L3 informatique Lyon Théorie des langages formels. Support de cours

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1 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls Théori ds lnggs formls NOTIONS MATHEMATIQUES DE BASE... 2 I. Trminologi nsmlist... 2 II. Fonctions pplictions ijctions crdinl... 3 III. Alphts t lnggs... 3 IV. Rprésnttion fini d lnggs... 4 AUTOMATES FINIS... 5 I. Automts finis détrminists... 5 II. Automt (fini) non détrminist... 6 III. Elimintion du non détrminism... 7 IV. Lin vc ls xprssions régulièrs V. Pruv d rtionlité non rtionlité VI. Minimistion ds étts VII. Complxité d lgorithms pour ls utomts finis LANGAGES ALGEBRIQUES I. Grmmirs lgériqus II. Lnggs rtionnls t lnggs lgériqus III. Automts à pil IV. Automt à pil t grmmir lgériqu V. Propriétés ds lnggs lgériqus VI. Prolèms décidls liés ux lnggs lgériqus Exmpl d'écol Clss d lngg Rconnu pr Engndré pr * * lnggs rtionnls utomts à étts finis grmmir régulièr { n n n 0} lnggs lgériqus utomts à pil grmmir lgériqu { n n c n n 0} lnggs récursifs mchin d Turing grmmir (générl) Réf. : Elmnts of th Thory of Computtion Hrry R. Lwis, Christos H. Ppdimitriou éd. Prntic-Hll Introduction à l clculilité Pirr Wolpr éd. Dunod Introduction to th Thory of Computtion Michl Sipsr, MIT éd. Thomson Cours Tchnology Introduction to Thory of Computtion Anil Mhshwri, Michil Smid, School of Computr Scinc, Crlton Univrsity fr txtook Romn : Gödl Eschr Bch, ls Brins d un Guirlnd Etrnll Dougls Hofstdtr éd. Dunod BD : Logicomix Apóstolos K. Doxiàdis, Christos Ppdimitriou, Alcos Ppdtos, Anni Di Donn éd. Vuirt 1 / 23

2 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls Chpitr 1. NOTIONS MATHEMATIQUES DE BASE I. Trminologi nsmlist A. Ensmls Ls nsmls puvnt êtr donnés : - n xtnsion : x : Σ = {,, c} (c sont ds nsmls finis dont on put énumérr ls élémnts) - n intnsion : x : P = {x Z y Z ; x = 2y} (= P = {x Z x divisil pr 2}) Opértions nsmlists Apprtint : x E, x E Ensml vid : x E 1, x Inclusion : E 1 E 2, E 1 E 2 E 1 E 2 si x : (x E 1 x E 2 ) Ensml ds prtis d E : P(E) = {E 1 E 1 E} Intrsction : E 1 E 2 = {x x E 1 t x E 2 } Union : E 1 E 2 = {x x E 1 ou x E 2 } Complémntrité : C E E1 = {x E x E 1 } (ou E 1 lorsqu E st sous ntndu) Différnc : E \ E 1 = {x E x E 1 } Produit crtésin : E 1 E 2 = {(x 1,x 2 ) x 1 E 1 t x 2 E 2 } Lois d D Morgn - A (B C) = (A B) (A C) - A (B C) = (A B) (A C) B. Rltions Binirs : R P (E 1 E 2 ), R st un nsml d coupls. n-ir : R P (E 1 E 2 E n ) Rltions prticulièrs (inirs) : R réflxiv x : x R x R symétriqu x, y : x R y y R x R ntisymétriqu x, y : x R y t y R x x = y x, y : x R y t x y (y, x) R R trnsitiv x, y, z : x R y t y R z x R z Un rltion réflxiv, symétriqu t trnsitiv st pplé rltion d équivlnc. Un rltion réflxiv, ntisymétriqu t trnsitiv st pplé rltion d ordr. Soint E un nsml, R un rltion n-ir sur E (R E n ) t E 1 un prti d E E 1 st dit stl pr R ou clos pr R ssi x 1 E 1, x 2 E 1,, x n-1 E 1 t (x 1, x 2,, x n ) R x n E 1 Si E 1 n'st ps stl pr R, il xist un plus ptit sous nsml F d E tl qu E 1 F t F stl pr R. On dit qu F st l clôtur d E 1 pr R. Soit un rltion sur D, c'st-à-dir D 2 On ppll frmtur trnsitiv d l plus ptit rltion inir T tll qu T t T trnsitiv. 2 / 23

3 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls II. Fonctions pplictions ijctions crdinl Un fonction f d E 1 vrs E 2 st un rltion d E 1 vrs E 2 tll qu x E 1, il xist u plus un élémnt y E 2 tl qu x f y On ppll c y l'img d x pr f : y = f(x) L sous-nsml d E 1 ds élémnts ynt ds imgs pr f s'ppll l domin d f. Composition d fonctions : ο f ο g (x) = f(g(x)) E 1 à (g) à E 2 à (f )à E 3 Un ppliction f d E 1 vrs E 2 st un fonction tll qu dom f = E 1 Un ppliction f st injctiv si x 1, x 2 E 1, f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 Un ppliction f st surjctiv si y E 2, il xist u moins un élémnt x d E 1 tl qu f(x) = y. Un ijction st un ppliction injctiv t surjctiv. (Ou f(e 1 ) = E 2.) Dux nsmls sont équipotnts ou ont mêm crdinl ssi il xist un ijction d l'un vrs l'utr. Un nsml st fini s'il st équipotnt à {1, 2, n} pour tout ntir n Un nsml infini st un nsml non fini On dit qu'un nsml st infini dénomrl s'il st équipotnt à N. S'il n'xist ps d ijction ntr X t un prti d N, lors on dit qu X st infini non dénomrl. Proposition Il xist ds nsmls infinis non dénomrls. III. Alphts t lnggs A. Alpht Un lpht st un nsml fini, non vid, d symols. On l not générlmnt Σ. Un mot sur un lpht Σ st un suit fini d'élémnts d Σ. On not Σ * l'nsml d tous ls mots (y compris l mot vid) définis sur Σ. Longuur : nomr d symols d'un mot. Dux mots u t v sont égux ssi - ils ont mêm longuur - i {1,, u } : u i = v i. L concténtion d 2 mots u t v d Σ * st un mot noté uv t défini pr : u = u 1 u 2 u n, v = v 1 v 2 v n à w = u 1 u n v 1 v n i {1, u } (uv) i = u i i { u +1, u + v } (uv) i = v i- u Propositions - l concténtion st régulièr à droit t à guch wu = wv u = v uw = vw u = v - uv = u + v. On ppll fctur guch d w un mot u tl qu uv = w. On ppll fctur droit un mot v tl qu uv = w. On ppll fctur d w un mot u tl qu il xist v t v' tls qu vuv' = w. 3 / 23

