TS - NOMBRES COMPLEXES

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1 TS - NOMBRES COMPLEXES Ce document totalement gratut (dsponble parm ben d'autres sur la page JGCUAZ.FR rubrque mathématques) a été conçu pour ader les élèves de Termnale S en mathématques. Conforme au programme 0, l content le cours (défntons, théorèmes, démonstratons), 5 exercces corrgés dans le mondre détal, des énoncés d'examens et/ou de concours, ans qu'une fche méthode "toutes stuatons". La progresson proposée est celle que je pratque dans mes classes. Au fur et à mesure, j'a nséré des remarques, consels et ponts méthode, sur la base de mon expérence d'ensegnant en lycée. Ce document n'a pas la prétenton de se substtuer à l'assduté nécessare au cours, mas pourra permettre au lecteur de rattraper une absence, de révser une noton et/ou de préparer une évaluaton, le temps de recherche des exercces (et non pas une lecture mmédate du corrgé, même s celuc est écrt "juste en dessous"!) étant une condton nécessare à la réusste. La navgaton peut s'effectuer de manère nteractve pour ceux qu utlsent la verson PDF de ce document. Pour toute remarque, merc de vous rendre sur la page JGCUAZ.FR où vous trouvere mon adresse électronque (qu est JGCUAZ@HOTMAIL.COM à la date du 7/09/06) Egalement dsponble une page facebook Montpeller, le 7/09/06 Jean-Gullaume CUAZ, professeur de mathématques, Lycée Clemenceau, Montpeller depus 0 Lycée Mltare de Sant-Cyr, de 000 à 0 TS - nombres complexes Page /75 Verson du 7/09/06

2 NOMBRES COMPLEXES - PROGRAMME OFFICIEL(0) Contenus Capactés attendues Commentares Forme algébrque, conjugué. Somme, produt, quotent. Effectuer des calculs algébrques avec des nombres complexes. Équaton du second degré à Résoudre dans une équaton du coeffcents réels. second degré à coeffcents réels. Représentaton géométrque. Représenter un nombre complexe par un pont ou un vecteur. On ntrodut dans ce chaptre des éléments lu donnant une dmenson hstorque. Le plan est mun d un repère Ouv ; ; orthonormé Affxe d un pont, d un Détermner l affxe d un pont ou d un vecteur. vecteur. Forme trgonométrque : Passer de la forme algébrque à la forme trgonométrque et nversement. - module et argument, Connaître et utlser la relaton nterprétaton géométrque = dans un repère orthonormé drect ; - notaton exponentelle. Effectuer des opératons sur les nombres complexes écrts sous dfférentes formes. La notaton exponentelle est ntrodute après avor montré que la foncton + sn θ cos θ θ vérfe la même relaton fonctonnelle que la foncton exponentelle. Les nombres complexes permettent de mémorser les formules trgonométrques d addton et de duplcaton vues en premère. [SI] Analyse fréquentelle d un système. TS - nombres complexes Page /75 Verson du 7/09/06

3 SOMMAIRE Ensemble des nombres complexes, forme algébrque Conjuguason Equaton du second degré Nombres complexes et géométre Proprétés du module et des arguments Notatons exponentelle Exercces de synthèse Fche méthode "Complexes - Comment fare?" TS - nombres complexes Page /75 Verson du 7/09/06

4 0) Toujours de nouveaux ensembles NOMBRES COMPLEXES Dans l'ensemble des enters naturels, l'équaton x + = 5 admet une soluton :. Pour que l'équaton x + 5= admette une soluton, on dot ntrodure la noton d'enter relatf. L'ensemble des enters relatfs se note Pour que l'équaton x = 5 admette une soluton, on dot ntrodure la noton de nombre ratonnel. L'ensemble des nombres ratonnels se note Pour que l'équaton x = admette une soluton, on dot ntrodure la noton de nombre réel. L'ensemble des nombres réels se note Chaque nouvelle catégore de nombres permet de résoudre de nouveaux problèmes. Vous alle mantenant découvrr des nombres permettant de résoudre des équatons du type x + = 0. Pour résoudre de telles équatons, Raphaël Bombell (6 e ) créa de nouveaux nombres : les nombres complexes. Il supposa l'exstence d'un nombre magnare noté plus tard par EULER (en 777) vérfant =. ) Un nouvel ensemble de nombres Défntons - proprété : ) On nvente un objet (que l'on appellera nombre...) qu vérfe = ) Un nombre complexe s'écrt de manère unque sous la forme = a + b où a et b sont des nombres réels ) L'ensemble des nombres complexes est noté. Il content l'ensemble Il ne faut pas essayer de remplacer l'écrture de par une quelconque formule. Défnton : L'écrture = a + b avec a et b réels est appelée forme (ou écrture) algébrque du complexe. a est appelée parte réelle de et notée Re( ) b est appelée parte magnare de et notée Im ( ) Exemples : ) Pour 5 ) Pour = +, Re( ) = et =, Re( ) = 0 et Im = Im = 5 ) Pour La parte magnare Im ( ) est un nombre réel =, Re( ) = et Im = 0 TS - nombres complexes Page /75 Verson du 7/09/06

5 Proprétés - défnton est un nombre réel s et seulement s Im ( ) = 0 Re = 0, on dt que est un magnare pur. S ) Opératons dans Proprétés Les opératons sur les nombres réels se prolongent aux nombres complexes Pour effectuer des calculs dans, on utlse les mêmes règles de calcul que dans en tenant compte du fat que = Exemples : S = + 5 et = alors : + = = = + = + 5 = + 5+ = 7+ 7 ( 5 ) ( ) ( ) 5 ( 5 ) ( ) = + = + + = = + 0 = + = = + = + + = = Exemple : Pour obtenr l'écrture algébrque d'un complexe écrt sous la forme d'une fracton au dénommnateur de laquelle apparaît un complexe de la forme a + b, on multple numérateur et dénomnateur par a b afn d'applquer l'dentté a + b a b = a b = a + b ( ) ( ) = = = = = On a donc Re( ) = et Im = 5 Proprétés - défnton Deux nombres complexes sont égaux s et seulement s, ls ont la même parte réelle et la même parte magnare. TS - nombres complexes Page 5/75 Verson du 7/09/06

6 NOMBRES COMPLEXES - FORME ALGEBRIQUE - EXERCICES Exercce n (correcton) Détermner la forme algébrque de chacun des nombres complexes : ) = ( + )( + ) ) = ( ) ) = ( )( )( + ) 5 ) = + 5) 5 + 7) 5 = 8) 8 + = 6) = 9) 9 + = 5 + = + Exercce n (correcton) ) Détermner la forme algébrque de chacun des nombres complexes : a) b) c) d) 5 e) 6 f) 7 ) Détermner n lorsque : a) n= k, * k b) n k ) Calculer la somme : = + c) n= k + d) n= k + 06 Exercce n (correcton) On pose ) Calculer ) Calculer j = + j, j pus + j+ j pus la somme n j suvant les valeurs de n + j+ j j + j Exercce n (correcton) P = P est le polynôme défn pour tout nombre complexe par Calculer P( + ) et P( ) TS - nombres complexes Page 6/75 Verson du 7/09/06

7 Exercce n 5 (correcton) f est la foncton défne sur f = Ecrre sous forme algébrque : a) f ( ) b) f ( ) c) f + Exercce n 6 (correcton) f est la foncton qu à tout nombre complexe assoce le nombre complexe f = Ecrre sous forme algébrque : a) f b) f c) + f Exercce n 7 (correcton) Résoudre l'équaton ou le système d'nconnues (ou et ) : = 0 b) = 5 a) c) = 0 + = d) = 5 + = 7 Exercce n 8 (correcton) est un nombre complexe dstnct de, de forme = x + y avec xy, Exprmer en foncton de x et de y, dans les deux cas suvants, la parte réelle et la parte magnare du nombre complexe Z : a) = + b) Z Z = TS - nombres complexes Page 7/75 Verson du 7/09/06

8 NOMBRES COMPLEXES - FORME ALGEBRIQUE - CORRECTION Correcton de l'exercce n (retour à l'énoncé) = = + + = + = 5 ) = + = + = ) ) = + + = + = + = ) = + = = + = 5 5) 5 = = = 6) 7) 8) 9) = = = = ( + )( ) = = = = = = = = ( ) = = = = = Correcton de l'exercce n (retour à l'énoncé) = b) ) a) c) ( ) = = = = = = d) 5 = = = e) = = = f) ) a) S n= k, b) S n= k + alors c) S n= k + alors d) S n= k + alors * n k k k k alors ( ) = = = = = = = = n k+ k n k+ k = = = = = = = = n k+ k = = = 06 ) est la somme des 07 premers termes de la sute géométrque de premer terme et de rason. Ans = 06 Pusque 07 = 50 +, on utlse le résultat de ) b) : On en conclut que = = TS - nombres complexes Page 8/75 Verson du 7/09/06 =.

