Circuits du 1er ordre

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1 TD oecton PSI 0 04 cts d e ode xecce : ompotement de et en P et à l nstant ntal. Qe vat l ntensté d coant dans les dfféentes banches à t = 0 + sachant q on feme l ntepte à t = 0 dans les dex pemes ccts alos q on l ove à t = 0 dans le dene? Même qeston en égme pemanent. ¹ ct ¹ ct» ct Po détemne les conons ntales, on epésente chaqe cct à t = 0 ps à t = 0 + en tenant compte de la contnté de la tenson ax bones des condensates et de l ntensté d coant dans les bobnes. (0 ) = (0 + ) = U 0, le condensate est éqvalent à n généate déal de tenson U 0 (n ntepte femé dans le cas sel où U 0 = 0 : condensate déchagé). (0 ) = (0 + ) = I 0, la bobne est éqvalente à n généate déal de coant I 0 (n ntepte ovet dans le cas sel où I 0 = 0 : pas de coant dans la banche). Po le égme pemanent, on emplace les condensates pa des nteptes ovets ( =. d 0) et les bobnes pa des nteptes femés ( =. d = 0). Une fos les ccts smplfés, on tlse les los étdées los d chapte pécédent. = ct ¹ t = 0, (0 ) = 0 ¹ t = 0 +, (0 + ) = 0 ¹ t, ( ) = 0 À t = 0 +, le éssto de dote est cot ccté, acn coant ne le tavese et (0 + ) = 0. On se etove avec n cct éqvalent à ne sele malle et la lo de Pollet donne (O + ) = (0 + ) =. Po t, acn coant ne tavese le condensate, ( ) = 0. On se etove à novea avec n cct éqvalent à ne sele malle et la lo de Pollet donne cette fos ( ) = ( ) =. ct ¹ t = 0, (0 ) = 0, (0 ) = 0. ¹ t = 0 +, (0 + ) = 0, (0 + ) = 0. ¹ t, ( ) = 0, ( ) = 0.

2 PSI 0 04 oecton cts d e ode en égme tanst. À t = 0 +, le éssto est dans ne banche ovete, on a donc (0 + ) = 0, on se amène à n cct éqvalent à ne sele malle et d apès la lo de Pollet, (0 + ) = (0 + ) =. n égme pemanent, c est le condensate q est éqvalent à n ntepte ovet ( ( ) = 0), on se amène à n cct éqvalent à ne sele malle et d apès la lo de Pollet on a cette fos ( ) = ( ) = +. ct» t = 0, (0 ) = 0, (0 ) = 0» t = 0 +, (0 + ) = 0, (0 + ) = 0.» t, ( ) = 0, ( ) = 0. Po t < 0, est femé et la pate stée à dote d généate de coant est cot cctée : tot le coant passe pa femé et totes les ntenstés et tensons sont nlles à dote d généate. À t = 0 +, (0 + ) = 0 et le généate mpose (0 + ) = (0 + ) =. n égme pemanent, ( ) = 0 et ( ) = ( ) =. xecce : ompotement de et en P et à l nstant ntal. Qe vat l ntensté d coant à t = 0 + sachant q on feme l ntepte à t = 0 dans les dex pemes ccts alos q on l ove à t = 0 dans le dene? Même qeston en égme pemanent. ¹ ct ¹ ct n tlsant les mêmes méthodes qe los de l execce pécédent,» ct ct ¹ t = 0, (0 ) = 0, (0 ) = 0 ¹ t = 0 +, (0 + ) = 0, (0 + ) = 0 ¹ t, ( ) = 0, (0 ) = 0 À t = 0 +, le éssto est cot ccté, la tenson ax bones des ésstos est d où (0 + ) =. n égme pemanent, le condensate sont éqvalents à des nteptes ovets, on se amène à n cct à ne malle et la lo de Pollet donne ( ) = +.

