Chapitre I Rappels mathématiques

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1 Phs 1, mécanique du point matéiel : P. Badis Bennece Chapite I Rappels mathématiques I-1. Intoduction Le mot phsique vient d un mot gec qui signifie natue, donc la phsique est une science qui s intéesse à l étude des phénomènes natuels. Elle a pou but l étude des composants de la matièe et leus inteactions mutuelles afin d eplique les difféents popiétés de la matièe. La phsique peut ête divisée en deu gandes classes ; phsique classique et phsique modene. La pemièe est constituée de deu banches ; la mécanique qui s occupe de l étude des mouvements des sstèmes matéiels et la deuième est la adiation dont l étude est égit pa la théoie classique de Mawell. I-. Gandeus fondamentales et unités L étude des phénomènes phsiques consiste à leus associe des gandeus. L attibution à chaque valeu d une gandeu un nombe est faite pa la technique de la mesue. Mesue une gandeu, c est la compae à une quantité de éféence de même natue pise pou unité. D une manièe généale, on admet un sstème composé de si unités fondamentales ( sstème SI). - le mète, unité de longueu (m) - le kilogamme, unité de masse (kg) - la seconde, unité de temps (s) - l ampèe, unité d intensité de couant électique (A) - le degé kelvin, unité de tempéatue ( K) - la candela, unité d intensité lumineuse Les quate pemièes unités foment le sstème intenational MKSA. A l aide de ces unités fondamentales, on peut constuie les unités déivées : suface (m ), vitesse (ms -1 ), foce (m.kg.s - ) etc Remaque : Dans le sstème CGS, les unités fondamentales sont le centimète, le gamme et la seconde. I-3. Equations au dimensions Une fois les unités fondamentales choisies, on détemine chaque unité déivée pa une elation. Si une quantité phsique A est mesuée en (kg) α (m) β (s) γ, sa dimension est : [A]=M α L β T γ où M : Masse, L : Longueu et T : Temps Cette équation constitue l équation au dimensions de la gandeu A. Remaque : une quantité phsique est sans dimension si α=β=γ=0 Gandeu Fomule de base Equation au dimensions Suface S= Ll L Volume V= Llh L 3 Vitesse v= l/t LT -1 Accéléation γ= v/t LT - Foce f= mγ ML -1 T - Quantité de mouvement p= mv MLT -1 Tableau 1 : Equations au dimensions de quelques gandeus mécaniques. 1

2 Phs 1, mécanique du point matéiel : P. Badis Bennece L utilisation des équations au dimensions est souvent d une impotance non négligeable dans l analse d un poblème phsique. Cette utilisation peut pemette d évite des eeus gaves. Utilisation des équations au dimensions analse dimensionnelle pou véifie l homogénéité d une fomule : l g T = π ou T = π g l Ces deu epessions donnent la péiode d oscillation d un pendule simple de longueu l et g est l accéléation de la pesanteu. Le pemie membe a la dimension d un temps ; il faut que le deuième membe ait la même dimension, sinon la fomule est fausse. 1 e cas : T=πl 1/ g -1/ [T]=L 1/ (LT - ) -1/ = T ième cas : T=πl -1/ g 1/ [T]=L -1/ (LT - ) 1/ = T -1 fau Utilisation des équations au dimensions analse dimensionnelle pou pévoi des fomules phsiques : La méthode consiste à identifie les quantités phsiques qui peuvent ente dans le poblème posé, et à constuie avec ces quantités une epession aant la dimension echechée. Eemple: vitesse d aivée au sol d un objet lâché sans vitesse initiale d une hauteu h. Les quantités phsiques qui peuvent «à pioi» affecte la valeu de la vitesse v sont ; la hauteu de chute h, la masse de l objet m et l accéléation de la pesanteu g. Essaons de constuie une fomule de vitesse avec ces quantités : V=kh α g β m γ La constante k est sans dimension. Ecivons l équation au dimensions, c'est-à-die utilisons l analse dimensionnelle, pou touve les valeus de α, β et γ. On sait que [v] = LT -1, et utilisons la fomule P=mg pou touve la dimension de g (accéléation de la pesanteu) ; [g]=lt -. Alos : [v]=lt -1 =L α L β L -β M γ =L α+β T -β M γ Pa identification des deu temes on a : α + β=1, β=1 et γ=0. C est-à-die α =β=1/ et γ=0. La vitesse v est donc de la fome : v = k gh. L analse dimensionnelle ne pemet pas de pédie la valeu de la constante k, seule la ésolution complète du poblème donnea la valeu de cette constante : k=. I-4. Incetitudes absolue et elative: Toute mesue est entachée d une cetaine incetitude qui peut ête due : - au eeus de manipulation de l epéimentateu, - au impefections de l instument de mesue, - au petubations causées au sstème pa la mesue, La mesue eacte est inaccessible. Le ésultat d une mesue est donné pa un nombe déteminé de chiffes. La confiance dans le denie chiffe significatif est pécisée pa un nombe : l incetitude absolue Δ. Ainsi, écie = 0 ± Δ équivaut à : 0 - Δ 0 + Δ L incetitude elative Δ 0 0. C est un nombe sans dimension. d une mesue est le appot de l incetitude absolue Δ à la mesue