9 Correcton de l'exercce n (retour à l'énoncé) ) j = + = + + = = j = j j = + = = + = Sot n un enter. De tros choses l'une : S n k n k k k =, k alors j j ( j ) = = = = S n= k +, k alors n k+ k j = j = j j = j = j = + S n= k +, k alors n k+ k j = j = j j = j = j = ) On calcule + j+ j = = + = On regroupe les termes de la somme + j+ j j + j tros par tros : + j+ j j + j = + j+ j + j + j + j j + j + j + j = 0 + j + j+ j + j + j+ j... + j + j+ j + j = 06 j On utlse le résultat de le queston ) : Pusque 06 = 67, alors On en conclut que + j+ j j + j = Correcton de l'exercce n (retour à l'énoncé) On calcule : P + = = = = 0 P = = = = 0 06 j = TS - nombres complexes Page 9/75 Verson du 7/09/06

10 Correcton de l'exercce n 5 (retour à l'énoncé) f = = + + = + + = a) b) f = = = = = + c) f = = ( ) = + + = + + = = + + = = + Correcton de l'exercce n 6 (retour à l'énoncé) a) f b) ( 6 )( + ) = = = = = f = = = = = = = c) Le calcul de + f n'est pas possble car Or f est défne pour tout nombre complexe Correcton de l'exercce n 7 (retour à l'énoncé) a) ( + )( ) = = = = = 0 = = = = = + b) = 5 + = 5 + = 5 5 = 6 = c) = 0 L L L = = + = L + = L + = L = L = L = L ( ) = L L L = ( )( ) = + + TS - nombres complexes Page 0/75 Verson du 7/09/06

11 = L = L = + L = + L = L = + L = + L = + L d) 5 5 = 5 L = L = L + = 7 L + 5 = 7 L 6 + = L = 5 L = 5 L = 5 L ( 5 + 7)( 6 ) L = L = = L 6 + ( 6+ )( 6 ) = 5 L = + 5 L = + L = + L = + L = + L Correcton de l'exercce n 8 (retour à l'énoncé) a) Z = ( x + y) ( x + y) + = x + xy + ( y) x y + = x x y + + ( xy y) x + y x + y x y x y x x xy yx + y + y b) Z = = = = x + y x + y x + y x y x y y+ x x+ y y x x+ y = = + x + y x + y x + y TS - nombres complexes Page /75 Verson du 7/09/06

12 NOMBRES COMPLEXES - CONJUGUAISON ) Conjugé d'un nombre complexe Défntons Etant donné un complexe = a + b où a et b sont réels : On appelle conjugué de le nombre complexe noté défn par = a b Exemples : + 5 = 5 = 5 = 5 Proprétés Sot et deux nombres complexes ) + = + ) n = ) n = pour tout enter naturel n ) S alors 0, = et = = a + b a b = a + b 0. Le nombre et un nombre réel strctement postf ou nul 5) 6) est réel s et seulement s = 7) est magnare pur s et seulement s = Preuves : En notant = a + b et = a + b ) D'une part + = ( a + b) + ( a + b ) = a + a + ( b + b ) = a + a ( b + b ) D'autre part, = a b et a b = donc a b a b a a ( b b ) + = + = + + d'où l'égalté. ) D'une part = ( a + b)( a + b ) = aa bb + ( ba + ab ) = aa bb ( ba + ab ) D'autre part ( a b)( a b ) aa ab ba bb aa bb ( ab ba ) = = + = + d'où l'égalté ) On procède par récurrence. La proprété est évdemment vrae pour n = 0 et s pour un enter p p 0, on a p p p p p = alors on aura proprété hérédtare et ntalsé. Elle est donc vrae pour tout n p+ + = = = =. La proprété est TS - nombres complexes Page /75 Verson du 7/09/06

13 ) D'une part : a b a b a b a b = = = = = + a + b a + b a b a + b a + b a + b a + b a + b part a + b a + b a b = = = = = + a + b a b a b a + b a + b a + b a + b 5) Montré dans l'énoncé d'où l'égalté et d'autre 6) On a déjà vu que est réel s et seulement s b = 0. Or = a + b = a b b = 0 b = 0 7) On a déjà vu que est magnare s et seulement s a = 0. Or = a + b = ( a b) a = 0 a = 0 Proprétés S est un complexe, ) + = Re ) Im = ) = pour tout complexe TS - nombres complexes Page /75 Verson du 7/09/06

14 NOMBRES COMPLEXES - CONJUGUAISON - EXERCICES Exercce n 9 (correcton) Détermner de deux façons dfférentes la forme algébrque du conjugué de : ) = ( + )( ) ) = ( + ) Exercce n 0 (correcton) On donne = + 5 et = 5 + Pourquo peut-on affrmer sans calculer les nombres complexes et, que + est un nombre réel et que est un nombre magnare pur? Exercce n (correcton) Résoudre dans l'équaton : a) 5 = b) = + c) = 5 TS - nombres complexes Page /75 Verson du 7/09/06

15 NOMBRES COMPLEXES - CONJUGUAISON - CORRECTION Correcton de l'exercce n 9 (retour à l'énoncé) ) Méthode n : on développe d'abord conjugue : = 0 = + 0 Méthode n : = + = 8 + = 0 pus on On utlse une proprété de la conjugason : = ( + )( ) = ( + ) ( ) = ( )( + ) pus on développe : = + = 8 + = + 0. On retrouve le même résultat! ) Méthode n : on développe d'abord on conjugue : = + = Méthode n : = + = + + = + = + pus On utlse une proprété de la conjugason : = + = + = pus on développe : = = + = =. On retrouve le même résultat! Correcton de l'exercce n 0 (retour à l'énoncé) On remarque que = = = = + Pusque =, on peut affrmer que Re = = Im est un magnare pur + = + = est un réel et que Correcton de l'exercce n (retour à l'énoncé) a) 5 = = = b) S on pose = x + y avec xy,, l'équaton = + se réécrt : x y = x + y + x y x y = 0 y x + x y = 0 Un nombre complexe étant nul s et seulement s ses partes réelle et magnare le sont, l'équaton précédente équvaut au systéme : TS - nombres complexes Page 5/75 Verson du 7/09/06

16 y = y x = 0 L y y = 0 L y L = x y = 0 L x = y L x y L = x = L L La soluton de l'équaton = + est donc le nombre complexe = c) S on pose = x + y avec xy,, l'équaton = 5 se réécrt : ( x y) ( x y) x y x y x y ( x y ) + = 5 5+ = = 0 Un nombre complexe étant nul s et seulement s ses partes réelle et magnare le sont, l'équaton précédente équvaut au systéme : x+ y 5 = 0 L 6x+ y 0 = 0 L y 9 = 0 L L x y+ = 0 L 6x 9y+ 9= 0 L x+ y 5= 0 L 9 9 y = L L y = L L 9 9 x+ 5= 0 L x = L La soluton de l'équaton = 5 est donc le nombre complexe 9 9 = + TS - nombres complexes Page 6/75 Verson du 7/09/06

