Chapitre VIII: Les Coniques

Transcription

1 Chitr VIII: Ls Coniqus d : Arès un étud ttntiv d c chitr, vous srz cl donnr l éqution olir vc origin u for d un coniqu idntifir un coniqu connissnt son cntricité. trouvr ls crctéristiqus mnqunts d un coniqu à rtir d crctéristiqus connus.

2 94 thémtiqus our ls Scincs Phsiqus I Générlités 1 - éfinition géométriqu Un coniqu st l'nsml ds oints d'un ln tls qu l rort ds distncs à un oint F, lé for t à un droit lé dirctric soit constnt. H F L rort = st l'cntricité H d l coniqu. H 0 F L distnc d F à ut s'écrir FH l coniqu. 0 =, étnt l rmètr d Proriété : rrésnt l distnc F lorsqu F st rllèl à. - Eqution olir H r H 0 F On lc l for à l'origin d'un sstèm d coordonnés olirs (F orthogonl à ): F = r = ( F, F )

3 Coniqus 95 F = H t H = H0F + rcos = + r cos, on tir : r = + r cos qu l on écrit : r = éqution olir d l 1 cos coniqu vc origin u for. Rmrquons qu l'on rtrouv l roriété: = r = π H r 0 F H 0 ns l cs où l' focl H 0 F fit un ngl 0 vc F, on otint l'éqution : r = cos On ll 0 l'zimuth focl 3 - Clssifiction Si = 1, r [ r, + [ Si < 1, r [ r, r ] ( ) 1 0 min vc rmin = : l coniqu st un rol. min m vc r min = t rm = : l coniqu 1+ 1 st un llis. Si > 1, r [ r, + [ hrol. min vc rmin = : l coniqu st un 1+

4 96 thémtiqus our ls Scincs Phsiqus II Prol 1 - Proriétés géométriqus Puisqu =1, F =H : l rol st l'nsml ds oints situés à égl distnc du for t d l dirctric. H H 0 O r F Rltion intérssnt: H O = OF = r = 0 min - Eqution crtésinn En rnnt l'origin du sstèm d coordonnés crtésinns u sommt O d l rol (t non lus u for), on otint l'éqution cnoniqu d l rol: = III Ellis 1 - Proriétés géométriqus B H 0 A F O F A H 0 B L'llis st l'nsml ds oints tls qu l somm ds distncs à du oints lés fors st constnt: F + F' = AA' = ct

5 Coniqus 97 L' focl AA' st l grnd d l'llis; BB' st l tit d l'llis. c Rltions intérssnts: On os AA' = BB' = FF' = c. On lors : = + c = = Ainsi, connissnt du ds trois distncs,, c on ut n déduir t. Réciroqumnt, connissnt t, on ut rtrouvr, t c ; n fft: rmin = FA = c = t rm = FA' = + c = donc 1+ 1 = + = d'où : = 1 = c = 1 1 c - Eqution crtésinn ns l sstèm d coordonnés crtésinns vc l'origin O u cntr d l'llis, l'éqution cnoniqu d l'llis s'écrit : + = 1

6 98 thémtiqus our ls Scincs Phsiqus IV Hrol 1 - Proriétés géométriqus I F A O A F L'hrol st l'nsml ds oints tls qu l différnc ds distncs à du oints lés fors st constnt : L' A'A s'll l' focl. Rltions intérssnts: F' F = A' A = ct On os A'A = AI = F'F = c On lors : + = c = = Ainsi, connissnt du ds trois distncs,, c on ut n déduir t. Réciroqumnt, connissnt t, on ut rtrouvr, t c : En fft : our =0, r = FA' = c + = 1 our =π, r = FA = c = +1 c

7 Coniqus 99 donc c = + = d'où : = c 1 = = Eqution crtésinn ns l sstèm d coordonnés crtésinns vc l'origin O u cntr d smétri d l'hrol, l'éqution cnoniqu d l'hrol s'écrit : = 1 Rmrqu: Lorsqu tnd vrs l'infini, on : = 1 L'hrol dmt du droits smtots d'équtions: = qui s count n O. = + t

8 100 thémtiqus our ls Scincs Phsiqus Ercics : Coniqus Eqution olir d un llis L trr décrit utour du solil un llis d cntricité t d rmètr dont l solil occu un ds fors. Erimr l distnc miml trr solil (ogé) t l distnc miniml (érigé) Réons: R min =/(1+) R m =/(1-) Trjctoir hroliqu On considèr un rticul s délçnt sur un trjctoir d éqution olir : r = cos 0 1 vc >0, >1 t cos 0 l ngl vrint ntr 0 t 0 ( ) 1 =, 1. Rrésntr l trjctoir ; récisr ls smtots t fir rîtr l ngl 0 sur l figur.. En suosnt qu l rticul vint d l infini, s roch du for F d l hrol t rrt vrs l infini clculr l ngl d dévition d l rticul. Réons :. =π- 0