3 TD oecton PSI 0 04 ct ¹ ¹ ¹ t = 0, (0 ) = 0, (0 ) = 0 t = 0 +, (0 + ) = 0, (0 + ) = 0 t, ( ) = 0, ( ) = 0 À t = 0 +, la contnté de l ntensté dans la bobne mpose (0 + ) = 0 (le généate de tenson déal est cot ccté!). n égme pemanent, le condensate se compote comme n ntepte ovet, on se amène à n cct à ne sele malle et la lo de Pollet donne ( ) =.» ct t = 0, (0 ) = 0, (0 ) = 0» t = 0 +, (0 + ) = 0, (0 + ) = 0» t, ( ) = 0, ( ) = 0 Po t < 0, est femé et la pate stée à dote d généate de coant est cot cctée : tot le coant passe pa femé et totes les ntenstés et tensons sont nlles à dote d généate. À t = 0 +, (0 + ) = (0 + ) = 0. n égme pemanent, la banche contenant est cot cctée et ( ) = 0. xecce : Détemnaton apde de la éponse d n cct On consdèe les qate ccts svants : ¹ ct» ct» ct ¹ ct 4 Po t < 0, et sont nls et po t 0, ls sont constants. À t = 0, les condensates sont déchagés et les bobnes ne sont pacoes pa acn coant. Détemne les éponses (t), (t), (t) et (t). Pltôt qe de se lance dans les calcls, on pet essaye de se amene à n cct étdé en classe en tlsant les tansfomatons Thévenn Noton. On poa en déde l éqaton dfféentelle et en déde l expesson chechée en tenant compte des conons ntales. ¹» Th Th ¹ ct On se amène a cct d cos avec les mêmes conons ntales d où (t) = Th [ e t ] avec Th = et = + Th. où Th =. +

4 PSI 0 04 oecton cts d e ode en égme tanst. ct On se amène a cct d cos avec les mêmes conons ntales d où (t) =. d (t) = Th e t avec Th = et =.» Th ¹ (t) (t)» Th ¹ Th ¹» Th ¹ ct On se amène a cct d cos avec les mêmes conons ntales d où (t) = Th [ e t ] avec Th = et =. ct 4 On se amène a cct d cos avec les mêmes conons ntales d où (t) = d(t) = Th [e t ] avec Th = et = + Th où Th =. + xecce 4 : elatons constttves, assocatons.. elatons constttves : qelle est la elaton lant à po chaqe fge? Fg.. Assocaton de condensates : Fg. 5 = éq, paa Fg. Fg. Fg. 6 Fg. 4 = éq, sée Pa applcaton des los de chhoff et des elatons constttves, expmez éq, pa la capacté d condensate éqvalent à l assocaton en paallèle de et (fge 5). Généalsez à ne assocaton de n condensates en paallèle. Même qeston po ne assocaton en sée (fge 6).. Mêmes qestons po de telles assocatons de bobnes.. elatons constttves : Fg. Fg. 4 Fg. Fg. 4

5 TD oecton PSI 0 04 Fg. : la flèche q epésente la tenson est oentée de l amate chagée q ves, on a donc q = et l ntensté est oentée ves l amate donc = dq d d où =. Fg. q = (oentaton de ) et = dq (on pet epésente oentée ves l amate ) d où = d. Fg. q = et = dq d (oentaton de et ) d où =. Fg 4. q = et = dq. Assocatons d où = d. = éq, paa = éq, sée Fg. 5 Fg. 6 ondensates en paallèle (fges 5) : la tenson ax bones des condensates est = d d = = = et pa applcaton de la lo des nœds, d = + = + d = ( + ) d = éq, paa. d avec éq, paa = + ondensates en sée (fges 6) : on a cette fos = = et pa advté des tensons = +. n dévant pa appot a temps, d + d = + = d = éq, sée avec éq, sée = + Bobnes en sée (fges 6 ) : c = = et pa advté des tensons, d = + = + d = ( + ) d = éq, sée. d avec éq, sée = + = éq, paa Fg. 5 = éq, sée Fg. 6 d Bobnes en dévaton (fges 5 ) : dans cette staton, = d = d apès la lo des nœds, = +. n dévant pa appot a temps, d + d = + = d = éq, paa avec éq, paa = + = et On pet généalse à l assocaton de n dpôles : Bobnes d k = k k k = k k ondensates k = d k k = k k Sée = k k éq = n k= k éq = n k= k Paallèle = k k éq = n k= k éq = n k k= 5