17 NOMBRES COMPLEXES - EQUATIONS DU SECOND DEGRE ) Equatons du second degré à coeffcents réels Proprétés L équaton = a, a > 0 admet deux solutons réelles dstnctes = a et = a L équaton = a, a < 0 admet deux solutons magnares pures dstnctes = a et = a Résoluton de l équaton + + = 0, abc,,, a 0. a b c On calcule le dscrmnant = b ac S > 0, l équaton admet deux solutons réelles dstnctes b + b = et = a a b S = 0, les deux solutons réelles sont confondues en une soluton dte «double» = = a <, on peut écrre ( ) S 0 = =, et l équaton a b c + + = 0 admet donc deux b b solutons complexes conjuguées = = et a a a b b = + = + a a a Exemple : Sot l'équaton, dans : 6+ 5 = 0. = 6 = ( 8). L'équaton admet donc deux solutons complexes conjuguées : = = et = = = + Un nombre complexe ne possédant pas de sgnes, une néquaton complexe n'a pas de sens TS - nombres complexes Page 7/75 Verson du 7/09/06

18 NOMBRES COMPLEXES - EQUATIONS - EXERCICES Exercce n (correcton) Détermner les racnes carrées dans de chacun des nombres réels : a) 6 b) 5 c) - d) - e) -5 f) 0 Exercce n (correcton) Résoudre dans l'équaton : a) = b) = c) + = 0 d) = Exercce n (correcton) Résoudre dans l'équaton : a) e) + = b) = 0 f) = c) = 0 g) + = 0 d) + + = h) = 0 + = 5 0 Exercce n 5 (correcton) ) Développer ( ) ) Résoudre dans l'équaton + + = 0 Exercce n 6 (correcton) Résoudre dans l'équaton ( θ ) cos + = 0 lorsque : a) θ = b) θ = Exercce n 7 (correcton) Résoudre dans l'équaton ( )( ) = 0 Exercce n 8 (correcton) Résoudre dans l'équaton + 6 7= 0 TS - nombres complexes Page 8/75 Verson du 7/09/06

19 Exercce n 9 (correcton) Détermner les nombres complexes et tels que : a) = 0 + = b) = + = 6 Exercce n 0 (correcton) Résoudre dans chaque équaton : a) = + b) + 5 = 0 c) = Exercce n (correcton) Montrer que l'équaton + = 0 admet solutons dans TS - nombres complexes Page 9/75 Verson du 7/09/06

20 NOMBRES COMPLEXES - EQUATIONS - CORRECTION Correcton de l'exercce n (retour à l'énoncé) a) 6 et -6 b) 5 et 5 c) et d) et e) 5 et 5 f) 0 Correcton de l'exercce n (retour à l'énoncé) a) b) c) d) = =± = = =± + = 0 = =± = = =± Correcton de l'exercce n (retour à l'énoncé) a) L'équaton = est de la forme + + = 0 avec a =, b = et c = 5. a b c On calcule son dscrmnant : b ac Pusque > 0, l'équaton = = 5 = = = admet deux solutons réelles dstnctes : b 9 5 b = = = et = = = a a b) L'équaton 5 0 On calcule son dscrmnant : Pusque < 0, l'équaton c) + + = est de la forme + + = 0 avec a =, b = et c = 5. a b c = b ac = 5 = 9 0 =. 5 0 b+ + = = = + a + = 0 = =± + = 0 = 0 = d) e) + + = admet deux solutons complexes conjuguées : b = = = = a et + + = = 0, qu est une équaton de la forme 6 b = et c = 6. On calcule son dscrmnant : Pusque < 0, l'équaton = 0 avec a =, a b c = b ac = 6 = = admet deux solutons complexes conjuguées : TS - nombres complexes Page 0/75 Verson du 7/09/06

21 f) b = = = + a b 7 7 = = = = a et = 0 = =± =± 9 9 g) L'équaton 6 0 On calcule son dscrmnant : Pusque < 0, l'équaton + + = est de la forme + + = 0 avec a =, b = 6 et c =. a b c = b ac = 6 =. 6 0 b+ 6 + = = = + a h) + + = admet deux solutons complexes conjuguées : b 6 = = = = + a et 5 + = 0 5+ = 0 = 0 ou = 5 Correcton de l'exercce n 5 (retour à l'énoncé) ) ) L'équaton = + = + = + + = 0 est de la forme c =. On calcule son dscrmnant : + + = 0 avec a =, b = et a b c = b ac = = 8+ = +. Grâce à la queston, on remarque que = ( ) = ( ) = ( ) Pusque < 0, l'équaton ( ) 0 b+ ( ) + ( ) = = = + a Correcton de l'exercce n 6 (retour à l'énoncé) a) S θ =, l'équaton ( θ ) + + = admet deux solutons complexes conjuguées : cos + = 0 se réécrt : ( ) b) S = = et cos + = = 0 + = 0 = θ =, l'équaton ( θ ) est une équaton de la forme cos + = 0 se réécrt a b c On calcule son dscrmnant : b ac Pusque < 0, l'équaton b+ + = = = + a cos + = 0 + = 0, qu + + = 0 avec a =, b = et c =. = = =. + = 0 admet deux solutons complexes conjuguées : = = et TS - nombres complexes Page /75 Verson du 7/09/06

22 Correcton de l'exercce n 7 (retour à l'énoncé) L'équaton + + = 0 est de la forme On calcule son dscrmnant : Pusque > 0, l'équaton b 5 5 = = = a L'équaton + 6= 0 est de la forme + + = 0 avec a =, b = et c =. a b c = b ac = = = 0 admet deux solutons réelles dstnctes : b et = = a + + = 0 avec a =, b = et c = 6. a b c On calcule son dscrmnant : b ac Pusque < 0, l'équaton b+ + = = = + a = = 6 =. + 6= 0 admet deux solutons complexes conjuguées : = =. et L'ensemble des solutons de l'équaton ( )( ) 5 5 S = ; ; + ; Correcton de l'exercce n 8 (retour à l'énoncé) On pose Z L'équaton =. L'équaton Z + 6 7= 0 devent équvalente à Z + 6Z 7= 0 est de la forme az bz c On calcule son dscrmnant : b ac Pusque > 0, l'équaton Z = 0 est donc + 6Z 7= = 0 avec a =, b = 6 et c = 7. = = 6 7 = Z 7= 0 admet deux solutons réelles dstnctes : b 6 6 b Z = = = 7 et Z = = =. a a On "revent" à l'nconnue : L'égalté Z = 7 est équvalente à L'égalté Z = est équvalente à L'ensemble des solutons de l'équaton = 7 =± 7. = =± = 0 est donc S = { ;; 7; 7} Correcton de l'exercce n 9 (retour à l'énoncé) a) On résout : = 0 L = 0 L 0 = 0 L = 0 L + = L = L = L = L L'équaton = 0 est de la forme a + b + c = avec a =, b = et c = 0. On calcule son dscrmnant : 0 = b ac = 0 = 6. TS - nombres complexes Page /75 Verson du 7/09/06

23 Pusque < 0, l'équaton = 0 admet deux solutons complexes conjuguées : b+ + 6 = = = + et =. a Grâce à L on dédut que : S = + alors = ( + ) = S Le = alors système = = +. = 0 L + = L {( ; );( ; ) } S = + + b) On résout : admet donc comme ensemble de solutons = L 6 = L + 6 = 0 L 6 + = 0 L + = 6 L = 6 L = 6 L = 6 L L'équaton 6 + = 0 est de la forme a + b + c = avec a =, b = 6 et c =. On calcule son dscrmnant : b ac Pusque > 0, l'équaton 0 = = 6 = = 0 admet deux solutons réelles dstnctes : b b = = = + 5 et = = 5. a a Grâce à L on dédut que : = + alors = alors S 5 S 5 Le système = = 5 = 6 5 = + 5 = L + = 6 L {( 5; 5 ) ; ( 5; 5 )} S = + + admet donc comme ensemble de solutons Correcton de l'exercce n 0 (retour à l'énoncé) a) L'équaton Or = est défne pour toutes les valeurs de telles que + + = 0 = =± =± Pour tout \ ;, l'équaton + + 5= + = 0 L'équaton = 0 est de la forme = est successvement équvalente à : + + = 0 avec a =, b = et c =. a b c TS - nombres complexes Page /75 Verson du 7/09/06

