Du pgcd aux nombres irrationnels. Approche géométrique. Introduction

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1 Du pgcd ux nomres irrtionnels. Approche géométrique. Introduction Mryvonne le Berre, IREM de Lyon L'rithmétique fit un retour modeste dns les progrmmes de collège, vec, en troisième, les notions de frction irréductile et de nomres premiers entre eux, insi que l notion de pgcd. Cette réintroduction se fit dns une logique tout à fit différente de celle des nciens progrmmes, puisque, en fit, tout s'rticule utour de l mise en plce d'un lgorithme de clcul du pgcd, sns recours à l fctoristion en produit de nomres premiers. Les élèves doivent svoir reconnître si une frction est irréductile, ou, ce qui est équivlent, si deux nomres sont premiers entre eux. Comprons pr rpport à cel deux crctéristions des nomre premiers entre eux : 1 Deux nomres sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1. Avec cette définition, l seule méthode de reconnissnce possile est de déterminer en extension les diviseurs des deux nomres. Sns l notion de nomre premier, cette recherche est vite fstidieuse et peu prticle pour les grnds nomres. Cette première définition est donc peu opértoire. 2 Deux nomres sont premiers entre eux si leur pgcd est 1. Si l'on dispose d'un lgorithme de détermintion du pgcd, on là une crctéristion tout à fit opértoire. Ce constt étnt fit, il reste à choisir un ou plusieurs lgorithmes de recherche du pgcd. Je voudris, dns ce qui suit, défendre l'intérêt d'un point de vue géométrique pour l'introduction de ces lgorithmes. I Approche théorique I-1 L notion de commune mesure Cette notion nous vient des grecs de l'antiquité, qui ne disposient, comme on le sit, que des entiers nturels. Dns ces conditions, mesurer une longueur c'est compter comien d'unités permettent de reconstituer cette longueur. Pour définir le rpport de deux longueurs comme rpport de deux entiers, deux techniques sont possiles. Première technique : reporter prllélement chcune des deux longueurs jusqu'à otenir deux segments de même longueur. Exemple : 1

2 3 = 4, on dir que les longueurs et sont dns le rpport de 4 à 3. Deuxième technique : trouver une unité de longueur qui puisse être reportée un nomre entier de fois dns chque longueur et. S'il existe une telle unité, on dir que u est une commune mesure pour et. Exemple : u = 3u = 4u Mis comment déterminer effectivement une commune mesure? Un principe essentiel est le suivnt : en supposnt >, si u est une commune mesure pour et, elle l'est ussi pour et - et réciproquement. Démonstrtion : De = mu et = nu on déduit - =(m - n)u, utrement dit toute commune mesure pour et l'est ussi pour et -. De =nu et - =ku on tire =(n+k)u, utrement dit toute commune mesure pour et - l'est ussi pour et. Ce principe permet de construire un lgorithme de détermintion de l plus grnde commune mesure de deux longueurs. C'est l'lgorithme d'euclide, connu ussi sous le nom d'nthyphérèse. Voyons-le fonctionner géométriquement sur l'exemple précédent (où l plus grnde commune mesure de et est - ): Dire qu'il existe une commune mesure pour et c'est dire que et ont un rpport rtionnel. Dns ce cs, il existe une unité dns lquelle les mesures de et s'expriment en nomres entiers, et l recherche de l plus grnde commune mesure de et équivut à une recherche de pgcd. I-2 Du pgcd ux nomres irrtionnels : un prolème. Etnt donné un rectngle, peut-on toujours le pver vec des crrés identiques? Si l'on pose cette question à "l'homme de l rue", il y toutes les chnces qu'il réponde : oui, évidemment. En effet, dns l prtique, les mesures des côtés d'un rectngle s'expriment en nomres décimux, un chngement d'unité permet de se rmener à des mesures entières, l recherche d'un pgcd fournit tous les crrés possiles et le prolème est donc vite "résolu.". 2

