IV - Théorème des travaux virtuels. Forces généralisées.

Transcription

1 Unveté u Mane - Faculté e Scence etou Sujet - héoème e tavaux vtuel Foce généalée 41 Enoncé Sot le foce uvante : F : foce onnée (connue) ont la lo e compotement et onnée, : éacton (nconnue auxlae), f : foce 'nete elatve à la mae m e M : f m ( fxé, an ommaton) a euxème lo e Newton, ou FD onne : F m F + + f M à fxé +, fxé ou encoe : (pncpe 'éulbe généalé ou pncpe e 'Alembet) On a évemment pou un éplacement vtuel ( F + + f ) muet : [ 1,N ] en aon e la nullté e la omme : c'et l'expeon u théoème e tavaux vtuel 4 Foce généalée (à t fgé) : A l'ae e éuaton e tanfomaton :, le théoème e tavaux vtuel event : ( F f ) + + F + + f ot en poant : f : foce 'nete généalée, F : foce onnée généalée, : éacton généalée, on obtent le théoème e tavaux vtuel en cooonnée généalée : ( + + ) muet : [ 1,n ] emaue mpotante : 'l exte e laon non holonome alo : ( + + ) ca le ont lé pa ce laon non holonome (an l'exemple u ceceau oulant et pvotant l y a eux laon non holonome onc eulement n-' 5-3 vaaton népenante alo u'l exte n 5 cooonnée généalée népenante) C'et eulement an le ca 'abence e laon non holonome u'on poua éce : + + laon toute holonome - Euaton e agange 51 emaue analytue e agange Sot à émonte : Euaton e tanfomaton : (, ) + muet : [ 1,n ] t e uantté ont le évée onnent : et ont foncton e et éventuellement u temp ma non e t 'où :

2 Unveté u Mane - Faculté e Scence etou Sujet avec nce e Konece On a ben : 5 entté e agange Pou fxé on peut éce : m m m o : 'où : m m On uppoe le évée econe contnue onc : ot : m m m m Pa éfnton l'énege cnétue u ytème 'éct : N 1 m Pa ommaton u on obtent le entté e agange : 53 Euaton u mouvement avec (laon pafate) 531 aon toute holonome (lh) e théoème e tavaux vtuel en cooonnée généalée 'éct : [ ] 1,n : muet + + O c le laon ont toute holonome onc le vaaton ont népenante, comme la conon 'népenance e taut pa : + ot, à l'ae e entté e agange : emaue : la conon e laon pafate avec e laon toute holonome (onc népenant) conut à ce u'on véfe faclement, pa exemple, u le penule mple avec ϕ : n'étant aute ue la tenon execée pa le fl u penule u la mae m Foce évant 'un potentel :, avec :,, ne épenant pa e, Alo on peut éce : agangen :,,, homogène à une énege En ntouant le lagangen an l'expeon pécéente on obtent le éuaton e agange :

3 Unveté u Mane - Faculté e Scence etou Sujet mpulon généalée : p u 'entfe avec le compoante e la uantté e mouvement le ont le cooonnée catéenne e éuaton e agange e éécvent avec le mpulon généalée ou la fome tè conenée : Cooonnée cyclue cyclue (nvaance u lagangen pa appot à p : le lagangen ne épen pa e la cooonnée on alo ue ) Cette nvaance a une mpotance fonamentale : p p et une contante u mouvement Exemple : lo e foce centale 'angle θ n'ntevent pa an le lagangen ce u entaîne ae elatvement au mouvement e Keple p θ Cte et une cooonnée, on etouve la lo e 53 Extence e laon non holonome-multplcateu e agange e théoème e tavaux vtuel en cooonnée généalée, avec e laon pafate, éct : ( + ) (1) e véfent le elaton non holonome : a avec : " [ 1,' ] et <n () l A pat e ce é on peut expme e uantté (vaaton et non cooonnée) en foncton e (n- ) aute uantté, pa exemple le pemèe : (,,, ) 1 1 ' + 1 n 1 n,,, ' ' ' + 1 e ( 1, ) eont épenante e (n- ) aute, le +1, n étant alo népenante On multple pa λ l chacune e lnh () et on ajoute le éultat à l expeon (1) : ( a + ( + ) " (3) l y a n (+()) paenthèe extéeue contenant chacune ( +1) teme, ot en éveloppant : n 1 n ( λ a + λ a + ( + ) + ( λ a + λ a + ( + ) 1 11 ' ' n ' 'n n n n Penon abtaement égaux à zéo le coeffcent e vaaton épenante, on obtent alo éuaton à nconnue λ l tel ue : " a + ( + ) [ 1,' ] (4a) l ne ete alo an la omme (3) ue le teme elatf aux uantté népenante : +1, n, et ce teme ovent ête ' + 1,n ), ot : tou nul afn aue l népenance e, ( [ ] " a + ( + ) [ ' + 1,n ] e eux expeon (4a) et (4b) peuvent onc e éume ou la fome : " a + ( + ) [ 1,n ] (4b) (5) c et à e n éuaton compotant multplcateu λ l, ce ont le éuaton e agange avec multplcateu ue l on obtent en appelant ue :