24 On calcule son dscrmnant : b ac Pusque > 0, l'équaton = = = 0. = 0 admet deux solutons réelles dstnctes : b = = = + 5 et = 5. a b) L'équaton + 5 = 0 est défne pour tout complexe non nul. Pour tout \{ 0}, l'équaton + 5 = 0 est successvement équvalente à : = 0 = = 0 L'équaton = est de la forme + + = 0 avec a = 5, b = et c =. a b c On calcule son dscrmnant : b ac Pusque < 0, l'équaton = = 5 = = admet deux solutons complexes conjuguées : b+ + = = = + et = =. a c) L'équaton = est défne pour tout complexe. Pour tout \ { }, l'équaton = est successvement équvalente à : = = + = 0. L'équaton + = 0 est de la forme + + = 0 avec a =, b = et c =. a b c = = =. On calcule son dscrmnant : b ac Pusque < 0, l'équaton b+ + = = = + a + = 0 admet deux solutons complexes conjuguées : et = =. Correcton de l'exercce n (retour à l'énoncé) S on pose = x + y avec xy,, l'équaton + = 0 se réécrt : ( x y) ( x y) x xy ( y) x y x x y y( x ) + + = = = 0 Un complexe est nul s et seulement ses parte réelle et magnare sont smultanément nulles. x x y + = 0 L = 0 est donc équvalente au système y( x+ ) = 0 L L'égalté x x y y( x ) La lgne L et la proprété du produt nul mplquent y = 0 ou De deux choses l'une : x+ = 0 x = TS - nombres complexes Page /75 Verson du 7/09/06

25 S y = 0, l'équaton L se réécrt x x+ = 0 qu est une équaton de la forme avec a =, b = et Pusque > 0, l'équaton b + + x = = = et x a c =. On calcule son dscrmnant : b ac x ax bx c = = =. x+ = 0 admet deux soluton réelles dstnctes : b = = = a x ; y 0 On obtent donc deux couples de solutons ( = = ) et ( x y ) respectvement aux nombres complexes = et = S x =, l'équaton L se réécrt : y + = = y y = y =± On obtent donc deux couples de solutons x = ; y = + + = 0 = ; = 0 qu correspondent 5 et x = ; y = 5 5 correspondent respectvement aux nombres complexes = et = + L'ensemble des solutons de l'équaton 5 5 S = ; ; ; + + = 0 est donc : qu TS - nombres complexes Page 5/75 Verson du 7/09/06

26 NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE Le plan est rapporté à un repère orthonormé drect ( Ouv ; ; ) 5) Représentaton géométrque d'un nombre complexe Défntons :. Il est ans appelé plan complexe A tout complexe = a + b, ab,, on assoce dans le plan complexe, le pont M de coordonnées ( ab ; ). Récproquement, à tout pont M de coordonnées ( ; ) nombre complexe = a + b ab du plan complexe, on assoce le = a + b est appelé l'affxe du pont M ou du vecteur OM et M est le pont mage du nombre complexe L'axe ( Ou ; ) est appelé axe des réels. L'axe ( ; ) Ov est appelé axe des magnares purs. Notaton : L'affxe d'un pont M se note = a + b et celle d'un vecteur w M se note w Proprétés : = ) Sot I le mleu de [AB]. Alors ) AB B A I = A + B ) kw = kw avec k ) w w + = + w w Preuve : ) AB AB a pour coordonnées AB ( x x ; y y ) B A B A = x x + y y = x + y x + y = B A B A B B A A B A donc : ) Le mleu I de [AB] a pour coordonnées x A + x B A B I ; y + x y y = I = x + x y + y x + y + x + y + I = xi + yi = + = = A B A B A A B B A B donc pour affxe : TS - nombres complexes Page 6/75 Verson du 7/09/06

27 ) Notons wxy ( ; ). On a donc w = x + y. kw kx; ky = kx + ky = k x + y = k Les coordonnées de kw sont donc ) Notons wxy ( ; ) et w ( x ; y ). On a donc + = x + y + x + y = x + x + ( y + y ) Les coordonnées de w w + kw w w. sont w+ w ( x+ x ; y+ y ) donc = x+ x + ( y+ y ) w w w +, d'où le résultat. Proprété : Les ponts d'affxes et sont symétrques par rapport à l'axe des réels. Preuve : S on note = a + b alors = a b. Les ponts d'affxes et ont pour coordonnées ( ab ; ) et ( a; b) rapport à l'axe des abscsses, donc ls sont symétrques par 6) Module et argument d'un nombre complexe - forme trgonométrque Défntons : Sot = a + b,, ab un complexe et ( ; ) M ab le pont mage de. Le module de, noté est la dstance OM, c'est-à-dre le nombre réel Un argument du complexe non nul, noté a + b arg est une mesure de l'angle orenté ( u; OM ) Rappel : S θ est une mesure de l'angle orenté ( u; OM ) sont θ + k, k, les autres mesures de cet angle Pour défnr un argument, l est nécessare que sot non nul, sous pene de ne pouvor u; OM défnr l'angle TS - nombres complexes Page 7/75 Verson du 7/09/06

28 Proprété : Sot = a + b,, ab un complexe non nul et ( ; ) M ab son pont mage. S on note le module de et θ un de ses arguments, on aura : a cos b sn = = ( θ) = a = cos( θ) ( θ) b sn ( θ) Exemple : Sot =. On a = = + ( ) = et s on note θ = arg On dédut θ = + k, k, on aura cos sn ( θ ) ( θ ) = = = = Proprétés : ) = ) Tout nombre réel strctement postf a un argument égal à 0 ) Tout nombre réel strctement négatf a un argument égal à ) Tout nombre magnare pur de parte magnare strctement postve a un argument égal à 5) Tout nombre magnare pur de parte magnare strctement négatve a un argument égal à Preuve : ) Sot = a + b, ab,. Alors a b = a + b = a + b d'où l'égalté D'autre part = a + b a b = a b = a + b = et on a Les proprétés () à (5) résultent de la défnton d'un argument et du placement du pont sur l'un des deux axes de coordonnées. TS - nombres complexes Page 8/75 Verson du 7/09/06

29 Défnton Sot un nombre complexe non nul. L'écrture = cos( θ) + sn ( θ) avec arg θ[ ] = est appelée forme trgonométrque de. Il découle mmédatemment de cette défnton les proprétés suvantes : Proprétés : ) Deux nombres complexes non nuls sont égaux s et seulement s ls ont même module et même argument à un multple de près ) S r cos( α) sn ( α) = + avec r > 0 alors r = et arg = α[ ] Exemples : ) Sot =. On a déjà détermné que =. = et θ [ ] La forme trgonométrque de est donc = cos + sn ) = cos + sn car ) cos sn = + car = et arg ( ) = ( uv ; ) = [ ] = et arg( ) = ( u; u) = [ ] Proprétés : ) Pour tous ponts A et B d'affxes A et B on a AB = B A ) Pour tous ponts A et B dstncts d'affxes A et B u; AB = arg + k, k on a B A Preuve : ) Notons M le pont tel que OM = AB. On a vu précédemment que M a pour affxe M = B A. Or OM = AB donc AB = M = B A u; AB = u; OM = arg = arg + k, k ) M B A par défnton de arg( ) M TS - nombres complexes Page 9/75 Verson du 7/09/06

