1 Puissances d'une matrice

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Jonathan Joseph
il y a 7 ans
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1 1 Puissnces d'une mtrice Dénitions 1 On ppelle digonle ou digonle principle d'une mtrice les éléments i,i de l mtrice ynt un indice de ligne égl à l'indice de colonne 2 On ppelle mtrice digonle une mtrice crrée dont les éléments non digonux sont tous égux à 0 Exemple : l mtrice D d 3,3 5 Dénition est digonle, ses éléments digonux sont d 1,1 2, d 2,2 1 et L mtrice crrée d'ordre n dont les éléments digonux sont égux à 1 et dont tous les utres sont égux à 0 est ppelée mtrice unité Elle est notée I n Exemple : I 2 et I Si D où et b sont des réels non nuls et si T 0 b b 1, lors DT T D I 2 Propriété Pour toute mtrice crrée A d'ordre n, on AI n I n A A Dénition A désignnt une mtrice crrée, on dénit A 2 pr A 2 A A Et pour un entier nturel p, on dénit A p pr A p A A A A p fois 1 2 Exemple : Soit A, lors A AA On peut ussi clculer A 3 et A 3 A A Propriété Soit D une mtrice digonle d'ordre n d'éléments digonux d 1,1, d 2,2,, d n,n Pour tout entier p 1, l mtrice D n d 1,1 p, d 2,2 p,, d n,n p est l mtrice digonle dont les éléments digonux sont pge 1

2 Démonstrtion On étblit pr récurrence l propriété pour les mtrices digonles d'ordre 2 Initilistion : L propriété est vrie pour p 1 p 0 Hérédité n 0 : Soit p 1 un entier pour lequel A 0 b 0 b n p+1 p n 0 0 On lors : A 0 b 0 b 0 b 0 b n 0 b p+1 0 p p b p+1 0 D'où A 0 b 0 + b p b p b 0 b p+1 L'hérédité est étblie Conclusion : L propriété est insi étblie pour tout entier n 1 A noter Pr convention, pour une mtrice crrée d'ordre n non nulle, A 0 I n 2 Suites telles que U n+1 AU n + B 21 Suites de mtrices Dénition Une suite de mtrices colonnes de tille p p entier, p 2 est une fonction de N dns l'ensemble des mtrices colonnes de tille p Si U n est une suite de mtrices colonnes, tous les coecients de l mtrice U n sont des termes de suites numériques n + 2 Exemple : L suite U n dénie pr U n est une suite de mtrices dont les termes sont les suites numériques u n et v n telles que u n n + 2 et v n n 2 Dénition cette mtrice convergent n 2 Une suite de mtrices converge si, et seulement si, toutes les suites formnt les éléments de e Exemple n : L suite U n dénie pr U n 1 e 2n converge vers l mtrice U Suites de l forme U n+1 AU n + B Propriété Soit une suite de mtrices colonnes U n de tille p vérint, pour tout entier nturel n : U n+1 AU n, où A est une mtrice crrée d'ordre p Alors, pour tout entier nturel n, U n A n U 0 pge 2

3 Démonstrtion Soit l proposition P n dépendnt de l'einter nturel n : U n A n U 0 Initilistion : P 0 est vrie, cr A 0 I p et I p U 0 U 0 Hérédité : On suppose P n vrie pour un entier nturel n Alors, U n A n U 0, d'où U n+1 A A n U 0 A n+1 U 0 : P n + 1 est vrie Conclusion : P 0 est vrie et P est héréditire, P n est donc vrie pour toute vleur de n Propriété Soit une suite de mtrices colonnes U n de tille p vérint, pour tout entier nturel n : AU n + B, où A est une mtrice crrée non nulle d'ordre p et B une mtrice colonne de tille U n+1 p S'il existe une mtrice C telle que C AC + B, lors le terme générl de cette suite peut s'écrire : U n A n U 0 C + C Remrques On cherche une suite constnte égle à C qui vérie l reltion de récurrence Si I p A est inversible, lors C I p A 1 B Démonstrtion Puisque C AC + B, et U n+1 AU n + B, on obtient pr diérence : U n+1 C AU n AC AU n C L suite V n telle que V n U n C vérie V n+1 AV n, donc V n A n V 0 On en déduit U n C A n U 0 C, soit U n A n U 0 C + C Cs prticulier : Si U n, A et B sont des mtrices de formt 1,1, que l'ont peut identier à des réels, on u n+1 u n + b Le réel c existe si 1 - est inversible, soit pour 1, et lors, u n u 0 c n + c, où c b 1 Pour 1, u n est une suite rithmétique et u n u0 + nb 23 Convergence des suites vérint U n+1 AU n + B 3 Etude des mrches létoires Dénition Soit une expérience létoire ynt N issues possibles S 1, S 2,, S N Une mrche létoire sur E {S 1, S 2,, S N } est une suite de vribles létoires X n, prennt chcune pour vleurs les diérents étts possibles, telle que l'étt du processus à l'étt n + 1 ne dépend que de celui à l'instnt n précédent, mis non des étts ntérieurs, et ceci indépendmment de n X n S 1 S 2 S n P X n S i 1 2 n pge 3

