Etude des Défauts dans La Machine Asynchrone à Cage d'ecureuil par l'emploi de la Fonction d'enroulement Modifiée

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1 République Aléienne Démocatique et Populaie Minitèe de l Eneinement Supéieu et de la Recheche Scientifique Univeité de Science et de la Technoloie d Oan Mohamed BOUDIAF FACUTE DE GENIE-EECTRIQUE DEPARTEMENT D EECTROTECHNIQUE MEMOIRE EN VUE DE OBTENTION DU DIPOME DE MAGISTER SPECIAITE : Electotechnique. OPTION : Commande Electique. PRESENTE PAR M HARIR Miloud Inénieu d état en Electotechnique SUJET DU MEMOIRE Etude de Défaut dan a Machine Aynchone à Cae d'ecueuil pa l'emploi de la Fonction d'enoulement Modifiée Soutenu publiquement le devant le juy compoé de : M R M.Bouahla (Pofeeu USTO-MB) PRESIDENT M R A.Bendiabdellah (Pofeeu USTO-MB) RAPPORTEUR M R N.Benouzza (Maîte de conféence USTO-MB) CO-RAPPORTEUR M R A.Taîb Bahimi (Pofeeu USTO-MB) EXAMINATEUR M R M.Bendjebba (Maîte de conféence USTO-MB) EXAMINATEUR M R A.H.Boudina (Maîte de conféence USTO-MB) EXAMINATEUR Année Univeitaie 28/29

2 Sommaie SOMMAIRE ite de ymbole utilié INTRODUCTION GÉNÉRAE 1 CHAPITRE I : GENERAITE SUR ES DEFAUTS AFFECTANT ES MOTEURS ASYNCHRONES I.1 Etude de difféent défaut affectant le moteu aynchone 3 I.1.1. e caue de défaut 3 I.1.2. Défaut tatoique 4 I.1.3. Défaut otoique 5 I Défaut de uptue de bae et de ement caé 5 I Défaut de oulement 8 I Défaut d excenticité 1 I-2 Difféente méthode de dianotic 12 I.2.1Technique mécanique 13 I dianotic pa meue de la tempéatue 13 I Dianotic pa meue de vibation 13 I.2.2. Dianotic chimique 14 I.2.3 Technique manétique et électique 15 I Dianotic pa meue du flux manétique axial de fuite 15 I Dianotic pa l analye du couant tatoique 16 I.3 Concluion 17 CHAPITRE II : MODÉISATION DU MOTEUR ASYNCHRONE. II.1 Modèle de la machine aynchone à cae d écueuil 18 II.1.1 Equation de tenion tatoique 18 II.1.2 Equation de tenion otoique 21 II.1.3 Equation mécanique 23 II.2 Calcul de inductance pa l appoche de la fonction d enoulement 26 II.2.1 Péentation en 2D de la fonction d enoulement modifiée 26

3 Sommaie II.2.2 Expeion de inductance 29 II.2.3 Application de la fonction d enoulement à la machine aynchone ou étude 32 II Calcul an pie en compte de l effet de l inclinaion de bae 32 a) -Calcul de inductance tatoique 32 b) -Calcul de inductance otoique 34 c) -Calcul de inductance mutuelle ente tato et oto 36 II Calcul de inductance avec pie en compte de l effet de l inclinaion de bae 38 II Intoduction de l ouvetue d encoche 41 II.3.1 Modèle du moteu aynchone à cae d écueuil avec défaut de cout-cicuit ente pie 44 II Exemple élémentaie 44 II Cicuit tatoique équivalent coepondant au défaut cout-cicuit 45 II Application à la machine étudiée 46 II Calcul de inductance tatoique 46 II Calcul de inductance otoique 49 II Calcul de inductance mutuelle ente le tato et oto 49 II.3.2 Modéliation du moteu avec défaut bae 52 II Factue totale d une bae 52 II Factue patielle d une bae 53 II.4 Concluion 53 CHAPITRE III : RESUTATS DE A SIMUATION DU MOTEUR ASYNCHRONE III.1 Intoduction 54 III.2 Fonctionnement du moteu ain 54 III.2.1 Analye pectale du couant tatoique 59

4 Sommaie III.3 Fonctionnement du moteu avec défaut tatoique 62 III.3.1 cout -cicuit ente pie 62 III.3.2 Déconnection d une phae 64 III.3.3 Concluion 65 III.4 Fonctionnement du moteu avec défaut de bae 66 III.4.1 Fonctionnement du moteu avec caue de bae ou d anneau de cout-cicuit 66 III.5 Concluion 7 CONCUSION GENERAE 71 ANNEXES. 73 BIBIOGRAPHIE. 76

5 Intoduction énéale 1 Intoduction énéale a machine aynchone occupe un domaine tè impotant dan l'indutie et le tanpot. Elle et appéciée pou a obutee on faible coût d'achat et d'entetien. et ne néceite qu une eule ouce d alimentation. Malé ce qualité évoquée il n et pa ae que ce moteu péentent quelque défaillance émanant d un vieilliement pématué. Comme ce machine ont oumie pendant leu fonctionnement à pluieu containte électique manétique mécanique et themique. Ce denièe povoquent de défaut dan le difféente patie du moteu ce qui enende de aêt conduiant à de pete de poduction et à de épaation coûteue. e défaut avec leu effet ; e eflètent dan le andeu du moteu pincipalement dan le flux le couant la vitee et le couple. Dan le paé la plupat de technique de dianotique utiliaient le andeu mécanique qui néceitent l intoduction de capteu au niveau de la machine ce qui end l équipement coûteux et encombant [1] [2] ce inconvénient ont poué le echeche ve une maintenance pédictive utiliant de andeu électomanétique tel que (flux couant tenion etc. ) et paticulièement le couant tatoique qui exie ni l intoduction d un capteu au niveau de la machine ni l utiliation de équipement onéeux mai eulement un capteu de couant (tanfomateu de couant ou onde à l effet hall ) qui donne une imae u le couant de la phae tatoique de plu cette technique et utiliée lo du fonctionnement du moteu ce qui pemet de l utilie dan la uveillance de machine électique. a compéhenion du fonctionnement avec et an défaut aini que la véification de aloithme de détection de défaut néceite la ynthèe d'un modèle mathématique décivant le compotement de la machine d'une façon la plu fine poible. Dan cette loique nou popoon un modèle multi-enoulement baé u la modéliation de la cae otoique ou fome de maille eliée ente elle électiquement et couplée manétiquement [3]. Ce modèle tient compte de la ditibution éelle de difféent enoulement notamment avec l implication de l appoche de fonction d enoulement pui la fonction d enoulement modifiée (MWFA) [4] où il et poible de décele le phénomène accompanant une pobable excenticité. e modèle et aini apte à défini le inductance d une - 1 -

6 Intoduction énéale 2 machine en tenant compte de l ouvetue et /ou l inclinaion de encoche et qui peut ête étendue à l étude d aute type d aymétie axiale à avoi l excenticité axiale. Aini et pou e faie le tavail péenté dan ce mémoie et aticulé autou de toi chapite pincipaux. Dan le pemie chapite un éumé u le pincipaux défaut de la machine aynchone leu oiine aini que le féquence caactéient ce défaut eont expoé. e difféente technique de dianotic eont aui péentée. e tout contituea un apeçu u l état de l at et la poblématique du ujet. e deuxième chapite ea conacé à la fomulation mathématique du modèle de la machine aynchone tiphaée à cae avec la modéliation de inductance ente enoulement de la machine tenant compte de tou le hamonique d epace et en appuyant u une extenion en 2D de la fonction d enoulement modifiée qui a pou avantae de pende en compte l inclinaion de bae et l ouvetue d encoche tatoique. e modèle éultant ea aui apte à pende compte le non unifomité de l entefe encontée dan le ca d excenticité du oto Dan ce chapite on taitea comme denie ca la modification que ubient le inductance de la machine en ca de cout-cicuit patiel ou bien cout-cicuit ente pie. Dan le toiième chapite on péentea le éultat de imulation du moteu aynchone dan le difféente condition de fonctionnement avec et an défaut tatoique ou bien otoique. Commençant pa le fonctionnement du moteu ain en allant ve le fonctionnement en ca de cout-cicuit ente un cetain nombe de pie d une de e phae et en aivant à l exemple le plu féquent epéenté pa la déconnexion d une phae. Pui on pae aux défaut otoique (caue de bae ou anneau de coutcicuit). Un enichiement avec fiue elative aux andeu électomécanique et leu pecte coepondant ea en meue d élucide quelque phénomène déjà pédit analytiquement. Nou teminon note tavail pa une concluion u l enemble de cette étude et pa une péentation de pepective enviaée