30 NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE - EXERCICES Le plan est rapporté au plan complexe ( Ouv ; ; ) Exercce n (correcton) M et A sont les ponts d'affxes = et = +. M a) Placer les ponts M et A. b) Détermner l'affxe du pont M' symétrque de M par rapport à A. A Exercce n (correcton) A,B,C et D sont les ponts d'affxes respectves +,, et + 5. a) Fare une fgure b) Démontrer de deux façons dfférentes que ABCD est un parallélogramme. Exercce n (correcton) A,B et C ont pour affxe = +, = + et A B C = + 5 a) Calculer les affxes des vecteurs AB et AC. b) Les ponts A,B et C sont-ls algnés? Exercce n 5 (correcton) Détermner dans chaque cas l'ensemble des ponts M d'affxe tels que : a) Z = + sot un réel b) Z = + sot un magnare pur. c) Z ( )( ) = + + sot un réel Exercce n 6 (correcton) est un nombre complexe dfférent de. Dans le plan complexe, détermner l'ensemble des ponts M d'affxe tels que a) un nombre réel b) un magnare pur Z = sot : TS - nombres complexes Page 0/75 Verson du 7/09/06

31 Exercce n 7 (correcton) Dans chaque cas, détermner par lecture graphque le module et un argument du nombre complexe. En dédure une forme trgonométrque a) A = b) B = c) C = d) = + e) = f) = + D E F Exercce n 8 (correcton) Ecrre sous la forme algébrque les nombres complexes tels que : = et arg ) = ) = et arg = Exercce n 9 (correcton) Dans chaque cas, écrre sous forme algébrque : 7 7 a) = cos + sn b) = + cos sn Exercce n 0 (correcton) Calculer le module des nombres complexes suvants : a) + b) + c) d) + e) + Exercce n (correcton) Détermner une forme trgonométrque des nombres : a) + e) b) f) 5 c) 5+ 5 d) 5 g) 6 ( + ) TS - nombres complexes Page /75 Verson du 7/09/06

32 Exercce n (correcton) On consdère le nombre complexe dont une écrture est = cos + sn ) Explquer pourquo n'est pas écrt sous forme trgonométrque. ) Donner un nombre θ tel que ( θ ) ) Ecrre sous forme trgonométrque cos = cos et ( θ ) sn sn = Exercce n (correcton) A l'ade de la calculatrce, donner une valeur approchée arronde au centème d'un argument de chacun des combres complexes suvants : a) = b) = 7 Exercce n (correcton) Sot B,C et P les ponts d'affxes respectves : ; + ; 0. Montrer que le trangle BCP est équlatéral. Exercce n 5 (correcton) Sot A et B les ponts d'affxes respectves 5 et 7. Montrer que OAB est un trangle rectangle socèle. Exercce n 6 (correcton) Sot tros ponts M, M et M d'affxes = + ; = ; = ) Montrer que M, M et M sont stués sur un même cercle de centre O. ) Démontrer que OMM M est un losange. Exercce n 7 (correcton) Détermner et représenter l'ensemble des ponts M d'affxe tels que : a) = b) = 5 c) = + TS - nombres complexes Page /75 Verson du 7/09/06

33 NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE - CORRECTION Le plan est rapporté au plan complexe ( Ouv ; ; ) Correcton de l'exercce n (retour à l'énoncé) a) Vor c-dessous b) L'affxe M du pont M' symétrque de M par rapport à A vérfe l'équaton l'on résout : = = + = 5+ 5 M A M M + M = que A Correcton de l'exercce n (retour à l'énoncé) a) Vor c-dessous b) Méthode n : On calcule les affxes des vecteurs AB et DC : = = ( + ) = et AB B A = C D = + 5 =. DC Pusque = AB, on conclut que AB DC DC =, donc que ABCD est un parallélogramme. TS - nombres complexes Page /75 Verson du 7/09/06

34 Méthode n : On calcule les affxes des mleux respectfs des dagonales [AC] et [BD]. L'affxe du mleu de [AC] vaut L'affxe du mleu de [BD] vaut A + C + + = = + B + D = = + Ces affxes étant dentques, on en conclut que les dagonales [AC] et [BD] ont même mleu, donc que ABCD est un parallélogramme. Correcton de l'exercce n (retour à l'énoncé) a) L'affxe du vecteur AB L'affxe du vecteur AC b) On remarque que vaut = = + + = 5 + AB B vaut AC = 5 A 6 = C A = + + = + AC 5 5. Les ponts A,B et C sont donc algnés AB Correcton de l'exercce n 5 (retour à l'énoncé) a) et b) On pose = x + y avec, Z = + = x + y + x y = 5x y xy. On a alors Z sera un réel s et seulement s sa parte magnare est nulle. Autrement dt, Z Im Z = 0 y = 0 On en conclut que l'ensemble des ponts M tels que Z est réel est la drote d'équaton y = 0. Z sera un magnare pur s et seulement s sa parte réelle est nulle. On en conclut que l'ensemble des ponts M tels que Z est magnare pur est la drote d'équaton x = 0. c) On pose = x + y avec xy,. On a alors ( ) Z = + x + y + x y = + x y + x + x xy + y + yx y = x + x + y y + x y + Z sera un réel s et seulement s sa parte magnare est nulle. Autrement dt, Z Im Z = 0 x y+ = 0 y = x+ On en conclut que l'ensemble des ponts M tels que Z est réel est la drote d'équaton y = x+. TS - nombres complexes Page /75 Verson du 7/09/06

35 Correcton de l'exercce n 6 (retour à l'énoncé) On pose = x + y avec xy,. On a alors : ( ) x + y x y x y x x xy yx + y + y Z = = = = x + y x + y x y x + y y x x+ y = + x + y x + y a) Z sera un réel s et seulement s x x+ y Im Z = 0 = 0 x x+ y = 0 ( x ) + y L'ensemble des ponts M tels que Z est réel est l'ensemble des ponts dont les coordonnées cartésennes vérfent x x+ y = 0 x + y = Il s'agt donc du cercle de centre Ω ;0 et de rayon = b) Z sera un magnare pur s et seulement s ( Z) y Re = 0 = 0 y = 0 x + y L'ensemble des ponts M tels que Z est magnare pur est la drote d'équaton y = 0 (c'est-à-dre l'axe des abscsses) Correcton de l'exercce n 7 (retour à l'énoncé) = et arg( ) 0[ ] a) A = et arg [ ] c) C e) E A C = et arg [ ] E = b) = d) D = f) F = et arg( ) = [ ] B = et arg = [ ] B D = et arg = [ ] F Correcton de l'exercce n 8 (retour à l'énoncé) ) ) cos sn = + = + = cos sn = + = + = TS - nombres complexes Page 5/75 Verson du 7/09/06

36 Correcton de l'exercce n 9 (retour à l'énoncé) 7 7 a) cos sn = + = + = b) = cos + sn = + 0 = Correcton de l'exercce n 0 (retour à l'énoncé) a) + = + = b) + = + = c) = + = + = 5 d) e) = + = + = = + = + = + = = Correcton de l'exercce n (retour à l'énoncé) a) On a + = + = + =. Un argument θ de + vérfe smultanément cos( θ ) = et sn Une forme trgonométrque de + est donc b) Pusque = cos + sn c) On a + = cos + sn θ =. θ = convent. est un réel strctement négatf, une forme trgonométrque de est donc ( ) = + = =. Un argument θ de 5+ 5 vérfe smultanément cos 5 5 θ = = = et sn θ = 5 5 =. θ = convent. Une forme trgonométrque de 5+ 5 est donc = 5 cos sn + TS - nombres complexes Page 6/75 Verson du 7/09/06