3 Un risonnement numérique montre fcilement qu'un pvge est possile si et seulement si les dimensions du rectngle ont un rpport rtionnel. Si le rpport des mesures et des côtés du rectngle est un nomre rtionnel, il est clir qu'un pvge est possile. Pr exemple, si, en prennt un côté comme unité, l'utre mesure 13 9, le rectngle peut être pvé pr des crrés de côté 1 9. Cette condition est nécessire. Pour que l'on puisse pver le rectngle (,) vec des crrés de côté u, il fut que =mu et =nu, vec m et n entiers, donc que le rpport / soit égl u rpport de deux entiers. Ce risonnement entmer-t-il l certitude de l'homme de l rue? C'est dns le cdre géométrique que l'on peut montrer l nécessité d'utres nomres que les rtionnels. Dns ce cdre, l'lgorithme d'euclide fournit un moyen de construire le plus grnd crré qui pve un rectngle. L question de l'existence d'une solution, qui mène, comme on vient de le voir, à celle de l'existence de nomres irrtionnels, v se poser sous l forme : existe-t-il des rectngles pour lesquels l'lgorithme n'outit ps, mis tourne indéfiniment? Rppelons le principe sur lequel repose l'lgorithme : toute commune mesure de et est ussi une commune mesure pour et -, et réciproquement, et donc tout crré qui pve le rectngle ( ; ) pve ussi le rectngle ( ; -) et réciproquement. Soit un rectngle de dimensions et, vec >. On peut commencer pr essyer le crré de côté, en reportnt l longueur sur l utre côté. Si est un multiple de, le rectngle est pvé pr des crrés de côté et est l plus grnde commune mesure de et. Sinon, il reste un rectngle de dimensions et -k sur lequel on peut recommencer l opértion.. et insi de suite... L'lgorithme s'rrête lorqu'il outit à un crré. Ce crré est le plus grnd qui pve tous les rectngles successivement construits. Il y là plus qu'une pproche visuelle d'un lgorithme de recherche de pgcd. En effet, si en découpnt un crré dns un rectngle, on otient un deuxième rectngle semlle u premier, il est vin de continuer : le prolème n' ps de solution. 3

4 I - 3 Le rectngle d'or C'est sns doute une des situtions les plus simples qui montre l nécessité des nomres irrtionnels pour exprimer l mesure de certines longueurs. A E B On peut définir le rectngle d'or pr s construction à prtir d'un crré (ici AEFD) Le cercle de centre I (milieu de [DF]) pssnt pr E coupe (DF) en C. [AD] et [DC] sont les côtés d'un rectngle d'or. D I F C Tout crré qui pve le rectngle ABCD pve le rectngle EBCF, et réciproquement. Or les deux rectngles sont semlles : le rectngle EBCF est une réduction du rectngle ABCD. Si l'on recommence l'opértion "découpge d'un crré" sur le rectngle EBCF, on otient un troisième rectngle plus petit, mis semlle ux deux premiers, et insi de suite... L'lgorithme ne peut donc outir. A E B A E B D F C D F C En conséquence, AB et AD ne peuvent s'exprimer simultnément en nomres entiers. Si on prend AD comme unité de longueur, ucune frction ne peut exprimer l mesure de AB. L démonstrtion de l similitude des rectngles ABCD et EBCF ne nécessite que le théorème de Pythgore et un peu de clcul lgérique. Elle peut donc être ccessile à de ons élèves de troisième. En voici une version simple : On veut démontrer que : FC BC = BC, ou encore, en choisissnt BC=1 DC FC 1 = 1, ce qui équivut à FC DC = 1. DC Or, l'ppliction du théorème de Pythgore u tringle IEF, donne : IE 2 = EF 2 + IF 2 IE 2 = 1+ IF 2 IE 2 IF 2 = 1 D'où, comme IC = IE 4

