Les fonctions usuelles. Connaître les fonctions usuelles. Savoir se ramener à ces fonctions par transformations simples.

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1 Chitre Les fonctions usuelles > > Modules Objectifs Ce chitre trite le module suivnt : Fonction d une vrible réelle : - Fonctions usuelles. Connître les fonctions usuelles. Svoir se rmener à ces fonctions r trnsformtions simles. COURS Fonctions usuelles. Les fonctions logrithmes (rels de Terminle) Tous les résultts de ce rgrhe sont «À svoir». ) L fonction logrithme néérien Définition On elle fonction logrithme néérien l fonction définie sur 3* + comme rimitive de l fonction inverse et qui s nnule our =. Néer ou John Nier (550-67), mthémticien écossis, on lui doit les remières tbles de logrithmes ubliées en 6. On eut écrire ln = # Sens de vritions et limites On le tbleu de vritions suivnt : 0 ln = + ln t u () dt our > 0. De lus, si u() > 0, [lnu()] =. u() + + qui donne les limites de l fonction. 9

2 Les fonctions usuelles À svoir Définition Points rticuliers de l courbe On ln = 0 et lne =. e est elé bse des logrithmes néériens (e ª,788 ). Rerésenttion grhique ;;;; ;;;; ;;;; i ù O e ;;;; ;;;; Proriétés Si et b sont deu réels strictement ositifs, on : ln b = ln + ln b. ln = ln ln b. b ln n = nln (n œ). Pour n = ( œ et q œ0*) on le même résultt : q ln q = ln (q 0) (on relle : q = q ). q Plus générlement ln = ln ( œ3) (voir rgrhe 3). Limites ln lim = 0 ; lim ln = 0. Æ + Æ 0 >0 L démonstrtion de ces deu résultts fit l objet des eercices et. b) Autres fonctions logrithmes Si est un réel strictement ositif différent de, on : ln log = our > 0. ln L fonction insi définie est l fonction «logrithme de bse». Si = 0, on l elle fonction logrithme déciml et on l note log. L étude de ces fonctions est fite dns le T.P... L fonction eonentielle de bse e Tous les résultts de ce rgrhe sont «À svoir». On elle fonction eonentielle de bse e l fonction réciroque de l fonction logrithme néérien. ln(e) = our tout réel. e(ln) = our tout réel strictement ositif. Nottion On note e () = e our tout réel. 95

3 Chitre Sens de vrition et limites On montre et on dmettr que : (e ) = e et (e u() ) = u ()e u(). Points rticuliers de l courbe e 0 = ; e = e. (e ) Rerésenttion grhique Dns un reère orthonorml (O; i ù, ), les rerésenttions grhiques de l fonction «ln» et de l fonction «e» sont symétriques r rort à l droite d éqution y =. e 0 ; y = e y = ; ; y = ln ; ; O i ù ; Proriétés et b sont deu réels quelconques, on : e e b = e + b ; = e b ; (e ) = e ( réel voir rgrhe 3). Limites e lim Æ + e e b = + ; lim Æ e = Fonctions eonentielles de bse ( réel strictement ositif) À svoir Pr définition, l fonction : 3 Æ 3* + est elée fonction eonentielle de bse. ú = e ln ;; Ç ;; f Ç g f() = 0,5 ;; g() = ;; ;; O i ù 96

4 Les fonctions usuelles Proriétés y = + y. = y. ( ) = ( œ3). y. Fonctions uissnces Définition On elle fonction uissnce toute fonction f définie sur 3* + r : f () = = e ln. Dérivtion Il est à noter que lorsque n est un entier nturel, on retrouve l dérivée de n vue en clsse de Première. Sens de vrition On constte que le signe de f () ne déend que du signe de. Si > 0 l fonction f est croissnte et si < 0 l fonction f est décroissnte. Proriétés (y) = y ; = ; ( ) b = b. y y Cs rticuliers = ( œ0*) on = =. est donc l rcine -ième de et on note : = q q = q ( œ et q œ0*) ( ) =. = (our > 0). = ( q ) ou q = ( ) q = q donc : q = q = ( ) q (our > 0). Comrison des fonctions logrithmes, uissnces et eonentielles. Comrison des fonctions logrithmes et uissnces ) lim ln ( > 0) Æ 0 > 0 On ln = ln, or our > 0 lim = 0. Æ 0 Comme on sit que lim (t lnt ) = 0, on eut en déduire que : tæ 0 lim ln = 0 (our > 0). Æ 0 >0 97