4 Unveté u Mane - Faculté e Scence etou Sujet (entté e agange), et : ot fnalement : λ a " " (6) On obtent n elaton ente le n cooonnée généalée et le coeffcent λ l, ma le poblème n et pa nétemné ca le lnh founent le aute elaton néceae a ffculté et oe analytue ca l faut élmne le λ l en pocéant pa évaton e lnh et en ubttuant leu valeu an le éuaton u mouvement (cf : execce u le ceceau) Exemple e vaaton épenante (ceceau) : Ecvon la conon e non glement en J, (ψ/oz) égnant la matce e otaton angle ψ autou e Oz : t n ( ψ / Oz) ( ϕ + ψ coθ) x a y + aθ nθ z aθ co θ on multple pa (-ψ) le eux membe : z z x co ψ y + n z ( ψ) n ( ψ) co ψ ( ϕ + ψ co θ) a aθ nθ 1 aθ co θ x O O ψ J G G t y ou encoe, en multplant pa le expeon c-eou et en emauant ue le laon ont tatonnae (onc en entfant fomellement le fféentelle et le vaaton), on obtent fnalement le vaaton x, y, z en foncton e vaaton ψ, θ et ϕ et e foncton e ψ et e θ : x a( ϕ + ψ co θ) co ψ + aθ ( nψ nθ), ot : x ( a co ψ coθ) ψ + ( a nψ nθ) θ ( a co ψ)ϕ y a( ϕ + ψ co θ) nψ aθ ( co ψ nθ), ot : y ( a nψ co θ) ψ ( a co ψ nθ) θ ( a nψ)ϕ z aθ coθ, ot : z ( a co θ)θ e chox e vaaton épenante et abtae ma l et gué pa la mplfcaton e épenance fonctonnelle e econ membe (pa exemple c x, y, z et ϕ n ntevennent pa en tant ue cooonnée an le econ membe) emaue : confuon à évte ente le nombe n e egé e lbeté (ou cooonnée généalée népenante) et celu (n ) e vaaton ou, c, e vtee généalée l peut ête tentant éce l énege cnétue ou la fome ( ψ, θ, ϕ, ψ, θ, ϕ) apè avo ubttué le valeu e x, y tée e eux elaton non holonome c-eu énege potentelle ne épenant ue e θ, on pouat alo pene ue to elaton e agange elatve à ψ, θ et ϕ uffent En fat le éuaton e agange (ou éuaton u mouvement en cooonnée généalée) u ont e elaton lnéae elatvement aux accéléaton, cooonnée en nombe n u ne peut ête éut à (n- ) onnent le oluton ou la fome () t 54 Euaton u mouvement avec étance pave : 541 aon toute holonome Du théoème e tavaux vtuel : ( + + ) on éut, puue le ont népenant : + +, ot encoe : (7)

5 Unveté u Mane - Faculté e Scence etou Sujet On obtent n elaton ente le n cooonnée (et leu évée) et le n nconnue (au plu) : pou ue le poblème ne ot pa nétemné l faut n elaton upplémentae concenant le lo e foce e éacton pa exemple la lo e Coulomb u type (cf : ceceau) : µ µ < 1 t n 54 Extence e laon non holonome à étance pave En epenant 53 et l extence e tavaux non nul u aux le éuaton e agange écvent : e poblème et alo à (n + n + ) nconnue avec (n + ) éuaton auxuelle l faut néceaement ajoute le n elaton upplémentae elatve aux lo e compotement e éacton emaue : taval une lnh, a po pafate, an un éplacement vtuel non compatble avec la laon : on conèe, an une lnh, un comme népenant alo tout e pae comme on faat tavalle une éacton coeponante Exemple : λ 1 1 a epéente an l éuaton (6) le taval e la laon 1 ntevenant elon le egé e lbeté + λ a " " (8)