Fonctions homographiques

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Jean-Baptiste St-Denis
il y a 7 ans
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1 HAPITRE 6 Fonctions omorpiques. Fonctions omorpiques Définition. On ppelle fonction omorpique toute fonction du type f : b c où, b, c et d d sont des constntes réelles vérifint : b 0 (6.) c d Remrques. Si c 0, lors 0 et d 0 (sinon l'ypotèse (6.) ne serit ps vérifée) et : b ( ) f ( ) =. f est donc une fonction ffine non constnte dns ce cs. d d L ypotèse (6.) ssure que f ne soit ps une fonction constnte. En effet, soit pr eemple f:. Alors le déterminnt des coefficients est 0 et on : ( \ {}) ( ) f = = = constnte. ( ) Eemples de fonctions omorpiques. f: 3 3, b, c0, d (fonction ffine) : 4 : 3 5 k : 3 4 Nous écrterons dns l suite le cs, b0, c4, d 3, b0, c5, d 0, b3, c, d 4 c 0 qui correspond u fonctions ffines : ces fonctions ont été étudiées u cpitre 4. L fonction omorpique l plus simple (qui n est ps ffine) est : L représenttion rpique de : vec, b0, c, d 0 est l yperbole d éqution y. L fiure suivnte montre l courbe représenttive de, trcée dns un repère ortonormé coi,, j.

2 Définition. Une yperbole est une courbe d éqution Y dns un repère du pln crtésien. OI,, d Ji bien coisi. Etude des fonctions : vec 0 Au prrpe précédent, on représenté l fonction :. Remrquons que cette fonction est strictement décroissnte sur et strictement décroissnte sur. L courbe représenttive de : s obtient à prtir de celle de pr l symétrie ortoonle d e b O. Voici l courbe représenttive de : 6.

3 Remrquons que l fonction est strictement croissnte sur et strictement croissnte sur. Générlisons : Proposition. Les courbes : y = et : y = sont symétriques pr rpport à bo. Si 0 lors est strictement décroissnte sur et strictement décroissnte sur. Si 0 lors est strictement croissnte sur et strictement croissnte sur. Démonstrtion. Les deu points M, ',, pprtennt respectivement à et sont symétriques pr rpport à b O puisque leurs ordonnées sont opposées. Donc : y b et Mb : y = sont symétriques pr rpport à bo. = et Etudions mintennt le sens de vrition de, 0. Remrquons que est impire : il suffit donc de clculer le tu de vrition de sur. ' c ' R T, ' b b b ' ' ' b ' ' ' b ' Si 0 lors ce tu de vrition est strictement nétif sur. Donc est strictement décroissnte sur et pr symétrie, strictement décroissnte sur dns ce cs. Si 0 lors ce tu de vrition est strictement positif sur. Donc est strictement croissnte sur et pr symétrie, strictement croissnte sur Voici quelques courbes représenttives de fonctions : >0 dns ce cs. 6.3

4 Remrquons que l courbe représenttive de est bien une yperbole suivnt notre définition pe. En effet, on montre comme u cpitre précédent que dmet comme éqution Y dns le repère Oi,, j. L petite démonstrtion de ce fit est lissée comme eercice u lecteur. c 3. Etude de quelques fonctions omorpiques plus compliquées ) Etude de l fonction f: 3 Tout d'bord : s'it-il bien d'une fonction omorpique? Oui, cr : 3( ) 3 ( \{} ) f ( ) = 3 = =. L définition s'pplique vec 3, b, c, d et on vérifie que le déterminnt des coefficients n'est ps nul! Le domine de f est évidemment \{ }. Pour représenter rpiquement f, on utilise l métode du cnement de repère, vue u cpitre précédent : Eqution de f dns Oi,, c j : y y 3 3 nement de repère : R S T b Nouvelle oriine : O' 3, Y y3 Nouveu repère : co', i, j Eqution de f dns co', i, j : Y b Donc : f dns Oi,, c j = dns co', i, j. Nous vons insi montré que l courbe représenttive de l fonction omorpique f est une yperbole. Voici le rpique : y Y 6.4

5 b) Etude de l fonction : 3 ette fonction est bien omorpique. (Justifier!) Remrquons que son domine est \ { }. On ne peut ps tout de suite ppliquer l métode du cnement de repère cette fois. D'bord il b fut mettre sous forme cnonique. Pour cel, on effectue une division de polynômes : Pr conséquent : " 3 ( \{ }) 3 = ( ) / ( ) 3 3 = ( ) 3 ( ) = 4 Dns cette forme cnonique, intervient une seule fois dns l'epression de, à svoir u dénominteur. eci permet d utiliser l métode du cnement de repère : 3 Eqution de dns coi,, j : y y Attention! Il fut mettre en évidence le coefficient de vnt de fire le cnement de repère! En effet, si l'on posit 4, lors le coefficient 4 cnerit le vecteur de bse i dns le nouveu repère. Si l'on veut fire une trnsltion de repère, il fut que le coefficient de soit toujours él à. nement de repère : R S T 3 Nouvelle oriine : O', 3 Y y Nouveu repère : co', i, j Eqution de dns co', i, j : Y b 4 4 Donc : dns coi,, j = 4 dns co', i, j. b b Nous vons insi montré que l courbe représenttive de l fonction omorpique est une encore une yperbole. Le rpique de cette fonction se trouve à l pe suivnte. b Remrque finle. Nous terminons ce cpitre en observnt que l métode présentée ci-dessus s'pplique à toute fonction omorpique (non ffine) f: telle que c 0. Nous comprenons donc que l représenttion d'une telle fonction omorpique est toujours une yperbole. b c d 6.5

6 y Y 6.6

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