8. Limites et continuité

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1 8. Limites et continuité Dns ce chpitre, nous introduisons une notion fondmentle en nlyse : l notion de limite. Mlheureusement, comme souvent en mthémtiques, si l intuition sur ce sujet peut sembler ssez clire (on regrde le comportement des vleurs de l fonction qund on s pproche d un point ), l définition excte peut prître ssez technique. Nous llons détiller l notion de limite des vleurs d une fonction f en un point R, dns le cs où elle est finie ou infinie, insi que l limite des vleurs d une fonction en + et en. Nous verrons lors quelques théorèmes de clculs de limites et comment ces théorèmes s ppliquent dns des cs reltivement simples. Les limites nous serviront dns les modules suivnts puisqu elles sont nécessires pour introduire l notion de dérivée. Elles sont églement nécessires pour le clcul intégrl (peut-être sous une utre forme). Il est bien sûr importnt de pouvoir clculer quelques limites à l ide des théorèmes de clcul que nous llons mettre u point, mis il est églement importnt de bien comprendre les définitions. Cette notion à mis des siècles à être mise u point, depuis les prdoxes de Zénon à l définition générlement ttribuée à Krl Weierstrss, en pssnt pr le clcul infinitésiml de Newton et Leibniz. Il n est donc ps étonnnt que plusieurs définitions coexistent, et que l bonne définition puisse vous prître étonnnte. Je vous psse évidemment l historique des tenttives infructueuses. Il est églement possible de donner l définition des limites dns plus de cs distincts, et d être plus précis sur les résultts, mis je crois que cel dépsse le but de ce cours préprtoire, qui se foclise sur les notions les plus utiles pour l médecine. Je vous fis donc grâce de ces détils. L notion de continuité permet de simplifier le clcul de certines limites et est nécessire pour obtenir des théorèmes fondmentux, notmment en clcul intégrl. AVERTISSEMENT I : L notion de limite dmet plusieurs définitions légèrement différentes. Il se peut donc que celle utilisée ici ne soit ps exctement celle qui se trouve dns vos cours. Les théories qui en résultent diffèrent légèrement : une hypothèse pr ci pr là est un peu modifiée, mis le pssge d une définition à l utre ne pose ps de problème importnt, et vous ne rencontrerez ps dns vos cours de sciences de situtions où ces différences de définitions cuseront des différences dns les résultts. Cependnt les théorèmes exposés ici ne seront peut-être ps identiques à ceux qui se trouvent dns vos cours. AVERTISSEMENT II : J i comme d hbitude donné un certin nombre de preuves. Elles sont là pour montrer comment les notions introduites peuvent s rticuler. Ce chpitre est églement ssez long. Il fllit une introduction ssez longue pour expliquer les définitions, et je ne pouvis en effet fire l impsse sur ucun théorème de clcul, pour ceux d entre vous qui ne les urient ps vus en clsse. j i ussi formlisé pr des théorèmes des prtiques courntes dns le clcul des limites (les théorèmes sur l loclité et le prolongement pr exemple) et j i essyé de donner ps ml d exemples. Il est possible églement que ce chpitre contienne plus d informtions que celles nécessires dns vos futures études. Si vous fites un peu de sport, vous svez certinement que l entrînement doit être plus difficile que l compétition... Les limites : une introduction Je fis une introduction bsée sur des exemples concrets, qui mènent de mnière ssez nturelle les définitions des limites. Cette introduction est bsée sur l erreur de mesure indissocible de tout ppreil de mesure. Quel que soit l ppreil utilisé dns une expérience scientifique, ussi sophistiqué et coûteux soitil, il n est précis que jusqu à un certin point, et il ne peut ps tout mesurer. Il déclre lors comme égles des quntités qui sont en fit différentes. Nous llons voir comment introduire cette idée en mthémtiques pour en déduire l notion de limite.. On peut citer ussi Bolzno et Cuchy, mis je ne fis ps un cours d histoire et je résume en disnt que l définition environ 200 ns.

2 Les limites : une introduction. Les mrges d erreur des instruments de mesure Une fois n est ps coutume, je vous invite à fire des expériences prtiques. Il doit y voir dns votre mison une blnce de cuisine, comme celle de guche ci-dessous, électronique ou mécnique, qui devrit vous permettre de peser de l frine ou du sucre pr exemple b. Il y peut-être églement un pèse personne, comme l troisième blnce ci-dessous. Il n y probblement ps de blnce de phrmcie, comme l deuxième, ni de blnce pour les chevux comme l qutrième (qui n est bien sûr ps à l même échelle que les utres), mis pour les besoins de l expérience (de pensée), disons qu on en dispose c. M blnce de cuisine indique les msses de 5 grmmes en 5 grmmes. En fit, tnt que l quntité de frine dns l blnce se situe entre 97,5 et 202,5 grmmes, l blnce indique 200 g. Elle une mrge d erreur (ou de précision) de 2,5 grmmes. Je noteri pour cette blnce ε = 2, 5 g (ε est epsilon, l nlogue grec du e de erreur). Elle ussi une cpcité limitée : elle ne peut ps peser plus de 2000g. Je note C = 2000 g. L blnce de phrmcien à côté est plus précise. Elle une mrge d erreur ε = 0, 000 g et une cpcité C = 300g. Le pèse personne une cpcité de 20 kg et une mrge d erreur ε = 00 g, tndis que l blnce pour chevux à une cpcité C = 500 kg et une mrge d erreur ε = 5 kg. Si je pèse m frine vec m blnce de cuisine et si je veux obtenir 00 grmmes, dns un grphique de l quntité de frine en fonction du temps, j uri l configurtion suivnte : 00 + ε ε 00 + ε 00 ε temps (s) En bleu, j i représenté les mrges de précision de m blnce de cuisine : elle indique 00 grmmes dès que l vrie msse est entre les lignes bleues. Je peux donc m rrêter de verser près six secondes, puisque l blnce indique 00. En rouge, les mrges d erreur de l blnce de phrmcien. Elles ne sont ps à l échelle, sinon on n urit vu qu un seul trit. A six secondes, l blnce de phrmcien n indique ps 00. Il fut ttendre 0 secondes (si je me concentre en versnt), pour qu elle indique Des limites dns m cuisine Supposons que je veuille mesurer 200 grmmes de sucre. Je commence à verser vec précution. Mis comme d hbitude qund je cuisine, cel ne mrche ps comme je veux : voici l représenttion grphique de l quntité de sucre en fonction du temps que j obtiens. Sucre temps b. En vue de fire un gâteu rectngulire, pour étudier les frctions. c. En mthémtiques, on peut toujours supposer qu on tout à disposition. Il suffit de fire preuve d imgintion. P. Mthonet, Université de Liège (ULg), Fculté des Sciences, Déprtement de Mthémtique 2

