide incompessible? 8 Monte que la condition de validité du calcul, c est-à-die χ 0 p P 0 <<1, est équivalente à l inégalité χ 0 µ 0 R <<1. 9 Le fluide est de l eau de masse volumique µ 0 = 10 3 kg.m 3. La vitesse de otation du ésevoi est =100 ad.s 1, son ayon est R =1 m ; la pession au epos est P 0 = 10 5 Pa et la vitesse du son dans l eau, c eau, satisfait la elation χ 0 µ 0 c eau = 1 ; sa valeu numéique est c eau =1450 m.s 1. L hypothèse ε << 1 est-elle valide? Compae la vitesse maximale υ max des molécules dans le ésevoi à la vitesse du son. 10 Soit c GP la vitesse du son dans un gaz pafait (GP) de masse moléculaie m ; cette vitesse véifie donc, à la tempéatue T, la elation χ T µ GP c GP = 1. Calcule χ T pou le gaz

3 Physique I année 005 ; filièe MP pafait ; établi la elation mc GP = k B T et monte que l appoximation υ max << c GP appliquée au gaz pafait conduit à loi de distibution de pession touvée à la question 4. Explique la fomulation, paadoxale pou un gaz : le gaz pafait est incompessible. II. Rotation d une bae igide Une bae solide A, de longueu au epos L 0 et de section s constante et tès petite devant L 0 a une masse linéique λ 0. Cette bae toune autou d un axe vetical avec la vitesse angulaie constante (Fig. A et B). Fig. A P A libe libe Fig. B A n appelle T( ) la tension de la bae au point P à une distance de l axe de otation ; cette gandeu epésente l action du este de la bae su la longueu P. 11 En considéant un bilan de foces, établi qu en égime pemanent la mesue de T ( ) su l axe adial, notée T (qui n est plus une tempéatue!), véifie Bae igide d T d = λ [3]. n suppose que la bae est igide, c est-à-die que λ = λ 0 est constant. 1 L extémité A est libe, l extémité est fixe (fig A). Détemine l évolution de la tension, notée T 1 ( ), le long de la bae. 13 L extémité est libe, l extémité A est fixée à un mu vetical tounant à la vitesse angulaie (fig B). Expime la nouvelle tension, notée T ( ). 14 Les deux extémités sont attachées au mécanisme assuant la otation, de sote que la longueu de la bae est constante, égale à L 0. Peut-on détemine la constante d intégation dans l équation [ 3 ] de la question 11? n poua se epote à la question 4. Bae défomable n abandonne maintenant l hypothèse de igidité. n adopte pou la bae l équation d état λ()= λ 0 1 T(), où E est une constante appelée module de igidité et s la section se

4 TENSIN ET CMPRESSIN DANS UN CRPS EN RTATIN constante de la bae (le module de igidité de la bae igide des questions 1 à 14 est infini). Dans la patique, l inégalité ε ()= T( ) se <<1 est véifiée pou les cops solides. ()= T() 15 Intége l équation [3] et donne le ésultat au pemie ode en ε se. Le ésultat sea mis sous la fome T( )= f( )+ K, où K est la constante d intégation, indéteminée à ce stade, et f( ) une fonction à détemine, sous la condition f( 0)= Détemine la constante K en expimant la consevation de la masse. En déduie que la loi de épatition de la tension T( ) est indépendante du module de igidité. En quel point de la bae cette tension est-elle nulle? III. Rotation à vitesse angulaie vaiable y l angle θ. Su Sv g P d G C v θ u Fig. 3 : la cheminˇe sõˇcoule 18 Retouve cette équation pa un aisonnement énegétique. Une cheminée veticale est modélisée pa un cylinde homogène de masse M, de longueu D et de ayon tès petit devant D. Pou une aison quelconque, l équilibe de la cheminée est détuit ; cette denièe amoce une otation autou de sa base dans le plan vetical (, x, y). n appelle θ l angle de la cheminée avec la veticale. n étudie le mouvement de la cheminée dans le epèe R G en pojection su la base mobile de coodonnées polaies u ˆ, v ˆ, où u ˆ est poté pa l axe de la cheminée, v ˆ est pependiculaie à u ˆ dans le sens de otation de l angle θ et G est le cente de masse de la cheminée. Les moments d inetie en G autou de l axe Gz et en autou de l axe z sont espectivement J G = 1 1 M D et J = 1 3 M D. La liaison pivot en est pafaite. 17 Détemine, pa application du théoème du moment cinétique en, l équation d évolution de 19 Expime, en fonction de l angle θ, les composantes R u et R v de la éaction du sol en en pojection su u ˆ et su v ˆ. 0 Pou quelle valeu de θ la cheminée décolle-t-elle du sol? x z En éalité, une cheminée peut se bise au cous de sa chute. L étude suivante va pécise les containtes subies pa la cheminée pendant sa chute. Une longueu P = d de cheminée subit l action du sol en, l action de son poids ainsi que l action du este de la cheminée su ellemême, en P. Cette action assue la igidité de la cheminée. Le contact en P n est pas ponctuel. L action du este de la cheminée su la longueu d est modélisée pa une foce S de composantes S u et S v et un couple C poté pa l axe hoizontal z.

5 Physique I année 005 ; filièe MP 1 En appliquant le pincipe fondamental de la dynamique à la longueu d de cheminée, expime S v en fonction de M, g, θ, d et D. La gandeu S v est appelée effot de cisaillement. Tace qualitativement le gaphe donnant S v en fonction du appot d (θ est donné). D Si la cheminée ped sa igidité, elle s effite. Elle aua tendance à s effite au point où l effot de cisaillement S v est le plus impotant ; quel est ce point? 3 Monte que le théoème du moment cinétique en, appliqué à la longueu d de cheminée conduit à l expession suivante du moment (noté C) du couple C : C = 1 4 Mgd d D 1 sinθ. 4 Si ce couple est supéieu au couple maximum que peut subi la cheminée, celle-ci se bise. En quel point la cheminée se bisea-t-elle? Commente à ce sujet les deux photogaphies ci-dessous. FIN DE CE PRBLÈME FIN DE L ÉPREUVE