4 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls Miroir (Rvrs) : L fonction miroir _ R : Σ * à Σ * st défini pr récurrnc : - w tq w = 0 : w R = R = - w tq w > 0 : Σ tq w = u t w R = (u) R = u R Propriété u, v Σ * : (uv) R = v R u R B. Lngg On ppll lngg sur Σ tout nsml d mots sur Σ Rmrqu d crdinlité - Σ fini - Σ * infini dénomrl (rppl : dont on put énumérr ls élémnts) - P (Σ * ) st infini non dénomrl Opértions sur ls lnggs,, (complémnt), \ comm d'hitud (complémnt : A = Σ * \ A) Concténtion : L 1 Σ *, L 2 Σ * L = L 1.L 2 ou L 1 L 2 st défini pr L = {w w 1 L 1 t w 2 L 2 : w = w 1 w 2 } Clôtur d Kln (Kln str) ou étoil d L L * = {w Σ * k N, w 1, w 2,, w k L : w = w 1 w 2 w k } IV. Rprésnttion fini d lnggs Un dscription hitull d'un crtin clss d lnggs st fourni pr c qu'on ppll ls xprssions régulièrs (ou rtionnlls). - ls élémnts d s sont : - ls singltons sur Σ - l'nsml - ls opértions sont : - l concténtion d lnggs - l réunion d dux lnggs - l frmtur d Kln Ls xprssions régulièrs / rtionnlls constitunt syntxiqumnt un lngg (qu nous ppllrons ER) d mots in formés sur l'lpht Σ {(, ),,, *} tl qu : t chqu lttr d Σ st un ER si α t β sont ds ER, lors (αβ) t (α β) ussi si α st un ER lors α * ussi ER st clos pour cs propriétés (rin d'utr n'st un ER qu ls points à ) Exmpl Σ = {,, c} Ensml ds mots finissnt pr : L = ( c) * (= ( * c ) * ) On ppll Lngg rtionnl (ou régulir) tout lngg qui put êtr décrit pr un xprssion rtionnll. 4 / 23

5 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls Chpitr 2. AUTOMATES FINIS I. Automts finis détrminists Simultion d'un mchin très simpl : - mémoristion d'un étt - progrmm sous form d grph étiquté indiqunt ls trnsitions possils Ctt mchin lit un mot n ntré. C mot décrit un suit d'ctions t progrss d'étt n étt à jusqu'à l lctur complèt du mot. Lorsqu l drnir étt st distingué (étt finl) à on dit qu l mot st ccpté. Exmpl Un utomt prmt d rconnîtr un lngg. c "fit" têt d lctur déplcmnt vrs l droit uniqumnt (ps d sut, ps d rtour rrièr) run d'ntré (nd prforé ) divisé n crrés, un symol pr crré contrôl fini q 0 q 1 q 2 q 3 oit noir Un étt dépnd uniqumnt - d l'étt précédnt - du symol lu Un utomt détrminist fini st l quintuplt M = (K, Σ, δ, s, F) où : - K : nsml fini (non vid) d'étts - Σ : lpht (nsml non vid d lttrs) - δ : fonction d trnsition : K Σ à K δ(q, σ) = q' (q' : étt d l'utomt près voir lu l lttr σ dns l'étt q) - s : étt initil : s K - F : nsml ds étts finux : F K Exécution c l mchin - lit (qui st nsuit oulié), - pss dns l'étt δ(s, ) t vnc l têt d lctur, - t répèt ctt étp jusqu'à c qu tout l mot soit lu. L prti déjà lu du mot n put ps influncr l comportmnt à vnir d l'utomt. à d'où l notion d configurtion Configurtion - étt dns lqul st l'utomt - mot qui lui rst à lir (prti droit du mot initil) Formllmnt : un configurtion st un élémnt qulconqu d K Σ *. Exmpl sur l'xmpl précédnt, l configurtion st (q 2, c). 5 / 23

6 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls L fonctionnmnt d'un utomt st décrit pr l pssg d'un configurtion à un utr, ctt drnièr otnu - n lisnt un crctèr, - t n ppliqunt l fonction d trnsition. Exmpl (q 2, c) (q 3, ) Un utomt M détrmin un rltion inir ntr configurtions qu'on not M défini pr : M (K Σ * ) 2 (q, w) M (q', w') ssi Σ tl qu w = w' t δ(q, ) = q' On dit lors qu on pss d (q, w) à (q', w') n un étp. On not * M l frmtur trnsitiv réflxiv d M : (q, w) * M (q', w') signifi qu'on pss d (q, w) à (q', w') n zéro, un ou plusiurs étps Un mot w st ccpté pr M ssi (s, w) M * (q, ), vc q F. si δ(q 2, c) = q 3 L lngg ccpté pr M st l'nsml d tous ls mots ccptés pr M. C lngg st noté L(M). Exmpl M = (K, Σ, δ, s, F) fonction donc tout coupl d K Σ un t un sul img pr δ K = {q 0, q 1 } δ : q σ δ(q, σ) K Σ Σ = {, } q 0 q 0 s = q 0 q 0 q 1 q 0 q 0 q 1 F = {q 0 } q 1 q 1 q 1 q 0 q 1 q 1 q 0 Rprésnttion grphiqu d M Digrmm sgittl dpté : II. Automt (fini) non détrminist finl strt q 0 q 1 Idé : rmplcr l fonction M (ou δ) pr un rltion. Un rltion, c st ucoup plus générl qu un fonction. à on insi un clss plus lrg d utomts. Dns un étt donné, on pourr voir : ou (ps d -trnsition) Exmpl L = ( ) * Automt détrminist : Automt non détrminist : q 0 q 1 q2 q 3 q 0 q 1 q 4, q 2 6 / 23