3 Phs 1, mécanique du point matéiel : P. Badis Bennece Théoème des eeus Soit une gandeu G, objet d une mesue indiecte (c est-à-die pou obteni sa valeu on doit mesue d autes gandeus eliées pa une loi phsique). Eemple : suface d un ectangle G=Ll, on mesue la longueu L et la lageu l du ectangle et on en déduit la valeu de G. Supposons que G est liée au gandeus,, pa une elation : G = f(,,) Les gandeus,, sont supposées indépendantes. On écit la difféentielle totale de cette fonction df = d + d + d f f où,, epésentent les déivées patielles de f pa appot au vaiables,, ; la déivée de f pa appot à quand et sont supposés constants. Le pincipe de base du calcul d eeus est d assimile les eeus absolues Δ, Δ, Δ ( eeus absolues su les vaiables,, ou ) au valeus absolues des difféentielles d, d, d ; Δ = d Δ = d Δ = d Comme le sens des eeus n étant absolument connu, il est nécessaie de pende les difféentielles et les déivées patielles en valeu absolue. La elation fondamentale de l eeu est donnée pa : Δ f = Δ + Δ + Δ Eemple : Eeu absolue su une somme f=+- ; = 1 ; = 1 ; = 1 df = d + d d et Δf= Δ + Δ + Δ I-5. Epession appochée d une gandeu phsique On suppose que toutes les fonctions que l on manipule sont continues et déivables. Déivées : ' f ( + h) f ( ) Déivée pemièe : f ( ) = lim h 0 h ' ' ''' f ( + h) f ( ) Déivée seconde : f ( ) = lim h 0 h On péfèe utilise les notations d/d et d /d pou la déivée espectivement pemièe et seconde pa appot à de et si est le temps t la notation ẏ pou d/dt et.ẏ pou d /dt est utilisée. Déivée d une fonction composée : 3