37 d) Pusque 5 est un magnare pur de parte magnare strctement négatve, une forme trgonométrque de 5 est donc 5 = 5 cos + sn e) On calcule d'abord On a ( + ) + = = = = + = =. Un argument θ de sn ( θ ) = = =. θ = convent. Une forme trgonométrque de f) On calcule d'abord On a + vérfe smultanément cos = + est donc ( ) = = = = + = + = = Un argument θ de 5 θ = convent θ = et = + = cos + sn 5 5 vérfe smultanément cos( θ ) = = et sn ( θ ) Une forme trgonométrque de 5 5 = = cos sn g) On utlse une proprété du module : + ( 6) = = = = = = ( + ) On utlse une proprété de l'argument : 5 = =. 5 = est donc TS - nombres complexes Page 7/75 Verson du 7/09/06

38 6 arg arg 6 arg = ( ) ( + ) ( + ) Comme 6 = + 6 = 8 =, un argument θ de 6 vérfe smultanément cos( θ ) = = et sn ( θ ) Comme cos 8 6 = =. θ = convent. + = + = =, un argument θ de + vérfe smultanément ( θ ) = = = et sn On a donc θ = =. 6 7 arg = = ( ) + Une forme trgonométrque de 6 ( + ) [ ] est donc θ = convent. 6 cos 7 sn 7 = + ( + ) Correcton de l'exercce n (retour à l'énoncé) ) L'écrture = cos + sn est sous la forme r cos( θ) sn ( θ) donc n'est pas écrt sous forme trgonométrque (l aurat fallu r > 0 ) ) Pusqu'on a smultanément 5 sn = sn + = sn, le nombre θ = convent 5 = + avec r < 0 5 cos = cos + = cos et ) On écrt : trgonométrque 5 5 cos sn cos sn = + = +, qu est une forme Correcton de l'exercce n (retour à l'énoncé) = = + = 0, un argument θ de = vérfe smultanément a) Pusque cos ( θ ) = = et sn ( θ ) 0 = =. 0 0 grâce à la calculatrce, on trouve θ, 5 au centème TS - nombres complexes Page 8/75 Verson du 7/09/06

39 b) = a) Pusque 7 = 7 = + 7 = + 9 = = = vérfe smultanément cos( θ ) = = et sn ( θ ) grâce à la calculatrce, on trouve θ, 6 au centème, un argument θ de 7 8 = = TS - nombres complexes Page 9/75 Verson du 7/09/06

40 Correcton de l'exercce n (retour à l'énoncé) On calcule sucessvement : BC = = + = + 5 = + 5 = 76 = 9 C B BP = = 0 = 8 + = 8 + = 76 = 9 P B CP = = 0 + = 7 = 7 + = 76 = 9 P C Pusque BC = BP = CP, on en dédut que le trangle BCP est équlatéral Correcton de l'exercce n 5 (retour à l'énoncé) On calcule : A O OA = = = = + = B O OB = = = = + = AB = = 7 5 = 5 + = 5 + = 9 B Pusque OA A = AB, on en dédut que le trangle OAB est socèle en A. De plus, on calcule séparément OA + AB = ( 9 ) + ( 9 ) = 58 et OB = 58 = 58. L'égalté OA + AB = OB mplque, d'après la récproque du théorème de Pythagore, que le trangle OAB est rectangle en A Correcton de l'exercce n 6 (retour à l'énoncé) ) On calcule : OM = O = + 0 = + = =, OM = = 0 = + = = (Remarque : pusque =, on état sûr O que OM = OM) OM = = 0 = = O Pusque OM = OM = OM, les ponts M, M et M sont stués sur le cercle de centre O et de rayon ) On sat déjà que OM = M O. On calcule de plus : MM = = + = =, et MM = = = = + = = Pusque OM = MM = M M = M O, on en conclut que OMM M est un losange. TS - nombres complexes Page 0/75 Verson du 7/09/06

41 Correcton de l'exercce n 7 (retour à l'énoncé) On note M le pont d'affxe a) S on note O(0;0) le pont d'affxe O = 0, l'égalté = se réécrt M O = ou encore OM =. Le pont M appartent donc au cercle C de centre O et de rayon b) S on note J(0;) le pont d'affxe J =, l'égalté = 5 se réécrt = 5 ou encore M J JM = 5. Le pont M appartent donc au cercle C de centre J et de rayon 5 c) S on note A et B les ponts d'affxes = et = +, l'égalté = + se A réécrt A = B ou encore AM = BM. Le pont M appartent donc à la médatrce du segment [AB]. B TS - nombres complexes Page /75 Verson du 7/09/06

42 NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE 7) Proprétés sur les modules et les arguments Ces proprétés découlent drectement des défntons du module et des arguments : Proprétés : Pour tout nombre complexe 0 : = et arg( ) = arg + [ ] ) ) = et arg = arg[ ] Proprétés : Pour tous nombres complexes 0 et 0 et pour tout nombre enter naturel n : ) ) n = et arg( ) = arg + arg( )[ ] n = et arg( n ) = narg[ ] ) = et arg = arg arg( )[ ] Preuves : Il n'y a pas de formule générale donnant le module et l'argument d'une somme. La seule proprété est l'négalté trangulare : + + ) On écrt et sous forme trgonométrque : = ( cosθ + snθ) et r ( cosθ snθ ) r = + avec r > 0 et r > 0. On calcule : = rr ( cosθ + snθ)( cosθ + snθ ) ( cosθcosθ cosθsnθ snθcosθ snθsnθ ) ( cosθcosθ snθsnθ ( cosθsnθ snθcosθ )) ( cos( θ θ ) sn ( θ θ )) = rr = rr + + = rr Cette forme est une forme trgonométrque de d'où on en dédut les égaltés de ) ) La preuve se fat par récurrence ) On pose Z =. Ans = Z et on applque les formules ) du produt : = Z Z = c'est-à-dre =. De plus arg = arg( Z ) = arg( Z ) + arg( )[ ] donc arg( Z) = arg arg( )[ ] TS - nombres complexes Page /75 Verson du 7/09/06

43 NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE Exercce n 8 (correcton) ) On consdère le nombre complexe = +. Détermner la forme algébrque de 08 ) Détermner une forme trgonométrque des complexes Z = et Z = Exercce n 9 (correcton) Détermner la forme algébrque des complexes : a) ( ) 5 + b) ( + ) 7 Exercce n 0 (correcton) Sot = + et = ) Ecrre et sous forme trgonométrque ) Calculer sous forme algébrque le produt et donner sa forme trgonométrque ) en dédure les valeurs exactes de 5 cos et 5 sn Exercce n (correcton) ) Résoudre dans l'équaton + + = 0 On appelle et les solutons, ayant une parte magnare postve. Donner une forme trgonométrque de et ) a) Placer les ponts A,B et C d'affxes respectves, et et le mleu I de [AB] b) Démontrer que le trangle OAB est socèle u; OI c) En dédure une mesure de l'angle d) Calculer l'affxe I de I, pus le module de I ) Dédure des résultats précédents les valeurs exactes de cos 8 et sn 8 TS - nombres complexes Page /75 Verson du 7/09/06

44 Exercce n (correcton) Détermner et représenter l'ensemble des ponts M d'affxe tels que = Exercce n (correcton) ) Placer le(s) pont(s) M d'affxe tels que ) Placer le(s) pont(s) M d'affxe tels que = et = et arg = + k, k arg = + k, k TS - nombres complexes Page /75 Verson du 7/09/06

45 NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE - CORRECTION Correcton de l'exercce n 8 (retour à l'énoncé) ) On détermne la forme trgonométrque de + = + = + = =. = + : Un argument θ de θ = convent. On utlse des proprétés du module et des arguments : = = = et arg( ) = 08arg[ ] = [ ] = + vérfe smultanément cos( θ ) = = et sn ( ) 08 = = 6 +. On en conclut que [ ] 08 Or Pusque = et arg( ) = [ ], la forme algébrque de 08 cos = + sn = + ) On note = et = On a = = + = =. Un argument θ de = vérfe smultanément cos convent. On a = = + =. Un argument θ de = vérfe smultanément cos =. 08 est égale à : θ = et sn ( θ ) θ = = et sn ( θ ) θ = =. =. θ = = =. θ = convent. On utlse des proprétés du module et des arguments : Pusque Z=, on a Z = = = et arg( Z) = arg( ) = arg + arg( ) = + = [ ] 7 TS - nombres complexes Page 5/75 Verson du 7/09/06