7 Chapite I 3 Chapite I Généalité u le défaut affectant le moteu aynchone Dan le péent chapite nou allon énumée le difféent défaut qui peuvent affecte le moteu aynchone et leu méthode de dianotic et de monte l avantae de l emploi l une de ce méthode qui et la méthode de l analye pectale du couant tatoique comme une technique pemettant la détection de défaut de bae et d excenticité dan le moteu aynchone. I.1 Etude de difféent défaut affectant le moteu aynchone Bien que la machine aynchone a la éputation d ête obute elle peut péente comme tout aute machine électique de défaillance d ode électique ou mécanique. Note objectif et de détecte ce défaut en cou d évolution ou en cou d appaition [5]. Pami toute le méthode utiliée ou popoée on e doit de péleve un ou pluieu inaux pou : le taite le analye conclue à une défaillance ou non avec cetitude. I.1.1 e caue de défaut Pou le tato le effet ont pincipalement du à un poblème [6] : themique (uchae) électique (diélectique) mécanique (bobinae) envionnemental (aeion). Pou le oto le effet ont eentiellement du à un poblème : themique (uchae) électomanétique (Foce en fonction B 2 (t)) éiduel (défomation) dynamique (abe de tanmiion) mécanique (oulement) envionnemental (aeion)

8 Chapite I 4 Ce défaut e épatient elon la fiue uivante : Fi.I.1 : la épatition de panne I.1.2 Défaut tatoique Ce défaut appaaient ouvent au niveau de enoulement tatoique (Fi.I.2) et ont du à de dépaement de difféente natue [7]. On ditinue : Cout-cicuit dan le pie d une même phae ; Cout-cicuit ente phae ou ente bobine ; Coupue d une phae ; Défaut du cicuit manétique (uptue de tôle) ; Défaut de l iolation mae. A pati de étude théoique il a été monté que le couant tatoique avait un pecte enichi pa la céation d un cout cicuit au tato. e féquence ont donnée pa la elation [6]: n / p. 1 k f Hz f cc. (I.1) où : f féquence «de cout-cicuit» ; cc f féquence d alimentation ; n n N ; p nombe de pai de pôle ; liement ; k k N

9 Chapite I 5 Fiue I.2 : Défaut tatoique I.1.3 Défaut otoique e difféent élément pouvant ête défaillant e épatient en 3 catéoie. Celle-ci ont [5] : potion d anneau ou de bae au oto oulement à bille excenticité tatique dynamique mixte. Il et impotant de ouline que le défaut otoique peuvent ête la caue de défaut dan le aute patie de la machine et entaîne aini un dyfonctionnement plu ave. I Défaut de uptue de bae et de ement caé Un de défaut le plu difficile à détecte concene le uptue de bae qui ont le panne majeue pou le oto à cae. Ce défaut epéentent la paticulaité d ête poeive et patielle. Il ait d un phénomène à évolution lente ce qui pemet de pouuive l exploitation de la machine an aêt. e uptue de bae (Fi. I.3) ont eentiellement liée à de eeu d exploitation (démaae tè lent non détecte non-epect du délai de efoidiement ente démaae ucceif) ou à de défaut de fabication (mauvaie coulée) [8]

10 Chapite I 6 e conéquence de ce type de défaut ne ont pa anodine ca elle induient : Un vieilliement mécanique de la line d abe à caue de fluctuation de couple Une uptue de aute bae du fait de couant plu impotant qui le pacouent et de effot électodynamique Une influence u le fome d onde de inaux d alimentation de la machine. Anneau de cout cicuit Point de caue Bae otoique e oto avec ce défaut cée en plu du champ otoique diect qui toune à la vitee pa appot au oto ( le liement de la machine) un champ invee qui lui toune à une vitee. inteaction de ce champ avec celui iu du bobinae tatoique donne naiance de compoante de féquence 2 dan le couple électomanétique. Ce compoante eont la caue d ocillation de la vitee. Cette denièe donne naiance à de f.e.m aux pulation Fiue I.3 : Point enible ; à la uptue dan la cae otoique du moteu à cae d écueuil et 1 4 qui céent à leu tou de couant aux même pulation [9]. e champ céent pa ce couant vont à leu tou induie au oto de couant diect et invee. Aini pa un poceu identique on etouve dan le couant tatoique de compoante de féquence [1] : f b 1 k. f (I. 2) Où k un entie poitif le liement et f la féquence d alimentation

11 Chapite I 7 e chéma de la fiue (I.4) pemet une meilleue compéhenion du fonctionnement du moteu avec un oto ain alo que celui de la fiue (I.5) décit le phénomène dû à l appaition du défaut otoique achant que : 2 f epéente la vitee de ynchonime p et le nombe de paie de pôle de la p machine. (I. 3) 1 la vitee de otation (I. 4) la vitee de liement (I. 5) Alo : le liement (I.6) défaut 1 (I.7) défaut 1 2 (I.8) d où la féquence du défaut : 1 f f 1 f f b 2 (I.9) Fiue. I.4 : chéma de fonctionnement du moteu ain Fiue. I.5 : chéma de fonctionnement d un moteu défaillant - 7 -

12 Chapite I 8 I Défaut de oulement e étude pemettent de clae le défaut de oulement à bille comme uivant [7] : Tou dan le oe de oulement intéieue et extéieue. Ondulation de leu uface de oulement. Attaque de bille. Cooion due à l eau. Défaut de aiae poblème dû à la tempéatue. Découlement effitement de uface povoqué pa une uchae. Fiue.I.6 : le oulement à bille a elation ente le vibation de oulement à bille et le pecte du couant tatoique et baée u le fait que toute le excenticité intefèent u le champ dan l entefe de la machine aynchone. Un défaut de oulement à bille e manifete pa la épétition continuelle du contact défectueux avec la cae de oulement extéieu comme intéieu [5]. a féquence de épétition ea pou la cae intéieue et extéieue : f int nb 2 D 1 B f Dc co (I.1) f ext nb 2 D 1 B f Dc co (I.11) - 8 -

13 Chapite I 9 e pecte en couant et alo décit pa : n B D 1 B f int ext f n f co (I.12) 2 Dc Cette expeion contient de donnée pécifique au oulement à bille. f = féquence d alimentation ; f = féquence de otation mécanique ; n = n N ; n B = nombe de bille ; D B = diamète de bille ; D c = a ditance ente le cente de bille diamétalement oppoée; = l anle de contact de la bille avec la cae. En conidéant que le nombe de bille et compi ente 6 et 12 habituellement deux elation couamment encontée ont : f ext.4n b f (I.13) f int.6n b f (I.14) donc le pecte en couant ea enichi de : f int ext f nfext int (I.15) - 9 -

14 Chapite I 1 I Défaut d excenticité excenticité et un phénomène qui fait l objet de nombeue publication ca elle et eponable de multiple dommae u le machine électique utout loqu il ait de la machine aynchone où l entefe et volontaiement d épaieu tè faible. excenticité et le éultat de la non unifomité de ce denie ce qui inifie l exitence de lonueu adiale difféente ente le tato et le oto donc une aymétie d entefe. Cette aymétie faite va décale le axe de deux amatue l un pa appot à l aute d une d épaieu qui dépend du deé d excenticité et de la lonueu moyenne de l entefe (Fi.I.7). e caue d une excenticité ont multiple : elle peut ête due à la flexion de l abe à un phénomène d uue ou au déalinement de oulement à un poitionnement incoect du oto ou du tato au moment de l aemblae à l ovalité du oto ou de la patie intéieue du tato ou à un fonctionnement du moteu au-delà d une vitee limite qui povoque de éonance [8]. Fiue.I.7 : Moteu aynchone avec oto excentique - 1 -

15 Chapite I 11 a péence de l excenticité e manifete pa la céation d hamonique dan le pecte du couant tatoique à de féquence ( f d ) donnée pa l expeion ci-deou [11] [12]: Où : kn b nd p fd f 1 (I.16) n b le nombe de bae otoique n d le nombe d ode d excenticité : n d = pou l excenticité tatique et n d =1 2 3 pou l excenticité dynamique p le nombe de paie de pôle l ode de hamonique de temp de la F.M.M ( etc.) a péence de l excenticité mixte cée de hamonique de bae féquence donnée pa la elation : f f m kf où f f 1 / p et k (I.17) (I.18) Ce défaut enendent le poblème uivant : - dééquilibe de tenion et couant de line. - aumentation de pulation de couple. - éduction du couple moyen. - échauffement exceif. - aumentation de pete et éduction du endement

16 Chapite I 12 I.2 Difféente méthode de dianotique e moteu aynchone ont oumi pendant leu fonctionnement à pluieu containte de difféente natue l accumulation de ce containte povoque de défaut dan le difféente patie du moteu. Pou emédie au poblème de détection de défaut il exite une vaiété de technique de dianotique et de détection de défaut [1] [13]. Cetaine d ente elle ont baée u l obevation et la meue (meue de champ manétique meue de buit) d aute ont baée u la uveillance et la compaaion de caactéitique électomécanique du moteu en défaut (couant tatoique couple et vitee) (Fiue I-8) [5]. Fiue I.8 : e difféent andeu de dianotique dan une machine. Ce technique peuvent ête claée en toi catéoie : le technique mécanique le technique chimique et le technique manétique et électique