3 Les limites : une introduction L interpréttion de ce grphique est l suivnte : j i commencé à verser vec un débit constnt, pendnt 5 secondes. Puis, comme cel m rrive fréquemment, une trop grosse quntité de sucre en poudre est tombée d un coup. J i mis deux secondes à trouver une cuiller, et j i enlevé une bonne cuiller à soupe de sucre. Puis j i recommencé à verser jusqu à tteindre 200g. J i même continué un peu qund l blnce indiqué 200g, cr je svis qu en fit, j étis plus près de Je n i plus versé à vitesse constnte, pour éviter de revivre le même problème, j i plutôt versé pour que l quntité de sucre en fonction du temps soit donnée pr l fonction f : R R : t t On voit sur le grphique (et on peut le démontrer) qu à prtir de secondes environ, m blnce indiqué 200g, et qu elle continuer indéfiniment à indiquer 200g. Je peux donc conclure triomphlement, que si on me lisse suffismment de temps, l blnce finit pr indiquer 200g. Je note lors lim S(t) = 200. t + Evidemment, mon voisin Roul rrive vec s blnce de cuisine. Il cheté une blnce de phrmcien d. Il me dit donc que ce n est ps juste, puisque vec s blnce, près secondes, on n ps 200 grmmes. C est norml, puisque s blnce est plus précise : elle n indique 200 que qund l mesure réelle est dns l bnde déterminée pr les lignes rouges du grphique ci-dessous : Sucre temps Il fut donc que je verse plus longtemps, puisque s blnce à une mrge d erreur de 0,0g (il s est fit voir en l chetnt). On recommence donc toute l expérience vec s blnce. On utilise l même fonction, et cel nous prend environ une minute 40 (une centine de secondes), pour rriver à ce que s blnce indique 200 grmmes. Nous rrivons à l conclusion que si son frère rrive vec s blnce plus précise, cel nous prendr peut-être plus longtemps, mis à prtir d un moment donné, elle indiquer 200 grmmes. Ce ser le cs vec n importe quelle blnce. Nous pouvons lors donner l définition de l limite en question, pour l quntité de sucre : on lim t + S(t) = 200 si, et seulement si, Quelle que soit l précision de l blnce utilisée, à prtir d un certin moment, l blnce indique toujours 200. On peut trduire cette définition vec des symboles mthémtiques : ε > 0, M R : t > M S(t) ]200 ε, ε[. On reconnît l mrge d erreur ε, le nombre M indique un moment (qui dépend de ε, comme nous l vons vu) et l condition S(t) ]200 ε, ε[ dit que l blnce indique 200 grmmes. d. Mon voisin Roul ne fit rien comme tout le monde : c est un imbécile. Il prît que c est le beu-frère d un humoriste bien de chez nous. P. Mthonet, Université de Liège (ULg), Fculté des Sciences, Déprtement de Mthémtique 3

4 Les limites : une introduction.3 Des limites dns le lbo de physique I On peut considérer en physique un gz contenu dns un piston pr exemple, dont on peur fire vrier le volume. On peut mesurer l pression du gz, s tempérture, s quntité, en nombre de môles. Toutes ces mesures sont liées pr une reltion, ou une loi physique (si on se plce dns les hypothèses déqutes, celle des gz prfits). On l loi (des gz prfits) : p v = n R T. Ici, p représente l pression, v le volume, n le nombre de môles, T l tempérture et R l constnte universelle des gz prfits. Supposons que l on puisse fixer l tempérture, et le nombres de môles. On peut lors considérer l pression en fonction du volume, qui peut être rbitrirement grnd. On obtient l fonction p : [0, + [ R : v p(v) = A v, où A est une constnte strictement positive (on A = n 0 RT 0, où n 0 est le nombre de môles fixé et T 0 l tempérture fixée). On est dns l même sitution que dns m cuisine : quel que soit le mnomètre utilisé, il ussi une cpcité fixée : il ne peut mesurer que des pressions inférieures à C, et il une mrge d erreur ε. L pression n est en rélité jmis nulle, si A > 0, mis quel que soit l instrument de mesure, à prtir d un certin volume, il indique 0. On peut le voir sur le grphique : Pression (v, p(v)) A ε ε v 0 Volume On donc ici ussi lim p(v) = 0. Cel s exprime pr l condition : v + ε > 0, v 0 R : v > v 0 p(v) ] ε, ε[. () On reconnît ici tous les ingrédients : l mrge d erreur de l instrument ε, le moment v 0 à prtir duquel l vrie mesure est dns l intervlle ] ε, ε[, ce qui équivut u fit que l instrument de mesure indique 0 et le symbole, qui indique que l conclusion doit être vrie pour tout ppreil. Dns ce cs ssez simple, on peut même vérifier l condition () de mnière précise. Etnt donné ε, on peut exprimer l condition p(v) ] ε, ε[ : On, puisque p(v) est un nombre positif pour tout v [0, + [ : A p(v) ] ε, ε[ ssi p(v) < ε ssi v < ε ssi v > A ε. L dernière équivlence vient du fit que v et ε sont strictement positifs. On constte que pour tout ε, pour v > v 0 = A ε, on p(v) ] ε, ε[..4 Des limites dns le lbo de physique II Considérons l sitution physique suivnte, où on représenté (de profil), un tube cylindrique de longueur dont l bse une surfce unitire. On toujours un gz (supposé prfit), et on fixe toujours l tempérture et le nombre de môles, de sorte que l pression et le volume sont toujours liées pr l même reltion. Au lieu de tirer le piston pour ugmenter le volume, on le pousse, pour fire diminuer le volume. P. Mthonet, Université de Liège (ULg), Fculté des Sciences, Déprtement de Mthémtique 4

