Chapitre I - Algèbre de Boole

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1 Chpitre I - Algèbre de Boole I.1. Introduction : Un circuit électrique, pneumtique, hydrulique peut voir 2 étts logiques. Ces étts peuvent prendre les vleurs 1 ou 0. C'est ce que l'on ppelle l vrible logique. Ces étts sont fonctions de l'étt des composnts en série dns le circuit. Étt 0 : Les ctionneurs tels que : moteurs, vérins sont à l'étt 0 lorsqu'ils ne sont ps limentés. Le circuit est lors ouvert. Pour un circuit pneumtique ceci correspond à une bsence de pression. Pour un circuit électrique cel correspond à une bsence de différence de potentiel entre les bornes du circuit. Pour un contct ou un distributeur, c'est l bsence d'ction physique intervennt sur un contct qui représente l'étt 0. Étt 1 : Les ctionneurs sont à l'étt 1 lorsqu'ils sont limentés. Pour un circuit pneumtique ou hydrulique ceci correspond à une pression d ir ou d huile dns le circuit. Pour un circuit électrique cel correspond à une différence de potentiel entre les bornes du circuit. Pour un contct ou un distributeur ils sont ctionnés, c est à dire qu'une ction physique est prise en compte. Il existe 2 types de logique : l logique «positive» : le oui est représenté pr un 1, et le non pr un 0. l logique «négtive» : le oui est représenté pr un 0, et le non pr un 1. On dispose pour triter l'informtion : d'un outil mthémtique : l'lgèbre de Boole, son rôle est de mettre en éqution le fonctionnement d'un système, et de le simplifier en vue de s rélistion physique. d'un outil physique : les portes logiques NON -NO-, ET -AND-, OU -OR-,..., fonctions de bse «pré-câblées» permettnt l fbriction du circuit électrique, pneumtique, ou hydrulique demndé. I.2. Fonctions logiques : A- Définition : On ppelle fonction logique (ou booléenne) une fonction définie sur 2 n combinisons de n vribles logiques. Une fonction logique est donc une fonction de n vribles logiques, Une fonction logique peut prendre en sortie 2 vleurs notées 0 et 1. Exemple -voir Fig 1-: L lmpe possède 2 étts : llumée -1-, ou éteinte -0-. Cet étt est fonction de l position -ouvert 0 ou fermé 1- des différents interrupteurs,, b et c. Les interrupteurs sont les vribles logiques. Il y donc 1 vrible -Fig 1.1-, 2 vribles -Fig 1.2-, ou 3vribles -Fig 1.3- logiques. le résultt de l fonction logique est l'étt de l lmpe, qui possède bien 2 vleurs : llumée -1- ou éteinte -0-. Fit sous Linux et OpenOffice/StrOffice pge 1/10

2 230 V 230V 230V b b c lmpe lmpe (1) (2) (3) Fig 1 : Fonction logique llumer ou éteindre une lmpe. Une fonction logique peut être représentée pr une tble donnnt pour toutes les combinisons des étts des vribles, l'étt correspondnte de l fonction. Elle comporte 2 n lignes -ou n est le nombre de vrible-, dns l'ordre binire nturel. Cette tble est ppelée tble de vérité. Cette tble peut être totlement définie, cd que l'étt de l sortie est prfitement connue en fonction des vribles d'entrées, incomplètement définie, cd qu'il existe des étts de sortie dits indéterminés, ils trduisent en générle une impossibilité physique. Ils sont notés X dns l tble de vérité. Appliction -voir Fig 1-: Fig 1.1 : nombre de vrible logique : 1 nombre combinison pour l fonction de sortie : 2 1 = 2 étts possibles. tble de vérité : f Fig 1.2 : nombre de vrible logique : 2 nombre combinison pour l fonction de sortie : 2 2 = 4 étts possibles. tble de vérité : b f 0 0 Fit sous Linux et OpenOffice/StrOffice pge 2/10

3 b f 0 1 Fig 1.3 : nombre de vrible logique : 3 nombre combinison pour l fonction de sortie : 2 3 = 8 étts possibles. tble de vérité : b c f f' X X 1 Fonction incomplètement définie : f'. B- Fonctions logiques de bse : Il existe 4 fonctions logiques de bse l fonction NON : f = f l fonction ET : f = b f f 0 1 ET -AND- Non ET -NAND- Fit sous Linux et OpenOffice/StrOffice pge 3/10