4 Phs 1, mécanique du point matéiel : P. Badis Bennece Soit une fonction de (t), la déivée pa appot à t de s écit : d = dt d d d dt Difféentielle La difféentielle d une fonction f au point a pou epession : df= f(+h)-f()=f ()h Développement de Talo le développement d une fonction f() au voisinage du point 0 s écit: n h h h ( n) n f ( 0 + h) = f ( 0 ) + f '( 0 ) + f ''( 0 ) f ( 0 ) + h ε ( h) 1!! n! avec limε ( h) = 0 0 h Ce développement est tès utile en phsique pou obteni des appoimations des gandeus phsiques. Appoimation au pemie ode Elle est obtenue en négligeant les temes au-delà du 1 e ode, f()=f( 0 )+(- 0 )f ( 0 ) soit a+b, c est l appoimation linéaie. ode, f()=f( 0 )+(- Appoimation au second ode Elle est obtenue en négligeant les temes au-delà du ième 0 )f ( 0 )+(1/)(- 0 ) f ( 0 ) soit a + b + c. Le développement de Mac Lauin est celle de Talo au voisinage de 0 : n ( n) n f ( ) = f (0) + f '(0) + f ''(0) f (0) + ε ( ) 1!! n! avec limε ( ) = 0 0 I-6. Résolution de quelques équations difféentielles Les lois phsiques sont fomulées mathématiquement en temes d équations difféentielles ; loi fondamentale de la dnamique, équation de Schödinge, etc Une équation difféentielle est une eletion ente une fonction inconnue f() et ses déivées f (), f (), f (n) () Eemple : f () + f 4 ()=0 f () + f ()=0 le degé (ou ode) d une équation difféentielle est l ode de la déivée la plus élevée de f() appaaissant dans l équation. Ainsi, la pemièe équation est d ode 1 et la deuième est d ode. a- Pimitive d une fonction : Soit F une pimitive de f. Elle est définie pa F ()=f(), F( ) F( a) = 0 f ( u) du b- Equation difféentielle du pemie ode à vaiables sépaables Ce sont des équations du 1 e ode pou lesquelles on peut sépae les vaiables. d h ( ) = g( t) ce qui implique h()d=g(t)dt dt Si 0 est la valeu de coespondant à t=t 0, pa intégation on peut écie H()-H( 0 )=G(t)-G(t 0 ) 4

5 Phs 1, mécanique du point matéiel : P. Badis Bennece c- Equation difféentielle du pemie ode linéaie à coefficients constants La fome généale est a (t) + b(t) =h(t). On appelle équation homogène l équation sans second membe : a (t) + b(t) =0 Cette équation est à vaiables sépaables, ca on peut écie : d où ' b = = α a d = αdt ln( h / A) = αt h =Ae -αt La solution généale de l équation difféentielle est la somme de l équation homogène et d une solution paticulièe de l équation complète (avec second membe). = h + p la solution paticulièe p dépend de l epession de h(t). Pa eemple, si h(t)=c ( une constante), la solution paticulièe est donnée pa : p =c/b. d- Equation difféentielle du second ode linéaie à coefficients constants a (t) + b (t) + c(t)= f(t) la solution généale de cette équation est la somme de l équation homogène et la solution paticulièe. Résolution de l équation homogène : Soit a (t) + b (t) + c(t) = 0 Chechons des solutions de la fome =Ae αt et chechons les valeus de α. Calculons et et inséons les dans l équation pécédente, on obtient : Ae αt (α + bα +c)=0. Il a tois cas possible : 1. b 4 ac > 0 1t α t Les deu acines sont éels : ( t) = Ae α + Be A et B R. b 4 ac = 0 αt Une acine double éel : ( t) = ( A + Bt) e A et B R 3. b 4 ac < 0 b ± ac b Les deu acines sont complees : α = = λ ± iω a 1t α t ( t) = Ae α + Be Seules les solutions éelles peuvent avoi une signification phsique. λt = e ( c1 cosωt + c sinωt) λt = De (cos( ωt + ϕ)) ' λt = D e (sin( ωt + ϕ')) où λ=b/a et ω =(4ac-b )/a Dans tous les cas, la solution homogène diminue losque le paamète t augmente. Pou une équation difféentielle du second ode, il a deu constantes à détemine. 5