5 Chitre b) lim Æ + ln ( œ3 ) Si < 0. On lim Æ + = 0 + et lim Æ + ln = +. Il n y donc s d indétermintion et : lim Æ + Si = 0. lim Æ + ln = lim Æ + ln = +. ln ln Si > 0. On = vec lim Æ + ln = +. = + et lim t Æ + lnt t = 0, donc : lim Æ + ln = 0 (our > 0).. Comrison des fonctions uissnces et eonentielles ) lim e ( œ3 ) Æ Si < 0. On : lim Æ = 0 et lim Æ e = 0. Il ne s git donc s d une forme indéterminée et on obtient : lim e = 0. Æ Si = 0. lim e = lim e = 0 Æ Æ Si > 0. En osnt e = t, c est-à-dire = lnt, on obtient : lim Æ e = lim lnt t = lim tæ 0 tæ 0 t lnt Or, on vu dns le rgrhe récédent que lim t lnt = 0 our > 0, tæ 0 donc lim e = 0. Æ b) lim Æ + Si < 0. ( œ3 ) On lim = 0, il ne s git donc s d une forme indéterminée et : lim Æ + Æ + Si = 0. lim Æ + = lim e = +. Æ + e Si > 0. En osnt = t, on obtient : lim e = lim t = lim Æ + tæ ( t) t e t L limite du dénominteur est nulle lorsque t tend vers, on obtient donc : lim Æ + e e = +. e Pour tout réel : lim e = 0. Æ e Pour tout réel : lim = +. Æ + e tæ. = +. 98

6 Les fonctions usuelles 3 Les fonctions trigonométriques inverses. Fonction Arc sinus Considérons l fonction f définie r : f : 3, Æ [, ] ú sin L fonction f est une fonction dérivble et strictement croissnte. On eut en déduire que our tout réel de [, ] il eiste un réel b unique de 3, vérifint sinb =. On ose lors b = Arc sin. J Interréttion géométrique : M Le cercle Ç ci-contre est le cercle trigonométrique. Remrque : b est l mesure en rdins de l ngle b ( OI ù, OM ù ) mis ussi l longueur de l rc de cercle I ım (ce qui elique l nottion Arc sin). On O I donc : Arc sin = I ım. On eut insi définir l fonction Arc sinus : 5 sin = y œ3, si, et seulement si, Arcsiny = 5 y œ [, ] L fonction f étnt dérivble et croissnte, l fonction Arc sinus est églement dérivble et croissnte. S rerésenttion grhique s obtient à rtir de celle de f r symétrie orthogonle r rort à l droite d éqution y =. Tbleu de vrition Arc sin À svoir Dérivée Nous dmettrons que our œ], [ : (Arcsin) = N.B. : L fonction Arc sin n est dérivble ni en, ni en. Rerésenttion grhique ;; Ç f ;; Ç ;; f ;; O i ù ;; ;; ;; y = 99

7 Chitre. Fonction Arc cosinus Considérons l fonction f définie r : f : [0, ] Æ [, ] ú cos L fonction f est une fonction strictement décroissnte et dérivble. On eut en déduire que our tout réel de [, ] il eiste un seul réel b de [0, ] vérifint cosb =. On ose lors b = Arc cos. Interréttion géométrique : Ç est le cercle trigonométrique. On comme récédemment Arc cos = I ım. On eut insi définir l fonction Arc cosinus : J O M b I cos = y 5 œ [0, ] si, et seulement si, Arccosy = 5 y œ [, ] L fonction f étnt dérivble et strictement décroissnte, l fonction Arc cos est dérivble et strictement décroissnte. Tbleu de vrition Arc cos À svoir Dérivée Nous dmettrons que our œ], [ : (Arccos) = 0 Rerésenttion grhique Ç f O i ù Ç f y = Eercice résolu En utilisnt les fonctions dérivées, montrer que f () = Arcsin + Arccos est une constnte. En clculnt f (0), donner l vleur de f (). f () = + = 0 On eut en conclure que l fonction f est constnte, de lus Arcsin0 = 0 (cr sin0 = 0) et Arccos0 = (cr cos = 0) donc Arcsin 0 + Arccos0 =. En conséquence, our tout réel de [, ] : Arcsin + Arccos =. 00