46 une forme trgonométrque de Z Pusque Z =, on a : Z 7 7 = est donc Z = cos + sn = = = et arg( Z ) = arg = arg arg = = [ ] Une forme trgonométrque de Z = est donc Z = cos + sn Correcton de l'exercce n 9 (retour à l'énoncé) a) On a + = + =. Un argument θ de sn ( θ ) = =. θ = convent. On utlse des proprétés du module et des arguments : = + = = 5 5 (( + ) ) = ( + ) = [ ] = [ ] arg 5arg 5 La forme algébrque de ( + ) 5 est : 5 + vérfe smultanément cos + = cos + sn = + = b) On a θ = = et + = + = =. Un argument θ de + vérfe smultanément cos( θ ) = et sn ( θ ) =. θ = convent. On utlse des proprétés du module et des arguments : = + = = 8 7 ( + ) = ( + ) = [ ] = [ ] arg 7 arg 7 La forme algébrque de ( ) 7 + est : 7 + = 8 cos + sn = 8 + = TS - nombres complexes Page 6/75 Verson du 7/09/06

47 Correcton de l'exercce n 0 (retour à l'énoncé) ) = + = + = = Un argument θ de convent. = + vérfe smultanément cos( θ ) = et sn θ =. θ = Une écrture trgonométrque de est = cos + sn = = + = Un argument θ de = vérfe smultanément cos θ = convent. θ = = et sn ( θ ) Une écrture trgonométrque de est = cos + sn ) On calcule = + = + + = + + ( + ) On utlse des proprétés du module et des arguments : = = 5 arg arg arg ( ) = + ( )[ ] = + [ ] = [ ] 5 5 Une écrture trgonométrque de est = cos + sn = =. ) En dentfant partes réelles et partes magnares des écrtures ( ) = et 5 5 = cos + sn, on en dédut : cos = + cos = = = sn = + sn = = = TS - nombres complexes Page 7/75 Verson du 7/09/06

48 Correcton de l'exercce n (retour à l'énoncé) ) L'équaton + + = 0 est de la forme On calcule son dscrmnant : b ac Pusque < 0, l'équaton b+ + 8 = = = + a On a + + = 0 avec a =, b = et c =. a b c = = = 8 6= = 0 admet deux solutons complexes conjuguées : et = = = + = + = + = Un argument θ de = + vérfe smultanément cos( θ ) = et sn convent. Une écrture trgonométrque de est = cos + sn θ =. θ = Pusque =, une écrture trgonométrque de est ) a) Vor c-dessous = cos + sn b) On calcule OA = = 0 = et OB = = = d'après la queston ) Pusque OA A O = OB, on en dédut que OAB est socèle c) On a ( u; OB) = arg( )[ ] = [ ] Pusque le trangle OAB est socèle, la médane [OI] est auss bssectrce de l'angle ( u; OB) 8 Ans, ( u; OI ) = ( u; OB)[ ] = [ ] d) Pusque I est le mleu de [AB], son affxe vaut O I = = = + TS - nombres complexes Page 8/75 Verson du 7/09/06.

49 Son module vaut donc : I + 8 = + = + = + = = ) Une écrture trgonométrque de I est I = cos + sn 8 8. Pusque I = +, on dentfe les partes réelles et magnares, pour obtenr : cos = cos = =, 8 8 ( + ) et sn = sn = = sn = = = 8 Correcton de l'exercce n (retour à l'énoncé) Pour tout complexe, = est équvalente à =. S on note A et B les ponts d'affxes A = et =, l'égalté = se réécrt B = ou encore AM = BM. Le pont M appartent donc à la médatrce du segment [AB]. A B TS - nombres complexes Page 9/75 Verson du 7/09/06

50 Correcton de l'exercce n (retour à l'énoncé) ) Le(s) pont(s) M d'affxe tels que ( u; OM ) = [ ] = et. Il n'y en a qu'un, placé c-dessous : arg = + k, k sont tels que OM = et ) Le(s) pont(s) M d'affxe tels que ( u; OM ) = [ ] = et. Il n'y en a qu'un, placé c-dessous : arg = + k, k sont tels que OM = et TS - nombres complexes Page 50/75 Verson du 7/09/06

51 NOMBRES COMPLEXES - NOTATION EXPONENTIELLE 8) Notaton exponentelle On pose, pour tout θ, f cos sn θ = θ + θ. Dans le paragraphe 7), on a démontré que pour tous réels θ et θ, ( θ) ( θ ) = ( cosθ + snθ)( cosθ + snθ ) = cos( θ + θ ) + sn ( θ + θ ) = ( θ + θ ) f f f (reprendre la démonstraton avec r = r = ) Ans, la foncton f vérfe la relaton fonctonnelle de la foncton exponentelle De plus, s on admet que les règles de dérvaton sont applcables aux fonctons à valeurs complexes, la foncton f est dérvable sur et pour tout θ, f ( θ) = snθ + cosθ = snθ + cosθ = ( snθ + cosθ) = f ( θ) Enfn, f ( 0) = cos0 + sn 0 = Pour ces rasons, on adpote la défnton/notaton suvante Défnton : θ Pour tout nombre réel θ, on pose e = cosθ + snθ Ans, e θ = et arg( e θ ) = θ[ ] Le cercle trgonométrque est l'ensemble des ponts d'affxes e θ décrt où θ Exemples : e = cos + sn = +, e = cos + sn = 0 + = = cos + sn = et e Les proprétés des arguments, étables au paragraphe 7, se réécrvent : Proprétés : Pour tous réels θ et θ et tout enter naturel n, θ θ ( + ) ) e e = e θ θ ) e θ ) n e θ θ = e = ) θ e e e θ = θ e ( θ θ ) nθ θ θ = e (formule dte "de De Movre") 5) e = e θ = θ [ ] TS - nombres complexes Page 5/75 Verson du 7/09/06

52 Applcaton : Les formules () et () permettent de retrouver les formules d'addton et de dupplcaton vues en premère. Par exemple, on écrt : d'une part e ( θ+ θ ) ( θ θ ) sn ( θ θ ) = cos θ θ et d'autre part ( cos θ sn θ )( cos( θ ) sn ( θ )) e e = + +. On développe : ( cosθ + snθ)( cosθ + snθ ) ( cosθcosθ cosθsnθ snθcosθ snθsnθ ) ( cosθcosθ snθsnθ ( cosθsnθ snθcosθ )) = = + + On dentfe les partes réelles et magnares pour obtent : cos θ + θ = cosθcosθ snθsnθ sn θ + θ = snθcosθ + cosθsnθ Les formules suvantes découlent de la défnton de Proprétés : (dtes "formules d'euler") Pour tout réel θ : e θ + e θ ) cos( θ ) = ) sn ( θ ) e = θ e e θ θ Preuve : θ Il sufft décrre successvement e cosθ snθ θ = + et e = cos( θ) + sn ( θ) = cos( θ) sn ( θ) et d'addtonner (respectvement soustrare) membre à membre ces deux égaltés pour obtenr les résultats () (respectvement ) Proprété - défnton : Tout nombre complexe 0 admet une forme trgonométrque cos( θ) sn ( θ) = +. On peut donc écrre = e θ Récproquement s est un nombre complexe dont une écrture est de la forme alors = r et arg = θ[ ] = re θ avec r > 0 TS - nombres complexes Page 5/75 Verson du 7/09/06