6 Phs 1, mécanique du point matéiel : P. Badis Bennece I-7. Analse vectoielle Plusieus quantités phsiques sont déteminées pa leu gandeu, epimée dans une unité convenable. Ces quantités sont appelées scalaies ; tempéatue, temps, masse et chage. D autes gandeus phsiques, comme le déplacement dl et la foce F eigent pou leu caactéisation à la fois une diection, un sens et un module. De telles quantités sont appelées vecteus. Lois de l algèbe vectoielle Si A, B et C sont des vecteus et p et q sont des scalaies, on a alos : - A + B = B + A Loi de commutativité - A + ( B + C) = ( A + B) + C Loi d associativité pou : + - p( qa) = ( pq) A = q( pa) Loi d associativité pou : - ( p + q) A = pa + qa Loi de distibutivité - p( A + B) = pa + pb Loi de distibutivité Vecteus unitaies Les vecteus dont le module (la longueu) est l unité de longueu sont appelés vecteus unitaies. Si A A est un vecteu de module A, alos = u est un vecteu unitaie de même A diection et de même sens que A, avec A = A u. Vecteus unitaies othogonau : Les vecteus unitaies u, u et u (ou i, j et k) sont dites othogonau s ils sont pependiculaies deu à deu, ils sont diigés positivement le long des aes o, o et o d un sstème d aes othogonau avec o l oigine du sstème. i, j et k foment une base 1 si i = j catésienne. Cette elation d othogonalisation s écit : ui u j = δ ij = 0 sinon où δ ij est appelé le smbole de Konecke. k i O j Figue 1 : Sstème d aes othogonau avec vecteus unitaies Décomposition d un vecteu suivant deu diections quelconques 6

7 Phs 1, mécanique du point matéiel : P. Badis Bennece Un vecteu peut toujous ête considéé comme la somme de deu ou tois vecteus. Soit un vecteu AB, fions deu diections d 1 et d. En patant de A, menons des paallèles à d 1 et d. Constuisons un paallélogamme dont AB est la diagonale. Les vecteus AB 1 et AB ainsi obtenus sont appelés les vecteus composants de AB espectivement suivant les diections d 1 et d. Si nous désignons pa i et j deu vecteus unitaies espectivement suivant AB 1 et AB, on peut écie : AB = AB + AB = AB i AB j, où AB i est le module du vecteu AB i (i=1, ) d 1 B B A B 1 Figue : Décomposition d un vecteu. d Composantes d un vecteu L oigine O d un vecteu OA dans l espace à tois dimensions peut ête l oigine d un sstème d aes othogonau (o). Soient (A 1, A, A 3 ) les coodonnées de l etémité du vecteuoa. A 1, A et A 3 sont les composantes du vecteu OA suivant espectivement les aes o, o, et o. Si nous désignons pa i, j et k les vecteus unitaies espectivement selon o, o, et o, le vecteuoa s écit alos : OA = A1 i + A j + A3k le module de OA est : A = OA = A + A + 1 A3 A 3 A i k A 0 j A 1 Figue 4 : Composantes d un vecteu. Eemple : Quelles sont les composantes et le module du vecteu ésultant des vecteus : 7

8 Phs 1, mécanique du point matéiel : P. Badis Bennece OA = i + 3 j k OB = i j + k Ainsi que l epession du vecteu unitaie pote pa la diection de cette ésultante? Solution : La ésultante R = OA + OB = ( + 1) i + (3 1) j, son module R = 3 + et le vecteu R 3 unitaie u = = i + j + 0k. R Poduit scalaie Le poduit scalaie de deu vecteus A et B, noté pa A B ( qu on lit A scalaie B ) est défini comme le poduit des modules de A et B A et de B pa le cosinus de l angle ente les deu vecteus, ce que l on écit : A B = AB cos, 0 π Remaques : - A B est un scalaie et non pas un vecteu. - A B ( A scalaie B ) est la pojection du vecteu A su B. Le poduit scalaie satisfait les lois suivantes : A B = B A A ( B + C) = A B + A C p ( A B) = ( pa) B = A ( pb) = ( A B) p, où p est scalaie Si A B =0, et si A et B ne sont pas des vecteus nuls, alos A et B sont pependiculaie. Les vecteus unitaies othogonau ( i, j, k) qui foment la base catésienne satisfont : i i = j j = k k = 1 et i j = j k = k i = 0 Epession analtique du poduit scalaie Si A = A1 i + A j + A3k et B = B1 i + B j + B3k, alos : A B = A1 B1 + A B + A3 B3 et A A = A1 + A + A3 Composante d un vecteu Si A = A1 i + A j + A3k, alos A1 = A i, A = A j et A3 = A k. Donc, A = ( A i ) i + ( A j) j + ( A k ) k Le Poduit vectoiel Le poduit vectoiel de A et B est un vecteu K, tel que K = A B (qu on lit A vectoie l B ). Le module A B est défini comme le poduit des modules de A et B pa le sinus de l angle des deu vecteus. K = K = A B = ABsin, 0 π avec K = A B = AB sin u où u est un vecteu unitaie indiquant la diection de A B, qui est pependiculaie au plan fomé pa A et B et dont le sens est tel que A, B et u (ou K) foment un tiède diect ( c-à-d, un tie-bouchon qui toune de A ves B avance dans le sens de u (ou de K). Une aute 8

