Cours de Mathématiques Produit scalaire, orthogonalité

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Ghislain Audy
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1 Produit sclire, orthogonlité Tble des mtières I Produit sclire I.1 Définition et premières propriétés I.2 Exemples clssiques I.3 Norme et distnce ssociées à un produit sclire I.4 Reltions entre le produit sclire et l norme ssociée II Orthogonlité II.1 Vecteurs unitires, vecteurs orthogonux II.2 Produits sclires et fmilles orthonormles II.3 Orthogonl d une prtie de E II.4 Projections orthogonles dns un espce euclidien III Isométries et mtrices orthogonles III.1 Automorphismes orthogonux III.2 Mtrices orthogonles III.3 Les groupes SO(E) et SO(n) Pge 1 Jen-Michel Ferrrd c EduKlub S.A.

2 Produit sclire, orthogonlité Prtie I : Produit sclire I Produit sclire Dns ce chpitre, E est un espce vectoriel sur R. I.1 Définition et premières propriétés Définition (Produit sclire) On dit que l ppliction f : E E R est un produit sclire si : () (u, u, v, v ) E 4, (α, β) R 2, f(αu + βu, v) = αf(u, v) + βf(u, v) : on dit que f est linéire à guche. f(u, αv + βv ) = αf(u, v) + βf(u, v ) : on dit que f est linéire à droite. (b) (u, v) E 2, f(v, u) = f(u, v) : on dit que f est symétrique. (c) u E, f(u, u) R + : on dit que f est positive. (d) u E, f(u, u) = 0 u = 0 : on dit que f est définie. Définition (Espce euclidien) Un R-espce vectoriel E muni d un produit sclire est dit préhilbertien réel. Un espce euclidien est un espce préhilbertien réel de dimension finie. Remrques L propriété () s énonce en disnt que f est bilinéire. Un produit sclire sur E est donc une forme bilinéire symétrique définie positive. Si le crctère symétrique de f est étbli, l linérité à droite équivut à l linérité à guche : le point () de l définition peut lors être simplifié. Plutôt que de noter f(u, v), on note souvent < u, v >, ou u v, ou (u v). Avec l nottion ( ), que nous utiliserons, l définition d un produit sclire devient : (u, u, v, v ) E 4, (α, β) R 2 (αu + βu v) = α (u v) + β (u v) (u αv + βv ) = α (u v) + β (u v ) (v u) = (u v) ; (u u) 0 ; (u u) = 0 u = 0 Si E est un espce vectoriel euclidien, lors tout sous-espce vectoriel F de E est encore euclidien, vec l restriction du produit sclire. Proposition (Inéglité de Cuchy-Schwrz) Soit ( ) un produit sclire sur E. Alors (u, v) E 2, (u v) 2 (u u) (v v). De plus, il y églité u et v sont liés. Pge 2 Jen-Michel Ferrrd c EduKlub S.A.

3 Produit sclire, orthogonlité Prtie I : Produit sclire I.2 Exemples clssiques Produit sclire cnonique sur R n Soient u = (x 1,..., x n ) et v = (y 1,..., y n ) deux éléments quelconques de R n. L ppliction : (u, v) n x k y k est le produit sclire cnonique de R n. { (x1, x 2,..., x n ) R n ( Cuchy-Schwrz s écrit lors : (y 1, y 2,..., y n ) R, n ) 2 n x n k y k n x 2 k Si on note [u] l mtrice-colonne ssociée à tout vecteur u de R n, lors (u v) = T [u] [v]. Un produit sclire entre pplictions continues Soit E = C([, b], R) l espce vectoriel des pplictions continues de [, b] dns R, vec < b. L ppliction (f, g) f(t) g(t) dt est un produit sclire. Cuchy-Schwrz s écrit lors : (f, g) E 2, ( 2 f(t) g(t) dt) Un produit sclire entre pplictions continues périodiques f(t) 2 dt y 2 k. g(t) 2 dt Soit E est le R-espce vectoriel des pplictions f : R R, continues et 2π-périodiques. L ppliction (f, g) 1 2π 2π 0 f(t) g(t) dt est un produit sclire sur E. I.3 Norme et distnce ssociées à un produit sclire Proposition (Norme euclidienne ssociée à un produit sclire) Soit ( ) un produit sclire sur E. On pose : u E, u = (u u). Cette ppliction vérifie : u E, u 0, et u = 0 u = 0. u E, λ R, λu = λ u. (u, v) E 2, u + v u + v (inéglité tringulire, ou de Minkowski.) On exprime ces propriétés en disnt que l ppliction x x est une norme sur E. On l ppelle norme euclidienne ssociée u (ou déduite du) produit sclire ( ). Remrques L inéglité de Cuchy-Schwrz s écrit mintennt : (u, v) E 2, (u v) u v. Pour tous vecteurs u et v de E, on : u v u ± v. Avec nos deux premiers exemples de produit sclire, les normes ssociées s écrivent : n b Sur R n : u = x 2 k, et sur C([, b], R) : f = f(t) 2 dt. Pge 3 Jen-Michel Ferrrd c EduKlub S.A.