7 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls Dns l cs d l utomt non détrminist, un mot st ccpté s il xist un ou plusiurs chmins (u moins un) pour llr d l étt initil (ici q 0 ) à l étt finl (ici q 0 ). Autr différnc pr rpport ux utomts détrminists : Il st possil d étiqutr un flèch pr l symol. à Autr formultion (ncor plus intuitiv) d l utomt précédnt : Un utomt non détrminist fini st l quintuplt M (K, Σ, Δ, s, F) où : - K : nsml fini (non vid) d'étts - Σ : lpht (nsml non vid d lttrs) - Δ : rltion d trnsition : K (Σ {}) K (hormis l rltion, l rst st idntiqu (q, σ, p) Δ : σ-trnsition (σ Σ) - s : étt initil : s K - F : nsml ds étts finux : F K Si (q,, p) Δ : on un ε-trnsition (trnsition spontné) à On pss d q à p sns lir d symol dns l mot cournt. Un configurtion st un élémnt d K Σ *. q 1 q 0 q 2 M décrit un rltion inir ntr configurtions qu on not M : (q, w) M (q, w ) ssi il xist un mot d u plus un lttr u Σ {} tq w = uw t (q, u, q ) Δ à l formultion détrminist) Rmrqu M st un rltion t non plus un fonction (utomts détrminists) : - (q, ) put êtr n rltion vc un utr configurtion (près un ε-trnsition) - pour un configurtion (q, w), il put y voir plusiurs configurtions (q, w ) (ou ucun) tq (q, w) M (q, w ) On not comm vnt M * l frmtur trnsitiv réflxiv d M Un mot w st ccpté pr M ssi (s, w) M * (q, ) vc q F. L(M) st l lngg d tous ls mots ccptés pr M. III. Elimintion du non détrminism 2 utomts finis (détrminists ou non) sont équivlnts ssi L(M) = L(M'). Théorèm Pour tout utomt non détrminist, il xist un utomt détrminist équivlnt, t il xist un lgorithm pour l clculr (détrministion d'un utomt). 7 / 23

8 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls Pruv Soit M = (K, Σ, Δ, s, F) un utomt non détrminist. Exmpl Σ = {, } q 0 q 1 q 3 q 2 q 4 Prolèm : M' = (K', Σ, δ', s', F')? (M' détrminist) D'ord on construit M' (on dit commnt) Ensuit on montr qu : - M' st détrminist, - M' st équivlnt à M. L'idé st l suivnt : Pour tout lttr σ d Σ, on considèr l'nsml ds étts qu'on put ttindr n lisnt σ. Exmpl q 0 à q 0 (q 0 à q 1 à q 0 ) q 4 (q 0 à q 1 à q 4 ) q 3 (q 0 à q 1 à q 4 à q 3 ) q 1 (q 0 à q 1 à q 0 à q 1 ) q 2 (q 0 à q 1 à q 0 à q 1 à q 2 ) q 0 à q 2 (q 0 à q 2 ) q 4 (q 0 à q 1 à q 2 à q 4 ) q 3 (q 0 à q 1 à q 2 à q 4 à q 3 ) à On rssml cs étts t on considèr ds étts étiqutés pr ds prtis d K (P (K)) L'étt initil d M' st l'nsml ds étts ttignls n n lisnt ucun lttr. Exmpl {q 0, q 1, q 2, q 3 } Ls étts finux d M' sont ls prtis (ttignls) d P (K) contnnt u moins un étt finl (d M). On introduit l notion d ε-clôtur (pour prndr n compt ls ε-trnsitions) : Soit q K, on not E(q) l'nsml ds étts d M ttignls sns lir ucun lttr : E(q) = {p K : (q, ) M * (p, )} (c-à-d E(q) st l clôtur d {q} pr l rltion inir {(p, r) (p,, r) Δ}) Construction d E(q) E(q) := {q} tnt qu il xist un trnsition (p,, r) Δ vc p E(q) t r E(q) fir E(q) := E(q) {r} M' st lors défini insi : M' = (K', Σ, δ', s', F') K' = P (K) s' = E(s) F' = {Q K : Q F } δ' = P (K) Σ à P (K) Q K, Σ, δ'(q, ) = {E(p) q Q : (q,, p) Δ} ( = E(p) ) q Q, p K, (q,, p) Δ δ'(q, ) : nsml d tous ls étts (d M) dns lsquls M put llr n lisnt (y compris ) 8 / 23