9 Phs 1, mécanique du point matéiel : P. Badis Bennece définition du tiède diect : dans le cas généal, les tois vecteus u1, u, u3 foment un tiède diect si un obsevateu allongé su le pemie vecteu u 1, egadant le second vecteu u le toisième vecteu u 3 est à sa gauche, dans le cas invese on dit que le tiède est indiect. Remaque : si A et B sont paallèles, A B = 0. Le poduit vectoiel satisfait les elations suivantes : Si A = A1 i + A j + A3k et B = B1 i + B j + B3k i j k alos A B = A A A 1 3 B1 B B3 = ( A B3 A3 B ) i + ( A3 B1 A1 B3 ) j + ( A1 B A B1 ) k Remaque : les deu denies temes peuvent ête obtenus pa une pemutation ciculaie du Pemie (pemutation ciculaie : 1 3 1) A B = B A A ( B C) = A B + A C p ( A B) = ( pa B) = A ( pb) = ( A B) p, où p est un scalaie les vecteus unitaies de la base catésienne satisfont i i = j j = k k = 0 ; i j = k ; j k = i ;k i = j A B est l aie d un paallélogamme de côtés A et B. Le poduit mite A1 A A3 Un poduit mite de tois est défini pa : A ( B C) = B1 B B3 C1 C C3 Où A = A1 i + A j + A3k, B = B1 i + B j + B3k et C = C1 i + C j + C3k. Ce poduit mite epésente le volume d un paallélépipède de côtés A, B et C. On a également : A ( B C) = B ( C A) = C ( A B) Le double poduit vectoiel Il est défini pa A ( B C) = B( A C) ( B A) C Champ scalaie et champ de vecteus Toute popiété phsique d un sstème donné qui, en tous les points d une égion déteminée de l espace, s epime pa une fonction scalaie du vecteu position est appelée champ scalaie, qui est généalement désigné pa la notation Φ ( ). Comme eemple on touve la pession atmosphéique et la masse volumique d un fluide. Toute popiété phsique d un sstème donné qui, en tous les points d une égion déteminée de l espace, s epime pa un vecteu fonction du vecteu position est appelée champ de vecteus ou champ vectoiel, qui est généalement désignés pa la notation A( ), comme eemple on cite l accéléation due à la pesanteu. 9