6 PSI 0 04 oecton cts d e ode en égme tanst. xecce 5 : ct compotant dex généates. es généates sont allmés deps longtemps et à l nstant t = 0, on feme l ntepte. ¹ ¹ Détemne et tace l alle de la tenson (t) ax bones d condensate. Avant tot calcl, on pet smplfe le cct ato de la gande à détemne (la tenson (t) ax bones d condensate). ela pemet de se amene à n cct détallé en classe. On s ntéesse a cct po t 0, c est à de qand est femé. ¹ ¹»»» éq éq ¹ On se amène fnalement à n cct éq sée banché ax bones d n généate de tenson de foce électomotce éq avec éq = et éq =. =. On obtent l éqaton dfféentelle en écvant la lo des malles : éq (t) (t) = avec (t) =. d(t) d où d(t) + (t) = éq avec = éq. a solton est de la fome (t) = éq + A.e t éq = + A. exp( t/) mas po détemne la constante d ntégaton à l ade de la conon ntale, l fat se amene a cct de dépat. Po t < 0, comme les généates étaent allmés deps longtemps, le égme pemanent état attent, et le cct état éqvalent à cel epésenté c-dessos dans leqel on a emplacé le condensate pa n ntepte ovet. (t) 0 ¹ ¹ Une lo des malles dans la malle de dote donne.0 = 0 sot = jsq à O. éq t Pa contnté de la tenson ax bones d condensate, (0 ) = = (0 + ) = A + éq = A + d où A = et fnalement = ( + exp( t/)). On effecte le tacé en ndqant la vale de (t) à t = 0, l asymptote et la tangente à l ogne q cope l asymptote en t =. xecce 6 : éponse d n cct à n échelon de tenson. 6

7 TD oecton PSI 0 04 Sot le montage epésenté c-conte. Po t < 0, le cct est en égme pemanent, c est à de qe le généate de tenson est allmé deps longtemps et ovet deps longtemps. On feme à t = 0.. Donne les vales ntales (0 ), (0 + ) et la vale fnale ( ) de (t).. Détemne (t).. Tace son alle. ¹ (t). epésentons (c-dessos à gache) le cct jste avant t = 0 c est à de en égme pemanent et avec ovet. e condensate est alos éqvalent à n ntepte ovet. On vot claement qe (0 ) = 0. ( ) + 0 ¹ 0 ¹ ( ) à t = 0 à t ¹ (t) Po détemne (0 + ), on dot tlse ne gande q ne pet pas sb de dscontnté : la tenson ax bones d condensate. À t = 0, ne lo des malles donne.0 = 0 d où (0 ) =. À t = 0 +, est femé, le condensate est en paallèle avec le éssto tavesé pa d où (0 ) = (0 + ). On en dédt (0 ) = = (0 + ) =.(0 + ) (0 + ) = : on a dscontnté de (t) à t = 0. Po fn, qand t le cct est à novea en égme pemanent, est éqvalent à n ntepte ovet mas cette fos, est femé (c-desss a cente). On se amène ans à n cct à ne malle et la lo de Pollet donne dectement ( ) =.. Po détemne (t) on commence pa établ l éqaton dfféentelle d cct (peme ode) Po ntode le mnmm d nconnes, on commence pa éce la lo des nœds s le cct (fge c-desss à dote). a lo des malles donne ((t) + (t)) (t) = 0 en posant (t) l ntensté q tavese le condensate. On a ne éqaton en (t) mas l este (t) qe l on expme en foncton de (t) en emaqant qe comme (tavesé pa (t)) est en paallèle avec, on a (t) = (t) avec (t) =. d(t) = d(t). n epotant dans la lo des malles, on établt (t) d(t) et sos la fome canonqe, d(t) = avec =. a solton de cette éqaton est de la fome (t) = A.e t + (t) + patclèe coespond a égme pemanent). On détemne enfn la constante A en tlsant la conon ntale : (0 + ) = = A + d où (t) = [ + e t ] avec =.. On tace l alle de (t) en pécsant la vale ntale, l asymptote et la tangente à l ogne (q cope l asymptote en t = ). xecce 7 : Étncelle de pte Sot le cct epésenté c-conte. = 0 d(t) + (t) = (on emaqe qe la solton (t) t 7