5 Les limites : une introduction 0 On indique l position du piston à l ide d une grdution sur le cylindre. Le volume et l pression s expriment donc tous les deux en fonction de l position du piston, repéré pr un nombre x. Si on le pousse un peu, on obtient l sitution suivnte : 0 x On peut nturellement se poser l question du comportement de l pression qund x v tendre vers. Il n est ps difficile d exprimer l pression en fonction de x : puisque l bse est de surfce unitire (égle à dns les unités déqutes), le volume du gz emprisonné dns le piston est x (puisque le piston est un cylindre). L pression peut donc être clculée pr l fonction : p : [0, [ R : x A x, où A est une constnte strictement positive. Cette fonction n est définie que sur [0, [ et ps pour des vleurs de x plus grndes que, puisque cel ne correspond ps à l sitution physique en question. Cel ne nous empêcher ps de définir et de clculer l limite. On peut représenter cette fonction : Pression A x On constte que l pression devient extrêmement grnde si on s pproche de. En fit, on peut exprimer cel très fcilement en utilisnt l utre limittion de l instrument de mesure que l on utilise : nous vons utilisé qu il y une limittion ε à s précision. Mis nous svons ussi qu il ne peut mesurer que des pressions inférieures à une certine cpcité C. Au delà de C, on peut convenir qu il n indique plus rien, ou qu il indique u secours ou qu il indique +. On constte sur le grphique le phénomène suivnt (mis on peut ssi le démontrer comme plus hut) : Quelle que soit l cpcité C de l ppreil de mesure, lors cette cpcité est dépssée (il mrque lors + ), pour tous les points x suffismment proches de. On note lim p(x) = +. L condition x est suffismment proche de s exprime pr x ] δ, + δ[ où δ est un nombre strictement positif (δ est l nlogue grec de d et indique une distnce). P. Mthonet, Université de Liège (ULg), Fculté des Sciences, Déprtement de Mthémtique 5

6 Les limites : une introduction Pression C A δ + δ x Vous pouvez choisir une cpcité plus grnde que celle que j i indiquée et trouver le δ correspondnt. Remrque.. Les points x situés à droite de sur le grphique ne jouent ucun rôle, puisque l pression ne peut ps y être clculée : l condition dns l définition de l limite ne s pplique qu ux points du domine de définition de l fonction que l on considère. En tennt compte de cette remrque, on peut trduire en termes formels l condition qui définit l limite précédente : C R, δ > 0 : (x ] δ, + δ[ et x dom p ) p(x) > C. Terminons cette sous-section pr une remrque sur les nottions : on v beucoup utiliser des conditions du type x ] δ, + δ[. Nous vons vu dns le chpitre sur les nombres que cel s exprime ussi en termes de distnces. Cel veut dire que l distnce de x à est strictement inférieure à δ. On donc une expression en termes de vleurs bsolue et on.5 Une fonction bien connue x ] δ, + δ[ ssi x < δ. Pour ce dernier exemple, je reste en mthémtique et je considère une fonction qui nous déjà servi dns le module précédent pour définir les frctions rtionnelles : l fonction inversion i : R R : x x. Je rppelle qu elle est définie sur R \ {0} et que représenttion grphique est donnée pr On vient de clculer l limite de cette fonction en +. Vous pouvez vous demnder quelle serit l limite en, et comment définir cel. Il suffit de dire que quel que soit l instrument de mesure et s mrge d erreur ε, qund x est suffismment petit, l instrument indique 0. On donc lim x i(x) = 0. Pssons mintennt u comportement de cette fonction qund x tend vers 0. Pour les points x > 0, on connît son comportement : il été étudié dns le cs de l pression (section.4). Pour les nombres x < 0, on peut imginer que l ppreil de mesure est ussi limité, dns les nombres négtifs. Pour simplifier, supposons qu il soit limité de l même mnière dns les nombres négtifs, à svoir qu il n indique P. Mthonet, Université de Liège (ULg), Fculté des Sciences, Déprtement de Mthémtique 6

7 2 Les limites : définitions plus rien qund l vleur réelle est inférieure à C. On constte lors que, quel que soit l ppreil utilisé, pour tous les points suffismment proches de 0, l ppreil de mesure n indique plus rien, soit prce que i(x) est supérieur à C, soit prce que i(x) est inférieur à C. Cette lterntive peut être résumée pr l condition unique i(x) > C. On note lors lim x 0 i(x) = et l définition est C R, δ > 0 : (x ]0 δ, 0 + δ[ et x dom i ) i(x) > C. Je vous lisse fixer C sur l représenttion grphique ci-dessus et déterminer δ en conséquence. 2 Les limites : définitions Nous vons vu dns les exemples des limites finies (l limite est un nombre) en +, et une limite infinie en un nombre (L). On peut mintennt pr nlogie donner toutes les définitions des limites en et des limites finies en un nombre. Pour les comprendre fcilement, il fut penser en termes de mrges d erreur ou de cpcité pour l mesure de l fonction, et en termes de vleurs suffismment grndes ou suffismment proches d un nombre donné. Remrque 2.. Il fut églement que l question de l limite it un sens. En mthémtique, on est forcé de se poser l question. En sciences, le crctère concret de ce que vous clculez devrit vous éprgner ce genre de détil. Pr exemple, si on se demnde que peut vloir lim x + 4 x2, cette question n ps de sens. Cel se voit sur l représenttion grphique de l fonction en question : L fonction n étnt définie que sur [ 2, 2], l question de l limite en + n ps de sens, ps plus que l définition de l limite en, ou que l définition de l limite en 3. Pour définir et clculer l limite en un point, comme nous l vons vu, il n est ps nécessire que ce point pprtienne u domine de l fonction dont on clcule l limite. Mis il fut qu il colle (dhère) u domine, on dit que ce point doit être dhérent u domine de l fonction. Voici une définition précise. Définition 2.2. Soit A un sous-ensemble de R. On dit que R est dhérent à A si pour tout δ > 0 A ] δ, + δ[ n est ps vide. On dit que + est dhérent à A si pour tout C R, A ]C, + [ n est ps vide. On dit que est dhérent à A si pour tout C R, A ], C[ n est ps vide. Je donne mintennt les définitions les plus importntes et je vous lisse les utres pour les exercices. On procède pr nlogie pr rpport ux situtions que nous vons déjà rencontrées. 2. Limites finies en l infini Soit f : R R une fonction et l un nombre réel. On clcule l limite de f en + (resp. ) si + (resp. ) est dhérent à dom f.. On lim f(x) = l si x + ε > 0, M R : (x dom f et x > M) f(x) l < ε. On dit lors que f dmet une limite finie (égle à l) en On lim f(x) = l si x ε > 0, M R : (x dom f et x < M) f(x) l < ε. On dit lors que f dmet une limite finie (égle à l) en. P. Mthonet, Université de Liège (ULg), Fculté des Sciences, Déprtement de Mthémtique 7