10 Phs 1, mécanique du point matéiel : P. Badis Bennece Moment d un vecteu pa appot à un point Soit AB un vecteu et O un point quelconque. On appelle moment de vecteu M O ( AB) défini pa ( AB) = OA AB M O AB pa appot à O, le Remaque : moment pa appot à une doite : Pou calcule le moment pa appot à une doite qui est un scalaie il faut le calcule pa appot à un point su cette doite puis le pojete su cette denièe. Déivées de vecteus Soit A( u) = A1 ( u) i + A ( u) j + A3 ( u) k une fonction vectoielle de u (champ de vecteus), alos la déivée de A (u) est défini pa: da da da da 1 3 = i + j + k du du du du Ainsi, si ϕ(u) est une fonction scalaie et si A ( u ) et B(u) sont des champs de vecteus, on a alos : d da dϕ ( ϕ A) = ϕ + A du du du d da db ( A B) = B + A du du du d da db ( A B) = B + A du du du Intégales de vecteus Soit le vecteu A( u) = A1 ( u) i + A ( u) j + A3 ( u) k qui est une fonction vectoielle de u. On défini une intégale de A (u) pa : A u) du = i A ( u) du + j A ( u) du k A ( u) du 1 + ( 3 I-8. Sstèmes de coodonnées et bases En mécanique avant d étudie le mouvement d un sstème, il faut indique pa appot à quel epèe ou sstème de coodonnées. Dans ce paagaphe nous allons epose les difféents sstèmes de coodonnées ainsi que leus bases, c'est-à-die l ensemble des tois vecteus su lesquels on développe les vecteus et on va donne les epessions du vecteu de déplacement infinitésimal, suface et volume élémentaies. a. Coodonnées et base catésiennes Chaque point M est epéé pa ses coodonnées,, dans la base i, j, k montée su la figue 5. On peut écie le vecteu position comme suit: OM = i + j + k. L epession du petit déplacement dm dans cette base est : dm = di + dj + dk cette denièe est tès utile pou calcule la vitesse du point M, ainsi que la suface, ds=dd ( dd, dd)et le volume élémentaie dv=ddd. Remaque : la vaiation de, et est chacune su l un des vecteus de la base. 10

11 Phs 1, mécanique du point matéiel : P. Badis Bennece dm d M M d k j i d Figue 5 : (a) le vecteu position et (b) le déplacement infinitésimal et volume élémentaie. b. Base et coodonnées clindiques La base clindique ( u, u, k ) s obtient pa otation de i, j, k d un angle autou de l ae o. u M k u u k j i u O u m Figue 6 : Base clindique Remaque : Il faut note aussi qu on peut écie : u = cos i + sin j et déivons ce vecteu pa appot à on obtient : du = sin i + cos j, sachant que cos( + π / ) = sin et sin( + π / ) = cos d du alos, peut ête obtenu pa une otation de u d un angle de π/ et on peut écie d du = u. d Le vecteu position OM s écit : OM u + k = ( i + j) + k = 11

12 ϕ Phs 1, mécanique du point matéiel : P. Badis Bennece Où et sont les coodonnées catésiennes du point M dans le plan o données pa : = cos, = sin et = l epession du déplacement élémentaie est : dm = d u + du + du l epession de la suface élémentaie est : ds=dd l epession du volume élémentaie est : dv=ddd d d dm O M d m Figue 7 : coodonnées clindiques c. Base et coodonnée sphéiques : Les tois vecteus ( u, u ϕ, u ) fomant la base sphéique peuvent ête obtenu pa une otation de ( i, j, k ) d un angle φ autou de O, suivie d une otation d un angle autou de u ϕ u ϕ u u u u u u u ϕ u u u u u M u ϕ i k φ u m u 1

13 Phs 1, mécanique du point matéiel : P. Badis Bennece Figue 8 : Base sphéique Le vecteu position du point M en coodonnées sphéiques, c'est-à-die dans la base sphéique s écit : OM = u = i + j + k. De la figue 7, on peut epime, et en fonction de, et φ. =Om.cosφ= sin cos φ =Om.sinφ= sin sin φ =OM.cos= cos, on déduit que : u = sin cosϕ i + sin sinϕ j + cos k Le vecteu unitaie u su om s écit u = cosϕ i + sinϕ j. Le vecteu u ϕ peut ête obtenu pa emplace φ pa φ +π dans u ou simplement pa déive ce denie pa appot à φ : u ϕ = sinϕ i + cosϕ j. Ce vecteu de base peut ête epimé en fonction du déivé de u pa appot à φ. 1 u uϕ = sin ϕ le toisième vecteu de la base sphéique est donné pa : u u = le déplacement élémentaie est : u u dm = d( u ) = du + du = du + ( d + dϕ) = du + ( du + dϕ sin u ϕ ) ϕ la suface élémentaie : ds= sin dφd le volume élémentaie : dv= d sin dφd sin dϕu ϕ u du dm O φ Figue 9 : Volume élémentaie en coodonnées sphéiques. 13