17 Chapite I 13 I.2.1 Technique mécanique Pami ce technique on touve : I dianotique pa meue de la tempéatue e tempéatue de uppot ont uveillée u de bae de outine et founient de infomation utile. Un volume de liquide efoidiant débouché u de tempéatue et aui pécieux pou l indication de poblème de efoidiement et pou le contôle loqu il et popoé de faie opée la machine au delà de a puiance. e tempéatue de bobine ont aui impéative pou la détemination de la limite pou laquelle le moteu peut ête chaé et pou l etimation de la duée de vie émanente de l iolation de enoulement. Elle ont aement meuée à caue de poblème d obtention de l iolation électique conte le conducteu de haute tenion bien que le détecteu de tempéatue oient pafoi intecalé dan l iolant enfemé u le point uchauffé du conducteu mai cela affaiblit l intéité de l iolant. Il demeue donc une néceité pou le capteu de fote tempéatue lequel peut ête monté u le enoulement ou inéé dan l iolant électiquement iolé pa appot à on intument de meue. I Dianotique pa meue de vibation e dianotique vibatoie et une méthode tè ancienne et tè utilié pou la détection de défaut dan le machine électique. Toute le machine électique poduient du buit et de vibation. eu analye peut ête employée pou founi de infomation u l'état de la machine. Plu ouvent le meue ont faite comme une pocédue non féquente ou loqu un poblème et upecté le meue ont faite en utiliant de accéléomète ou de capteu de vitee à boulon. De onde de déphaae ont aui employée pou le contôle du mouvement de l abe. e déalinement ente le cente de uppot donnant naiance à un entefe non unifome poduit la vibation à une féquence double tandi que le dééquilibe mécanique enende la vibation à la vitee anulaie au moment ou le deux dépendent de la épone mécanique à cette féquence

18 Chapite I 14 e inaux de vibation détecté contiennent de infomation eentielle u l'état de la machine. analye pectale de ce inaux nou eneine u le difféent défaut qui ont à l oiine de ce vibation. I.2.2. Dianotique chimique Pluieu moteu ont efoidi pa l ai ou à l aide d un cicuit femé avec un échaneu de chaleu hydo éfiéé. a déadation de l'iolation électique dan le moteu poduit le az d'oxyde de cabone qui appaaît dan le cicuit de l'ai efoidiant et qui peut ête détecté pa une technique d'aboption infaoue. ai et tié du moteu à tave le tube ve le détecteu infaoue pa une pompe auxiliaie. Seule le moteu en evice ont échantillonné et la fome de l ai de chaque moteu et analyée pendant deux minute. huile de oulement et aui analyée éulièement et l'intevention et equie i le poduit indiquant la déadation ont péent [1]. A ce tade on peut conclue que la plupat de technique pécitée exient l emploi de capteu qui doivent ête placé au niveau de la machine. C et pou cette aion elle peuvent ête utiliée que pou le machine de ande puiance. Ce technique ont baée énéalement u l utiliation de andeu mécanique afin que le inénieu mécanicien puient faie leu intepétation malé que le machine ont de moteu électique. a péence de inénieu électicien et néceaie pou inteveni dan la patie électique et pou cette aion le technique de dianotique ont de plu en plu oientée ve l emploi de andeu électique vu leu acceibilité et la implicité du capteu utilié

19 Chapite I 15 I.2.3 Technique manétique et électique I Dianotique pa meue du flux manétique axial de fuite e flux de fuite axial peut ête détecté pa une bobine (bobine exploatice) enoulée autou de l'abe de la machine (Fiue I-9) et aui pa n'impote quel aanement ymétique imple de bobine placée à l'extémité de l abe de la machine ou pa d'aute dipoitif enible telle que le onde à effet hall. oque la bobine et enoulée autou de l'abe d'une machine électique elle et le ièe d'une foce électomotice (Fem) induite qui et liée aux flux de fuite axiaux. e flux de fuite ont péent dan toute le machine électique en aion de aymétie dan le cicuit électique et manétique qui ont due aux fluctuation du éeau électique et le toléance pendant le poceu de fabication. analye pectale de la tenion induite peut ête utiliée pou identifie le difféente aymétie et défaut. e contenu d hamonique de flux de fuite axiaux du tato et du oto et diectement en elation avec le hamonique contenu epectivement dan le couant du tato et du oto. a conéquence diecte d un défaut et l aumentation du flux de fuite axial. Cette aumentation du flux et la condition néceaie pou l utiliation du flux de fuite axial comme une technique de dianotique c'et-à-die ce denie doit avoi une valeu impotante. abe de la machine Moteu aynchone Bobine exploatice Fiue I.9 : Bobine exploatice pou la meue du flux de fuite axial

20 Chapite I I Dianotique pa l analye du couant tatoique Cette méthode et un outil puiant pou détecte la péence de défaut mécanique et électique. Elle péente pluieu avantae pa appot aux aute méthode pace qu elle ne demande ni l intoduction d un capteu au niveau de la machine ni l utiliation d un équipement coûteux et encombant mai eulement un capteu de couant (onde à effet de hall ou tanfomateu de couant) qui donne une imae u le couant de phae tatoique. C et cette méthode de dianotique qui ea utiliée comme outil de dianotique dan la echeche de difféent défaut dan ce tavail. C et une méthode de uveillance qui conite à utilie le pecte du couant tatoique [14] [15] [16]. Sachant que dan un pecte de couant d un moteu an défaut appaaît uniquement la compoante du fondamental pou une épatition inuoïdale de la Fmm. Dan le ca d une épatition non inuoïdale de la Fmm en plu du fondamental appaaît de hamonique de l encochae otoique ca d un moteu à cae. Pou monte le pincipe de cette méthode on conidèe le ca d une aymétique otoique d un moteu aynchone l exitence de ce défaut enende un couant de défaut dan le oto Ce couant poduit une Fmm pulatoie dont la féquence d ondulation et f cette Fmm poduit dan l enoulement tatoique une hamonique à deux compoante la pemièe ayant la féquence 1 2 f et la deuxième ayant la féquence 1 2 f. (fiue I-1). 16 Souce tiphaée Moteu Chae Capteu de couant Module de conditionneme nt Cate d acquiition Fiue I.1 : chéma ynoptique du pincipe de la méthode du pecte du couant tatoique PC

21 Chapite I 17 I.3 Concluion Nou avon péenté dan ce pemie chapite le difféent défaut affectant le machine aynchone et leu méthode dianotique. On a aui fait l objet de la péentation de la méthode de l analye pectale du couant tatoique qui fait l objet de note tavail ; pou la détection de défaut dan le machine aynchone. Son pincipe et baé u l emploi de andeu électique facile à manipule. Pou monte l effet de défaut u le moteu il et néceaie d avoi un modèle mathématique éiant le fonctionnement du moteu lo du défaut afin de imule on compotement. Ceci fea l objet du deuxième chapite uivant

22 Chapite II 18 Chapite II Modéliation du moteu aynchone Dan ce chapite deux modèle dynamique du moteu aynchone à cae d écueuil ont utilié pou étudie le compotement de la machine à induction dan le ca de fonctionnement ain. Dan le pemie modèle on va teni compte de tou le hamonique d epace due à la ditibution non inuoïdale de la foce manétomotice (Fmm) dan l entefe. e calcul de difféente inductance a été éalié pa l intoduction de l appoche de la fonction d enoulement (A.F.E) [17]. Dan le deuxième modèle on utilie l appoche de la fonction d enoulement modifiée pou calcule le difféente inductance de la machine pou la pie en compte de effet enendé pa le inclinaion et le ouvetue que peuvent péente le encoche de la machine. II.1 Modèle de la machine aynchone à cae d écueuil Pou la modéliation de la machine aynchone tiphaé à cae d écueuil à nb bae otoique le hypothèe couamment poée ont : - la atuation du cicuit manétique l hytééi et le couant de Foucault ont nélieable. - a peméabilité du fe et uppoée infinie. - e éitance de enoulement ont contante et le phénomène d effet de peau et nélieable. - l enoulement tatoique et identique pa appot à l axe de ymétie. - la cae otoique et uppoée ête eoupée un nombe de maille eliée ente elle électiquement et couplée manétiquement fomant un enoulement polyphaé. Chaque maille et contituée de deux bae adjacente et le deux potion d anneau de cout cicuit qui le elient [3]. II.1.1 Equation de tenion tatoique : e équation de tenion de toi phae tatoique écivent alo comme uite : d V R I (II.1) dt

23 Chapite II 19 Où la matice de flux tatoique et donnée pa : Ψ I I (II.2) [V ] et le vecteu de tenion tatoique. [I] et [I] ont le vecteu de couant tatoique et otoique epectivement. Avec : V va vb vc T (II.3) I i i i T (II.4) a b I i i i... i i T 1 2 c (II.5) 3 n b e En notant que le indice a b c font éféence au tato et le indice nb e aux maille et anneaux de cout-cicuit. [ R ] et une matice de éitance tatoique diaonal de dimenion 3 et donnée pa : Avec [ R ] a b R c a R b R c R R R : ont le éitance de enoulement tatoique. (II.6) et a matice ymétique de inductance tatoique de dimenion 3*3 et donnée pa : aa ab ac (II.7) ba bb bc ca cb cc

24 Chapite II 2 Où ii ij epéentent epectivement l inductance pope de la i éme phae et l inductance mutuelle ente la i éme et la j éme phae (i j). et a matice de inductance mutuelle de phae tatoique et le maille otoique de dimenion 3*(nb+1) expimée ou la fome uivante :... a1 a 2 a ( nb 1) an b... (II.8) b1 b 2 b ( n 1) b bn b... c1 c2 c( nb 1) cnb Où ai epéente l inductance mutuelle ente la phae "a" et la i éme maille otoique. De même pou le aute phae. e inductance mutuelle ente le phae tatoique et le ement de l anneau de coutcicuit ont néliée ceci et epéenté pa un zéo dan la denièe colonne de la matice. En emplaçant l équation (II-2) dan (II-1) on obtient : V R I I d I d I d (II.9) dt dt dt e denie teme de l équation (II-9) peut ête écit comme uit : d d dt I d I (II.1) d dt Où θ et l anle qui définit la poition du oto pa appot au tato. Avec d (II.11) dt et la vitee mécanique du oto