5 IC 2 IF 2 = 1 ( IC IF) ( IC + IF)= 1 soit : FC DC = 1. II-4 Démonstrtions de l'irrtionlité de 2 Les commentires du progrmme de troisième suggèrent de tenter cette démonstrtion, mis on peut remrquer que c'est un des thèmes d'étude proposés en seconde. Quelle que soit l démonstrtion choisie, il y deux difficultés : l compréhension de l question posée, l compréhension de l structure du risonnement. Commençons pr une démonstrtion géométrique. Comme pour le rectngle d'or, l'idée est de montrer que l'lgorithme de soustrction, ppliqué cette fois à l digonle et u côté d'un crré, v tourner indéfiniment. Soit l mesure du côté et l mesure de l digonle d'un crré. On cherche à écrire le quotient de pr sous l forme d'une frction irréductile. Cel suppose qu'il existe un nomre u, que l'on v ppeler une commune mesure entre et, et deux entiers m et n, premiers entre eux tels que = mu et = nu. Chercher une commune mesure entre et équivut à chercher une commune mesure entre et -. M N Pr construction MN = -, donc chercher une commune mesure entre l digonle et le côté revient à chercher une commune mesure entre MN et MP. P M L perpendiculire en N à l digonle coupe [MP] en R. N R On démontre (pr des considértions d'ngles) que MN =NR =RP, d'où MR = - ( - ). Notre prolème se simplifie donc en : chercher une commune mesure entre MN et MR. P 5

6 M N R H Autrement dit, il s'git de trouver une commune mesure entre l digonle et le côté du crré MNRH, ce qui est notre prolème initil. P M N H Un ps de plus et l'lgorithme outit à un crré homothétique du premier. R P Cette démonstrtion est ien dns l'esprit des nouveux progrmmes, mis repose sur un risonnement d un type tout à fit nouveu pour les élèves. Comprons à deux utres démonstrtions : L plus connue des démonstrtions est l démonstrtion pr l'surde sée sur des considértions de prité. Soient et deux entiers premiers entre eux tels que 2 = 2 2. On en déduit que 2 est pir donc églement et 2 multiple de 4, donc 2 2 multiple de 4, ce qui entrîne que 2 et sont pirs. D'où contrdiction vec l'hypothèse et premiers entre eux. On peut fire l même ojection que pour l démonstrtion précédente. Les élèves peuvent suivre toutes les étpes, mis comprendront-ils l structure du risonnement? Enfin, voici une démonstrtion synthétique, qui repose sur le résultt simple suivnt : Un entier est un crré prfit si et seulement si, dns s décomposition en produit de fcteurs premiers, tous les exposnts sont pirs. Le risonnement tient en deux lignes : Quel que soit l'entier, dns l décomposition de 2 2, le fcteur 2 un exposnt impir, donc 2 2 n'est ps un crré prfit. Il n'existe donc ps d'entier tel que 2 =

7 Cette dernière démonstrtion est certinement plus ccessile, mis elle ne peut être proposée en troisième, puisqu elle suppose connue l décomposition d un entier en produit de fcteur premiers. L difficulté des deux démonstrtions possiles semle supérieure à celle proposée plus hut pour l irrtionlité du nomre d or. Il semle plus risonnle, dns les conditions ctuelles, d ndonner le sujet ux collègues de seconde. Signlons cependnt une démonstrtion moins générle de l'irrtionnlité de 2, nlogue à celle que l'on peut utiliser pour démontrer que 2 n'est ps un nomre déciml, et qui peut être ccessile ux élèves de troisième. Elle repose sur l'exmen des chiffres des unités Chiffre des unités de Chiffre des unités de Si l'on suppose et premiers entre eux, l première et l dernière colonnes sont à éliminer. Dns les qutre utres cs, le chiffre des unités de 2 2 montre qu'il ne s'git ps d'un crré prfit. II Dns l clsse L compréhension de l'lgorithme d'euclide sous s forme géométrique ouvre, on le voit, des portes sur de nouveux univers. C'est pour cel que j'i fit le choix d'introduire l'lgorithme de détermintion du pgcd pr soustrctions successives en prennt ppui sur le prolème du pvge d'un rectngle. Le principe de l'lgorithme pr soustrction peut être justifié en troisième, et s'il est ien compris, on peut envisger l démonstrtion de l'irrtionlité du nomre d'or... Il peut u moins y préprer pour l suite. L'lgorithme pr divisions successives est nettement plus performnt, du moins dns le clcul "à l min", mis il se déduit ssez fcilement du premier. C'est l'occsion de revoir vec les élèves l'lgorithme de l division euclidienne tel qu'ils l'ont ppris à l'école. Prélles : Au trvers de petits prolèmes, les élèves ont déjà rencontré le lien entre le pvge d'un rectngle et l recherche d'un pgcd. Ils svent déterminer un pgcd pr deux méthodes, l recherche exhustive des diviseurs et l recherche pr pproximtions successives à prtir d'un diviseur commun. Cette dernière méthode suppose que les deux nomres ient un diviseur commun évident, et utilise l propriété : les quotients de deux nomres pr leur pgcd sont premiers entre eux. Elle mène donc ssez nturellement l question : comment svoir si deux nomres sont premiers entre eux? Découverte de l'lgorithme : Elle s'est fite en deux étpes. Première étpe : Construction du plus grnd crré qui pve des rectngles de dimensions données (voir fiche suivnte.) Deuxième étpe Elle suit l'explicittion du principe de se, on cherche des rectngles de plus en plus petits dont les dimensions ont le même pgcd que et. Les élèves trvillent à l'ide de schéms pour mettre en plce et contrôler l'lgorithme. 7