9 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls Exmpl δ'({q 1 }, ) = E(q 0 ) E(q 4 ) = {q 0, q 1, q 2, q 3 } {q 3, q 4 } = {q 0, q 1, q 2, q 3, q 4 } (q 1 à à q 0 ) (q 1 à à q 4 ) Exmpl L pruv st constructiv à lgorithm pour construir M' à prtir d M M 5 étts à M' n 2 5 = 32 (un prti sulmnt st ttignl à prtir d s') E q 0 {q 0, q 1, q 2, q 3 } q 0 q 1 q 3 q 1 {q 1, q 2, q 3 } q 2 {q 2 } q 3 {q 3 } q 4 {q 3, q 4 } q 2 q 4 E(q 0 ) S 0 = {q 0, q 1, q 2, q 3 } * : finl q 0 q 4 S 0 à E(q 0 ) E(q 4 ) = {q 0, q 1, q 2, q 3, q 4 } = S * 1 (finl prc qu q 4 S 1 ) S 0 = {q 0, q 1, q 2, q 3 } q 2 q 4 S 0 à E(q 2 ) E(q 4 ) = {q 2, q 3, q 4 } = S * 2 S 1 = {q 0, q 1, q 2, q 3, q 4 } q 0 q 4 S 1 à E(q 0 ) E(q 4 ) = {q 0, q 1, q 2, q 3, q 4 } = S 1 S 1 = {q 0, q 1, q 2, q 3, q 4 } q 2 q 4 S 1 à E(q 2 ) E(q 4 ) = {q 2, q 3, q 4 } = S 2 S 2 = {q 2, q 3, q 4 } q 4 S 2 à E(q 4 ) = {q 3, q 4 } = S * 3 S 2 = {q 2, q 3, q 4 } q 4 S 2 à E(q 4 ) = {q 3, q 4 } = S 3 S 3 = {q 3, q 4 } q 4 S 3 à E(q 4 ) = {q 3, q 4 } = S 3 S 3 = {q 3, q 4 } S 4 = S 4 à = S 4 S 4 à = S 4 ps d -trnsition S 3 à = S 4 {q 0, q 1, q 2, q 3 } D'où l'utomt détrminist : {q 0, q 1, q 2, q 3, q 4 } {q 2, q 3, q 4 }, {q 3, q 4 }, 9 / 23

10 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls IV. Lin vc ls xprssions régulièrs A. Stilité Propriété d stilité ds lnggs rconnus pr ds utomts finis. Théorèm L clss ds lnggs ccptés pr ls utomts finis st stl pr : ) Union ) Concténtion c) Kln str ordr d l démonstrtion d) Complémnt ) Intrsction Pruv (constructiv à dns chqu cs on montr commnt construir un utomt à prtir d'un ou dux utomt(s) t d l'opértion n qustion) ) L 1 = L(M 1 ) (K 1, Σ, Δ 1, s 1, F 1 ) à Σ dns ls dux cs : on trvill sur l mêm lpht L 2 = L(M 2 ) (K 2, Σ, Δ 2, s 2, F 2 ) à On suppos K 1 K 2 = (sinon rnommg) Posons s tl qu s K 1 t s K 2. à M : ({s} K 1 K 2, Σ, Δ 1 Δ 2 {(s,, s 1 ), (s,, s 2 )}, s, F 1 F 2 ) w L(M ) (s, w) M (s 1, w) * M (f 1, ) (f 1 F 1 ) ß L 1 ou (s, w) M (s 2, w) * M (f 2, ) (f 2 F 2 ) ß L 2 w L 1 L 2 ) M c : (K 1 K 2, Σ, Δ 1 Δ 2 {(f i,, s 2 ) f i F 1 }, s 1, F 2 ) c) M K : (K 1 {s}, Σ, Δ 1 {(s,, s 1 )} {(f i,, s 1 ) f i F 1 }, s, F 1 {s}) (on n prt qu d M 1 ) d) M 1 doit êtr détrminist (sinon on l détrminis) M : (K 1, Σ, δ 1, s, F 1 ) vc F 1 = K 1 F 1 ) L(M 1 ) L(M 2 ) = L(M 1 ) L(M 2 ) B. Inclusion (ds clsss d lnggs) Théorèm L clss ds lnggs ccptés pr ls utomts finis contint ls lnggs rtionnls. Exmpl ( ) * lttrs (lngg d s) () concténtion () concténtion 10 / 23

11 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls () union ( ) * = L(M) (c) Kln str C. Crctéristion ds lnggs rtionnls Théorèm Pruv Un lngg st rtionnl ssi il st ccpté pr un utomt fini. On suppos qu'on numéroté (ordonné) ls étts. Soit M = (K, Σ, Δ, s, F) un utomt fini (détrminist ou non). K = {q 1, q 2,, q n }, s = q 1 L lngg rconnu pr M st l réunion d tous ls lnggs rconnus n prcournt tous ls chmins possils dns l grph (n fisnt ttntion ux oucls). (Cl rvint à dir qu à chqu chmin llnt d s à f ( F), on ssoci l lngg trouvé.) On pos R(i, j, k) = l'nsml ds mots otnus pr lctur d l'utomt M - n prtnt d l'étt q i, - n rrivnt dns l'étt q j (vc l mot vid), i t j puvnt êtr supériur à k - n n pssnt qu pr ds étts dont l numéro st infériur ou égl à k. Autrmnt dit : R(i, j, k) = {w (q i, w) M * (q j, ) sns pssr pr ds étts dont l numéro st supériur à k} On : R(i, j, n) = {w (q i, w) M * (q j, )} t : L(M) = R(1, i, n) i q i F R(i, j, k) st un lngg rtionnl dont on put clculr l'xprssion rtionnll pr récurrnc sur k. Exmpl: q 0 q 1 q 2 q 3 q 4, Automt rrngé : , R(i, j, 0) à étiqutts sur ls flèchs. 6 R(i, j, 0) 11 / 23

12 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls Princip : clculr R(1, 6, 6) à On supprim q 1 (c qui rvint à clculr R(i, j, 1) , 6 R(i, j, 1) à On supprim q 2, R(i, j, 2) à On supprim q 3 R(i, j, 3) 4 6, 5 à On supprim q 4 ( ) ( ( )* ( )) 6 ( ()* ( )) R(i, j, 4), 5 à On supprim q 5 ( ( )* ( )) ( ) 6 R(i, j, 5) V. Pruv d rtionlité non rtionlité A. Rtionlité (commnt montrr qu'un lngg st rtionnl) On put montr qu'un lngg st rtionnl vc un ds théorèms : (1) Stilité (IV. A.) (rppl : l clss ds lnggs ccptés pr un utomt st stl pr union, concténtion, Kln str, complémnt, intrsction) (2) Crctéristion (IV. C.) (rppl : un lngg st rtionnl ssi il st ccpté pr un utomt) 12 / 23

