SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D UN AXE FIXE

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1 SLIDE EN TTIN UTU D UN XE FIXE I PPELS DE DÉFINITIN PU UN PINT TÉIEL Ioment cinétique en Soit un oint queconque qui n est as nécessaiement fie Le moment cinétique en du oint est : σ = ^ mv Unités : gm s - b) Fomue du changement de oint σ = ' ^ mv = ' + ^mv, d où σ = σ + ' ^ ' ' I oment cinétique a aot à un ae oienté Soit un ae oienté L oientation de ae est donnée a e vecteu unitaie u Soit un oint queconque de ae u Le moment cinétique de a aot à ae est : σ σ u = n véifie que cette définition est indéendante du oint su ae : σ u = ' ( σ + ' ^ ) u = σ u + 0 ' ^ u b) Cas aticuie des coodonnées cyindiques n choisit ae te que u = u = u + u et v = u + u + u m n a donc : σ = ^mv = 0 ^ m =, soit σ = σ = m m m ca I oment en d une foce Soit un oint queconque qui n est as nécessaiement fie Le moment en de a foce f aiquée en est : Γ = ^ f Unités : Nm Γ = ' ^ f = ' + ^ f =Γ + ' ^ f ' Fomue du changement de oint : Γ =Γ + ' ^ f ' I4 oment d une foce a aot à un ae oienté u Soit un ae oienté L oientation de ae est donnée a e vecteu unitaie u Soit un oint queconque de ae Le moment de a foce a aot à un ae oienté est : u Γ =Γ n véifie que cette définition est indéendante du oint su ae : Γ u = ' ( Γ + ' ^ f ) u =Γ u + 0 ca ' ^ f u b) Cas aticuie des coodonnées cyindiques n choisit ae te que u = u = u + u et F = Fu + F u + Fu Soide en otation autou d un ae fie (-0) Page su 5 N Beuy

2 F n a donc : Γ = ^F = 0 ^ F = F F, soit Γ =Γ = F Les comosantes adiae F et aiae F ne contibuent as au moment a aot à ae Γ est donc e oduit de a comosante othoadiae mutiiée a a distance (ou ongueu du bas de evie) C est évisibe ca F est sans effet su e otation d une ote, a otation de cee-ci c) Cas aticuie d une foce eendicuaie à ae Γ = ^ f La nome du moment de a foce vaut : Γ = ^ f = f sinα n définit H e ojeté othogona de su a doite (, f ) H n a aos : sinα =, d où Γ = H f = foce ongueu du bas de evie (distance H) F tend à soueve cee-ci et F u tend à ovoque Comment détemine e signe + ou ou Γ? n eut aique a ège de a main doite : es 4 doigts de a main sont dans a diection de, a aume de a main est dans a diection de f Le ouce donne a diection de Γ Si Γ et u sont dans e même sens, i faut mette un signe +, sinon i faut mette un signe Su e schéma Γ = + H f = foce ongueu du bas de evie (distance H) α f α H II ENT CINÉTIQUE D UN SLIDE EN TTIN UTU D UN XE FIXE P PPT À CELUI-CI Soit un ae oienté n utiise es coodonnées cyindiques avec u = u II oment cinétique a aot à un ae ou un système de oints matéies n a vu dans e aagahe écédent que ou un oint matéie : σ = σ = m Pou un système de oints matéies, e moment cinétique du système a aot à ae vaut : u σ = m i II oment d inetie d un soide a aot à un ae n considèe e cas aticuie d un soide en otation autou de ae Les distances mutuees des difféents ééments estent constantes au cous du tems La vitesse anguaie est a même ou tous es oints matéies n a i donc = = = = = = ω n note ω a vitesse anguaie commune à tous es oints matéies i n a donc : σ = m ω = m ω du moment d inetie n définit e moment d inetie du soide a aot à ae : Le moment cinétique du soide en otation vaut donc : σ = ω = m Unités du moment d inetie : gm Le moment d inetie ne déend que de a fome de soide et de a éatition de masse à intéieu de son voume Le moment d inetie est d autant us gand que e soide est us massif et que a masse y est distibuée à gande distance de ae de otation La eation = m définit e moment d inetie ou un système discet de oints matéies Soide en otation autou d un ae fie (-0) Page su 5 N Beuy