8 Les fonctions usuelles 3. Fonction Arc tngente Si on considère l fonction f définie r : f :, Æ 3 3 ú tn cette fonction est dérivble et strictement croissnte, elle dmet donc une fonction réciroque notée Arctn. On l équivlence : 5 tn = y œ, 3 si, et seulement si, Arctny = 5 y œ 3 L fonction f étnt dérivble et strictement croissnte, s fonction réciroque est dérivble et strictement croissnte. Arc tn À svoir Tbleu de vrition Dérivée Nous dmettrons que : (Arctn) = + + Rerésenttion grhique ;; Ç f ;; ;; Ç f ;; O i ù ;; ;; ;; y = N.B. : L fonction Arc tngente est dérivble our tout réel, cette dérivée ser très intéressnte lorsqu on chercher les rimitives de fonctions rtionnelles. Eercice résolu On ose our > 0 : f () = Arctn + Arctn. Clculer f (). L dérivée de Arctn est l dérivée d une fonction comosée (cf. chitre 3, 6); on obtient : Arctn = =

9 Chitre (Arctn) + Arctn = + = f () = 0, l fonction f est donc une fonction constnte. Clculons f (). On : f () = Arctn = = (en effet tn = donc Arctn = ). Donc Arctn + Arctn =. Eercice résolu Clculer à l clcultrice : Arctn + Arctn et comrer le résultt à. 3 Clculer de même : Arctn Arctn. 39 On obtient : Arctn + Arctn =. 3 On obtient : Arctn Arctn = (Formule de «John Mchin»). 0

10 Trvu rtiques Rerésenttions des fonctions du tye sin(w t + j). Soit w un réel ositif non nul et soit j un réel. Montrer que l rerésenttion grhique de l fonction t ú sin(w t + j) eut s obtenir à rtir de celle de l fonction sinus.. Alictions numériques. Rerésenter les fonctions suivntes définies r : f (t) = sin t +, g(t) = sin t + et h(t) = sin3t. 3. On considère l fonction f définie r : f (t) = cos3t + sin3t. Montrer que f (t) eut s écrire sous l forme : f (t) = Asin(3t + j). Rerésenter f en utilisnt les résultts de l question.. Corrigé. Il suffit de mettre tout d bord w en fcteur, on obtient j sin(w t + j) = sin3w t +. w À rtir de l rerésenttion de l fonction sinus, on sit rerésenter l fonction t ú sin t + ; uis à rtir de cette rerésenttion on lique les j w résultts concernnt f (kt).. f (t) = sin t + ; f (t) = sin 3 t +. Ç Ç sinus f O i ù Ç f f(t) = sin t + ; f (t) = sin t + g(t) = sin t + ; g(t) = sin 3 t. Ç g Ç g Ç O sinus i ù g(t) = sin t + ; g (t) = sint 03

11 Trvu rtiques h(t) = sin3t. Ç h Ç h O i ù Ç sinus h(t) = sin3t ; h (t) = sin3t 3. f (t) = cos3t + sin3t. En trnsformnt Asin(3t + j), on obtient : Asin(3t + j) = A(cosj sin3t + sinj cos3t) = Acosj sin3t + Asinj cos3t Pr identifiction vec f (t), on doit voir our tout t : Ces équtions étnt simultnément vérifiées, sin j et cosj sont égu. Il ne eut s gir que de : 5 j = ou j = (à rès). En choisissnt j = Donc f (t) = ÿsin3t +. Asinj = 5 Acosj =., on obtient : A = ÿ. On utilise lors les résultts de l question. our rerésenter l fonction. f (t) = ÿsin3t + = ÿsin 3 t + 3 Ç f Ç Ç sinus g O i ù Ç h f(t) = ÿsin 3t + ; g(t) = sin 33 t + h(t) = sin t + ; 0 Chitre

12 Les fonctions usuelles À svoir Trnsformtion de coskt + bsinkt On clcule d bord + b que l on met en fcteur : coskt + bsinkt = + b b coskt + sinkt + b + b. Schnt que et b + b + b, on eut choisir un réel j tel que : sinj = + b et cosj = b + b. On obtient : coskt + bsinkt = + b (sinjcoskt + cosj sinkt). = + b sin( kt + j ). On remrque que j est un rgument du comlee + ib, et + b est son module. Étude des fonctions log. Montrer les roriétés suivntes : log n = n ; log y = log + log y ; log = log log y. y Que remrquez-vous?. Cs rticuliers de l fonction log (log 0 ). On donne log3,7 ª 0,5006, en déduire sns utiliser votre clcultrice les vleurs rochées de : log 3 70 ; log 0,0037 ; log 3,7. Corrigé. log n ln = n nln = = n. ln ln lny ln lny log y = = + = log + log y. ln ln ln ln y ln lny log = = = log log y. y ln ln On constte que l fonction log les mêmes roriétés que l fonction ln.. log3 70 = log(3,7 000) = log log3,7 ª 3 + 0,5006 ª 3,5006 3,7 log 0,0037 = log 000 ª 3 + 0,5006 ª,989 log3,7 =,