25 Chapite II 21 Pa ubtitution (II-1) et (II-11) dan (II-9) l équation (II-9) devient : V R I I d dt I d I d dt (II.12) dθ II.1.2 Equation de tenion otoique : a fiue (II-1) illute le chéma équivalent du oto à cae où ont epéenté le couant ciculant dan le maille et le anneaux de cout-cicuit. Fiue II.1: Cicuit équivalent du oto à cae d'écueuil a modéliation de la cae otoique conite à écie le équation de tenion de nb maille pacouue pa nb couant indépendant et de teni compte d un de deux anneaux de cout-cicuit. Nou obtenon aini un ytème de nb+1 équation qui et donné pa la elation maticielle uivante : V RI d (II.13) dt Où la matice de flux otoique et donné pa : Ψ I I (II.14)

26 Chapite II 22 V et le vecteu de tenion otoique qui et nul pou le ca d un oto à cae d écueuil. R et la matice ymétique de dimenion (nb+1)*(nb+1) de éitance otoique qui et expimée pa la elation uivante : R 2 ( R b R ) R. R b b R e e 2( R R b b R ). R e e R. b R e 2( R R b. b R R ) e e Re R e. Re n b. Re (II.15) Avec R b et R e epectivement la éitance d une bae otoique et la éitance d un ement de l anneau de cout-cicuit. [ ] et la matice de inductance otoique de dimenion (n b +1)*(n b +1)) qui écit ou fome maticielle comme uit : m 2( b e ) 21b : ( nb1 )1 nb 1b e 1 2b... m 2( b e )... : : ( nb1 ) 2... nb e 1( nb1 ) 2( nb1 ) : m 2( b e ) nb ( nb1 ) b e 1nb b 2nb : ( nb1 )nb b m 2( b e ) e e e e e e n b e (II.16) Avec m l inductance de manétiation d une maille otoique. b et e ont epectivement le inductance de fuite d une bae otoique et d un ement de l anneau de cout-cicuit et ij l inductance mutuelle ente la i éme et la j éme maille otoique. [ ] et la matice de inductance mutuelle ente le maille otoique et le phae tatoique elle et éale à la matice tanpoée [ ] dan le ca d un moteu avec entefe unifome. En emplaçant l équation (II-14) dan (II-13) on obtient : d I d I d (II.17) dt dt dt V R I I

27 Chapite II Sachant que : d d dt I d I (II.18) d dt 23 V R I I d I d I d (II.19) dt dt dθ Afin d obteni le ytème d équation électique lobal de la machine on aemble le deux ytème (II-19) et (II-12) ou la fome uivante : V V R R I I I d dt I I d d I I I (II.2) En poant : V V V On obtient : ; R R R ; ; I I I (II.21) d d (II.22) dt d V R I I II.1.3 Equation mécanique : Nou allon ajoute le équation mécanique du mouvement au ytème d équation électique et ceci dont le but de faie une étude électomécanique du fonctionnement de la machine. équation mécanique du mouvement dépend de caactéitique de la chae qui diffèe laement d une application à l aute. Pou la implicité dan ce ca nou uppoon que le couple qui oppoe à celui poduit pa la machine conite eulement en une chae à inetie et un couple extene de chae qui ont connu explicitement

28 Chapite II 24 et Où J T d dt T T e c (II.23) d (II.24) dt J T : moment d inetie total u l abe du moteu. T c : couple de chae. T e : couple électomanétique poduit pa la machine. e couple électomanétique et tié à pati de la co-éneie manétique W co comme uit : W co Te I I con tant (II.25) a co-éneie et éale à l éneie tockée dan un cicuit manétique linéaie de ote que : W co 1 2 I t t I I I (II.26) d où : W co 1 t 1 t 1 t 1 t I I I I I I I I (II.27) Sachant que et (II-25) e éduit facilement a : contiennent eulement de élément contant de manièe que l équation T e 1 2 I t 1 t I I 2 I (II.28)

29 Chapite II Pa conéquent le pemie teme de l équation (II-28) et éal au econd teme pace que et ont éaux pou un entefe unifome. Donc l équation du couple e éduit à la fome finale : t e I I T (II.29) Tc Te kf dt d J T 1 1 (II.3) kf et le coefficient de fottement. a combinaion de équation électique (II-22) et de équation de mouvement (II-3) conduit au ytème d équation lobal [5] : T I dt d J I kf R Tc Te V 1 1 (II.31) Ce qui donne : T I kf R Tc Te V J I dt d (II.32) e ytème d équation obtenu et de 6 b n équation difféentielle à coefficient vaiable le inductance dépendent de la poition du oto pa appot au tato. Pou éoude ce ytème il faut avoi le valeu de difféente inductance de la machine.

30 Chapite II 26 II.2 Calcul de inductance pa l appoche de la fonction d enoulement Dan note étude on va utilie la fonction d enoulement modifiée qui emploie le même elation que la fonction d enoulement mai qui en plu tient compte de inclinaion de bae et la non-unifomité d entefe dan la machine. appoche de la fonction d enoulement (windin function en anlai) pemet le calcul de inductance en tenant compte de tou le hamonique. Cette appoche pend en conidéation la éométie éelle de la machine aini que la ditibution de l enoulement de manièe énéale. a peméabilité du fe et conidéée comme étant infinie [3]. II.2.1 Péentation en 2D de la fonction d enoulement modifiée : Pou monte le développement de la fonction d enoulement modifiée penon la machine de la fiue.2 qui eoupe deux mae cylindique. une d elle ceue et epéente le tato et l aute epéente le oto avec un entefe qui le épae. Soit abcda un contou abitaie défini pa appot à une éféence de phae fixée u le tato pa appot à une éféence axiale le lon de l axe de la machine et pa appot à la poition du oto meuée en epectant une poition tatoique fixe. Pou une poition avec et z z e ituent le point a et b et a une poition donnée et z nou etouvon c et d qui ont itué u la uface intene du tato et b et c u la uface extene du oto [18]. Fiue II.2 : Machine à induction élémentaie

31 Chapite II 27 Afin de paveni à l expeion de la fonction d enoulement modifiée nou epenon le même étape de [4] mai cette foi en faiant inteveni la dimenion axiale. Selon le théoème de Gaue on a: B ds. (II.33) Sachant que B H et que H F /. H étant l intenité du champ manétique F la foce manétomotice et l épaieu de l entefe. Ce andeu ont définie à n impote quel point de coodonnée z dan ce ca l écitue de (II.33) devient : 2 l F z dzd z (II.34) l déine la lonueu de la machine. D un aute coté et confomément à la loi d ampèe nou avon : abcda H z dl Jd. (II.35) et la uface enfemée pa le contou abcdb et J la denité du couant. Cette expeion (II.35) poua ête écite en fonction du nombe de tou enfemé pa le contou en objet et pacouu pa un même couant i comme uite : z dl n z i H (II.36) abcda et appelée fonction de ditibution ou fonction de tou. Dan le ca de machine électique elle et énéalement aociée à une bobine élémentaie ou bien à un enoulement contitué de pluieu bobine. En teme de FMM (II.36) elle peut ête écite comme uit : a fonction elative au nombe de tou n z F ab F F z F n z i (II.37) bc cd da En uppoant que le patie en fe ont une peméabilité infinie nou pouvon admette que et F da ont nulle aini à pati de (II.37) on obtient : F bc F ab. F z n z i (II.38) cd

32 Chapite II Pa diviion de deux membe de l équation II.38 pa la fonction d entefe z et pa intéation de la nouvelle expeion en allant de z juqu'à l 2 on obtient : dzd z i z n dzd z z F dzd z F l l cd l ab (II.39) Selon II.34 un teme de cette équation et nul de ce fait II.39 e éduit à l expeion uivante : dzd z i z n dzd z F l l ab (II.4) En définiant la valeu moyenne de la fonction d entefe invee z 1 tel que : d dz z l z l (II.41) A pati de II.4 et II.41 il et poible de tie l expeion de ab F et en la emplaçant dan II.39 nou aboution à : idzd z z n z i z n z F l cd (II.42) aini on pavient à l expeion donnant la fonction d enoulement modifiée en diviant le membe de (II.42)pa le couant i dzd z z n z l z n z N l Il et emaqué que cette expeion ne tient aucune etiction quant à l unifomité axiale notamment en teme d inclinaion de encoche ou d excenticité axiale. Si on nélie toute aymétie axiale on pavient à l expeion habituelle de la fonction d enoulement modifiée [4] : d n n N (II.44) (II.43)