8 A l recherche d'une méthode de clcul du pgcd 1 Comment peut-on, vec une règle non grduée et un comps, construire le plus grnd crré qui permet de pver le rectngle ci-dessous? Même question pour les deux rectngles suivnts : Les trcés effectués montrent des rectngles qui peuvent être pvés pr les mêmes crrés que le rectngle initil. Indiquer leurs dimensions dns les tleux ci-dessous

9 Remrques sur cette fiche : Il est indispensle de ien préciser u déprt l'ojectif de l'ctivité : il s'git de mettre en plce une méthode de clcul du pgcd (on risque utrement une déuche de crétivité géométrique) Quelle que soit l précision du comps, ucun trcé ne peut évidemment être considéré comme file. Ce sont les reltions entre les nomres qui permettent de vlider les trcés. Les solutions pour les trois rectngles sont données pr les schéms ci-dessous. Les élèves ont reltivement peiné sur le troisième rectngle. En effet, les deux premiers cs peuvent être résolus pr construction de milieux, mis pour le troisième, il y un sut à opérer : il fut ndonner le rectngle d'origine et trviller sur des rectngles successifs plus petits. Pour ider les élèves à percevoir ce principe, il vut mieux donner donner un peu plus de rectngles à triter géométriquement, pr exemple : (105,35) (135,54) (88,66) (105,60) (110,70) Pour montrer que le dernier crré trouvé pve ien tout le rectngle, certins élèves éprouvent le esoin de réliser le qudrillge complet, détruisnt insi l vision des essis successifs. Il est prudent de prévoir des fiches supplémentires. Remrques sur l deuxième étpe. Le pssge à l'lgorithme numérique peut être fcilité pr un exercice sur des schéms préprés : 9

10 Indiquer, pr simple lecture du schém correspondnt, l dimension du plus grnd crré qui peut pver chque rectngle. (91,52) (121,77) Il reste lors à mettre en plce l disposition prtique des clculs... Le choix des rectngles ci-dessus oriente vers l'lgorithme de soustrction. Si celui-ci devient rpidement fstidieux en clcul à l min, il l'vntge d'être fcile à progrmmer vec un tleur. On peut proposer pr l suite des cs où le recours à l division est vriment économique pr rpport à l soustrction comme (833,91). Conclusion Outre son spect historique et l'ouverture sur des prolèmes ultérieurs, l'pproche géométrique son intérêt dns le seul cdre de l'pprentissge d'un lgorithme de clcul du pgcd. Elle fournit une représenttion des églités pgcd (, ) = pgcd(-, ) et pgcd(q+r, ) = pgcd(, r) qui justifient les lgorithmes pr soustrction et division.c'est ussi une illustrtion, ccessile à l pluprt des élèves, d'un point de méthode très générl, remplcer un prolème pr un prolème équivlent plus simple.même si le principe de l'lgorithme est souvent rpidement écrsé pr s mise en ppliction, quelques grines sont semées... Biliogrphie Glion thèmes, Autour du nomre d'or, Lyon, 1997 Glion thèmes,rdicl de 2, Lyon, 1998 Histoires de prolèmes, Histoire des mthémtiques, Ellipses, Pris,