13 L essentiel Chitre À svoir Fonctions usuelles Fonction ln u Définition : ln =, ln = 0. L fonction ln est définie sur 3* +. [ln(u)] =. u Proriétés : lne = (e ª,78) ; lnb = ln + lnb et ln = ln lnb ( > 0 et b > 0) ; ln = ln ( œ3). b Limites : lim ln = ; lim ln = + ; lim + Æ 0 Æ + Æ 0 + ln = 0 ( > 0) ; lim Æ + Fonction log ( > 0 et ) ln Définition : log =. ln Fonction e Définition : y = e si et seulement si = lny (y > 0). Dérivtion : (e ) = e ; (e u ) = u e u. Proriétés : e 0 = ; e = e ; e e b = e + b ; = e b ; (e ) = e. e e b ln = 0 ( > 0). Limites : lim e = 0 ( œ3) ; lim Æ Æ + e ( œ3 ) Fonction ( > 0) Définition : = e ln. Fonctions uissnces Définition : = e ln. Ensemble de définition : 3 * +. Dérivtion : ( ) =. Fonction réciroque Si f eiste on : y = f () 5 œ I si, et seulement si, = f (y) 5 y œ f (I) f et f ont des rerésenttions grhiques dns un reère orthonorml symétriques r rort à l droite d éqution y =. L droite d éqution y = est communément elée remière bissectrice. 06

14 Chitre Fonctions circulires réciroques 5 sin = y œ3, si, et seulement si, (Arcsin) = = Arcsiny 5 y œ [, ] ;;;; Ç f ;;;; Ç f O i ù ;;;; ;;;; y = cos = y 5 œ [0, ] si, et seulement si, (Arccos) = = Arccosy 5 y œ [, ] Ç f O i ù Ç f y = 5 tn = y œ, 3 si, et seulement si, (Arctn) = + = Arctny 5 y œ 3 Ç f Ç f O i ù y = À svoir fire Clculer des limites (eercices n à 3, 0, et 3, 5 et 6). Étudier des vritions (eercices n 0 à 6). Utiliser des fonctions circulires réciroques (eercices n 7 à 9). 07

15 E ercices et roblèmes Eemles de fonctions comortnt des logrithmes Eercice * Limite de lorsque tend vers l infini On considère l fonction g définie sur 3* + r : g() = ln. ) Clculer g () et étudier son signe. ) Fire un tbleu de vrition en récisnt l vleur ecte uis une vleur rochée de g(). En déduire le signe de g(). 3) Déduire de l question récédente que : 0 < ln < our tout réel suérieur strictement à. Montrer qu on lors : ln 0 < <. ln En déduire : lim = 0. Æ + Eercice * Limite de ln lorsque tend vers 0 ( > 0) En utilisnt le résultt de l eercice récédent, montrer qu en osnt = on obtient : t lim t Æ 0 t > 0 = 0. En déduire le résultt du cours : Eercice 3 * ln lim t Æ 0 t > 0 ln t t t lnt = 0. On considère l fonction f définie sur 3* + r : f () = ln. ) Clculer les limites de f u bornes de son ensemble de définition. ) Étudier et rerésenter l fonction f. Eercice On considère l fonction g définie sur ], + [ r : g() = ln( + ). ) Clculer g (). ) Montrer que l fonction g est une solution de l éqution différentielle : ( + )y y = ln( + ). Utilistion des fonctions circulires réciroques Eercice 5 Clculer les fonctions dérivées des fonctions suivntes rès voir donné leur ensemble de définition : f () = Arccos( + ). g() = Arcsin( + ). h() = Arctn. i() = Arctn. + Eercice 6 Pour chcune des fonctions de l eercice récédent, clculer les limites de l fonction u bornes de son ensemble de définition. Eercice 7 ** L solution générle d une éqution différentielle du tye y w y = 0 (y est une fonction de l vrible t) est donnée r : y = Acosw t + Bsinw t. On est souvent mené à trnsformer cette solution générle sous l forme : y = Kcos(w t + j) où K et j sont deu réels. ) Soit y = cos3t 3sin3t. Montrer que y eut s écrire : y = ÿ3 (cosj cos3t sinj sin3t). Préciser cosj et sinj uis tnj ; en utilisnt l fonction Arc tn, déduire l vleur de j et en donner une vleur rochée. 08 Chitre