33 Chapite II 29 1 Et i on admet que l entefe et unifome et que pa conéquent obtient : N Ce qui et équivalent à N 2 n n d et contante on 1 2 (II.45) n n (II.46) On e amène aini à l expeion de la fonction d enoulement donnée dan [3] et [19]. II.2.2 Expeion de inductance Dan cette ection nou déinon pa A et B deux enoulement quelconque de la machine. Soit la ditibution F de la FMM dan l entefe due au couant iai taveant une bobine A i et achant que le flux élémentaie coepondant dan l entefe et meué pa appot à un volume élémentaie de ection d d et de lonueu tel que : 1 d F d (II.47) e calcul du flux total evient donc à un calcul d intéale double. En effectuant le chanement de vaiable x et x tout evient comme i on et éféé à un epèe othonomé d axe X et Z là où il et poible d imaine une epéentation plane de la machine. Un choix qui nou etimon va nou aide à mieux concevoi et manipule le intéale de uface. Il et claie que x dan ce ca taduit bien le déplacement linéaie le lon de l ac coepondant à l ouvetue anulaie. De même en ce qui concene x. Sachant que N et la FMM pa unité de couant le flux vu pa le pie d une bobine Bjdû au couant taveant une aute bobine BjAi 2 l A i tient l expeion : 1 x z x n x z x x z x i dzdx N Ai Bj Ai (II.48) Et i à la place de Bjon taite plu paticulièement le ca d une maille otoique j et i A i et une de bobine connectée en éie de l enoulement de la phae tatoique A à la difféence du ca où on nélie toute aymétie axiale notamment du oto n x z ea j x

34 Chapite II 3 définie en 2D dan le plan délimité pa le axe X et Z. Cette définition peut ête taduite de la manièe uivante : n j x z x N j 1 x 1 j x x 2 j z 1 j à l' intevalleetant x zx z x 2 j (II.49) En penant en conidéation (II.49) l expeion donnant le flux vu pa la maille j dû au couant i A taveant la bobine x A i e éduit à : x x 1 x z x x z x i N dzdx (II.5) jai x 2 j 1 j z 2 j Dan le ca énéale où z 1 j Ai Bj et Ai A i epéentent deux bobine élémentaie de deux enoulement quelconque A à q bobine et B à p bobine le flux total tient on expeion énéale pa intoduction de fonction d enoulement et de ditibution lobale elative aux enoulement A et B epectivement et pa intéation pa appot à toute la uface S ituée ente la uface intene du tato et la uface extene du oto et meuée pa appot à un ayant moyen on aua: BA 2 l 1 x N x z x n x z x x z x i dzdx A B AB (II.51) A inductance mutuelle ea: BA étant le flux BA pa unité de couant pa conéquent on expeion BA 2 l 1 x N x z x n x z x x z x dzdx (II.52) A B Remaquon qu un éaanement de (II.52) pemet de mette en évidence une inductance définie pa unité de lonueu tel que [2] [21] : l ' x z x dz (II.53) BA BA - 3 -

35 Chapite II 31 Pou ce deux enoulement A et B et à pati de (II.43) et (II.52) il et éalement poible de démonte que du fait que: il en éulte : n B p x z x n x z x (II.54) j1 Bj Ce qui donne : N A q x z x N x z x (II.55) i1 Ai (II.56) q p BA Ai Bj i1 j1 BA BA 2 l 1 x N x z x n x z x x z x dzdx q p 1 x N x z x n x z x x z x i1 j1 q p x x i1 j1 2 l Ai Bj dzdx (II.57) BjAi (II.58) On note ici que le ine dan (II.58) et lié à la manièe dont ont accodée le bobine et qu en fonction de la poition de chaque enoulement pa appot à l aute il faut intoduie le valeu d éventuelle inductance de fuite dan l expeion énéale de la mutuelle notamment loqu il ait du calcul de l inductance pope. Dan le but de concevoi de uboutine detinée au calcul de difféente inductance de la machine il et poible de déduie une nouvelle expeion pouvant ête plu facile à ête taduite 1 en aloithme. Pou cela poon P x z l équation (II.43) penda la fome : N x z x n x z x dit peméance de l entefe. Dan ce ca x PnA A (II.59) P A Tenant compte de P l expeion de l inductance mutuelle devient : BA 2 l x z x PN x z x n x z x dzdx (II.6) A B

36 Chapite II 32 Et pa ubtitution de la fonction d enoulement pa on expeion donnée pa (II.59) on pavient à : 2 l Pn A B (II.61) P A x Pn x z x n x z x dzdx BA PnAPnB x z x 2 l pnanb 2l (II.62) P BA Pa utiliant (II.43) on abouti à l expeion (II.63) qui ea la bae de aloithme adopté. BA q p Pn A PnB x z x 2 l pnainbj (II.63) i1 j 1 P À pati de cette expeion on peut emaque que l inductance mutuelle BA et bien éale à AB [22]. Un éultat imilaie peut ête atteint en pocédant à l extaction de expeion de inductance à pati de l éneie manétique mie en jeu [23]. II.2.3 Application de la fonction d enoulement à la machine aynchone ou étude II Calcul an pie en compte de l effet de l inclinaion de bae a) Calcul de inductance tatoique Dan note ca la machine à étudie et une machine tiphaée à cae dont le paamète ont donné dan l annexe (-1-). e déphaae ente deux phae de l enoulement tatoique et de 2 3 et de 2 p nb = 4 nb ente deux bae otoique adjacente. a ditibution de l enoulement de la phae tatoique a et epéentée u la fiue (III.3.a) où chaque encoche contient deux faiceaux chacun contitué de fonction de ditibution n a avec une valeu moyenne na 2N N conducteu. a fiue (III.3.b) epéente a. Cette valeu nou pemet de touve la fonction d enoulement de la phae a uivant l équation (II.48). a fiue (III.3.c) epéente la fonction d enoulement de la phae A

37 Chapite II 33 (a) n a (b) 4 3 N N N n a 2 N a (c) 2 N N 12 N 2N Fiue (II.3) (a)- l a épatition de enoulement tatoique. (b)- la fonction de ditibution non inuoïdale de la phae (a). (c)- la fonction d enoulement non inuoïdale de la phae (a) e phae B et C ont le même fome de fonction de ditibution et d enoulement décalée epectivement et en etad de 3 et 2 3. Apè tout calcul fait on obtient pou l inductance manétiante de la phae A : A A l 2 n A N A d D où AA 2 l 72N (II.64)

38 Chapite II 34 e même éultat ont obtenu pou le aute phae : A A (II.65) B B C C inductance mutuelle ente l enoulement de la phae "a" et de la phae "b" et donnée pa : D où A B l 2 n A N B d A B l 8 N 3 2 (II.66) e même éultat ont obtenu pou le inductance mutuelle ente le difféente phae tatoique : AB (II.67) BA BC CB AC CA b) Calcul de inductance otoique a fiue (II.4.a et b) monte epectivement la fonction de ditibution et la fonction d enoulement d une maille otoique qui et conidèe comme étant une bobine à une pie. e fonction de aute maille péentent le même fome mai décalée ve la auche d un multiple de. Fiue. II.4 : (a)- Fonction de ditibution d une maille otoique (b)- Fonction d enoulement

39 Chapite II Avec la fonction de ditibution d une maille otoique ) ( ' ' ' ' j j j j n i et la fonction d enoulement d une maille otoique 2 2 / 1 2 / / ) ( ' ' ' ' j j j j N i e calcul de l inductance manétiante otoique de n impote quelle maille «j» et expimé pa la elation uivante: ) 2 (1 2 ' l njd Nj l j j j j (II.68) inductance totale de n impote quelle maille otoique «j» et éale à la omme de on inductance de manétiation de inductance de fuite de la bae et de inductance de fuite de deux ement d anneaux. e inductance mutuelle ente le maille otoique adjacente et non adjacente «i» et «j» ont donnée pa la elation : ) 2 ( 2 2 l d nj N i l j i j i (II.69)

40 Chapite II 36 c) Calcul de inductance mutuelle ente tato et oto inductance mutuelle ente la phae a et la maille otoique n1 et obtenue : 2 l 1A N A n 1 d (II.7) Pou calcule cette intéale on vaie la poition de la maille otoique pa appot au tato et on calcule pou chaque intevalle la valeu de l intéale analytiquement (voi annexe -2-). intéation analytique nou donne le éultat coniné dan le tableau (II.1). Pou chaque intevalle donné on a une valeu de l inductance mutuelle qui dépend de (θ ). Inductance a1 H Anle ad l l N N 2 l N 2 5 l 5 l N 5 5 l N 5 6 N Tableau II

41 Chapite II Pou obteni le inductance mutuelle ente la phae A et le aute maille otoique on obtient le même éultat mai décalée pa un anle (kα) avec k=123. Pou le inductance mutuelle ente le aute phae tatoique et la pemièe maille du oto on a toujou le même expeion mai décalé pa -2π/3 et -4π/3 epectivement. a fiue II.5 eoupe le inductance mutuelle ente le phae tatoique et la pemièe maille otoique tandi que la fiue II.6 epéente le inductance mutuelle ente la pemièe phae tatoique et le maille otoique 1 et A pati de la fiue II.5 on contate que B et 1C ont identique à 1 1 A mai décalée à doite epectivement de / 3 et 2 / 3. a fiue II.6 monte que l inductance mutuelle 2 et identique à 1 A mai décalée pa un A anle. Fiue II.5 : inductance mutuelle ente le phae tatoique A B C et la maille otoique