8 2 Les limites : définitions 2.2 Limites infinies en un réel Soit f une fonction et un nombre réel, dhérent à dom f.. On lim f(x) = + si C R, δ > 0 : (x dom f et x < δ) f(x) > C. On peut toujours se limiter ux C > 0 dns cette définition. 2. On lim f(x) = si C R, δ > 0 : (x dom f et x < δ) f(x) < C. Ici ussi, on peut se limiter ux nombres négtifs dns l définition, i.e. C = C vec C > On lim f(x) = si C R, δ > 0 : (x dom f et x < δ) f(x) > C. On peut se limiter ux nombres C > 0 dns cette définition. Dns chcune de ces trois situtions, on dit que f dmet une limite infinie en. 2.3 Limite finie en un réel Il suffit de mixer les deux types de définitions que nous venons de voir. On cherche une limite finie, disons l, on v voir besoin d un ppreil, vec une certine mrge d erreur ε. On v exprimer que pour les points proches de (entre δ et + δ pour un certin δ strictement positif), l ppreil indique l. On obtient donc l définition suivnte. Définition 2.3. Soit f une fonction de R dns R, un point dhérent à dom f et l un nombre réel. On dit que l limite de f pour x tendnt vers est égle à l, ou que f(x) tend vers l lorsque x tend vers si On note lors ε > 0, δ > 0 : (x dom f et x < δ) f(x) l < ε. lim f(x) = l, et on dit que f dmet une limite finie en, égle à l. Voici une représenttion grphique de cette définition. Il fut bien sûr voir que l on doit trouver un δ pour chque ε, mis je ne peux en dessiner qu un. l + ε l l ε δ + δ 2.4 Limites infinies en + et en Comme nnoncé plus hut, je vous lisse comme exercice de poser ces définitions. Il suffit de mixer correctement les définitions que nous vons posées plus hut. Notez que les théorèmes que je verri plus bs s ppliquent, le cs échént, vec ce type de limites, c est à dire en prticulier à lim f(x) = +, lim x + f(x) =, lim x + f(x) = +, lim x f(x) =. x P. Mthonet, Université de Liège (ULg), Fculté des Sciences, Déprtement de Mthémtique 8

9 2 Les limites : définitions 2.5 Une définition légèrement différente de l notion de limite Comme je l i déjà dit, il existe de légères vrintes de cette définition selon les sources que vous pourrez consulter. L principle étnt de ne ps considérer l vleur de f en dns l définition, contrirement à ce que nous vons fit. Cel donne ceci : ε > 0, δ > 0 : (x dom f et 0 < x < δ) f(x) l < ε. Si vous êtes fort u jeu des différences, vous urez remrqué l condition 0 < x. Cel veut dire que l on exclut l vleur de dns l condition que les vleurs de f doivent stisfire. Ces définitions coïncident si le point en lequel on clcule l limite n est ps dns le domine de l fonction considérée (ce ser le cs notmment pour le clcul des dérivées). Les définitions coïncident églement pour les fonctions les plus courntes que nous rencontrerons. Je resteri sur m première définition, inclunt le point. 2.6 Quelques exemples Il est utile de voir que l on peut clculer un certin nombre de limites à prtir de l définition.. Soit f une fonction constnte f : R R : x c, où c est un nombre réel. On pour tout R lim f (x) = lim c = c. En effet, pour tout ε > 0, on choisit δ > 0 rbitrirement. On lors, pour tout x tel que x < δ, Voici l représenttion grphique. f (x) c = c c = 0 < ε. c + ε c c ε δ + δ 2. Soit f 2 l fonction identique f 2 : R R : x x. On pour tout R En effet, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que lim f 2(x) = lim x =. x < δ f 2 (x) = x < ε : il suffit de poser δ = ε. En voici une illustrtion grphique. + ε ε δ + δ On peut bien sûr choisir ussi tout δ inférieur à ε, mis strictement positif. P. Mthonet, Université de Liège (ULg), Fculté des Sciences, Déprtement de Mthémtique 9

10 2 Les limites : définitions 3. Soit f 3 l fonction inversion f 3 : R R : x x. On pour tout R \ {0} lim f 3(x) = lim x =. Voici l représenttion grphique, comme d hbitude. Notez les nombres ε, + ε, δ et + δ correspondnt à l définition. On pourrit, si on vit plus de temps, trouver une forme de δ en fonction de ε. Il suffit de trouver les intersections entre les droites représentées en pointillé ci-dessous et le grphe de l fonction, et de discuter selon le signe de. Nous vons églement vu plus hut que lim x 0 f 3 (x) =. 4. Soit l fonction f 4 définie pr { si x < 2 f 4 : R R : x si x 2 L fonction f 4 (x) n dmet ps de limite finie en 2. Cel se voit sur l représenttion grphique, et peut ussi se démontrer à prtir de l définition. Montrons en effet que l limite n est ps égle à. Il fut montrer l négtion de l définition. Prenons ε = 2. Quel que soit δ > 0, il existe toujours u moins un nombre x pprtennt u domine de f et tel que x ]2 δ, 2 + δ[ et f 4 (x) / ] ε, + ε[ : x 2 On montre de l même fçon que l limite ne peut ps être ni ucun utre nombre réel. Elle ne peut ps non plus être infinie. 5. Soit l fonction f 5 définie pr f 5 : R R : x { si x 2 si x = L fonction f 5 (x) n dmet ps de limite finie en. Ici encore l représenttion grphique prle d elle-même. Je vous lisse le soin de démontrer que l limite n existe ps, en montrnt qu elle ne vut ni, ni 2, ni ucun utre nombre réel. Il fut pour cel mettre l définition en défut comme je l i fit plus hut. 2 P. Mthonet, Université de Liège (ULg), Fculté des Sciences, Déprtement de Mthémtique 0