3 b) oment d inetie ou un système continu de oints matéies n considèe une distibution voumique de masse Soit un voume dτ I contient une masse qui est à a même distance de ae Le moment d inetie de ce voume dτ vaut : Pou cacue e moment d inetie du voume entie, i faut donc faie a somme de toutes es contibutions Pou une distibution voumique, on écit une intégae tie, soit Pou une distibution sufacique, = S = Pou une distibution inéïque, = Les cacus de moment d inetie ne sont as au ogamme n va juste cacue tois moments d inetie Dans es eecices, on donne eession ittéae du moment d inetie si nécessaie ou sa vaeu numéique V c) oment d inetie d une ciconféence a aot à son ae n considèe une ciconféence homogène (ou cece) de ayon et de masse = = = = d) oment d inetie d un cyinde homogène de évoution a aot à son ae n considèe un cyinde homogène de ayon et de hauteu h n utiise es coodonnées cyindiques ou décie e cyinde La masse voumique est µ = dτ = µ dτ = µ d d d La masse d un etit voume dτ est Le moment d inetie du cyinde est : V π h 4 4 π = = µ d d d = µ d d d µ π h µ h = = 4 V = 0 = 0 = 0 La masse totae vaut : = µπ h, d où = Le coefficient ½ taduit e fait que es masses sont toutes situées à une distance de ae inféieue à Le cyinde a même moment d inetie qu une ciconféence de ayon aeé ayon de giation du soide e) oment d inetie d une bae homogène fiifome a aot à sa médiatice n définit a masse inéïque λ a λ = d = = λd = λ = 0 La masse totae vaut = λ, d où = Soide en otation autou d un ae fie (-0) Page su 5 N Beuy

4 III THÉÈES DU ENT CINÉTIQUE III Théoème du moment cinétique en ojection su un ae fie Soit un ae oienté fie dans un éféentie gaiéen Théoème du moment cinétique en ojection su : d III Théoème du moment cinétique ou un soide en otation autou d un ae fie Pou un soide en otation, on a vu que : σ = ω Le moment d inetie est constant n eut donc e soti de a déivée Soit un ae oienté fie dans un éféentie gaiéen Théoème du moment cinétique ou soide en otation autou d un ae : =Γ ttention à oientation : Si augmente, en aiquant a ège de a main doite, e ouce doit ête diigé dans e sens de u sinon i faut écie =Γ!!! σ = Γ IV ÉNEGIE CINÉTIQUE ET PUISSNCE DES FCES PU UN SLIDE IV Énegie cinétique d un soide en otation autou d un ae fie La vitesse d un oint matéie i vaut : v = ωu L énegie cinétique du oint i vaut : E = mv = m ω i ci L énegie cinétique du soide vaut : E = c E = ci m ω = ω L énegie cinétique d un soide en otation vaut : Ec = ω IV Puissance des foces aiquées à un soide en otation autou d un ae fie P = F v = F u + F u + Fu ωu = F ω =Γω Pou un oint matéie, a uissance de a foce vaut : en notant i i i La uissance des foces aiquées à un soide en otation vaut donc : P Γ a somme des moments des foces aiquées au soide a aot à ae V GNDEUS ET ELTINS HGUES ELTIVES UX VIBLES LINÉIES ET NGULIES n va donne une anaogie fomee ente une soide en otation autou d un ae et un oint matéie de masse m de mouvement ectiigne suivant ae ; v = ω = ; = m ; = mv σ = ω ; E = mv E = ω c c dv F Γ ; m = F =Γ ; P = Fv P =Γ ω dv n etient anaogie avec m = F =Γ Les autes eations s en déduisent immédiatement Eeme ou un essot de foce de ae et un essot inéaie de tosion qui todu d un ange eece un moment de ae Γ = C avec C = constante de tosion C ; F = Γ = C ; E = E = C =Γ ω Soide en otation autou d un ae fie (-0) Page 4 su 5 N Beuy

5 VI LE PENDULE PESNT VI odéisation Système = Soide de masse et de moment d inetie suosé connu Le cente d inetie G du soide est à a distance a de ae de otation = i,, j, teeste gaiéen n eèe a osition du éféentie y soide a ange n véifie avec a ège de a main doite que si augmente, e ouce est bien diigé suivant u = u Bian des foces : Les foces de esanteu sont équivaentes ou un soide à une foce unique aiquée en G égae à P = gu n suose qu on a une iaison ivot afaite Une iaison ivot autoise uniquement un mouvement de otation autou d un ae fie Si cette iaison est afaite, e moment est nu a aot à P iaison =Γ iaison ω = 0 ae : H a G P u u VI Étude dynamique Le moment de action de iaison est nu Le moment du oids eut se cacue avec e oduit foce ongueu du bas de evie = mg HG = mga sin I este à détemine s i faut mette un signe + ou signe Si sin > 0, e oids a tendance à faie toune dans e I faut sens des aiguies d une monte En aiquant a ège de a main doite, e ouce est diigé suivant ( u ) donc mette un signe, soit Γ ( oids) = mga sin Théoème du moment cinétique a aot à ae : =Γ = mgasin, d où équation difféentiee : mga + sin = 0 Si, on a équation d un osciateu hamonique : + ω = 0 avec ω 0 0 mga = VI Étude énegétique Le moment de action de iaison est nu L action de contact est donc consevative Le oids déive d une énegie otentiee : E = mg ttention au signe ca ae est diigé ves e bas G n a donc E = mg = mgacos G Le système est consevatif : énegie mécanique se conseve, soit E = E + E = mgacos cte m c = n obtient équation difféentiee du mouvement en déivant énegie mécanique a aot au tems de m = 0= + mga sin En simifiant a qui est une soution aasite, on etouve équation difféentiee écédente : mga + sin = 0 Soide en otation autou d un ae fie (-0) Page 5 su 5 N Beuy