42 Chapite II 38 Fiue II.6 : inductance mutuelle ente la phae tatoique A et le maille otoique 1 et 2. II Calcul de inductance avec pie en compte de l effet de l inclinaion de bae Tout d abod on uppoe que la machine poède toujou un entefe unifome mai péentant une aymétie axiale au niveau du oto taduite pa l inclinaion de bae. Aini et dan le but de calcule le inductance mutuelle ente enoulement tatoique et otoique il et poible d écie [24] : Pn Ai 1 nj 2 l 2 l n Ai x z x n x z x j dzdx Sachant que le fonction de ditibution peuvent ête définie en deux dimenion de la manièe uivante : (II.71) n j x z x 1 x 1 j x x 2 j z 1 j à l' intevalleetant x zx z x 2 j (II.72)

43 Chapite II n Ai x z x N x 1i x x 2i z x à l' intevalleetant l (II.73) 39 Dan tout le ca et paticulièement quand la maille otoique et totalement ou le champ de la bobine l équation (II.71) devient : Pn Ai 1 nj 2 l x2 j z2 j x1 j z1 j x n x Ai x z x n x z x j dzdx (II.74) a fiue II.7 illute une vue plane du paae de la maille otoique ou le champ de la bobine tatoique tel que déine l anle d inclinaion de bae et x x l ouvetue de la epéente i 2i 1i / éme i bobine de la phae tatoique. Quand la maille et patiellement ou le champ de la bobine l intevalle d intéation e éduit à la uface commune 'D' ente la uface de pojection de la maille otoique j et celle de la bobine A i (la patie en jaune de la fiue II.7). En e éféant aux expeion (II.72) et (II.73) il et clai que l intéale dan le domaine etant et nulle: z l Z x z 2 j x z 1 j x z x 1 i i x 1 j (D) x 2 i x 2 j X Fiue II.7 : epéentation de l inclinaion de bae

44 Chapite II avec : z 1 j x l x x 1 j x x 1 j 1 j x x x x 1 j 2 j 4 (II.75) z 2 j x l x x 1 j x x 1 j 1 j x x 1 j x x 2 j (II.76) Suite à ce conidéation l équation (II.74) devient : 1 Pn n n 1dzdx Ai j 2 l D Ai (II.77) Sachant que n Ai et contante dan le domaine D et et éale à ête écite en fonction de l aie délimité pa le domaine 'D' tel que : Quant à Pn et Pn Ai N l équation (II.77) peut NSD x PnAinj (II.78) 2 l j et du fait qu elle ont indépendante de la poition leu valeu peuvent ête facilement déduite à pati de expeion : 2N PnA (II.79) Sj Pnj (II.8) 2 l e calcul de la mutuelle tato oto elon l expeion (II.63) evient en patie au calcul de l aie du domaine 'D' en fonction de la poition du oto il et fonction aui du nombe de pie de chacune de bobine de l enoulement de la phae. Et plu énéalement il faut pécéde l expeion éultante avec un ine poitif ou néatif elon que le couant dan la bobine oit entant ou otant

45 Chapite II Pou le calcul de inductance mj et jk et avec le même aionnement en poant nj ou n k 41 epectivement dan (II.71) à la place de contate que la uface d une maille otoique conidéation du deé d inclinaion de celle-ci. Soit : S j b n Ai et tenant compte de (II.8) il et poible de Sj demeue contante face à la pie en 2l (II.81) n Ce qui fait que le inductance otoique toujou inchaneable devant le fait d incline le bae otoique tiendont le même expeion (II.68) et (II.69) péétablie. D un aute coté le calcul de inductance d une amatue ne affecte pa pa la pie en compte de l effet de l inclinaion de encoche de l aute amatue. Pa conéquent dan ce péent ca le inductance tatoique eont celle calculée pou un oto à bae non inclinée. II Intoduction de l ouvetue d encoche Dan le cade du calcul de inductance on va pende en compte l ouvetue d encoche qui epéente un ce éel dan cetaine machine. Examinon le ca d un enoulement A placé dan de encoche qui elon le ca peuvent péente une ouvetue de laeu dan la imple confiuation conidéée. a fiue II.8 monte la fonction de ditibution d une bobine A i de l enoulement A dan le deux ca an et avec intoduction de l ouvetue de l encoche dan le calcul de la FMM [2]. n Ai x N Ai (a) n Ai x x 1 i i x 2 i X N Ai (b) x 1 i x 2 i X i Fiue II.8 : fonction de ditibution de la bobine tatoique A i. (a)- an intoduction de l ouvetue de l encoche. (b)- avec intoduction de l ouvetue de l encoche

46 Chapite II 42 à pati du fiue (II.8) l expeion de la fonction de ditibution d une bobine tatoique peut ête expime comme uit [25] : n Ai x N Ai x xi N Ai N Ai x x 2i x x x 1i 1i 2i x x 1i x x x x 2i 2i à l' inevalleetant (II.82) Il et à note qu on ne taite pa l effet de encoche dan le en pope mai on vie plu paticulièement ici l évolution linéaie de la FMM dan l entefe en allant d un coté à l aute d une encoche ayant une ouvetue de laeu ad. Dan la fiue II.9 on peut obeve le fonction décivant le inductance mutuelle ente la pemièe phae tatoique et la pemièe maille otoique dan le quate ca enviaé an et avec pie en compte de ouvetue d encoche tatoique et an et avec inclinaion de bae otoique. Dan chaque fiue la fonction dont la valeu maximale et la plu impotante epéente la pemièe déivée pa appot à de l inductance 1. A Dan la fiue II.9-a on peut voi l allue de 1 A qui et loin d ête une inuoïde. Il et à emaque aui qu un calcul analytique de la pemièe déivée de 1 A fait abouti à une fonction à caactèe dicontinu. a fiue II.9-b monte le vaiation qui peuvent découle de la pie en compte de ouvetue d encoche ce vaiation ont appaente dan la pemièe déivée de l inductance mutuelle

47 Chapite II 43 (a) (b) (c) (d) Fiue II.9 : inductance mutuelle ente la phae A tatoique et la maille 1 otoique (en bleu) et a pemièe déivée pa appot à (en oue). (a)- an inclinaion de bae ni ouvetue d encoche. (b)- an inclinaion de bae avec ouvetue d encoche. (c)- avec inclinaion de bae et an ouvetue d encoche. (d)- avec inclinaion de bae et ouvetue d encoche. a fiue II.9-c met en évidence une enible modification dan l allue de l inductance mutuelle aini qu une nette vaiation dan a pemièe déivée notamment en teme d allue que de valeu maximale. Alo que dan la fiue II.9-d on peut voie l effet enendé pa la pie en compte de deux effet en même temp ce effet e manifetent dan le phae où l inductance mutuelle vaie en fonction de la poition du oto. Dan tout ce ca il et aini poible d obeve la qualité du paae de la maille otoique ou le champ de la phae tatoique un paae plu doux en faiant inteveni le deux effet mentionné

48 Chapite II 44 II.3.1 Modèle du moteu aynchone à cae d écueuil avec défaut de coutcicuit ente pie : On eaye à tave cet exemple élémentaie de monte l effet du cout-cicuit ente pie d une bobine u le modèle de la machine. II Exemple élémentaie : Soit une bobine A X à cinq pie occupant deux encoche tel que illuté pa la fiue II.1. oqu un cout-cicuit appaaît ente le point de contact a1 et a2 on obtient quate pie en éie et une pie additionnelle cout-cicuitée. Il en éulte moin de pie effective dan le cicuit de la phae; donc appaait un affaiement de la FMM éultante et la céation d une nouvelle maille cout-cicuitée et couplée manétiquement avec le aute cicuit de la machine [26]. Fiue II.1 : epéentation élémentaie d un cout-cicuit ente pie

49 Chapite II 45 II Cicuit tatoique équivalent coepondant au défaut cout-cicuit : a fiue II.11 epéente le cicuit tatoique équivalent du nouveau ytème avec deux banche additionnelle. a banche de défaut d elative aux pie cout-cicuitée et la banche contact elative à la banche de cout-cicuit(a1-a2). R d epéente la éitance effective de la banche cout-cicuitée et et énéalement petite tandi que R contact et la éitance de la banche de cout-cicuit qui doit ête tè ande dan l état ain du moteu. a imulation du cout-cicuit buque conite à faie annule en un intant tcc la éitance R contact. Il et à appele que la maille cout-cicuitée éultante et couplée manétiquement avec le aute cicuit de la machine ce qui impoe le calcul de nouvelle inductance toujou elon le notion péétablie. Aucun couplae ne ea enviaé avec la banche contact en aion de on caactèe non inductif. Quant au modèle mathématique la fomulation de bae elative au ytème d équation difféentielle pa le équation (II.32) il ne ubit pa de ande chanement à pat l extenion de vecteu tenion et couant en leu nouvelle expeion donnée pa V V V V V T Fiue II.11 : epéentation d un cicuit tatoique contenant un cout-cicuit ente pie. V (II.83) A B C d contact I I I I I T I (II.84) A B C d contact