4 l fonction OU «inclusif» : f = +b b f f OU -OR- Non OU -NOR- l fonction OU EXCLUSIF : f = b Applictions du OU EXCLUSIF b f f 1 1 XOR Non XOR f : c'est un comprteur de différence ou clé d'imprité. L fonction f prend l vleur 1 si le nombre de 1 est impire - b-, 0 sinon -=b-. f : c'est un comprteur d'identité. L fonction f prend l vleur 1 si =b, 0 sinon - b-. Comprison entre l logique positive et négtive : positive négtive NON OU ET NON ET OU I.3. Règles de l'lgèbre de Boole : A- Lois de fermeture : = ET b = vrible booléenne définie pr l tble de vérité de l fonction ET. +b = OU b = vrible booléenne définie pr l tble de vérité de l fonction OU. B- Lois de commuttivité : = b. Fit sous Linux et OpenOffice/StrOffice pge 4/10

5 +b = b+ C- Lois d'ssocitivité :.(b.c) = ().c +(b+c) = (+b)+c D- Lois d'idempotence :. = + = E- Lois de complémentrité :. =0 =1 F- Lois d'identité remrquble : 1. = 1+ = 1 0. = + = G- Lois de distributivité :.(b+c) = +.c +(b.c) = (+b).(+c) H- Lois de distributivité «interne» :.c = ().(.c) +(b+c) = (+b)+(+c) cr = G- Exemples : x.y x. y=x x y. x y =x x + x.y = x x.(x+y) = x x x. y=x y x. x y =x.y x.y x. z y.z=x.y x. z x y. x z y z = x y. x z x.y x. y. z=x.y x. z x y. x y z = x y. x z H Théorème de De Morgn (Augustus) :.c= b c Fit sous Linux et OpenOffice/StrOffice pge 5/10

6 b c=.c I.4. Représenttion des fonctions logiques : A- Écriture lgébrique : On veut utiliser un OU à 4 entrées et 4 ET à 3 entrées. On se propose de simplifier l fonction logique f =x.y. z x. y. z x. y.z x.y.z f =x.y. z x. y. z x. y.z x.y.z f =x.y. z x.y.z x. y. z x. y.z f =x.y. z x.y.z x. y. z x.y.z x. y.z x.y.z f =x.y. z z x. y y. z x x. y.z f =x.y x.z y.z B- Écriture pr tble de vérité : L fonction vut 1 si le nombre de 1 est supérieur u nombre de 0. b c f f Tbleu 1 : nombre de 1 > u nombre de 0. I.5. Forme cnonique : A- Définition : c'est l'écriture lgébrique de l fonction logique sous l forme de : somme de produit, première forme cnonique, produit de somme, deuxième forme cnonique, de portes NAND, troisième forme cnonique, de portes NOR, qutrième forme cnonique. B- Applictions : Si on reprend l fonction du Tbleu 1, on peut écrire : première forme cnonique, on recherche les combinisons des vribles logiques sous l forme de somme de produit qui mènent l fonction logique à l vleur 1, Fit sous Linux et OpenOffice/StrOffice pge 6/10

7 f =1 si f =. b.c.c.c.c. deuxième forme cnonique, on recherche les combinisons des vribles logiques sous l forme de produit de somme qui mènent l fonction logique à l vleur 0, f =0 si f = b c. b c. b c. b c. b c 1 ère forme ppliquée à f=0 2 ème forme 0.c +b+c 0.c b c 0. c b c 0.c b c troisième forme cnonique, on utilise l première forme cnonique mis ici les fonctions logiques sont exprimées à l'ide UNIQUEMENT de portes NAND. f =.c.c.c.c. f =.c..c..c.c qutrième forme cnonique, on utilise l deuxième forme cnonique mis ici les fonctions logiques sont exprimées à l'ide UNIQUEMENT de portes NOR f = b c. b c. b c. b c. f = b c b c b c b c I.6. Simplifiction des fonctions logiques : Il existe 2 mnières de simplifier les fonctions logiques, pr : l'lgèbre de Boole, le tbleu de Krnugh. A- Algèbre de Boole : Pour simplifier une fonction logique, on utilise les règles énoncées u prgrphe I.3, et en prticulier les règles d'idempotence et de complémentrité f =.c.c.c.c f =.c.c.c.c.c.c. f =b.c..c. b b. c c f =b.c.c B- Tbleu de Krnugh : C'est une méthode grphique de simplifiction d'une fonction logique. On utilise pour cel : l fonction logique sous s forme de somme de monômes, l règle de simplifiction de complémentrité, les monômes qui mènent l fonction logique à l vleur 1, des monômes djcents : cd des monômes qui sont topologiquement proches. Fit sous Linux et OpenOffice/StrOffice pge 7/10