13 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls (3) Un lngg st rtionnl ssi il put êtr décrit pr un xprssion rtionnll. (2) utomt à ER équivlnc ntr utomt t ER à il xist ds lgorithms (3) ER à utomt Pour montrr qu'un lngg st rtionnl : A prtir d (1) : utilisr ls propriétés d stilité à décomposr l lngg n sous nsmls pr union, intrsction, concténtion, t montrr qu cs sous nsmls sont rtionnls. A prtir d (2) : construir un utomt ccptnt c lngg (on put évntullmnt détrminisr / minimisr ct utomt) A prtir d (3) : construir un xprssion rtionnll décrivnt c lngg. B. Non rtionlité Il xist ds lnggs non rtionnls : L'nsml ds xprssions rtionnlls st dénomrl L'nsml ds lnggs st non dénomrl Tout lngg fini st rtionnl (il put êtr décrit pr un ER composé d l'union d tous ls mots du lngg). à L qustion d non rtionlité n s pos qu pour ls lnggs infinis. 1) Utilistion ds propriétés d stilité Pour montrr qu L st non rtionnl, on pos l'hypothès qu L st rtionnl, t on détrmin L 0 non rtionnl t L 1 rtionnl tls qu L 0 = L θ L 1 (θ {,,.} L supposé rtionnl L θ L 1 rtionnl pr stilité d l L 1 rtionnl clss ds lnggs rtionnls pr θ Or L θ L 1 = L 0 vc L 0 connu (démontré) non rtionnl contrdiction à l'hypothès (L rtionnl) st fuss 2) Utilistion du lmm d l'étoil (pumping lmm) Théorèm Lmm d l'étoil Exmpl Soit L un lngg rtionnl infini ccpté pr un utomt détrminist M à k étts. Soit z un mot qulconqu d L tl qu z k. Alors z put êtr décomposé n uvw vc uv k, v 0 t uv i w L, i 0. Montrons qu L = { n n n 0} st non rtionnl. Supposons qu L st rtionnl. L st rconnu pr un utomt M à k étts. D'près l lmm d l'étoil, z L, z k, u, v, w Σ * tls qu z = uvw, uv k, v > 0 t i 0, uv i w L Soit z 0 = k k. On in z 0 L t z 0 = 2k k. Touts ls décompositions possils z 0 = uvw tlls qu uv k, v > 0 sont d l form u = p, v = q, w = r k vc q > 0 t p+q+r = k. k (uvw = p q r k ) Or uv i w = p qi r k = p + qi + r k On i 1, p + qi + r k Donc i 1, uv i w L Donc contrdiction dns l propriété Donc l'hypothès (L rtionnl) st fuss Donc L non rtionnl 13 / 23

14 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls VI. Minimistion ds étts A. Théorèm d Myhill - Nrod 1) Contxt à droit rltivmnt à un lngg Soit L Σ* un lngg On définit pour un mot u Σ* son contxt à droit rltivmnt à L : R L (u) = { z Σ* uz L } (spèc d division d L pr u à guch) 2) Equivlnc ds mots suivnt un lngg Soit L Σ* un lngg t x, y Σ* dux mots. On dit qu x t y sont équivlnts suivnt L, t on not x L y, si pour tout mot z d Σ* : xz L ssi yz L Propriété L st un rltion d équivlnc On not [w] L l clss d équivlnc d w. Exmpl L = ( )* Chrchr ls clsss suivnt L dns Σ* - [] = L - [] = L - [] = L - [] = L ( ) Σ* - [] = [] - [] = [] - [] = [] - [] = L = [] = [] cr L... On montr fcilmnt pr récurrnc qu on touts ls clsss On otint 4 clsss d équivlnc : Σ* = L L L L ( ) Σ* On un rltion smll d équivlnc ntr ls mots mis rltivmnt à un utomt : 3) Equivlnc d mots suivnt un utomt Soit M = (K, Σ, δ, s, F) un utomt détrminist (fini), t x, y Σ* dux mots. On dit qu x t y sont équivlnts rltivmnt à M, on not x ~ M y, ssi il xist un étt q d K tl qu : (s, x) M * (q, ) t (s, y) M * (q, ) Propriétés - ~ M st un rltion d équivlnc. - on not E q l clss d équivlnc ds mots x tls qu q M (x) = q E q = si l étt st inttignl 14 / 23

15 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls - il y utnt d clsss d équivlnc qu d étts ttignls (ccssils). E q = L(M q ) vc M q = (K, Σ, δ, s, {q}) Théorèm Pour tout utomt fini détrminist M t dux mots x, y Σ*, on : si x ~ M y lors x L(M) y (on dit qu ~ M rffin L(M) ) Ls clsss d ~ M sont plus ptits (t incluss) dns ls clsss d L(M) 4) Automt stndrd Théorèm d Myhill Nrod nomr d clsss d'équivlncs sur Σ* suivnt L Soit L Σ* un lngg rtionnl. Il xist un utomt détrminist ynt Σ* / L étts ccptnt L. (C st-à-dir utnt d étts qu l nomr d clsss d équivlnc suivnt L.) Rmrqus - ct utomt l plus ptit nomr d étts possils - il n y qu un sul utomt vérifint cl - on ppll ct utomt l utomt stndrd d L (ou utomt miniml d L). Pruv (constructiv) : M utomt stndrd d'un lngg L. M = (K, Σ, δ, s, F). vc K = { [x], x Σ* } s = [] Exmpl : F = { [x], x L } [] δ : défini pr δ([x], ) = [x] K st fini cr L st rconnu pr un utomt détrminist M Σ* / ~ M Σ* / L δ in défini : si [x] = [y] lors [x] = [y] (clir cr : x L y x L y [] L = L(M) (i) on montr d ord qu ([x], y) * M ([xy], ) (pr induction sur y ) (ii) x Σ*, x L(M) ssi ([], x) * M ([x], ) t [x] F i x L pr définition d F. [] [], 5) Corollir (Myhill Nrod) L st rtionnl ssi L un nomr fini d clsss d équivlnc. B. Minimistion d un utomt donné Soit M = (K, Σ, δ, s, F) un utomt fini détrminist. On not M(q), pour q K, l utomt (K, Σ, δ, q, F). (Avc ctt nottion, M = M(s).) On dit qu p t q sont dux étts équivlnts d M, t on not p q, ssi L(M(p)) = L(M(q)). En d utrs trms : p q ssi w Σ*, - soit (p, w) M * (f 1, ) t (q, w) M * (f 2, ) vc f 1, f 2 F - soit (p, w) M * (g 1, ) t (q, w) M * (g 2, ) vc g 1, g 2 F clss d'éq. ds mots x tq. q M (x) = p 15 / 23