50 Chapite II 46 Et pa conéquent la éinitialiation de matice inductance et éitance en tenant compte de banche nouvellement intoduite. e cout-cicuit ente pie appaaît dan la ection extéieue de la pemièe bobine de la phae A. Quant il y a un cout-cicuit ente pie la fonction d enoulement de la phae en défaut chane aini que on inductance pope a éitance et on inductance mutuelle avec tou le aute cicuit de la machine [27]. II Application à la machine étudiée Conidéant le ca d un cout-cicuit qui touche un cetain nombe de pie de la pemièe bobine de la phae A pui on calcul le difféente inductance de la machine. II Calcul de inductance tatoique Avec le même pincipe de calcul que pou le ca ain conidéant maintenant la phae A en défaut avec a nouvelle fonction d enoulement modifiée. a fonction d enoulement de la phae A en défaut et obtenue en etanchant la fonction d enoulement de la potion cout-cicuitée A aine comme indiqué u la fiue (II.12). d N de la fonction d enoulement de la phae

51 Chapite II 47 N a (a) 2 N N N 2N n d 3 ccn 2 (b) n d n d (c) ccn cc 2 N N a N 1 cc N 2 cc N 1 cc N 2 cc 2 N N 2 cc 2 1 cc 2 N 1 cc 2 (d) 2 Fi.II.12 : (a)- fonction d enoulement de la phae a aine. (b)- fonction de ditibution de la potion cout-cicuitée. (c)- fonction d enoulement de la potion cout-cicuitée. (d)- fonction d enoulement de la phae a en défaut

52 Chapite II 48 e teme cc epéente la faction de pie cout-cicuitée ( n ccn ) On calcul le inductance mutuelle tatoique de la manièe uivante : cc 2 l l Na( ) na ( ) d N cc cc (II.85) 12 aa 2 2 l l 2 72 bb Nb( ) nb ( ) d N (II.86) 12 cc bb 2 l l 2 8 cc ab Na( ) nb ( ) d N (II.87) 3 2 ac ab 2 l l 2 8 bc Nb( ) nc ( ) d N (II.88) 3 Sachant que ab ba bc cb et ac ca dd 2 l l 2 2 Nd ( ) nd ( ) d N cc (II.89) ad l 2 Na ) l 2 2 ( ) nd ( d N cc cc (II.9) 2 l l 2 bd Nb( ) nd ( ) d N cc (II.91)

53 Chapite II II Calcul de inductance otoique On n appote aucune modification aux inductance otoique c'et-à-die le même inductance que dan un moteu ain ont etenue. II Calcul de inductance mutuelle ente le tato et oto e calcul e fait de la même manièe on n a pa de chanement au niveau de inductance mutuelle ente le phae B C et le maille otoique pa conte l inductance mutuelle chane ente la phae A et tout le aute enoulement de la machine. On calcul aui celle de la potion de pie cout-cicuitée avec tout le aute enoulement de la machine. e calcul évolue comme uit : 2 l a 1 Na ) S ( ) n ( d l a1 N cc (II.92) S S l a1 N 2 S cc (II.93) Apè tout calcul fait on emaque qu il n y a que le eule teme cc qui fait la difféence ente ce valeu et le valeu du tableau (II 1) mai cela pou l intevalle 7 et pou 7 7 l 3 1 7cc a 1 N 1 cc 2 cc 7 (II.94) l cc a 1 N 2 (II.95) 2 cc Concenant l intevalle 7 23 on ajoute le teme au lieu de cc et pou l 3 a1 N 1 cc cc 1 cc 23 (II.96)

54 Chapite II l a1 N cc (II.97) 2 2 l a1 N 2 4 cc (II.98) On calculea apè l inductance mutuelle ente la potion de pie cout-cicuitée et le maille otoique pou cela on uit la même méthode d intéation et on touve le éultat du tableau uivant : Inductance a1 H Anle ad l ccn 7 l cc N l ccn 2 l N cc l ccn 23 2 inductance mutuelle ente la potion n d et la maille 23.nb et la même que celle vue avec la maille 1 on emplace jute pa 2... nb1 epectivement

55 Chapite II 51 a fiue II.13 met en évidence le nouvelle inductance mutuelle ente le enoulement contituant le cicuit tatoique et la pemièe maille otoique. Fiue II.13 : inductance mutuelle ente le enoulement tatoique et la maille 1 otoique

56 Chapite II 52 II.3.2 Modéliation du moteu avec défaut de bae aymétie otoique du moteu à cae et epéentée pa la uptue de bae ou de ement d anneau. Cette uptue peut ête totale ou patielle [28]. II Factue totale d une bae e ca d une caue totale d une bae inifie que le couant ne pae pa dan cette bae donc il et nul. a Fiue (II-12.a) monte la dipoition énéale de deux maille adjacente et donne le couant qui ciculent dan le bae et dan le anneaux. I I+1 I - Ie I+1 - Ie Fiue II.12.a Deux maille adjacente Si une bae et ouvete (caée) cela implique que I+1 = I voi fiueii-12.b I I - Ie I - Ie Fiue II-12.b Deux maille adjacente avec une bae caée a condition I+ 1 = I et impoée u la matice de éitance et de inductance pa l addition de la colonne elative à I+ 1 à celle elative à I. De même pou le line I + 1 et uppimé du vecteu couant et tenion. a taille de matice et éduite elon le nombe de bae caée

57 Chapite II II Factue patielle d une bae Une bae étécie ou mal oudée epéente une aumentation de la éitance de cette denièe pa appot à une bae nomale Ce qui inifie le paae d un faible couant dan cette bae. a matice de éitance et modifiée en aumentant la valeu de la éitance de la bae défectueue. 53 II.4. Concluion : Dan ce chapite on a intoduit une nouvelle appoche pou la modéliation du moteu à induction dont le modèle et baé diectement u la éométie éelle de la machine et la dipoition phyique de e enoulement. extenion de la fonction d enoulement en une fome pemettant la pie en compte de l aymétie axiale a été utiliée avec pofit dan la modéliation de l effet de l inclinaion de bae otoique et la pie en compte de l ouvetue de encoche dan le calcul de l évolution linéaie de la FMM ente le extémité de encoche aini que le calcul de inductance dan le ca d un cout-cicuit ente pie. e modèle péenté vont ête utilié pou la imulation du compotement du moteu avec difféent type de défaut : défaut de cout-cicuit de pie et défaut de bae afin de faie la imulation de leu effet u le compotement du moteu qui fea l objet du chapite pochain

58 Chapite III 54 III.1 Intoduction e début de ce chapite ea maqué pa le taitement du fonctionnement du moteu aynchone à cae dan on état ain. e éultat de imulation obtenu pou un moteu ain pou difféent chae eont alo utilié comme une éféence pou étudie le difféente type de défaut qui pouvant appaaîte dan un moteu. Dan note tavail le défaut de cout-cicuit défaut de bae et de anneaux de cout-cicuit eont étudié. III.2 Fonctionnement du moteu ain : a imulation du moteu à cae d écueuil ain baée u l appoche de fonction d enoulement modifiée et péentée elon le deux ca enviaé c'et-à-die an et avec pie en compte de l effet de l inclinaion de bae. évolution linéaie de la FMM le lon de l encoche qui contitue une pemièe tentative d intoduie l ouvetue d encoche dan le modèle et aui intéée dan la imulation. e fiue III.1 juqu à III.5 epéentent le andeu électomécanique ou une chae de 8Nm. e éultat illutent le vaiation de ce andeu en fonction du temp et dan le deux ca. a fiue III.1 monte claiement comment l inclinaion de bae contibue à faie aumente le liement avec éalement une enible modification du éime tanitoie. Mai en conte patie le pulation de vitee péentent dan le ca an l effet de l inclinaion de bae e touvent nettement ammélioie avec l intoduction de cet effet de l inclinaion de bae dan le modèle. Dan le fiue III.2 et III.3 qui epéentent le couple électomanétique coepondant il et poible de contate le amélioation qu appotent l inclinaion de bae notamment en teme de éduction de pic au éime tanitoie et éduction de ocillation au démaae et au éime pemanent. D un aute coté le fluctuation de couant en éime pemanent ont moin impotante avec l intoduction de l effet de l inclinaion de bae et a fome d onde et inuoïdale (Fiue III.4 III.5 III.6 et III.7)

59 Chapite III 55 (a) (b) Fiue III.1 : Vitee mécanique et on zoom du moteu ain ou une chae de 8Nm. a) an inclinaion. b) avec inclinaion

60 Chapite III 56 Fiue III.2 : Couple électomanétique coepondant et on zoom. ca de non pie en compte de l inclinaion de bae. Fiue III.3 : Couple électomanétique coepondant et on zoom. ca de pie en compte de l inclinaion de bae

61 Chapite III 57 Fiue III.4 : Couant de la phae A tatoique - an pie en compte de l inclinaion de bae. Fiue III.5 : Couant de la maille 1 otoique - an pie en compte de l inclinaion de bae

62 Chapite III 58 Fiue III.6 : Couant de la phae A tatoique - avec pie en compte de l inclinaion de bae. Fiue III.7 : Couant de la maille 1 otoique -avec pie en compte de l inclinaion de bae