8 PSI 0 04 oecton cts d e ode en égme tanst.. Qelle est la vale de l ntensté (0) dans le cct sachant qe le coant est établ deps longtemps et femé?. On ove à t = 0. Détemne (t) et tace son alle. Qe se passe-t-l s devent tès gande?. Détemne (t) et tace son alle. Qe se passe-t-l s devent tès gande? (t) (t) ¹. Po détemne la vale ntale de (t), on epésente le cct à t = 0, c est à de avec femé et en égme pemanent. On pet alos emplace la bobne pa n ntepte femé (cct c-desss) et Qelle est la vale de l ntensté (0) dans le cct sachant qe le coant est établ deps longtemps et femé? (0 ) (t) ) (0 (t) ¹ ¹ à t = 0 à t (t) (t) ¹ po t e éssto étant cot ccté, on a smplement (0 ) =. ntensté d coant q tavese ne bobne ne pet pas sb de dscontnté, on a donc (0 + ) = (0 ) =.. On ove à t = 0, l applcaton de la lo des malles donne alos (cct c-desss a cente) (t) d(t) (t) = 0 d(t) + (t) = avec = + a solton de cette éqaton est d type (t) = A.e t + = A.e t +. + On véfe a passage qe la solton patclèe coespond a égme pemanent ( ovet et assmlable à n ntepte femé : cct c-desss à dote). On détemne la constante A en tlsant la conon ntale : (0 ) = = (0+ ) = A+ + A = et (t) = + ( ) exp( t ) avec = On tace l alle de (t) en pécsant la vale ntale, l asymptote et la tangente à l ogne. (t) (t) (t) + Po t S, 0 et passe tès apdement de à de dans la bobne Po t t 0, on tend ves ne dscontnté. On a smplement (t) = (t) = + ( ) exp( t ) avec = et s, (0 + ) =, ne tès gande tenson appaaît ax bones de l ntepte, cela pet conde à l appaton d ne étncelle (e "étncelle de pte") los de l ovete d n cct ndctf. 8

9 TD oecton PSI 0 04 xecce 8 : Mese d ne ésstance pa la méthode de pete de chage. Po mese ne ésstance élevée de plses mégaohms, on éalse le montage électqe cdessos où est n condensate éel de ésstance de fte f non epésentée s la fge, on donne = 0 µf. On abasse l ntepte doble en poston ; losqe le condensate est chagé, le voltmète nméqe V (spposé pafat) ndqe la tenson U 0 = 6,00 V. On ove l ntepte (poston ntemédae) ; a bot d temps t = 0 s, le voltmète V ndqe U = 5,0 V. On chage de novea le condensate sos la tenson U 0 (ntepte dans la poston ) ps on l abasse bsqement dans la poston ; a bot d temps t = 0 s, le voltmète ndqe U = 4,60 V. U 0, f V 0 ¹. n déde les vales de la ésstance de fte f d condensate et de la ésstance.. Dans la denèe expéence, détemne à qel nstant le condensate est déchagé de la moté de son énege ntale? e condensate éel est éqvalent à n condensate déal de capacté en paallèle avec n éssto de ésstance f. 0 A. Tant qe l ntepte est en poston, on chage le condensate. On pend l ogne des temps a moment où on ove l ntepte, le cct est alos en égme lbe et éqvalent à cel epésenté c conte. e condensate se déchage dans f avec la constante de temps V f (t) = f. On pet etove l éqaton dfféentelle à l ade d ne lo des malles (le voltmète étant pafat, acne ntensté ne le tavese) : f.(t) (t) = 0 avec (t) =. d (t) d où d (t) + (t) = 0. a solton est (t) = A.e t et pa contnté de (t), (0 ) = U 0 = (0 + ) = A d où fnalement (t) = U 0.e t. énoncé nos ndqe q à t = 0 s, (t = t ) = U = U 0.e t = t = ln U 0 f et fnalement, f = t, MΩ. ln U 0 U S on bascle l ntepte en poston apès avo echagé le condensate, on se amène a cct epésenté c-conte. (t) Apès assocaton des dex ésstos en paallèle, on se amène a cas pécédent et éq = t 5, MΩ avec ln U 0 éq = + f U U 0 A 0 A f V (t) V eq d où 9,4 MΩ.. énege (t) contene dans n condensate ax bones dqel la tenson est (t) s expme sos la fome (t) = (t). On cheche t tel qe (t ) = (0) (t ) = U 0 (t ) = U 0 avec (t ) = U 0.e avec éq = éq. = f + f. On en dédt t = éq ln = f + f ln 6,0 s. t éq 9