53 NOMBRES COMPLEXES - NOTATION EXPONENTIELLE Exercce n (correcton) Ecrre sous forme algébrque chacun des complexes suvants : a) e b) e 7 c) 5e e d) e e Exercce n 5 (correcton) Ecrre sous forme exponentelle chacun des complexes suvants : a) + b) 5 5 c) + d) Exercce n 6 (correcton) En utlsant le fat que e =, écrre sous forme exponentelle le nombre complexe = 5 cos + sn 7 7 Exercce n 7 (correcton) e 5 6 On donne =, = e et 5 6 e = Ecrre sous forme exponentelle chacun des nombres complexes : b) a) c) Exercce n 8 (correcton) On donne = et = + a) Donner la forme algébrque et une forme exponentelle de b) En dédure les valeurs exactes de cos et sn TS - nombres complexes Page 5/75 Verson du 7/09/06

54 NOMBRES COMPLEXES - NOTATION EXPONENTIELLE - CORRECTION Correcton de l'exercce n (retour à l'énoncé) a) e = cos sn + = = b) e cos sn = + = cos 6 + sn 6 = cos + sn = = 6 6 c) d) e e = 5e = 5e = 5 cos + sn = 5 = e e = e = e = cos + sn = + = + Correcton de l'exercce n 5 (retour à l'énoncé) a) + = + = = = 8 Un argument θ de sn θ = = =. θ = convent. Pusque + vérfe smultanément cos( θ ) + = et arg + = [ ] + est : + = e = = = et, une écrture sous la forme exponentelle de TS - nombres complexes Page 5/75 Verson du 7/09/06

55 b) 5 5 = = = 00 = 0 Un argument θ de 5 5 θ = convent. Pusque est : 5 0 vérfe smultanément cos( θ ) = = et sn ( θ ) = et arg( 5 5 ) [ ] 5 = =. 0 =, une écrture sous la forme exponentelle de 5 5 = 0e c) + = + = et un argument θ de + vérfe smultanément cos θ = = et sn ( θ ) = =. θ = convent Pusque + = e. + = et arg( ) [ ] + =, une écrture sous la forme exponentelle de + est : On en dédut qu'une écrture sous la forme exponentelle de ( + ) est : ( ) + = e = e. d) On calcule : ( ) = = = = + = + = Un argument θ de convent. vérfe smultanément cos( θ ) = et sn θ =. 5 θ = 6 Pusque = et arg 5 = [ ], une écrture sous la forme exponentelle de 6 = est : e 5 6. TS - nombres complexes Page 55/75 Verson du 7/09/06

56 Correcton de l'exercce n 6 (retour à l'énoncé) 7 Pusque cos + sn = e, on écrt : = 5 e e = 5e Correcton de l'exercce n 7 (retour à l'énoncé) a) b) c) = e 5e e = 5 e = 5 e = 5 e = = e = e = 5 e 5 6 e e e = 5e = 5 e = 5e = 5e Correcton de l'exercce n 8 (retour à l'énoncé) a) On calcule ( )( ) + + = = = = = = +. + De plus cos = = + =. Un argument θ de = vérfe smultanément ( θ ) = = et sn θ = =. θ = convent. Une écrture exponentelle de = est donc e = = + = + = + =. Un argument θ de = + vérfe smultanément cos( θ ) = et sn θ =. θ = convent. Une écrture exponentelle de = + est donc = e TS - nombres complexes Page 56/75 Verson du 7/09/06

57 Une écrture exponentelle de + = e = e est e e e = = = ou encore e b) On dentfe les partes réelles et magnares des écrtures = + et = cos + sn, pour obtenr : 6 cos = cos = cos = 6 sn = sn = sn = TS - nombres complexes Page 57/75 Verson du 7/09/06

58 NOMBRES COMPLEXES - EXERCICES DE SYNTHESE Exercce n 9 (correcton) P = On consdère le polynôme P défn par : ) Calculer P et P( ) pus montrer qu'l exste un polynôme Q du second degré à coeffcents réels, que l'on détermnera, tel que pour tout on at : P = ( + ) Q ) Résoudre dans l'équaton P( ) = 0 ) Placer les ponts A,B,C et D d'affxes A =, B =, C = + et D = C, pus montrer que ces quatre ponts appartennent à un même cercle. ) On note E le symétrque de D par rapport à l'orgne O du repère. C B Montrer que = e, pus détermner la nature du trangle BEC. E B Exercce n 50 (correcton) ) a) Résoudre dans l'équaton + = 0 b) Donner une forme exponentelle de chacune des solutons. ) On défnt les ponts A et M d'affxes respectves a = + et m= a) Placer A et M (unté cm), en ndquant une méthode de constructon. b) On appelle B et C les ponts d'affxes respectves b = a et c = b Calculer b et c sous forme algébrque, pus placer B et C. c) Démontrer que le trangle ABC est rectangle et socèle Exercce n 5 (correcton). Le plan complexe est mun d'un repère orthonormé drect ( Ouv ; ; ) On consdère la sute ( M ) et la sute des affxes + 0 = 8 et pour tout n, n+ = n n n n n défnes par : TS - nombres complexes Page 58/75 Verson du 7/09/06

59 ) Calculer le module et un argument du nombre complexe + trgonométrque.. L'écrre sous forme ) Calculer, et et vérfer que est réel. Placer dans le plan les quatre ponts M 0, M, M et M ) Pour tout nombre enter naturel n : n+ a) Calculer le rapport n+ n b) En dédure que le trangle OM nm n + est rectangle et que n+ n = n+ Exercce n 5 (correcton) - Baccalauréat TS Pondchery 06 L objectf de cet exercce est de trouver une méthode pour construre à la règle et au compas un pentagone réguler. Dans le plan complexe mun d un repère orthonormé drect ( Ouv ; ; ) réguler AAAAA 0 de centre O tel que OA0 = u. On rappelle que dans le pentagone réguler AAAAA, 0 c-contre : - les cnq côtés sont de même longueur ; - les ponts A 0, A A, A et A appartennent au cercle trgonométrque; - pour tout enter k appartenant à {0;;;} on a ( OAk; OAk ). On consdère les ponts B d affxe - et J d affxe + =. 5, on consdère le pentagone Le cercle C de centre J et de rayon coupe le segment [BJ ] en un pont K. Calculer BJ, pus en dédure BK.. a. Donner sous forme exponentelle l affxe du pont A. Justfer brèvement. b. Démontrer que BA = + cos 5 c. Un logcel de calcul formel affche les résultats c-dessous, que l on pourra utlser sans justfcaton : Calcul formel cos( * p / 5) TS - nombres complexes Page 59/75 Verson du 7/09/06

60 ( 5 ) (( 5 ) /) sqrt sqrt «sqrt» sgnfe «racne carrée» ( 5 ) En dédure, grâce à ces résultats, que BA = BK. Ouv ; ;, construre à la règle et au compas un pentagone réguler.. Dans le repère N utlser n le rapporteur n les graduatons de la règle et lasser apparents les trats de constructon. Exercce n 5 (correcton) - Baccalauréat TS Centres étrangers 06 On veut modélser dans le plan la coqulle d un nautle à l ade d une lgne brsée en forme de sprale. On s ntéresse à l are délmtée par cette lgne. Ouv ; ; On munt le plan d un repère orthonormal drect Sot n un enter supéreur ou égal à. Pour tout enter k allant de 0 à n, on défnt les nombres complexes k k = + e n k n et on note M k le pont d affxe k. Dans ce modèle, le pourtour du nautle est la lgne brsée relant tous les ponts M avec 0 k n. Par exemple, pour les enters n = 6, n = 0 et n = 0, on obtent les fgures c-dessous. n = 6 n = 0 n = 0 k Parte A : Lgne brsée formée à partr de sept ponts Dans cette parte, on suppose que n = 6. Ans, pour 0 k 6, on a. Détermner la forme algébrque de.. Vérfer que 0 et 6 sont des enters que l on détermnera. k k k = + e 6 6 TS - nombres complexes Page 60/75 Verson du 7/09/06