16 Les fonctions usuelles N.B. : ÿ3 été obtenu en fisnt + ( 3), et 3 étnt les coefficients se trouvnt devnt cos3t et sin3t. ) Fire le même trvil our : y = cost + 3sint. (On mettr y sous l forme y = Kcos(w t + j).) Eercice 8 ** Dns le ln comlee rorté u reère (O ; uü, vü ), on considère le demi-cercle Ç défini r : Ç our ryon ; 3 le centre de Ç est le oint W d ffie ; Ç se situe entièrement dns le demi-ln défini r y 0. ) Déterminer grhiquement le oint de Ç dont l rgument est miniml. ) Clculer cet rgument (on utiliser un Arcsin). Eercice 9 ** L objet de cet eercice est l étude de l hse d un «filtre à vnce de hse». Les constntes R, C et k sont des réels crctéristiques du circuit vec : R > 0, C > 0 et k >. L fonction de trnsfert isochrone d un tel filtre est donnée r : + jrcw H( jw ) =, w œ[0, + [. k + jrcw Dns toute l suite, on ose = RCw. ) Déterminer l rtie réelle et l rtie imginire du nombre comlee H j. RC ) Montrer que le nombre comlee H j RC dmet un rgument q () dns l intervlle,. 3 3) En déduire que : q () = Arctn (k ) ; œ[0, + [. k + On dit que q () est l «hse» de l fonction de trnsfert isochrone. Études de roblèmes Eercice 0 ** ) On considère l fonction numérique g de l vrible réelle défirie sur ]0, + [ r : g() = 3 + ln. ln désignnt le logrithme néérien de. ) Étudier les vritions de g sur ]0, + [. b) Clculer g(). c) En déduire le signe de g() sur ]0, + [. ) Soit l fonction f définie sur ]0, + [ r : ln f () = et Ç s courbe rerésenttive dns un reère orthonorml {unité de longueur cm). ) Clculer s fonction dérivée. g() Montrer qu elle s écrit : f () =. Déduire de l question ) c) les vritions de f. b) Déterminer les limites de f our tendnt vers 0 r vleurs ositives et tendnt vers +. c) Soit j()= f () ( ). Clculer l limite de j our tendnt vers +. Étudier le signe de j() our œ]0, + [, uis interréter grhiquement les résultts trouvés. Résumer l étude menée (signe de f (), vritions de f (), signe de j() dns un tbleu). d) Construire l courbe Ç et son symtote oblique É d éqution y =. Eercice ** Soit f l fonction définie sur 3 r : f () = ( )(e + e ) et Ç s courbe rerésenttive dns un reère orthonorml (O ; i ù, ) (unité : 5 cm). ) ) Clculer f (). b) Étudier le signe de f (). On ourr écrire f () sous l forme : f () = (e e ) + e. et étudier les signes de chcun des termes de l somme. c) Donner le tbleu de vrition de f. 3 09

