Les nombres. C est quand on simplifie au maximum une fraction : elle est dite irréductible car on ne peut plus la simplifier plus.

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1 Les nomres Notes Première lecture 2016 Nomres rtionnels Nomre rtionnel : c est un nomre exprimé pr un rpport de proportion entre deux nomres entiers. Il peut être écrit sous forme de frction. étnt le numérteur et le dénominteur ( 0). C est l solution d une éqution : x x. Il est le quotient de /. Frctions égles Il existe une infinité de frctions égles à une frction donnée. De même, un nomre rtionnel peut être représenté pr une infinité de frctions égles. Pour reconnître si deux frctions même lors les frctions sont égles. et c d sont égles, fire un produit en croix : x d et x c. si le résultt est le c d si x d x c Pour trouver une frction égle à une frction. Multiplier ou diviser le numérteur et le dénominteur pr un même nomre entier reltif >0. Exemple : x 3 36 x 3 45 ou encore x x et x x Frctions irréductiles C est qund on simplifie u mximum une frction : elle est dite irréductile cr on ne peut plus l simplifier plus. Pour simplifier une frction, il fut trouver le PGCD de et de et les décomposer en produit de fcteurs premiers. Ensuite, on supprime les doulons de et. Frctions inverses Deux nomres sont dits inverses si leur produit 1. x x x 1 Pour trouver l inverse d une frction, il fut remplcer son numérteur et son dénominteur pr leur inverse. Exemple : l inverse de 3 5 est n ps d inverse. 1

2 Comprer des frctions Si les dénominteurs sont égux : 7 20 et > 20 donc > Si les numérteurs sont égux, l frction l plus grnde est celle qui le plus petit dénominteur. Si les numérteurs et dénominteurs sont différents. Exemple vec 17 - On réduit les deux frctions u même dénominteur : 17 x On réduit les deux frctions en frctions égles : x On réduit les deux frctions à leur vleur décimle : 17 Intercler une frction entre deux frctions Clcul de l demi-somme : 88 et 1 x x et 18 et 54 donc on peut intercler insi : < 175 < Multiplier les frctions pour en intercler une utre 0 88 et donc on peut intercler pr exemple, Trouver des frctions décimles ,935 et 0, 946, donc on peut intercler 0,939 soit Trouver l prtie entière d une frction L prtie entière est le plus grnd nomre entier inférieur à l frction. 17 donc > 18 x et x donc > ,63 et 0, 61 donc > Avec une frction positive 178 Poser une division euclidienne. Le quotient otenu est l prtie entière, le reste otenu devient le numérteur de l frction complémentire de l prtie entière Avec une frction négtive 178 Même méthode que pour l frction positive mis ttention, l prtie entière est rrondie u nomre entier inférieur, soit -12. Nomres décimux C est un nomre rtionnel qui peut être écrit vec une virgule et un nomre fini de chiffres près l virgule. Exemple : 12,23. Il peut s écrire sous forme de frction décimle. Exemple : 0,6 6, Il est l somme de s prtie entière et de s prtie décimle. Exemple : 12 est l prtie entière de 12,23 et 0,23 est s prtie décimle. L prtie entière de -12,23 est -13 et s prtie décimle est 0,67. 2

3 L prtie décimle d un nomre est toujours inférieure à 1. Un nomre déciml peut ussi s écrire comme le produit d un nomre entier reltif et d une puissnce de 10. Exemple ; 12, x n 1 10n 0, n 10 x 10 x 10 x n chiffres n fois n 0 Frction de nomres décimux Une frction représente un nomre déciml si s forme irréductile un dénominteur ne comportnt que des puissnces de 2 et de 5. Exemple : q. est un nomre entier reltif. p et q sont des nomres nturels. 2 p x 5 Pour reconnître si une frction représente un nomre déciml, il fut décomposer les nomres en produits de fcteurs premiers fin de chercher l frction irréductile égle à l frction donnée. Si le dénominteur finl ne comporte que des puissnces de 2 et de 5, lors le nomre est déciml. Exemple : et x x 52 x x 53 x 31 x x x x 5 2 x x x 5 3 x 3 1 x x 5 1 x 7 1 n en est ps un. Donc : est un nomre déciml lors que Ecriture et vleurs d un nomre déciml L vleur d un chiffre d un nomre déciml est déterminée pr s position pr rpport à l virgule. L vleur des chiffres de l prtie entière est liée ux puissnces positives successives de 10 : 10 0, 10 1, 10 2 L vleur des chiffres à droite de l virgule est liée ux puissnces négtives successives de 10 : 10-1, 10-2 Exemple : 205,502 2 x x x 10-3 Cette décomposition peut être trouvée grâce u tleu de numértion. Comprer deux nomres décimux , , Pour les nomres décimux positifs : trouver le rng de plus grnde vleur pour les nomres, comprer les chiffres de ce rng, le plus grnd est celui qui le chiffre le plus élevé. Fire le même trvil pour le rng inférieur. Pour les nomres décimux négtifs : le plus grnd nomre déciml est celui le plus proche de 0. Intercler des décimux entre des décimux On peut intercler une infinité de nomre décimux entre deux décimux. Pr conséquence, on peut intercler une infinité de nomres décimux entre deux nomres rtionnels ( frctions). 3