16 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls Exmpl q1 q2 q3 q4 q5, q6 q 1 0 q 3 q 2 0 q 4 cr q 1 F t q 3 F cr q 2 F t q 4 F q 1 1 q 3 cr q 1 0 q 3 t δ(q 1, ) 0 δ(q 3, ) (δ(q 1, ) = q 2 t δ(q 3, ) = q 2 t {q 2 }) δ(q 1, ) 0 δ(q 3, ) (δ(q 1, ) = q 4 t δ(q 3, ) = q 6 t {q 4, q 6 }) q 2 1 q 4 cr δ(q 2, ) 0 δ(q 4, ) (δ(q 2, ) = q 5 t δ(q 4, ) = q 1 t {q 1, q 3 } t {q 5 }) 0 : {q 1, q 3 }, {q 2, q 4, q 5, q 6 } 1 : {q 1, q 3 }, {q 2 }, {q 4, q 6 }, {q 5 } 2 : {q 1, q 3 }, {q 2 }, {q 4, q 6 }, {q 5 } Finlmnt : q 1 q 3 (Ç n chng plus) q 4 q 6 VII. Complxité d lgorithms pour ls utomts finis Théorèms (sns démonstrtions préciss) (i) Il xist un lgorithm xponntil (n l nomr d étts) Entré : un utomt fini non détrminist Sorti : un utomt fini détrminist équivlnt (ii) Il xist un lgorithm polynomil (n fonction d l till d l xprssion ou du nomr d opérturs) Entré : un xprssion rtionnll Sorti : un utomt non détrminist équivlnt (iii) Il xist un lgorithm xponntil (n fonction du nomr d étts) Entré : un utomt non détrminist Sorti : un xprssion rtionnll équivlnt (l till ds R(i, j, k) st multiplié pr 3 à chqu incrémnt d k) R(i, j, k) = R(i, j, k-1) R(i, k, k-1) R(k, k, k-1)* R(k, j, k-1) (iv) Il xist un lgorithm polynomil (n fonction du nomr d étts) Entré : un utomt détrminist Sorti : l utomt détrminist miniml (stndrd) équivlnt (v) il xist un lgorithm polynomil pour décidr si dux utomts détrminists sont équivlnts (Pss pr l utomt stndrd) (vi) Il xist un lgorithm xponntil pour détrminr si dux utomts non détrminists son équivlnts Théorèm Théorèm L = lngg rtionnl (donné pr un utomt ou un xprssion rtionnll) t w Σ* Il xist un lgorithm qui tst si w L vc un complxité n tmps d O( w ) M = (K, Σ, Δ, s, F) non détrminist t w Σ* Il xist un lgorithm qui tst si w L(M) vc un complxité n tmps d O( K ² w ) 16 / 23

17 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls Chpitr 3. LANGAGES ALGEBRIQUES I. Grmmirs lgériqus Exmpl L = ( )*. Mots générés : un suivi d ou un crtin nomr d fois suivi d un. Un mot d L put nturllmnt êtr décomposé n un déut, un miliu t un fin. S E E E E E E Génértion : S E E E S E E E E Un grmmir lgériqu st composé : - d'un lpht Σ d symols trminux à prtir dsquls sont construits ls mots du lngg ( t dns l'xmpl), - d'un nsml d symols non trminux (S t E dns l'xmpl) prmi lsquls on distingu un symol prticulir (souvnt S pour Strt), - d'un nsml fini d règls ou production d l form symol non trminl suit fini d symols trminux t / ou non trminux. Un grmmir lgériqu st défini pr un qudruplt G = (V, Σ, R, S) où : - Σ st un nsml fini d symols trminux pplé lpht, - V st un nsml fini d symols non trminux tls qu V Σ =, - S V st l symol initil - R st un sous-nsml fini d V (V Σ)* Ls élémnts d R sont pplés règls ou productions. Soint u t v (V Σ)*. On dit qu v dériv dirctmnt d u, t on not u G v, ssi : x, y, w (V Σ)*, A V tls qu : u = xay t v = xwy t A w R Exmpl En utilisnt l grmmir G défini pr ls règls suivnts : S E E E E on otint E G E pr ppliction d l règl E E. L rltion G * st l frmtur réflxiv trnsitiv d l rltion G. Soint u t v (V Σ)*. dérivtion dirct On dit qu v dériv d u, t on not u * G v, ssi : w 0,, w n (V Σ)* tls qu : u = w 0 t v = w n t w i G w i+1 i < n. L suit w 0 G w 1 G G w n st pplé un dérivtion (lorsqu'il n'y ps d'miguïté, on put omttr l référnc à l grmmir G dns ls symols G t G * ). L vlur d n (n 0) st l longuur d l dérivtion. 17 / 23

