MÉCANIQUE DES FLUIDES

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1 Spé Devoi n 3 MÉCANIQUE DES FLUIDES Patie I MODELE METEOROLOGIQUE Un point M situé dans l'atmosphèe est epéé pa ses coodonnées x,,z dans le epèe teeste local (Oxz ) dont l'oigine O se touve dans un plan méidien à la latitude λ {figue 1} avec 0 λ π/ 2 pou l'hémisphèe z 0 nod, l'axe Ox étant diigé ves l'est, l'axe O étant diigé ves le Nod, l'axe Oz étant diigé suivant la veticale ascendante. O 2π -1 Ω On penda Ω = ad.s λ I-1) On s'intéesse à la ésultante df des foces de pession s exeçant su un élément de fluide atmosphéique de masse dm. Monte que la foce de pession appotée à l'unité de masse, notée f et définie pa d F = f dm, est donnée pa l'expession 1 f = gad p où ρ est la masse volumique du fluide en M et p la ρ pession en M. Dans une atmosphèe calme, pa quoi est compensée la composante veticale des foces de pession? Pa la suite, on supposea cette compensation effective en toutes ciconstances et on ne s'intéessea qu'au mouvement de la paticule de fluide dans un plan hoizontal. I-2) Soit la situation météoologique schématisée su la figue 2 dans laquelle l'axe anticclone dépession fait un angle θ avec la diection Ox. La distance ente les isobaes 1020 et 1000 est notée d, les pessions étant mesuées en hectopascals. On supposea le gadient de pession unifome su l'axe AD, sa nome étant notée a. figue 2 N.B. : Au niveau de l'axe AD les isobaes sont pependiculaies à cet axe et sont localement assimilables à des segments de doite. Données : d = 400km ; λ =42 Nod ; ρ = 1,3 kg.m -3. Calcule la valeu numéique de a. Expime les composantes f X et f Y, de la foce massique de pession en fonction de a, ρ et θ. I-3) Le éféentiel géocentique étant supposé galiléen, on se place dans un éféentiel teeste. Quelles sont les foces qui agissent su une paticule de fluide? Qu'appelle-t-on poids de la paticule? Écie le P.F.D. pou la paticule de fluide dans le éféentiel teeste. I-4) Pojete l'équation su les axe Ox et O et monte qu'en égime de «vitesse constante», le fluide atmosphéique s'écoule au niveau de l'axe AD suivant une diection et un sens que l'on pécisea avec soin su la figue. Comment modifie ces conclusions dans l'hémisphèe Sud? Spé page 1/5 Devoi n 3 O 0 figue 1 x z

2 I-5) Cheche la nome du vecteu vitesse du vent ; calcule sa valeu numéique pou les données pécédentes. Patie II ÉTUDE SIMPLIFIEE DE LA PROPULSION EOLIENNE D'UN BATEAU PAR VOILE TRADITIONNELLE. Un bateau à voile effectue une navigation locale autou d'un lieu O et l'on peut considée qu'il se déplace dans le plan hoizontal Ox d'un éféentiel galiléen avec une vitesse constante selon la diection et le sens de u X ; on néglige toute composante latéale de "déive" de son mouvement. Il constitue donc lui-même un éféentiel galiléen (R 0 ) qui sea choisi pou écie les équations du mouvement des masses d'ai. On assimile l'unique voile de ce voilie à une potion de plan de suface S. Cette suface eçoit et défléchit l'écoulement d'ai dû au vent elatif ou vent "appaent" incident su le voilie. L'ai est considéé comme un fluide non visqueux en écoulement stationnaie et incompessible. Le bateau évolue dans un champ de pession et de tempéatue unifomes. On admet que la voile, églée pou que son plan fasse un angle θ avec le vent appaent incident, défléchit d'un angle 2θ le tube de couant de l'écoulement d'ai incident dans le éféentiel (Ro) du tube de vent défléchi pa la voile tube de vent appaent incident navie. Ce tube, de section doite Σ est celui qui taveseait la suface géométique S de la voile, si celle-ci n'était pas déploée. On suppose que la voile n'altèe pas l'écoulement et ne modifie pas sa section doite. (cf. figue 3). On suppose de plus que. su toute section doite d'un tube de couant, le champ de vitesse dans (Ro) est unifome et vaut V 1, pou l'écoulement incident et V 2 pou l'écoulement défléchi. On appelle α l'angle qui epèe la diection du vent appaent pa appot à la oute du voilie que l'on définit pa α = ( u X, V 1 ). Enfin. on note ρ 0 la masse volumique de l ai. II-1) Étude cinématique de l'écoulement. a) Rappele les caactéistiques d un écoulement stationnaie et incompessible. Expime. en fonction des données du poblème. le débit volumique q V et le débit massique q M de l'ai pou l écoulement considéé. b) Monte que la vitesse de l écoulement est unifome et a même nome V dans le tube de couant incident et défléchi. c) Écie la elation ente Σ, suface de la section doite du tube de vent et S suface de la voile. II-2) Étude dnamique de l'écoulement a) En appliquant le théoème de la quantité de mouvement dans (R 0 ) à un sstème matéiel que 1 on penda soin de défini, expime la composante F X de la foce execée pa le vent su la voile, en fonction de ρ 0, S, V, α et θ. V 2 (Σ) θ (Σ) V 1 ( S ) θ O figue 3 α g plan de la voile x Spé page 2/5 Devoi n 3