11 2 Les limites : définitions 6. Soit l fonction f 6 définie pr f 6 : R \ {0} R : x. L limite de f 6 (x) pour x tendnt vers 0 existe et vut. En effet, l différence vec l fonction précédente est l vleur en, qui empêchit l limite finie d exister dns le cs précédent. 2.7 Unicité de l limite et vleur en un point du domine Voici un premier résultt qui découle directement de l définition, c est l unicité de l limite. On se demnde souvent pourquoi les mthémticiens pssent leur temps à vérifier l unicité. C est simplement prce qu il est utile que, quelle que soit l méthode employée (correcte), on rrive u même résultt. Proposition 2.4. Si une fonction f dmet une limite finie en, lors cette limite est unique. Autrement dit, Si lim f(x) = l et lim f(x) = l, lors l = l. Si dom f et si f dmet une limite finie en lors on Remrque 2.5. lim f(x) = f().. Le premier point justifie qu on prle de l limite et qu on introduise une nottion. 2. Ce résultt se générlise dns tous les cs où l limite existe, mis à prt le fit que si l = + ou l = dns l énoncé, on peut voir l =. 3. Le deuxième point est une conséquence de notre définition de l limite finie. Ce type de résultt peut chnger vec les définitions, et vous ne l vez probblement ps vu comme tel dns vos études ntérieures. Il permet le clcul de limites finies en des points du domine de l fonction : si est dns le domine de f, soit l limite lim f(x) n existe ps, soit elle vut f(). Démonstrtion. Ici encore, je vous montre l idée des deux démonstrtions, et je vous psse les détils techniques. Pour le premier point, supposons que l fonction dmette deux limites finies distinctes l et l en. On urit lors l sitution suivnte, en choisissnt ε inférieur à l moitié de l distnce entre l et l : l l + ε l + ε l l ε l ε δ + δ δ + δ Les points x ] δ, +δ[ ] δ, +δ [ dom f doivent voir une imge dns ]l ε, l+ε[ ]l ε, l +ε[, ce qui est visiblement impossible. Pour l seconde ffirmtion, on suppose que l limite existe, et qu elle vut l f(), et on montre qu il y un problème. On l sitution suivnte, en choisissnt pour ε suffismment petit pour que f() n pprtienne ps à ]l ε, l + ε[ : P. Mthonet, Université de Liège (ULg), Fculté des Sciences, Déprtement de Mthémtique

12 3 Quelques théorèmes de clcul des limites l + ε l l ε f() (, f()) δ + δ On constte que le point est dns dom f ] δ, + δ[, quel que soit δ > 0 et que son imge ne peut ps être dns ]l ε, l + ε[. 2.8 Limites à guche et à droite Il rrive prfois qu on ne s intéresse ps u comportement d une fonction f u voisinge d un nombre réel, mis seulement ux vleurs f(x) pour des vleurs de x inférieures à ou pour des vleurs de x supérieures à. Il est lors utile de définir les limites des vleurs de f correspondntes. Cel se fit sns difficulté : il suffit de ne ps tenir compte des vleurs supérieures à ou inférieures à, respectivement. On considère donc nturellement les limites des fonctions restreintes f ],[ et f ],+ [. Evidemment, cette notion n ps de rison d être si on regrde une limite en ou +. Enfin, pour clculer l limite à guche en, il fut que soit dhérent à dom f ],[ = dom f ], [ et pour clculer l limite à droite, il fut que soit dhérent à dom f ], + [. Si ces conditions sont remplies, on peut introduire l définition suivnte. Définition 2.6. Soir un nombre réel.. On dit que l limite à guche de f(x) pour x tendnt vers vut l (un nombre réel, +,, ou ) si on lim f ],[ (x) = l. Dns ce cs on note lim f(x) = l. 2. On dit que l limite à droite de f(x) pour x tendnt vers vut l si on lim ce cs on note lim f(x) = l. + f ],+ [ (x) = l. Dns Exemple 2.7. Reprenons l fonction f 5 de l section précédente. L limite en n existit ps, précisément à cuse de l vleur de f en. Si on veut clculer l limite en, c est à dire l limite à guche, on restreint l fonction à ], [. D un point de vue grphique, cel donne ceci : 2 On constte directement que l limite existe et qu elle vut. On écrit donc lim x f 5 (x) =. De l même fçon, en ppliqunt l définition, on voit que les limites à guche et à droite en 2 existent pour f 4 et qu on lim x 2 f 4 (x) = et lim x 2 + f 4 (x) =. 3 Quelques théorèmes de clcul des limites En prtique, il serit pénible d utiliser uniquement l définition des limites fin de les clculer pour des fonctions un peu élborées. Il existe un nombre considérble de méthodes de clcul des limites, et mon but n est ps de les revoir toutes ici. Comme je l i nnoncé dns le chpitre sur les fonctions, je vis préciser ce qui se psse pour les grndes constructions de fonctions. Cel ser certinement suffisnt pour le reste de ce cours préprtoire. Le premier résultt concerne les fonctions dmettnt une limite P. Mthonet, Université de Liège (ULg), Fculté des Sciences, Déprtement de Mthémtique 2