4 Nomres réels R C est l ensemle des nomres. Il existe plusieurs ensemles : - : nomres nturels - : nomres entiers - : nomres décimux - : nomres rtionnels - R : nomres réels Un nomre peut pprtenir à plusieurs ensemles. Propriétés des nomres réels Ordre et opposé : deux nomres sont opposés si leur somme égle 0. Exemple : 6 et -6. Le pssge ux opposés chnge le sens de l inéglité. Exemple : -6<4, 6>-4 Ordre et inverse : deux nomres sont inverses si leur produit égle 1. Exemple : x x x 1 Le pssge ux inverses pour des nomres de même signe chnge le sens de l inéglité : 6 < > 1 8 Ordre et ddition : en joutnt un même nomre réel ux deux memres d une inéglité, on otient une nouvelle inéglité de même sens que l première. Exemple : 1<2, 1+3 < 2+3 Si deux inéglités sont de même sens, l ddition memre à memre donne une nouvelle inéglité de même sens. Exemple : 1<2, 3<4 1+3 < 2+4 Ordre et multipliction : si on multiplie les deux memres d une inéglité pr un même nomre réel positif, on otient une nouvelle inéglité de même sens que l première. Exemple : 1<2, 1x3 < 2x3 Si on multiplie les deux memres d une inéglité pr un même nomre réel négtif, on otient une inéglité de sens contrire à l première. 1<2, 1x-3 > 2x-3 Ecriture décimle Les nomres entiers s écrivent sns virgule. Ils peuvent être nturels (ex : 25) ou non (ex : -36). Les nomres décimux s écrivent vec une virgule et un nomre limité de chiffres près l virgule (ex : 12,23). Un nomre rtionnel non déciml s écrit vec un nomre illimité de chiffres comportnt une suite périodique. Il peut être écrit sous forme de frction. Un nomre irrtionnel ne peut ps s écrire sous forme frctionnire puisqu il comporte une suite non périodique. Pour trouver l écriture décimle, on pose une division euclidienne ; si les restes sont successifs et périodiques, le nomre est non déciml et rtionnel. Si le reste est 0, l division s rrête et le nomre est déciml. Pour écrire sous forme frctionnire un nomre rtionnel déciml comportnt une suite périodique (ex :,032) 1) Appeler x le nomre donné : x, ) Multiplier x pr une puissnce de 10 pour otenir un nomre dont l prtie entière engloe l première pprition de l période. 1000x 032,3232 3) Multiplier x pr une puissnce de 10 pour otenir un nomre dont l prtie entière ne comporte ps l période et dont l prtie décimle commence pr cette période : 10x 0,3232 4) Soustrire le 2 e nomre u 1 er (utiliser les nomres entiers cr les prties près l virgule sont les mêmes). 1000x 10x x ) Résoudre l éqution et simplifier l frction otenue. X Donc,

5 Nottion scientifique L nottion scientifique est une ide pour écrire les nomres comportnt un grnd nomre de chiffres. Il s git d écrire le nomre sous s forme décimle, tel que s prtie entière soit >1 et que le nomre soit rmené à une puissnce de 10. Exemple : ,058 x 10 3 / 0, ,78 x 10-3 / 0,17 x ,7 x 10 2 Approximtion décimle d un nomre réel Un nomre réel qui n est ps déciml ne peut ps s écrire exctement cr son écriture est illimitée. On trville donc vec une pproximtion décimle de ce nomre. Vleur pprochée Exemple : , Vleur pprochée pr défut à 1/10 e près : 3,1 Vleur pprochée pr excès à 1/10 e près : 3,2 Vleur pprochée pr défut à 1/1000 e près : 3,142 Vleur pprochée pr excès à 1/1000 e près : 3,143 Arrondi L rrondi à l unité est 3 L rrondit u dix-millième est 3,1429 Troncture L troncture à l unité est 3 L troncture u dix-millième est 3,1428 5