Cours 1 LA STATIQUE du CORPS SOLIDE

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1 Cous L STTIQUE du CRPS SLIDE L'intoduction L'objet et les Modèles de la Mécanique Mécanique Classique (Newtoneén) est une patie de la phsique, dans laquelle on étudie les lois fondamentales de mouvement des cops solides sous l'action mécanique Histoie du développement de la Mécanique compte les millénaies Patiquement les gens ont commencé à s'intéesse pa Mécanique et utilise ses lois intuitivement, quand ils tâchaient de jete la piee pendant la chasse plus eactement Depuis ce temps-là la Mécanique a fait la voie immense De tels penseus de l'antiquité, comme chimede ( me siècle avant note èe), Leonado d vinchi (5 siècle ), Galilee et D Ecate (6 siècle ) ont pu généalise l'epéience des pemies checheus et fomule les bases de la Mécanique, qui a acquis la fome modene gâce au génies de Galilée et Newton (7 siècle), Eule et Lagange (8 siècle) Taditionnellement on divise la Mécanique en tois paties pincipales : la STTIQUE, la CINÉMTIQUE et la DYNMIQUE Dans la STTIQUE on étudie les conditions du epos des cops, la CINÉMTIQUE est la langue de la desciption de leu mouvement, mais c est dans la DYNMIQUE, qui est popement la Mécanique, on fomule les lois du mouvement des cops sous l'action des foces Comme le epos est le cas paticulie du mouvement, il seait plus facile de déduie les équations de la statique des lois du mouvement du cops Mais ils vous sont nécessaies déjà à l'étude d' autes disciplines mécaniques, c'est pouquoi nous commençons pa la statique Les modèles de la Mécanique Comme n'impote quelle science eacte la Mécanique eamine les objets non éels, qui sont infiniment complees, mais leus modèles, qui eflétent leu popiétés pincipales dans les conditions données L'objet de la Mécanique est un sstème des points matéiels en inteaction (sstème ponctuel) nommés le sstème mécanique L eemple paticulie du sstème mécanique, est le cops solide - le modèle du cops éel epésentant le sstème des points mateiels, la distance ente lesquels ne change pas avec le temps Les défomations de la plupat des constuctions mecaniques sont infiniment petites, c'est pouquoi le modèle du cops solide est justifié D'autant plus qu'elle simplifie beaucoup l'étude du mouvement et du epos du cops dont les ésultats sont applicables au cops éel oce comme Mesue de l'inteaction oce Pojection et les composants de la foce Tous les cops se touvent dans l inteaction Pa eemple, une petite bille suspendue su le fil, subit l'action de la Tee et du fil Les deu actions ont le point de l'application (la bille même), la ligne de l'action (la veticale), les diections (opposés) et la gandeu (le module) Les gandeus caactéisées pa la ligne de l'action, la diection et le module s'appellent les vecteus dans la mathématique C'est pouquoi la mesue de l'action avec qui un point agit su l'aute est epésentée pa le vecteu, qui s appelle oce Nous considéons les opéations fomelles mathématiques avec les vecteus des foces Le sens phsique de ces opéations sea éclaici dans le chapite su les tansfomations équivalents des foces appliqués au cops solide

2 Conviendons suligne les vecteus dans l écitue et les écie en caactèes gas dans le tete tpogaphique Le module du vecteu nous désigneons pa le même caactèe, mais sans ligne : Le module de la foce est mesué en kg (le sstème Technique des unités) ou en Newtons Н (le sstème Intenational SI) Dans les calculs patiques nous ne pouvons qu opée avec des gandeus scalaies C'est pouquoi on utilise une pésentation maticielle en fomant la matice colonne de ses pojections su les aes,, = () Rappelleons, qu on appelle pojection du vecteu su l'ae х la gandeu scalaie égale a =Cos () Il est évident, que le signe de la pojection est cel du cosinus de l'angle ente les diections de la foce et l'ae Si l'angle est aigu, Рис la pojection est positive s il est obtus, la pojection est négative Plus facilement, la pojection est positive, si la diection de la foce «coïncide» (à pès П/) avec la diection de l ae Il est impotant de se appele, que la pojection de la foce, pependiculaie a l'ae, EST ÉGLE au ZÉR n sait, que les vecteus se composent selon la ègle du paallélogamme (le Ri b) 4 a) b) c) d) ig Le même dessin donne la ègle de la décomposition d un vecteu le long de deu diections et Pou cela on fait les lignes paallèles au diections données pa les fins du vecteu En généal, on nomme le composant du vecteu chacun de membes de la somme = n Les composants du vecteu fomeont le polgone vectoiel (ig á) Pésenteons le vecteu foce dans la base i, j, k k i o β j = i+ j+ k () Nommeons i - un composant othogonal du vecteu le long de l'ae х Maintenant la foce peut ête pésentée pa la somme vectoielle des tois composants othogonau (ig ß) : = + = + = + + = i; = j; = k (4) =Sin = Cosβ=SinCosβ = Sinβ=SinCosβ =Cos Ο Le module de la foce se touve pa fomule : = + + (5) Sstème de foces Vecteu pincipal du sstème de foces