3 Mette cette foce sous la fome F X = ρ 0 S V 2 f(α, θ). b) On cheche, pou chacune des outes du voilie, à optimise le églage de la voile, de façon à obteni la plus gande valeu possible de la foce populsive F X, compte tenu des valeus fixées de ρ 0, S et V. En étudiant la fonction f(α, θ), établi l'équation qui pemet de détemine la valeu optimale θ M de l'angle de églage θ, en fonction de α. c) Desse un tableau donnant, en coespondance. les valeus numéiques de θ M, α et f(α, θ M ). (On poua, au choix, fixe des valeus de α [0, π] puis détemine θ M et f(α, θ M ) ou bien fixe des valeus de θ M [0, π/2] puis détemine α et f(α, θ M ).) d) Tace. su papie millimété, le gaphe f(α, θ M ) en fonction de α. e) Calcule numéiquement la composante populsive F X obtenue pou une voile de suface S = 30 m 2 dans un vent appaent de vitesse V = 10 m.s -1 aivant exactement pa le taves du bateau, soit pou α = 90. On penda ρ 0 = 1,3 kg.m -3. II-3) On considèe que la coque et l'ensemble des supestuctues du voilie pésentent une ésistance à l avancement du bateau, appelée "fadage", équivalente à celle d'une voile plane de suface S 0 qui seait déploée pependiculaiement au vent elatif. a) Détemine. d'apès les ésultats pécédents. la composante F 0X de la foce coespondant au fadage. On metta cette foce sous la fome F 0X = ρ 0 S 0 V 2 f 0 (α). b) Tace. su le gaphique demandé à la question II-2-d, la fonction g(α) = S 0 /S f 0 (α). On penda, pou ce tacé, S 0 /S = 1/10. Monte, à pati des coubes epésentant f(α, θ M ) et g(α) que le bateau ne peut pas ête populsé selon et sous l'action du vent pou 0 α α 0. (En aison de la smétie évidente du poblème pa appot à Ox, on ne considéea que les valeus de α compises ente 0 et π). c) Détemine gaphiquement la valeu numéique de l'angle limite α 0. Quelle est la signification phsique de cette valeu? d) Dans la éalité, l angle α 0 est le plus souvent compis ente 30 et 40 ca les pefomances de la voile sont meilleues que celles pévues dans la question II-2. Comment peuton explique ce phénomène? Patie III PROPULSION PAR UNE HELICE En l absence de vent, le bateau utilise un moteu qui tansmet sa puissance à une hélice. On étudie ici le endement énegétique d un tel tpe de populsion. III-1) Une hélice est animée d un mouvement de otation unifome autou de l axe Ox, est plongée dans un fluide pafait, incompessible de masse volumique µ. L étude est faite dans un éféentiel galiléen R lié à l axe de l hélice ; dans ce éféentiel, l écoulement est stationnaie. On négligea l influence de la pesanteu. On considèe un tube de couant possédant la smétie de évolution autou de Ox et s appuant su les pales de l hélice. Ce tube de couant définit une suface femée, constituée de la suface latéale du tube S LAT et des sections doites amont et aval S 1 et S 2. La pession à l extéieu de ce tube de couant est unifome et égale à la pession ambiante p A. Su la suface S 1, la vitesse du fluide est unifome et égale à v 1 u X ; su S 2, elle est égale à v 2 u X. Au voisinage de l hélice, on considèe deux sections S et S d aies sensiblement égales S S : -su la suface S, la vitesse est v u X et la pession p. Spé page 3/5 Devoi n 3