17 E ercices et roblèmes ) ) Donner une éqution de l tngente à Ç en son oint A d bscisse 0. b) Déterminer les oints d intersection de Ç vec l droite É d éqution y = ( ). 3) Rerésenter É et Ç. Eercice ** On se roose d étudier l fonction f définie sur ], + [ r : + ln( + ) f () =. + ) On considère l fonction u définie sur ], + [ r : u() = + ln( + ). ) Montrer que u est strictement croissnte sur ], + [. b) Vérifier que u = 0 et déterminer le e signe de u() sur l intervlle ], + [. ) ) Montrer que : lim f () = et lim f () = 0. Æ Æ + b) Montrer que : u() f () =. ( + ) c) Dresser le tbleu de vritions de f, donner l vleur ecte de f. e Eercice 3 * On considère les fonctions f et g définies sur 3 r : e f () = + e e et g() = e. ) Étudier chcune de ces deu fonctions et montrer que leurs courbes sont symtotes l une à l utre en +. g() ) Clculer le quotient uniquement en fonction f () de e. 3) Clculer f () g (). Eercice ** Un objectif du roblème est de clculer our un fil de longueur 3 mètres susendu entre deu oints fies A et B tels que AB = m, l longueur de l flèche EF (Voir figure). F A B E Le fil rend l forme de l courbe de l figure. On montre en mécnique que cette courbe est l rerésenttion grhique, dns le reère orthonorml (O ; i ù, ), de l fonction définie sur l intervlle [, ] r : e f () = l + e l l où l est un nombre réel strictement ositif. L figure n est s à l échelle. ) ) Erimer en fonction de l l flèche : EF = f () f (0). O b) On dmet que l longueur L(l ) de l rc de courbe AB est donnée r : e L(l ) = l e l. l Vérifier que l éqution L(l ) = 3 équivut sur ]0, + [ à : e l e l 3 = l. ) On se roose dns cette question de déterminer grhiquement une vleur rochée de l solution de l éqution obtenue u ) b). Soit g l fonction définie sur [0, + [ r : e g() = e. 3 ) Déterminer lim g(). Æ + b) Étudier les vritions de g sur [0, + [. c) Soit Ç l courbe rerésenttive de g dns le ln muni du reère orthonorml (O ; i ù, ), unité cm. i ù 0 Chitre

18 Les fonctions usuelles Construire l courbe rerésenttive Ç rès voir déterminé les coordonnées d une dizine de ses oints à l ide d une clcultrice rogrmmble. Construire sur le même grhique l droite d éqution y =. d) Lire sur le grhique une vleur rochée à 0 rès de l solution l de l éqution g() =, l rtennt à l intervlle ]0, + [. e) En déduire une vleur rochée en mètres de l flèche EF à 0 rès. Eercice 5 ** Prtie A Soit g l fonction définie sur ]0, + [ r : g() = ln + 3. ) ) Déterminer l limite de g en 0 (on dmettr que ln = 0). lim Æ 0 b) Déterminer l limite de g en + (on ourr mettre en fcteur). ) Déterminer à l ide de l dérivée g, le sens de vrition de l fonction g. Dresser le tbleu de vritions de g. 3) Clculer g(e). En déduire que, our tout rtennt à ]0, + [, g() > 0. Prtie B Soit f l fonction définie sur ]0, + [ r : f () = ln 5 +. On note Ç l courbe rerésenttive de f dns le ln rorté à un reère orthogonl ynt our unités grhiques : cm en bscisse, cm en ordonnée. ) Soit rtennt à ]0, + [. Montrer que : f ()= g(). ) ) Déterminer l limite de f en 0. b) Déterminer l limite de f en +. 3) Dresser le tbleu des vritions de l fonction f. ) ) Déterminer une éqution de l tngente T à Ç en son oint I d bscisse. b) Déterminer une éqution de l tngente T à Ç en son oint K d bscisse e. 5) Trcer T, T et Ç. Eercice 6 *** Prtie A Soit g l fonction définie sur l intervlle I = ]0, + [ r : 9 g() = ln. ) ) Clculer g () et étudier son signe sur l intervlle I. b) Dresser le tbleu de vritions de g (sns les limites). ) En déduire que, our tout réel rtennt à I, g() est strictement négtif. Prtie B Soit f l fonction définie sur I r : ln f () = 5 9. On note Ç l courbe rerésenttive de f dns un reère orthogonl (O ; i ù, ) du ln ynt our unités grhiques : 5 cm sur l e des bscisses, cm sur l e des ordonnées. ) ) Étudier l limite de f qund tend vers 0. En déduire l eistence d une symtote que l on réciser. b) Étudier l limite de f qund tend vers +. g() c) Démontrer que f () =. En déduire le signe de f () sur I et dresser le tbleu de vritions de f sur I. ) ) Soit D l droite d éqution y= 5 9. Démontrer que D est symtote à l courbe Ç. b) Clculer les coordonnées du oint d intersection de Ç et de D. c) Étudier l osition de Ç r rort à D. 3) ) Déterminer une éqution de l tngente T à l courbe Ç u oint A d bscisse. Trcer T sur l figure. b) Trcer l courbe Ç dns le reère (O ; i ù, ) donné. On lcer le oint de Ç d bscisse e. c) Démontrer qu il eiste un seul réel 0 de l intervlle 3, tel que f ( 0 ) = 0. Donner un encdrement de 0 d mlitude 0.