8 L représenttion se fit sous forme de tbleu comme ceux données ci-dessous : Fonction de 2 vribles : dns ce cs l fonction possède 2 vribles, le tbleu à donc 4 cses 0 1 b 0 b 1 Fonction de 3 vribles : on ici 8 monômes possibles (8 cses). c 0.c.c.c.c c 1.c.c.c.c Fonction de 4 vribles : 16 monômes. c.d. b.c.d.c.d. c.d.c.d c.d.c.d.c.d.c.d.c.d c.d.c.d.c.d.c.d.c.d c.d.c.d.c.d. c. d.c.d Fonction de 5 vribles : utilise ici en générl 2 tbleux de 16 monômes. b c.d. b.c.d.c.d. c.d.c.d c.d. b.c.d.c.d.c.d.c.d c.d.c.d.c.d.c.d.c.d c.d.c.d.c.d. c. d.c.d Pour ce tbleu on pose e=0 c.d. b.c.d.c.d. c.d.c.d c.d.c.d.c.d.c.d.c.d c.d. b.c.d.c.d.c.d.c. d Fit sous Linux et OpenOffice/StrOffice pge 8/10

9 c.d.c.d.c.d. c. d.c.d Et pour celui-ci on pose e=1 1- Principe de simplifiction du tbleu de Krnugh : Étpe 1 : on utilise l tble de vérité de l fonction logique comme brique initile. b c f f Étpe 2 : à prtir de cette tble, on fbrique le tbleu de Krnugh correspondnt. Pour cel, on prt de l vleur 1 de l fonction logique et on cherche tous les monômes correspondnt c 0.c c 1.c.c. b.c Étpe 3 : on procède à l simplifiction entre les monômes djcents 2 à 2 (u minimum). 1-.c.c=.b.c=b.c 2-.c.c=. c c = 3-.c. b.c=. b b.c=.c L fonction simplifiée est l somme des monômes simplifiés cd f = b.c + +.c 2- Règles de simplifictions : 1. Au lieu d'écrire les monômes on met des 1 2. Le nombre possible de cses à regrouper est 2 n, cd, 2, 4, 8, 16, Il fut essyer de fire des groupes les plus grnds possibles. 4. Toutes les cses contennt des 1 doivent être utilisées u moins une fois. 5. Construire le plus petit nombre de groupement comptible vec ce qui précède. 6. Ne ps inclure une cse plusieurs fois suf si cel permet de réliser un groupement plus importnt. Remrque : le tbleu de Krnugh doit être considéré comme une surfce fermée. cd \ b 0 1 Fit sous Linux et OpenOffice/StrOffice pge 9/10

10 cd \ b 3- Fonctions incomplètement définies : cd \ b 0 1 X X Sur le tbleu précédnt on peut fbriquer des groupements de tille supérieure en considérnt que les vleurs inconnues -représentées pr des X- peuvent voir l vleur 1. On donc 3 groupements de 4 cses u lieu de 3 groupements de 4 et 2x2 cses. 4- Conclusion : Fonctions à 4 vribles : si on peut fire un groupement de 16 cses, l fonction f vut toujours 1, 8 cses, le monôme résultnt n'est composé que d'un seul fcteur, 4 cses, 2 fcteurs, 2 cses, 3 fcteurs, 1 cse, 4 fcteurs. Fonctions à 3 vribles : si on peut fire un groupement de 8 cses, l fonction f vut toujours 1, 4 cses, le monôme résultnt n'est composé que d'un seul fcteur, 2 cses, 2 fcteurs, 1 cse, 3 fcteurs. Il est prfitement possible de refire tous ce qui vient d'être énoncé en remplçnt l fonction de somme de produit pr un produit de somme (deuxième forme cnonique), on considère lors non plus les monômes correspondnt ux 1 de l fonction mis ux 0. exemple : f =0 si f = b c. b c. b c. b c c \ b L fonction près simplifiction devient f = b c. c. b c. Fit sous Linux et OpenOffice/StrOffice pge 10/10