4 L loi de probbilité de X n, qui donne l probbilité de chque étt à l'étpe n, est ppelée l'étt probbiliste à l'étpe n On note U n l mtrice ligne : U n P X n S 1 P X n S 2 P X n S N Cette suite de mtrices U n décrit l'évolution du système Ce processus est sns mémoire Dénition L probbilité de pssge ou de trnsition de l'étt i à l'étt j en une étpe ou une trnsition est l probbilité P XniX n+1 j On l note p i,j Dénition L mtrice dont le coecient situé à l ligne i et à l colonne j est p i,j est l mtrice de trnsition de l mrche létoire Propriétés Soit une mtrice de trnsition formée des éléments p i,j 1 Tous ses éléments sont compris entre 0 et 1 : 0 p i,j 1 N 2 L somme des éléments de chque ligne i : p i,j 1 j1 Vocbulire : une mtrice possédnt ces deux propriétés est ppelée une mtrice stochstique 31 Grphe ssocié à une mtrice de trnsition A toute mrche létoire, on peut ssocier un grphe Ce grphe est construit de l fçon suivnte : les étts sont représentés pr des points : ce sont les sommets du grphe; le pssge d'un étt à un utre est symbolisé pr un rc orienté relint deux sommets un sommet pouvnt être relié à lui-même : ce sont les rêtes du grphe; sur chque rc orienté de l'étt i vers l'étt j est noté l probbilité p i,j 0, 2 0, 3 0, 5 Exemple : Soit l mtrice de trnsition d'une mrche létoire à trois étts : M 0 0, 4 0, 6 0, 5 0, A B C Grphe de l mrche létoire ssociée à l mtrice M pge 4

5 32 Mrche létoire à deux étts Propriété Toute mtrice de trnsition d'une mrche létoire est de l forme U n où P XnS 1 X n+1 et b P XnS 2 X n+1 S 1 1 b 1 b, Démonstrtion L mtrice est de cette forme, cr l somme des éléments de chque ligne est 1 Propriété Soit U n l mtrice ligne ssociée à une mrche létoire à l'instnt n Si M est s mtrice de trnsition, lors U n+1 U n M De plus : U n U 0 M n Démonstrtion dns le cs de deux étts Le premier élément de U n+1 est P X n+1 S 1 L formule des probbilités totles donne : P X n+1 S 1 P XnS1 X n+1 S 1 P X n S 1 + P XnS2 X n+1 S 1 P X n S 2 p 1,1 P X n S 1 + p 1,2 P X n S 2 De même : P X n+1 S 2 p 2,1 P X n S 1 + p 2,2 P X n S 2 On en déduit :U n+1 U n M, et insi U n U 0 M, d'près une propriété du 22 4 Etude symptotique des mrches létoires 41 Etude symptotique d'une mrche létoire à deux étts 1 Propriété Soit une mrche létoire à deux étts, de mtrice de trnsition M b 1 b Pour,b diérent de 0,0 et 1,1, l suite des étts probbilistes converge vers un étt indépendnt de l distribution initile Cet étt probbiliste est l'étt stble : π b +b de l'éqution πm π +b L'étt stbe est solution pge 5

6 Démonstrtion Soit U n l mtrice ligne ssociée à cette mrche létoire, et U 0 x 0 + y Soit l mtrice S et,b diérent de 0,0 et 1,1 1 b Alors, puisque + b 0, S est inversible et S 1 1 b + b b x 0 y 0 D'où : S 1 MS S 1 et S MS 1 b1 b 0 1 b 1 0 En notnt D, on M SDS 1 D'où M n SDS 1 SDS 1 SD n S b Puisque D n b n, on obtient M n 1 b + 1 b n 1 b n + b b b1 b n + b1 b n 0 + b 2, donc 1 1 b 1 Puisque + b n'est ps égl ni à 0, ni à 2, lors 1 b n pour limite 0 et M n pour limite Puisque U n U 0 M n 1 b, lors l suite U n converge vers x + b 0 y 0, b 1 b soit bx + b 0 + by 0 x 0 + y 0 π +b +b On peut remrquer que cette mtrice π est l solution de l'éqution U UM b 1 b1 +b b+1 b En eet, πm, +b +b +b +b b 1 b Soit πm πm b +b +b 1 b + b b vec Remrques : Si 0 et b 0, l mtrice de trnsition est l mtrice unité L suite des étts est constnte, donc elle converge, mis l limite dépend de l distribution initile : il n'y ps d'étt stble Si 1 et b 1, lors P 2 I 2, P 3 P, donc l suite ne converge ps cr elle prend successivement deux vleurs diérentes : il n'y ps d'étt stble Point Histoire : Andrei Mrkov est un mthémticien russe Ses trvux en probbilités l'ont mené à dénir les chînes de Mrkov, dont les mrches létoires étudiées ici sont un cs prticulier pge 6

7 42 Etude symptotique d'une mrche létoire à N étts Propriété Soit une mrche létoire à N étts N 3 dont l mtrice de trnsition est M S'il existe un entier nturel n tel que l mtrice M n n' ucun élément égl à 0, lors l suite U n décrivnt l'étt probbiliste de cette mrche létoire converge L limite de cette suite dénit un étt stble : celui-ci est solution de l'éqution U U M 0, 8 0 0, 2 Exemple : Soit l mrche létoire à trois étts dont l mtrice de trnsition est M 0 0, 1 0, 9 0, 5 0, 5 0 0, 74 0, 1 0, 16 Alors M 2 0, 45 0, 46 0, 09 0, 4 0, 05 0, 55 M 2 ne contient ps de 0, donc l suite décrivnt l'étt probbiliste de cette mrche létoire converge vers un étt stble pge 7

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