4 Produit sclire, orthogonlité Prtie II : Orthogonlité Définition (Distnce ssociée à un produit sclire) Soit ( ) un produit sclire sur E, et soit u u l norme ssociée. L ppliction d : E E R, définie pr d(u, v) = u v vérifie les propriétés suivntes : { d(u, v) = d(v, u) ; d(u, v) 0 ; d(u, v) = 0 u = v (u, v, w) E 3, d(u, v) d(u, w) + d(w, v) (inéglité tringulire) On exprime ces propriétés en disnt que l ppliction d est une distnce, dite ssociée à l norme euclidienne, et donc u produit sclire. I.4 Reltions entre le produit sclire et l norme ssociée Proposition (Identités du prllélogrmme et de polristion) Soit E un R-espce vectoriel, muni d un produit sclire ( ). (u, v) E 2, (α, β) R 2 on : αu + βv 2 = α 2 u 2 + 2αβ (u v) + β 2 v 2. { u + v 2 = u (u v) + v 2 En prticulier, u v 2 = u 2 2 (u v) + v 2 Pr ddition, on en déduit : (u, v) E 2, u + v 2 + u v 2 = 2 ( u 2 + v 2). Cette églité est connue sous le nom d identité du prllélogrmme. On églement les identités de polristion, qui permettent d exprimer le produit sclire en fonction de l norme euclidienne : (u, v) E 2, (u v) = 1 ( 2 u + v 2 u 2 v 2) = 1 ( 4 u + v 2 u v 2). II Orthogonlité E est un R-espce vectoriel muni d un produit sclire ( ) et de l norme ssociée. II.1 Vecteurs unitires, vecteurs orthogonux Définition Un vecteur u de E est dit unitire (ou encore normé) si u = 1. Deux vecteurs u et v de E sont dits orthogonux si (u v) = 0. Remrques Ces notions dépendent évidemment du produit sclire utilisé sur E. Si on en chnge, les vecteurs qui étient orthogonux ne le sont donc plus nécessirement. Si u 0, les vecteurs ± u u sont unitires, et ce sont les seuls de l droite Ru. L définition de l orthogonlité est symétrique cr (v u) = (u v). Pge 4 Jen-Michel Ferrrd c EduKlub S.A.

5 Produit sclire, orthogonlité Prtie II : Orthogonlité Le seul vecteur u qui est orthogonl à lui-même est le vecteur nul. A fortiori, le seul vecteur u qui est orthogonl à tous les vecteurs de E est u = 0. Définition (Fmilles orthogonles ou orthonormles) On dit qu une fmille (u i ) i I de vecteurs de E est orthogonle si les u i sont orthogonux deux à deux. Si de plus ils sont unitires, lors l fmille est dite orthonormle. Définition (Bses et repères orthonormux) Soit (e) = e 1,..., e n une bse de E. Si c est une fmille orthonormle, on dit que c est une bse orthonormle de E. Un repère crtésien (Ω, (e)) est dit orthonorml si l bse (e) est orthonormle. Remrques et propriétés L fmille (u i ) i I est orthonormle (i, j) I 2, (u i u j ) = δ ij (Kronecker). Si l fmille (u i ) i I est orthogonle et formée de vecteurs non nuls, c est une fmille libre. C est le cs en prticulier d une fmille (u i ) i I orthonormle. Si dim E = n 1, une fmille orthonormle de n vecteurs est une bse orthonormle. L bse cnonique de R n est une bse orthonormle, pour le produit sclire cnonique. Soit E un R-espce vectoriel de dimension n, muni d une bse (e) = e 1,..., e n. Pour tous vecteurs u = n x k e k et v = n y k e k de E, on pose (u v) = n x k y k. On définit insi un produit sclire sur E, pour lequel l bse (e) est orthonormle. p 2 p Si l fmille (u k ) 1 k p est orthogonle, lors u k = u k 2 (Reltion de Pythgore.) L réciproque n est vrie que si p = 2. Ainsi (u v) = 0 u + v 2 = u 2 + v 2. II.2 Produits sclires et fmilles orthonormles Proposition (Procédé d orthonormlistion de Schmidt) Dns tout espce vectoriel euclidien E, il y des bses orthonormles. Plus précisément, soit (e k ) 1 k n une bse de E. Alors il existe une et une seule bse orthonormle (ε k ) 1 k n telle que : k {1,..., n}, Vect {ε 1,..., ε k } = Vect {e 1,..., e k } k {1,..., n}, (ε k e k ) > 0 Cette bse orthonormle (ε) est obtenue de l mnière suivnte : ε 1 = 1 e 1 e 1 et k {2,..., n}, ε k = 1 u k u k où u k = e k k 1 (ε j e k ) ε j j=1 Pge 5 Jen-Michel Ferrrd c EduKlub S.A.

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