CHAPITRE 17 : CALCUL D INTEGRALES - INTEGRATION PAR PARTIES

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1 Clcul d intégrles - Intégrtion pr prties Cours CHAPITRE 7 : CALCUL D INTEGRALES - INTEGRATION PAR PARTIES Dns ce cours, nous disposons de trois techniques de clcul d intégrles : ) primitivtion pr lecture directe dns une tle ) pr trnsformtions d écriture 3) pr intégrtion pr prties. Primitivtion pr lecture directe dns une tle clculer l intégrle I = π /4 sin x dx cos x On note f l fonction définie sur, pr sin x f : x cos x L fonction f est continue sur, et l intégrle I existe. Pour tout x,, u'( x) f ( x) = vec u( x) = cos x et donc u '( x) = sinx u ( x) L fonction F définie sur, pr F( x) = ux ( ) = cosx est une primitive de f sur, π π/4 et donc I = = cos x Finlement : π /4 sin x I = dx= cos x Gérrd Hirsch Mths54

2 Clcul d intégrles - Intégrtion pr prties Cours. Trnsformtions d écriture Dns ce cours, l trnsformtion est toujours indiquée x + 3 clculer l intégrle I = dx x x Après voir justifié l existence de l intégrle, on chercher deux réels et vérifint, x + 3 pour tout x dns[, ], = + x x x x+ Existence de l intégrle : Les rcines du dénominteur et n pprtennt ps à l intervlle[, ], l fonction f : x x + 3 x x est continue sur [ ], et l intégrle I existe. Trnsformtion d écriture ( + ) x+ pour tout x [,] + = x x+ x x En identifint les coefficients du numérteur, on otient le système + = = 3 5 qui dmet l unique solution = et = 3 3 x pour tout x, = x x 3 x 3 x+ On donc [ ] Clcul de l intégrle : 5 dx dx I = x x et donc puisque [ ] 5 I = x x+ 3 3 x, lors ( x ) < et ( x+ ) > [ ln( )] [ ln( ) ] Gérrd Hirsch Mths54

3 Clcul d intégrles - Intégrtion pr prties Cours Finlement : x I = dx= ln x x 3 3. Intégrtion pr prties Théorème Soient u et v deux fonctions dérivles sur [, ] et dmettnt des dérivées u' et v ' continues. Alors = [ ] uxv ( ) '( xdx ) uxvx ( ) ( ) u'( xvxdx ) ( ) Démonstrtion Soient u et v deux fonctions dérivles sur l intervlle [, ] telles que u et v soient continues sur[, ], lors puisque l dérivée du produit u v est donnée pr ( uv)' = u' v+ uv' lors u v est une primitive de uv ' uv' Donc [ ] ( ) + sur [, ]. uxvx ( ) ( ) = u'( xvx ) ( ) + uxv ( ) '( x) dx= u'( xvxdx ) ( ) + uxv ( ) '( xdx ) d où l formule d intégrtion pr prties = [ ] uxv ( ) '( xdx ) uxvx ( ) ( ) u'( xvxdx ) ( ) Cette formule s pplique lorsqu on cherche à clculer l intégrle d un produit de deux fonctions et à condition que u'( x) v( x) dx soit plus fcile à clculer que uxv ( ) '( xdx ) C est le cs en prticulier pour le produit : d une fonction polynôme et d une fonction sinus ou cosinus (vec u égle à l fonction polynôme) Gérrd Hirsch Mths54 3

4 Clcul d intégrles - Intégrtion pr prties Cours d une fonction polynôme et d une fonction logrithme (vec u égle à l fonction logrithme) d une fonction exponentielle et d une fonction sinus ou cosinus (vec u égle indifféremment à l fonction exponentielle ou à l fonction sinus ou cosinus) Remrque il fut prfois répéter plusieurs fois l méthode. Clculer I = x cos x dx on pose ux ( ) = x u'( x) = v( x) = sin x v'( x) = cosx et en ppliqunt l formule d intégrtion pr prties : = [ sin ] I x x sin x dx soit [ sin cos ] / I = x x+ x π et finlement π I = x cos x dx= Remrque le clcul de l intégrle I permet de trouver les primitives de l fonction f : x x cosx Les primitives de f sur R sont F : x xsin x+ cos x+ C vec C R Gérrd Hirsch Mths54 4

5 Clcul d intégrles - Intégrtion pr prties Cours Clculer J = e cos x dx On pose, pr exemple, en choisissnt u égle à l fonction exponentielle (on peut ussi procéder pr intégrtion pr prties en posnt u égle à l fonction cosinus) ux ( ) = e u'( x) = e vx ( ) = sin x v'( x) = cosx et en ppliqunt l formule d intégrtion pr prties : J = e sin x + e sin x dx On pplique l formule d intégrtion pr prties uine deuxième fois (dns le même sens, c est-àdire en posnt toujours u égle à l fonction exponentielle) ux ( ) = e u'( x) = e vx ( ) = cos x v'( x) = sinx et J = e sin x e cos x e cos x dx + L intégrle pprissnt dns le second memre étnt l intégrle J cherchée, on en déduit π/ π/ J = e sin x e cos x 4J soit π/ π/ 5 J = e sinx e cosx d où = (sin cos ) 5 J e x x et finlement π J = e cos x dx= ( e + ) 5 Gérrd Hirsch Mths54 5

6 Clcul d intégrles - Intégrtion pr prties Cours Remrque le clcul de l intégrle I permet de trouver les primitives de l fonction f : x e cosx Les primitives de f sur R sont x F : x e (sinx cos x) + C vec C R 5. Gérrd Hirsch Mths54 6