63 Chapite III 59 III.2.1 Analye pectale du couant tatoique Afin de mieux évalue la difféence ente le modèle mathématique qui pend en conidéation l effet de l inclinaion ou non on va étudie le pecte du couant d une phae tatoique. e fiue III.8 (a et b) epéentent le pecte du couant tatoique pou le ca de non pie en compte de l inclinaion de bae. e hamonique d epace e manifetent pa de fluctuation dan la fome tempoelle du couant tatoique et pa la céation d hamonique de haute féquence appelé hamonique d encoche otoique. Ce hamonique expiment pa la fomule uivante : f h ( k n(1 )/ p) f avec f la féquence d alimentation p le nombe de paie de pôle k et n p 1. et le liement. Dan note ca de imulation ce hamonique e manifetent à de féquence : f f f f f f h1 h2 h3 h4 h5 h6 (1718) f hz (1918) f hz (35 36) f hz (37 36) f hz (53 54) f hz (55 54) f hz e fiue III.9 (a et b) epéentent le pecte du couant pou le ca de la pie en compte de l inclinaion de bae. Ce fiue indiquent claiement une atténuation de pique avec un petit décalae dû à l aumentation du liement ce qui inifie une amélioation de note couant couple et vitee. e pemièe féquence coepondant aux hamonique d encoche otoique ont : f f f f f f h1 h2 h3 h4 h5 h6 (1718) f hz (1918) f hz (35 36) f hz (37 36) f hz (53 54) f hz (55 54) f hz - 59-

64 Chapite III 6 (a) (b) Fiue III.8 : Specte coepondant du couant de la phae tatoique A an pie en compte de l inclinaion de bae. a)- pou le bae féquence. b)- pou le haute féquence (a) (b) Fiue III.9 : Specte coepondant du couant de la phae tatoique A avec pie en compte de l inclinaion de bae. a)- pou le bae féquence. b)- pou le haute féquence Dan la uite de ce chapite on entamea une étude de imulation du moteu lo on fonctionnement avec : - Un défaut de cout-cicuit - Un défaut d anneau de cout-cicuit. - Un défaut de bae - 6-

65 Chapite III 61 oque on vaie la chae de 8Nm ve 12Nm on emaque que le ondulation de andeu électomécanique aumentent avec l aumentation de la chae. Ceci et illuté pa la fiue III-1 qui péente le ca du fonctionnement du moteu ain ou une chae de 12 Nm. On obeve aui que l aumentation de la chae e manifete aui pa l aumentation de amplitude de hamonique pincipaux d encoche otoique (fiue III-3-d). (a) (b) (c) (d) Fiue III.1 : Ca d un moteu ain ou une chae de 12Nm. a) b) vitee de otation et couple électomanétique c) d) couant tatoique et on pecte

66 Chapite III 62 III.3 Fonctionnement du moteu avec défaut tatoique III.3.1 cout -cicuit ente pie e défaut conidéé dan ce ca et le cout-cicuit de quate pie le moteu étant chaé de 5Nm le fiue III-11-a-b-c et d montent le fluctuation dan le couple électomanétique et la vitee de otation tandi que la fiue III-12-a illute le inaux coepondant aux couant IA (en noie) IB (en oue) et (en bleu) Id. On obeve aui une aumentation du couant de la phae a et une aumentation exceive du couant de défaut de cout cicuit Id à de valeu pouvant affecte le bon fonctionnement du moteu. a fiue III-12-b epéente le pecte du couant de la pemièe phae tatoique défaillante la eule nouvelle compoante féquentielle viible contatée et à 15Hz. Fiue III.11 : ca d un moteu avec cout-cicuit de quate pie ou une chae de 5 Nm. a) b)vitee de otation et on zoom en éime pemanent. c) d) couple électomanétique on zoom en éime pemanent - 62-

67 Chapite III 63 (b) Fiue III.12 : ca d un moteu avec cout-cicuit de quate pie ou une chae de 5 Nm. a)couant de phae tatoique en éime pemanent. b) pecte de la phae a

68 Chapite III 64 III.3.2 : Déconnection d une phae On a pa beoin d un and chanement dan la tuctue de bae du modèle afin de imule une déconnection d une phae à pat l élévation de la éitance de la phae objet de déconnection en une tè ande valeu imulant aini un cicuit ouvet. Cela ea apte à pédie le compotement du moteu en éime pemanent jute apè le défaut. a fiue III.13 illute le ocillation pouvant découle d une déconnection de la pemièe phae et qu on peut facilement le ditinue de ocillation fonctionnelle qui ne peuvent nuie au fonctionnement nomal du moteu. e moteu tend à écupée le couant annulé à pati de phae etante pou finalement eaye de vaince le couple éitant. Fiue III.13 : (a) Vitee (b) couple (c) couant de la phae A tatoique et (d) couant de la phae B tatoique avant et apè le défaut

69 Chapite III 65 III.3.3 : Concluion Dan ce chapite nou avon imulé le moteu aynchone pou le deux ca de fonctionnement ain et avec défaut de cout-cicuit afin de monte l effet de défaut u on compotement électomécanique. e défaut de cout-cicuit de pie tatoique chane le flux dan la machine et pa ce chanement toute le andeu qui dépendent du flux vont ête petubée. Cet effet et viible u l allue du couple électomanétique qui e taduit pa a fluctuation et aui u la vitee otoique. Pa conéquent le enoulement tatoique voient cette vaiation de flux qui cée de Fem induite dan ce denie. Ce Fem induite donnent naiance à un couant qui appaaît dan le pecte du couant tatoique pa la céation de l hamonique à 15Hz ce qui pemet d identifie le défaut. Si la déconnexion d une phae et détectée pa la meue diecte du couant tatoique ou uite au déclenchement pa la potection conte le uchae au niveau de deux phae etante la détection du cout-cicuit patiel n et pa aui implement. De ce fait on doit impéativement oiente ve d aute appoche plu efficace. analye pectale du couant tatoique en et une. appaition de féquence obéiant à l expeion (I.1) et fonction de la évéité du défaut le modèle établi ne peut le évéle mai dan tout le ca la féquence 15Hz ea toujou péente indiquant un cetain dééquilibe d impédance ; cette denièe et enible à l appaition du défaut tatoique. Ajoutant à cela la modulation de hamonique d encoche otoique et notamment la pemièe

70 Chapite III 66 III.4 Fonctionnement du moteu avec défaut de bae Dan la imulation de défaut de bae ou de ement d anneaux de cout cicuit le modèle du moteu ain ea utilié tel qu il et il uffit eulement de faie aumente le éitance de bae ou de ement en défaut à de valeu pouvant efléte le deé de uptue patielle voulu Ce conidéation ont pie du fait qu une uptue totale de bae e epoduit aement. e éultat obtenu ont intéeant du fait que toute le aie pédite pa le développement analytique peuvent ête obevée dan le pecte éultant. Plu le facteu de multiplication et and plu la évéité de défaut ande. III.4.1 Fonctionnement du moteu avec caue de bae ou d anneau de cout-cicuit: e éultat iu de la imulation du fonctionnent ou condition de défaut de caue de bae et difféent du point de vue allue et aie pectale. e fiue III-14 et III- 15 péentent le couple électomanétique la vitee le couant tatoique avec on zoom et on pecte avec défaut d une caue d une bae ou une chae 8Nm. On contate u le andeu électomécanique de fluctuation d amplitude plu impotante que celle d un moteu ain. e fiue III-15-abc et d péentent l allue epectivement l évolution du couant en éime pemanent on zoom le pecte du couant autou du fondamental et le pecte autou de hamonique caactéitique du défaut de haute féquence le modèle avec hamonique d encoche et plu pefomant du fait qu il et capable de dévoile une nouvelle éie d hamonique donnée pa (I.3)(fiue II.2-d) dan la imulation du défaut e battement du couant ont plu impotant que ceux obtenue dan le ca d un moteu ain. e pecte du couant obtenu monte que la caue de bae e manifete pa la céation d hamonique de pat et d aute du fondamental à de féquence fb 1 ( 1 2) f et fb2 (1 2) f. Dan note ca la machine opèe avec un liement de.9 oit : f 49.1Hz et fb2 5. Hz. b1 9 e fiue III-16-abc et d illutent la vitee de otation le couple électomanétique le couant tatoique en éime pemanent et on pecte avec caue de deux bae

71 Chapite III 67 En compaant le pecte du couant dan le ca d une caue d une bae et de deux bae nou pouvon emaque que l aumentation du nombe bae caée aumente l amplitude de hamonique caactéitique du défaut. e fiue III-17-ab c et d illutent la vitee de otation le couple électomanétique le couant tatoique en éime pemanent et on pecte avec caue d une ement d anneaux de cout-cicuit. e pecte du couant obtenu dan le ca de caue d anneaux de cout-cicuit monte que le hamonique énéé pa ce type de défaut ont le même que ceux énéé dan le ca de caue de bae. (a) (b) (c) (d) Fiue III-14 : ca d un moteu avec caue d une bae ou une chae de 8Nm. avec inclinaion de bae. a) b) couple électomanétique e on zoom. c) et d)vitee de otation et on zoom

72 Chapite III 68 (a) (b) (c) (d) Fiue III.15 : ca d un moteu avec caue d une bae ou une chae de 8Nm. avec inclinaion de bae. a) b) couant de la phae a et on zoom. c) et d) pecte du couant. (a) (b) - 68-

73 Chapite III 69 (c) (d) Fiue III-16 : ca d un moteu avec caue de deux bae ou une chae de 8Nm.avec inclinaion de bae a) b)vitee de otation et couple électomanétique c) et d)couant tatoique et on pecte. (a) (b) (c) (d) Fiue III-17 : ca d un moteu avec caue d un ement d anneaux ou une chae de 8Nm avec inclinaion de bae. a) b)vitee de otation et couple électomanétique c) et d)couant tatoique et on pecte