13 3 Quelques théorèmes de clcul des limites finie en R {, + }. On supposer que toutes les limites peuvent être clculées en, pour ne ps lourdir l énoncé. Théorème 3. (Sommes et produits : limites finies). Soient f et g deux fonctions de R dns R et c R. Si on lim f(x) = l et lim g(x) = l, (l, l R), lors on lim (f + g)(x) = l + l, lim (fg)(x) = l l, lim (cf)(x) = cl. Remrque 3.2. Ce résultt s pplique églement ux limites à guche et à droite puisqu il s git de limites (u sens usuel) de fonctions prticulières. On peut retenir ce résultt comme ceci : l limite d une somme est l somme des limites, et l limite d un produit est le produit des limites. Démonstrtion. Pour votre informtion, l preuve se bse sur l définition de l limite et des propriétés des vleurs bsolues. Il y de temps à utre un rtifice de clcul. Montrons pr exemple le cs de l somme. On doit démontrer l ssertion suivnte : ε > 0, δ > 0 : (x dom f+g et x < δ) (f + g)(x) (l + l ) < ε. Mis si ε est donné, on peut ppliquer l définition de l limite pour f et pour g, disons vec ε e 2. On obtient lors les conditions suivntes : δ > 0 : (x dom f et x < δ ) f(x) l < ε 2 et δ 2 > 0 : (x dom g et x < δ 2 ) g(x) l < ε 2. Si δ est le plus petit nombre entre δ et δ 2, lors on (x dom f+g et x < δ) f(x) l < ε 2 et g(x) l < ε 2. L prtie de droite de cette impliction implique à son tour et on démontré ce qu il fllit. f(x) + g(x) (l + l ) f(x) l + g(x) l < ε 2 + ε 2 = ε, Voici quelques exemples d pplictions. Exemple Nous vons démontré que lim x = pour R. Nous pouvons en déduire l limite de toute fonction polynomile P : R R : x c n x n + + c x + c 0, puisqu une telle fonction s exprime comme une somme de produits de cette première fonction. L proposition précédente implique qu on lim P (x) = c n n + + c + c 0 = P (). 2. Nous vons démontré que lim x + x = 0. On donc On trouve lors directement lim x + x n = 0 n N 0. lim + =, puisque x + x3 lim =. x + e. Cel revient à choisir un instrument de mesure deux fois plus précis. P. Mthonet, Université de Liège (ULg), Fculté des Sciences, Déprtement de Mthémtique 3

14 3 Quelques théorèmes de clcul des limites Bien sûr, il rrive ssez fréquemment qu on soit fce à une somme de fonctions dont l une dmet une limite finie, et l utre une limite infinie. Il fut lors générliser l proposition précédente u cs où l ou l serit infini. Théorème 3.4 (Sommes et produits : limites infinies). Soient f et g deux fonctions, et un nombre réel ou, ou +.. Si f dmet une limite finie en et si g dmet une limite infinie en (, +, resp.) lors f + g dmet l limite (, +, resp.) en. 2. Si f dmet une limite finie c 0 en et si g dmet une limite infinie en (, +, resp.), lors fg dmet une limite infinie en :(, +, resp.) si c > 0 et (+,, resp.) si c < Si f et g dmettent l limite + (resp. ) en, lors f + g dmet l limite + (resp ). 4. Si f et g dmettent l limite en, lors f g dmet l limite en. De plus, si f et g dmettent simultnément les limites + ou, lors f g dmet l limite + en. Si l un des deux tend vers + et l utre, lors f g dmet l limite. Démonstrtion. A titre d informtion, ces résultts se démontrent en utilisnt les définitions et quelques propriétés des vleurs bsolues, comme pour le théorème précédent. Elles sont un peu techniques, donc je vous en fit grâce. Exemple On lim x + x + + x = On lim x + 3x2 = + et lim x 3x2 =. x+2 3. On lim x 0 x =, puisque lim x 0 (x + 2) = 2 > 0. On pplique lors le point 2. du théorème précédent. 4. On peut démontrer qu on lim x + x = +. On donc limx + (x 2 + x) = +, en ppliqunt le point 3. du théorème précédent. 5. Pr contre, le théorème ne s pplique ps pour clculer lim x + (x x). Cette limite peut être clculée et vut qund même +, mis si on bien une somme, on lim x + x = + et lim x + x =. Le résultt suivnt est fondmentl cr beucoup de fonctions sont des composées de fonctions simples. Théorème 3.6 (Fonctions composées). Soit R {, + }, soit l R {, + } et soit l R {,, + }. Si on. lim g(x) = l 2. lim t l f(t) = l et lors on lim f g(x) = l. Ce résultt est ussi ssez nturel : si on est en présence de l fonction f g, c est à dire f près g, et si on veut clculer l limite pour x tendnt vers de cette fonction, il est norml de regrder vers quoi g tend qund x tend vers. Si on trouve un réponse, disons l, il est nturel de regrder l limite de f en l. L preuve n utilise guère plus que l définition des limites, mis il fut triter tous les cs, ce qui prend ps ml de temps... Voici plutôt quelques exemples. Exemple On démontré que lim t + t = 0. On sit ussi que lim x + (x 2 + 2x) = +. On donc lim x + x 2 + 2x = On peut démontrer que les fonctions rcines dmettent des limites en tous les points de leur domine de définition. En composnt vec les fonctions polynomiles, et en fisnt des sommes, on obtient pr exemple lim x 3 ( x 3 4x 2x) = 5 6. P. Mthonet, Université de Liège (ULg), Fculté des Sciences, Déprtement de Mthémtique 4