18 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls Soit G = (V, Σ, R, S) un grmmir lgériqu. L lngg ngndré pr G, noté L(G), st : L(G) = { w Σ* S G * w } Un lngg st dit lgériqu s'il put êtr ngndré pr un grmmir lgériqu. Exmpl G = (V, Σ, R, S) vc : - V = { S, E } - Σ = {, } - R = { S EE, E EEE E E } L chîn put êtr dérivé d plusiurs fçons : S EE S EE S EE S EE EEEE E E E EEE EEE EEE EEE EEE EEE EEE EE EE EE EE EE EE EE EE EE E E E E () () (c) (d) () t () : chqu étp d l dérivtion consist à trnsformr l non-trminl l plus à guch. On ppll c gnr d dérivtion un dérivtion l-plus-à-guch (lft-most drivtion). (c) : dérivtion l-plus-à-droit (right-most drivtion) où l symol trnsformé à chqu étp st l nontrminl l plus à droit. (d) : dérivtion ni plus-à-droit, ni plus-à-guch. Un suit d dérivtions put êtr visulisé pr un rr d dérivtion ou rr syntxiqu (ng. prs tr). Un tl rr indiqu qulls sont ls règls ppliqués ux non-trminux. Il n'indiqu ps l'ordr d'ppliction ds règls. Ls fuills d l'rr rprésntnt l chîn dérivé. rrs d dérivtion corrspondnt ux dérivtions (), (), (c) t (d) d l'xmpl précédnt : S S E E E E E E E E E E E E E E () t (c) () t (d) Sur ct xmpl on constt qu l chîn possèd (u moins) dux rrs d dérivtion distincts. Lorsqu'un grmmir put produir plusiurs rrs distincts ssociés à un mêm mot, ont dit qu l grmmir st miguë. Dux grmmirs qui ngndrnt l mêm lngg sont dits équivlnts. 18 / 23

19 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls II. Lnggs rtionnls t lnggs lgériqus Il xist ds lnggs lgériqus qui n sont ps rtionnls. Un grmmir lgériqu G = (V, Σ, R, S) tll qu R V Σ*(V {}) st pplé grmmir régulièr (ou ncor linéir à droit). (rppl : dns un grmmir lgériqu (non régulièr), R V (V Σ)*.) Exmpl G = (V, Σ, R, S) vc : - V = { S } grmmir régulièr - Σ = {, } L(G) = ( )* - R = { S S S } Théorèm Un lngg st rtionnl si t sulmnt si il st ngndré pr un grmmir régulièr. C théorèm xprim qu tout lngg rtionnl st lgériqu (t non l'invrs). On put utilisr l pruv d c théorèm pour : - pssr d'un utomt (détrminist ou non) à un grmmir, - pssr d'un grmmir à un utomt. Exmpl (G M) G = (V, Σ, R, S) un grmmir régulièr vc : - V = { S, X, Y } - Σ = {, } - R = { S X Y, X S, Y S } Construisons l'utomt M ccptnt L(G), n utilisnt l pruv du théorèm précédnt. Pour cl on ssoci à chqu non-trminl d G un étt dns M d l fçon suivnt : - si A wb R lors on cré dns M un trnsition d l'étt A vrs l'étt B étiquté pr w, - si A w R lors on cré dns M un trnsition d l'étt A vrs l'étt F, où F st l sul étt introduit dns M qui n corrspond à ucun non-trminl d G. S X L(M) = L(G) = ( ) + Y F Exmpl (M G) Soit l'utomt : S X Y Construisons un grmmir régulièr G ngndrnt l mêm lngg, n utilisnt l pruv du théorèm. 19 / 23

20 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls Pour cl on ssoci à chqu trnsition d M un règl dns G d l fçon suivnt : - pour tout trnsition d l'étt p vrs l'étt q étiquté pr w, on cré l règl corrspondnt dns G : P wq, - pour tout étt finl f d M, on cré dns G un règl d'ffcmnt : F. L grmmir régulièr ssocié à l'utomt st donc défini pr ls règls suivnts : S X Y X S Y S (ER ssocié : ( ) * ) III. Automts à pil Un utomt à pil st un sxtuplt M = (K, Σ, Γ, Δ, s, F) où : - K st un nsml fini d'étts, - Σ st un nsml fini d symols d'ntré pplé lpht, - Γ st un nsml fini d symols d l pil, - s K st l'étt initil, - F K st l'nsml ds étts finux, - Δ st un sous-nsml fini d ( K (Σ {}) (Γ {}) ) ( K (Γ {}) ) pplé fonction d trnsition. Un trnsition ((p,, A), (q, B)) Δ où : - p st l'étt cournt, pour fft : - st l symol d'ntré cournt, (1) d pssr d l'étt p à l'étt q, - A st l symol sommt d l pil, (2) d'vncr l têt d lctur près, - q st l nouvl étt, (3) d dépilr A du sommt d l pil - B st l nouvu symol n sommt d pil, (4) d'mpilr B sur l pil. Soit M = (K, Σ, Γ, Δ, s, F) un utomt à pil. Un configurtion d M st défini pr un triplt (q i, w, α) K Σ* Γ* où : - q i st l'étt cournt d M, - w st l prti d l chîn rstnt à nlysr, - α st l contnu d l pil. Soint (q i, u, α) t (q j, v, β) dux configurtions d'un utomt à pil M = (K, Σ, Γ, Δ, s, F). On dit qu (q i, u, α) conduit à (q j, v, β) n un étp ssi σ (Σ {}), A, B (Γ {}) tls qu : u = σv t α = α'a t β = β'b t ((q i, σ, A), (q j, B)) Δ. On not (q i, u, α) M (q j, v, β). L rltion M * st l frmtur réflxiv trnsitiv d M. Soit M = (K, Σ, Γ, Δ, s, F) un utomt à pil. Un chîn w Σ* st ccpté pr M ssi (s, w, ) M * (f,, ) vc f F. L lngg ccpté pr M, noté L(M), st l'nsml ds chîns ccptés pr M. Exmpl Soit l'utomt à pil M = (K, Σ, Γ, Δ, s, F) vc : - K = {s, p, f} Δ = { ((s,, ), (p, )), - Σ = {, } ((p,, ), (p, )), - Γ= {, } ((p,, ), (f, )), - F = {s, f} ((f,, ), (f, )) } lctur (ntré, pil) Rprésnttion grphiqu : écritur pil (, ) / (, ) / s p f (, ) / (, ) / 20 / 23