4 -su la suface S, la vitesse est v u X et la pession p. Au voisinage poche de l hélice, ente S et S, l écoulement est petubé, et il existe une discontinuité de la pession de pat et d aute de l hélice. S 1 S S S 2 v 1 P v v v 2 x hélice figue 4 S lat Expime la pession p en fonction de p A, µ, v 1 et v. Donne une expession analogue pou p en fonction de de p A, µ, v 2 et v. III-2) On note F la ésultante des foces execées pa l hélice su le fluide. a). En effectuant un bilan de quantité de mouvement dans le volume compis ente S et S, expime F en fonction de S, µ, v 1 et v 2. b) En aisonnant cette fois dans le volume compis ente S 1 et S 2, obteni une deuxième expession de F en fonction de S, µ, v, v 1 et v 2. Déduie de ce qui pécède, une elation simple ente v, v 1 et v 2. c) En appliquant le théoème de l énegie cinétique à un volume de fluide bien choisi, détemine la puissance P founie pa l hélice au fluide. Donne le ésultat : d une pat en fonction du débit massique D M et des vitesses v 1 et v 2. d aute pat en fonction de la foce F. Étudie le signe de P et justifie l allue du tube de couant epésenté en début d énoncé. III-3) L hélice est celle d un navie. Celui-ci est animé, pa appot à la «tee» d un mouvement de tanslation ectiligne unifome de vitesse -U u X. Pa appot à la «tee», le fluide est immobile à gande distance en amont de l hélice, et possède la vitesse w u X assez loin en aval de l hélice. La foce - F subie pa l hélice de la pat du fluide fait avance le navie. Le éféentiel R est celui lié au navie, R 0 celui lié à la tee. a) En utilisant les ésultats des questions III-2-a ou III-2-b., expime F en fonction de D M, v et U. b) En déduie que la foce de poussée F et la puissance P sont liée pa la elation suivante : 2S µ P 2 2S µ FU P F 3 = 0. III-4) Dans la suite, la viscosité de l eau intevient uniquement pou détemine la foce de fottement agissant su le navie ; les ésultats pécédents estent utilisables. La foce de fottement R F s exeçant su le navie animé de la vitesse U, ou taînée de fottement, est donnée pa l expession : Spé page 4/5 Devoi n 3

5 R F = 1 2 C µ ΣU2 avec µ masse volumique de l eau, Σ la suface du navie mouillée pa l eau et C coefficient de taînée de fottement, dont la valeu dépend du nombe de Renolds R E. a) Quelle est la elation ente R F et F si le navie est en mouvement ectiligne et unifome dansr 0? b) Déduie des ésultats pécédents la elation suivante : P = C µ Σ C Σ S Quel est l effet su la vitesse d un doublement de la puissance? c) Expime le endement de populsion η, appot de la puissance utile P U = FU à la puissance totale P. On commentea l expession obtenue. d) Quelle seait la valeu de la foce de poussée F dans le cas d un endement de populsion égal à l unité? e) Expime la difféence P P U en fonction de µ, S et w. En déduie une intepétation phsique de cette difféence. f) Application numéique : Le navie est un tansbodeu de longueu L = 145 m, avec Σ = 1, m 2. On désie une vitesse U de 19 nœuds, soit 9,77 m.s -1. La populsion est assuée pa une hélice de diamète égal à 4,35 m. On pend pou l eau µ = 10 3 kg.m -3 et pou valeu de la viscosité η = 10-3 Pl. La coube suivante donne l évolution du coefficient C en fonction du logaithme décimale du nombe de Renolds. Pou l expession du nombe de Renolds, on penda L comme longueu caactéistique. F HG I KJ U 3 figue 5 Calcule la valeu du nombe de Renolds, la valeu de la taînée de fottement R F, la puissance totale founie pa l hélice, la puissance utile P U et le endement η. Spé page 5/5 Devoi n 3