15 3 Quelques théorèmes de clcul des limites Ce que nous vons vu pour le quotient ci-dessus se générlise à tous les quotients. Théorème 3.8 (Quotients). Soient g une fonction et un point dhérent u domine de g.. Si on lim g(x) = l R 0 lors on lim g(x) = l ; 2. Si on lim g(x) = l où l = +,, ou lors on lim g(x) = 0 ; f(x) En prticulier, pour clculer lim g(x), on peut ppliquer ce résultt et les théorèmes 3. et 3.4. Démonstrtion. Il suffit de voir que l fonction g est en fit l composée i g, où i est l inversion qui à tout t ssocie t. On pplique lors le théorème sur les composées et les propriétés de l fonction i. Il reste un cs à triter : celui où l =, et il peut être démontré directement à prtir de l définition. Exemple On lim x 2 3x+4 2x+3 = limx 2(3x+4) lim x 2(2x+3) = 0 7 3x+4 3x+4 2. On lim x 2 x 2 =, cr l fonction qui à x ssocie x 2 est un produit ; celui de l fonction f qui à x ssocie f(x) = 3x + 4 et de l fonction qui à x ssocie x 2. L première tend vers 0 qund x tend vers 2, tndis que l deuxième tend vers. On pplique lors le point 2. du théorème 3.4. x 3. Si on veut clculer lim 2 6 x 4 x 4, le théorème sur les quotients peut s ppliquer, mis le théorème 3.4 ne s pplique ps f, cr on lim x 4 (x 2 6) = 0 et lim x 4 (x 4) = 0. 3x 4. On constte le même phénomène si on veut clculer lim 2 4 x + x Le théorème sur les quotients s pplique, mis ps le théorème 3.4. Ces deux derniers exemples montrent qu il est prfois nécessire de trnsformer l expression d une fonction pour pouvoir clculer l limite. Dns le premier cs, l fonction f : R R : x x2 6 x 4 est définie sur R \ {4}. Pour tout x 4, on églement, pr fctoristion et simplifiction x 2 6 x 4 = (x + 4)(x 4) x 4 L tenttion est grnde de fire l simplifiction et d écrire x 2 6 lim x 4 x 4 = x + 4. = lim (x + 4) = 8. x 4 Dns cet exemple, l fonction g définie pr g(x) = x + 4 est un prolongement de l fonction f : chque fois que f est définie en x, g est définie en x, et dns ce cs g(x) = f(x). Le théorème suivnt indique que le risonnement que nous vons tenu est correct. Théorème 3.0 (Prolongement). Soit f une fonction et soit R, dhérent à dom f. Si g est un prolongement de f et si lim g(x) existe et vut l, lors lim f(x) = l. Ce théorème est ssez utile qund on est fce à des quotients où le théorème 3.4 ne s pplique ps. Voici encore un exemple. Exemple 3.. Schnt que pour tout 0, on lim x =. On peut clculer limx 3 x 3 x 3. Le théorème ne s pplique ps cr le numérteur et le dénominteur tendent vers 0 qund x tend vers 3. Mis on g pour tout x positif et différent de 3 : x 3 x 3 = ( x 3) (x 3) ( x + 3) ( x + 3) = x 3 (x 3)( x + 3) =. x + 3 f. C est ce que vous vez ppelé forme indéterminée, justement prce que le théorème ne s pplique ps. g. Cel s ppelle l multipliction pr le binôme conjugué. P. Mthonet, Université de Liège (ULg), Fculté des Sciences, Déprtement de Mthémtique 5

16 3 Quelques théorèmes de clcul des limites L dernière expression définit donc un prolongement de l première, et on donc x 3 lim = lim = x 3 x 3 x 3 x vu le théorème sur les quotients. De même, on peut clculer l limite pour x tendnt vers 0 de f : R R : x x x. On considère l fonction g : R R : x. C est un prolongement de f et on de plus lim x 0 g(x) =. Donc finlement lim x 0 f(x) =. Pour triter le point 4 de l exemple 3.9 ci-dessus, il fut voir que c est le fcteur x 2 qui fit en sorte que numérteur et dénominteur tendent simultnément vers +, rendnt impossible l ppliction du théorème 3.4. On urit lors tendnce à trnsformer l fonction comme ceci, pour x 0 : 3x 2 4 x = x2 (3 4 x 2 ) x 2 ( + 3 x 2 ) = (3 4 x 2 ) ( + 3 x 2 ). L dernière fonction n est ps un prolongement de l première, prce qu elle n est ps définie en x = 0. Mis ces deux fonctions sont égles sur ]0, + [. Alors leurs limites en + sont égles. C est l objet du théorème suivnt. On trouve donc 3x 2 4 lim x + x = lim (3 4 x ) 2 x + ( + 3 x ) = 3. 2 Proposition 3.2 (Loclité). Soient f et g deux fonctions qui sont égles sur un voisinge de. Alors on lim f(x) = lim g(x), si l un des limites u moins existe (uquel cs l utre existe ussi). Remrque 3.3. On ppelle voisinge de + tout ensemble contennt ]C, + [ pour u moins un nombre C in R. On ppelle voisinge de tout ensemble contennt ], C[ pour u moins un nombre C in R et on ppelle voisinge de R tout ensemble contennt ] δ, + δ[ pour u moins un δ > 0. Exemple Clculer l limite pour x tendnt vers + de f : R R : x x + x. On voit que sur le voisinge V =]0, + [ de +, l fonction f est égle à Vu les résultts précédents on g :]0, + [: x + x. lim g(x) =, donc on ussi lim f(x) =. x + x + 2. Clculer l limite pour x tendnt vers de f : R R : x x + x. On voit que sur le voisinge V =], 0[ de, l fonction f est égle à Vu les résultts précédents on g :], 0[: x + x. lim g(x) =, donc on ussi lim f(x) =. x + x + Enfin, ce dernier résultt lie l existence des limites restreintes en un point R et leur églité à l existence de l limite en. Proposition 3.5 (Limites restreintes). Si lim f(x) existe, on Réciproquement, lim f(x) = lim f(x) = lim f(x). + P. Mthonet, Université de Liège (ULg), Fculté des Sciences, Déprtement de Mthémtique 6