21 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls Un utomt à pil st détrminist s'il y u plus un trnsition pplicl pour tout triplt d l form (Étt cournt, symol d'ntré, sommt d pil). IV. Automt à pil t grmmir lgériqu Théorèm L clss ds lnggs ccptés pr ls utomts à pil st égl à l clss ds lnggs ngndrés pr ls grmmirs lgériqus. Un utomt à pil st dit simpl ssi qull qu soit l trnsition ((p,, α), (q, β)) Δ, on : α Γ (suf pour p = S où on n dépil rin) t β 2 Proposition On put trnsformr tout utomt à pil n un utomt simpl équivlnt. V. Propriétés ds lnggs lgériqus Pour montrr qu'un lngg st lgériqu, on put : - soit définir un grmmir lgériqu qui ngndr c lngg, - soit définir un utomt à pil qui l'ccpt. Il st églmnt possil d'utilisr ls propriétés d stilité d l clss ds lnggs lgériqus. A. Propriétés d stilité Théorèm L clss ds lnggs lgériqus st stl pr ls opértions d'union, d concténtion t d'étoil d Kln. Pruv Soint dux grmmirs G 1 = (V 1, 1, R 1, S 1 ) t G 2 = (V 2, 2, R 2, S 2 ), vc V 1 V 2 =. (On rnomm évntullmnt ls non-trminux.) L pruv (constructiv) consist à : - construir un grmmir G à prtir d G 1 t G 2 vlidnt ls propriétés d stilité, - montrr qu L(G) = L(G 1 ) op L(G 2 ) (op {,.}) t L(G) = L(G 1 )*. () Union Soit G = (V,, R, S) vc : - V = V 1 V 2 {S} où S V 1 V 2 (rnommg évntul) - = R = R 1 R 2 {S S 1 S 2 } () Concténtion Soit G = (V,, R, S) vc : - V = V 1 V 2 {S} où S V 1 V 2 (rnommg évntul) - = R = R 1 R 2 {S S 1 S 2 } (c) Opértion étoil Soit G = (V,, R, S) vc : - V = V 1 {S} où S V 1 (rnommg évntul) - = 1 - R = R 1 {S S 1 S } 21 / 23

22 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls Théorèm L'intrsction d'un lngg lgériqu t d'un lngg rtionnl st lgériqu. B. Lmm d l'étoil pour ls lnggs lgériqus Théorèm (lmm d l doul étoil) Soit L un lngg lgériqu. Il xist un nomr k, dépndnt d L, tl qu tout mot z L, z k, put êtr décomposé n z = uvwxy vc : (i) vwx k (ii) v + x > 0 (i. v ou x ) (iii) uv n wx n y L, n 0 (d'où l'pplltion d doul étoil : v n t x n = v* t x*) Pour l montrr on utilis l form norml d Chomsky. Un grmmir lgériqu G = (V,, R, S) st sous form norml d Chomsky si chqu règl st d l form : A BC vc B, C V {S} ou A σ vc σ ou S Théorèm Lmm Corollir Exmpl Pour tout grmmir lgériqu, il xist un grmmir sous form norml d Chomsky équivlnt. Soit G = (V,, R, S) un grmmir lgériqu sous form norml d Chomsky. Soit S G * w un dérivtion d w * dont l'rr d dérivtion st noté T. Si l hutur d T st n lors w 2 n-1. Soit G = (V,, R, S) un grmmir lgériqu sous form norml d Chomsky. Soit S G * w un dérivtion d w L(G). Si w 2 n lors l'rr d dérivtion st d hutur n+1. Montrons qu L = { i i c i i 0} st non lgériqu. Supposons qu L st lgériqu. D'près l lmm d l doul étoil, il xist un constnt k, dépndnt d L, tll qu : z L, z k, z put êtr décomposé n z = uvwxy vc : (i) vwx k (ii) v + x > 0 (iii) uv n wx n y L, n 0 Considérons l chîn prticulièr z 0 = k k c k. On in z 0 L t z 0 = 3k k. Ls décompositions d z 0 =uvwxy stisfisnt vwx k t v + x > 0 sont tlls qu : - soit l'un ds sous-chîns v ou x contint plus d'un typ d symol, c-à-d d l form + + ou + c +. uv n wx n y vc n > 1 contint un près un ou un près un c. (pr xmpl uv 2 wx 2 y = u w x x y, si v = ) donc l chîn uv n wx n y n'st plus d l form p p c p vc p 0, donc uv n wx n y L pour n > 1. - soit v t x sont ds sous-chîns d k ou d k ou d c k. 22 / 23

23 L3 informtiqu Lyon LIF15 Théori ds lnggs formls Comm u plus un ds chîns v ou x st vid, tout chîn d l form uv n wx n y vc n > 1 st crctérisé pr un ugmnttion d un (v = ou x = ) ou dux (v t x ) ds trois typs d trminux. Donc pour n > 1, l chîn uv n wx n y st d l form p q c r mis vc p q ou q r. donc uv n wx n y L pour n > 1. Pour touts ls décompositions possils d l chîn z 0 il y un contrdiction. Donc l'hypothès st fuss. L non lgériqu. Pruv d non lgéricité Pour montrr qu'un lngg st non lgériqu, on put utilisr : - l lmm d l doul étoil, - ls propriétés d stilité d l clss ds lnggs lgériqus, - l théorèm qui dit qu l'intrsction d'un lngg lgériqu t d'un lngg rtionnl st lgériqu. VI. Prolèms décidls liés ux lnggs lgériqus Notion d prolèm indécidl Un qustion st décidl s'il xist un lgorithm (c'st-à-dir un procssus détrminist) qui s'rrêt vc un répons (oui ou non) pour chqu ntré. Un qustion st indécidl si un tl lgorithm n'xist ps. Théorèm Ls qustions suivnts sont décidls : (1) étnt donné un grmmir lgériqu G t un mot w, st-c qu w L(G)? (2) Est-c qu L(G) =? 23 / 23