3 n appelle sstème de foces {} = { n } (ig 4) la multitude de foces appliques au points du sstème mécanique n appelle vecteu pincipal du sstème de foces la somme vectoielle de toutes les foces du sstème : V=Σ k (6) n V ig 4 Pou touve le vecteu pincipal on constuit le polgone vectoiel au cente abitaie (le fig 4) Le vecteu femant du polgone est le vecteu pincipal V du sstème de foces Il est patiquement difficile constuie le polgone des foces pou un sstème abitaie Dans ce cas c est plus facile de touve le vecteu pincipal analtiquement En pojetant la fomule (6) su les aes des coodonnées, nous touveons les pojections du vecteu pincipal, son module et les cosinus diigeant : V =Σ k ; V =Σ k ; V =Σ k (7) V =V +V +V ; Cos(V,)=V /V; Cos(V,)=V /V; Cos(V,)=V /V n Moment comme caactéistique otatoie de la foce Le moment de la foce pa appot a un cente Deu théoèmes su le moment La notion du moment de la foce se pésente quand on considée un cops solide L'epéience monte, que si on fie un cetain cente dans le cops, la foce, joint à un aute point du cops peut toune le cops autou de Cette capacité de la foce de toune le cops est caactéisé pa le moment m () o h β Désigneont pa le aon - vecteu du point M ou la foce est appliquee pa appot au cente n appelle moment de la foce pa appot au cente le vecteu poduit vectoiel mo () = (8) La diection du poduit vectoielle dépend de l oientation de l'espace : une ègle acceptée de la confomité des flèches diectes et aquées: selon la vis doite ou gauche Un vecteu, dont la diection dépend de l oientation de l'espace, s'appellent vecteu aial Il est impotant, que pou ceu-ci la flèche aquée indique la diection éelle de la otation, mais la diection du vecteu est conventionnelle Nous ne tavailleons que dans l'espace oienté selon la vis doite C est pouquoi depuis la fin du vecteu m o on voit, que la foce «toune» le cops conte les aiguilles d une monte Le module du moment est égal mo () =Sin=Sinβ=h (9) au poduit du module de la foce pa l'épaule h: la longueu de la pependiculaie omise du cente su la ligne de l'action de la foce Vis doite Vis gauche Nous voons, que le moment de la foce est popotionel a son épaule, et il est egale au éo pou n'impote quel cente su la ligne de l'action de la foce Ce ésultat est attendu, puisque l'epéience monte, que une telle foce ne peut toune le cops

4 Le moment est donc une caactéistique de la capacité de la foce toune le cops autou du cente, si on live la un suppot Pou un cops libe cente de gavité du cops joue le ôle du suppot et la foce ne peut pas toune le cops au epos, si la ligne de l'action de la foce passe pa le cente de gavité du cops Théoème Dépendance du moment du cente Touveons la liaison ente les moments de la foce pa appot au centes et À De C est claie (ig 6), que = + m ()= =(+ )= + ig 6 Donc m () = m () + (0) La fomule (0) monte, que : а) dans le cas geneal le moment de la foce dépend du cente б) le tansfet du cente paallèlement a la ligne de l'action de la foce ne change pas du moment m Le théoème Pojections des moments En pojetant (0) su l'ae, qui passe pa et À, nous touvons пр АВ m ()=пр АВ m () () comme le poduit АВ X est pependiculaie a АВ et sa pojection su m est égale au éo Nous venons ainsi ves la lemme : Les pojections des moments de la foce pa appot a tous les points d'un ae su cet ae sont égales n peut donc die que la pojection des moments su l'ae caactéise l'action de la foce pa appot à cet ae C'est pouquoi on appelle cette pojection moment de fig 7 la foce pa appot a l ae Calcul maticiel du poduit vectoielle Matice jointe Epession analtique du moment n sait, que dans les coodonnées,, du epèe i, j, k le poduit vectoielle c=a b des vecteus a=a i+a j+a k et b=b i+b j+b k i j k peut ête pésenté pa le déteminant de la matice D= a a a b b b Donc c=a b = [D]= c=a b = (a b -a b )i+(a b -a b )j+(a b -a b )k () c = a b -a b c = a b -a b c = a b -a b Les matices colonne suivants coespondent au vecteus a, b et c

5 a b c a= a b= b c= c () a b c n peut ecevoi la matice colonne c comme poduit d une matice х pa matice colonne b Il est évident, que les éléments de cette matice doivent ête les pojections du vecteu a, c'est pouquoi nous la désigneons pa Donc, a a a с=аb, = a a a a a a pès la substitution, compte tenu de (), nous ecevons c =a b +a b +a b = a b -a b c =a b +a b +a b = a b -a b c =a b +a b +a b = a b -a b insi, a = a = a =0 a =- a =a a = -a =a a = -a =a donc est une matice antismétique 0 a a А= a 0 a (4) a a 0 n appelle la matice matice jointe du vecteu a Nous venons, donc, a la fomule maticielle du poduit vectoiel c=a X b c=b (6) L'invese est aussi coecte : une epession de la fome (6), coespond au poduit vectoielle Epession analtique du moment Maintenant nous pouvons pesente une fomule maticielle coespondant à la fomule vectoielle du moment m o ()= Х m 0 ()=Rf ù R-la matice jointe du aon du vecteu (,, ) 0 R= 0 0 insi, nous ecevons les epessions analtiques des pojections du moment de la foce pa appot au aes,, : m ()= - m ()= - m ()= - qui pemettent de touve le module et la diection du moment