17 4 L continuité. si / dom f et si lim + f(x) = lim f(x), on 2. Si dom f et si lors lim f(x) = lim f(x) = lim f(x). + lim f(x) = lim f(x) = f(), + lim f(x) = f(). Cel permet de triter plus fcilement l exemple de l fonction f 4 donné à l pge 0. L limite à guche en 2 vut visiblement et l limite à droite en 2 vut. Ces limites ne sont ps égles, donc f 4 n dmet ps de limite en 2. 4 L continuité Intuitivement, on dit qu une fonction est continue si on peut trcer son grphe sns lever le cryon. Vu ce que nous vons constté dns les sections précédentes, nous pouvons être plus précis : une discontinuité (un sut) u point se trduit pr le fit que l limite de f(x) pour x tendnt vers n existe ps. On rrive lors à l définition. Figure : Une discontinuité en Définition 4. (Continuité). Une fonction f : R R est continue en R si dom f et si l limite lim f(x) existe. Cette limite vut lors f(). Les fonctions continues en un point sont donc des fonctions pour lesquelles il est fcile de clculer l limite en. Définition 4.2. L ensemble des points de R en lesquels f est continue est le domine de continuité de f. Nous le noterons dom c f. Si A R, on dit que f est continue sur A si f est continue en tout point de A (i.e. A dom c f ). On note lors f C 0 (A). Il est importnt d voir un ctlogue de fonctions continues à s disposition. Je vous le donne, sns démonstrtion. Théorème 4.3. Les fonctions polynomiles, les frctions rtionnelles, les fonctions trigonométriques directes et réciproques, les rcines p-èmes, l fonction exponentielle et le logrithme népérien (que nous reverrons bientôt) sont toutes continues sur leur domine de définition. Les premiers résultts qui suivent sont une trnsposition des résultts correspondnts sur les limites. Pr exemple, en vertu du théorème sur les limites restreintes, si f est continue en, lors on lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) = f(). + Comme dns le cs des limites, on les notions de continuité à guche et à droite. P. Mthonet, Université de Liège (ULg), Fculté des Sciences, Déprtement de Mthémtique 7

18 5 Pour ller plus loin Définition 4.4. Soit f une fonction de R dns R. On dit que f est continue à guche en si lim f(x) = f(). On dit que f est continue à droite en si lim + f(x) = f(). Pr exemple, l fonction dont l représenttion grphique est donnée pr l Figure est continue à guche en mis n est ps continue à droite en. Le théorème 3.5 et l proposition 3.2 donnent le résultt suivnt. Proposition 4.5. Si f est continue à guche et à droite en, lors f est continue en. De plus l continuité en est une notion locle : si deux fonctions ont les mêmes vleurs u voisinge de, l une est continue en si et seulement si l utre l est. On ussi le résultt sur les combinisons de fonctions continues. Proposition 4.6. Soient f et g des fonctions continues en R et c R, lors les fonctions f + g, f g et c f sont continues en. Enfin, on peut étudier l continuité des fonctions composées. Proposition 4.7. Si g est continue en et si f est continue en g(), lors f g est continue en. En prticulier, on dom c g {x : g(x) dom c f } dom c f g. Pour étudier le domine de continuité de fonctions composées, on procède donc en générl comme pour étudier le domine de définition de telles fonctions. Remrque 4.8. Contrirement u cs du domine de définition, l inclusion ci-dessus est stricte. Pr exemple, on peut considérer l fonction g de l figure ci-dessus et pour f une fonction constnte. L composée est lors constnte et donc continue sur R. 5 Pour ller plus loin Voici mintennt deux résultts qui ont une importnce dns l résolution d équtions à une vrible et dns les problèmes d optimistion. Ils mettent en jeu des fonctions continues. Théorème 5. (Vleurs intermédiires). Soit f une fonction continue sur un intervlle [, b]. Pour tout nombre y compris entre f() et f(b), il existe x [, b] tel que f(x) = y. Voici ce que cel donne pour les représenttions grphiques. f(b) y f() y f() f(b) x b x x 2 b Remrque 5.2. Il est nécessire, pour que ce résultt puisse être ppliqué, d une prt que l fonction f soit continue, et d utre prt, que le domine sur lequel on l considère soit un intervlle. Voici deux contre exemples dns le cs où ces hypothèses ne serient ps stisfites. f(b) f(b) y f() y f() b c d b P. Mthonet, Université de Liège (ULg), Fculté des Sciences, Déprtement de Mthémtique 8

19 5 Pour ller plus loin Le théorème des vleurs intermédiires permet d obtenir comme corollire le théorème suivnt, ttribué à Bolzno. h Théorème 5.3. Si f est continue sur [, b] et si f() f(b) 0, il existe x 0 [, b] tel que f(x 0 ) = 0. Ce théorème permet de trouver des solutions à des équtions polynomiles, pr dichotomie, comme le montre l exemple suivnt. Exemple 5.4. Démontrer que l éqution 3x 3 2x 2 +x = 0 dmet une solution dns [0, ], déterminer cette solution vec une erreur mximle de L méthode que nous llons employer s ppelle l bissection ou l dichotomie. Définissons l fonction P : [0, ] R : x P (x) = 3x 3 2x 2 + x. Elle est définie est continue sur [0, ] et on de plus P (0) = et P () =. On sit donc d près le théorème 5.3 qu il existe x 0 ]0, [ tel que P (x 0 ) = 0. Mis l précision n est ps encore celle voulue. On clcule lors P ( 2 ) = 5 8 et on pplique le théorème 5.3 dns l intervlle [ 2, ] : il existe x 0 ] 2, [ tel que P (x 0 ) = 0. Le zéro est donc égl à 3 4, vec une erreur mximle de 4, ce qui n est ps encore suffisnt. Nous divisons encore l erreur pr deux en effectunt une étpe supplémentire en clculnt P ( 3 4 ) < 0. Il existe donc x 0 ] 3 4, [ tel que P (x 0) = 0. On peut donc ffirmer que l éqution dmet l solution 7 8, à 8 près. On peut évidemment rechercher une solution plus précise en effectunt plus de divisions. Cette méthode est une première méthode numérique de recherche des solutions. Elle n est en effet ps bsée sur une formule excte, mis donne un lgorithme qui, pr clculs (numériques) successifs, permet d pprocher une solution. Terminons vec un théorème qui implique l existence d extrem de fonctions continues définies sur un intervlle fermé. Théorème 5.5 (Bornes tteintes). Soit f une fonction réelle continue sur [, b]. Il existe m et M dns [, b] tels que f(m) f(x) f(m), x [, b]. L figure 5 donne une représenttion grphique de ce théorème. Ici encore, les hypothèses que l fonction soit continue et qu elle soit définie sur un intervlle de type [, b] sont cruciles. Pr exemple, l fonction f définie sur ]0, + [ pr f(x) = x n dmet ps d extremum globl (ni locl d illeurs). f(m) f(b) f() f(m) m M b Figure Les bornes tteintes. h. Bernrd Bolzno, Mthémticien et philosophe (78-848), né à Prgue. P. Mthonet, Université de Liège (ULg), Fculté des Sciences, Déprtement de Mthémtique 9