Université Paris Diderot LI /13 corrigé C.C. n 1

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1 Université Pris Dierot LI /13 orrigé C.C. n 1 1. Soit le mot u = lphet X = {,,}). Donnez une expression rtionnelle qui rtérise l ensemle e tous les préfixes e u. On peut fire filement l liste e tous les préfixes u mot u : ε,,,, ). On peut on représenter et ensemle fini e mots pr une isjontion : ε ) On peut ussi tenter e tirer prti u fit que hque mot e ette liste est préfixe u mot suivnt. Cel peut onner, pr exemple, l expression rtionnelle suivnte : ε) ε ) ) ε ε 2. Soit l utomte représenté pr l tle e trnsition suivnte : Proposez un utomte reonnissnt le même lngge mis miniml en nomre étts. Un simple oup œil à l représenttion grphique e l utomte qui n étit ps emnée) suffit à suggérer fortement que les étts 2, 3 et 4 jouent le même rôle. Pour s en ssurer, il fut qun-même ppliquer l lgorithme e minimistion. Les lsses e éprt sont une prt {1} seul étt non terminl) et {2,3,4} les trois étts epttions). On émrre on l lgorithme ve l tle e séprtion : x 0 3 x 0 2 x 0 L première psse e l lgorithme onuit à tenter e séprer les pires 2,4), 2,3) et 3,4). Toutes les trnsitions e es étts mènent ns l lsse {2,3,4}. Cette psse e l lgorithme n on uun effet, on peut on s rrêter et onlure que les étts 2, 3 et 4 oivent être fusionnés. Soit 9 le n e e nouvel étt, l utomte miniml reonnissnt le même lngge est on Le lngge reonnu est ) ) e n étit ps emné). 3. Soit le lngge L éfini sur {,,,} qui ontient tous les mots qui vérifient u moins l une es propriétés suivntes : le mot ommene pr et ne ontient ps le fteur ; soit L 1 e lngge le mot pour fteur l un es mots {,,,}; soit L 2 e lngge toute ourrene e est suivie imméitement une ourrene e, et toute ourrene e est suivie une lettre ifférente e. soit L 3 e lngge Exemples : le mot pprtient à L, r il vérifie l première propriété; les mots, n pprtiennent ps à L, r ils ne vérifient uune es trois propriétés; le mot pprtient à L, il vérifie hune es trois propriété. Donnez, pour e lngge, une expression rtionnelle et un utomte éterministe. 1

2 Université Pris Dierot LI /13 orrigé C.C. n 1 expression rtionnelle Pour proposer une expression rtionnelle, il fut ommener pr proposer une expression pour hque lngge, soit e i, et lors l expression emnée est e 1 e 2 e 3 ). utomte éterministe Pour proposer un utomte éterministe, il fut ommener pr proposer un utomte si possile simple et éterministe) pour hque lngge, soit A i, puis onstruire un utomte réunion es 3 utomtes, et éterminiser et utomte. Lngge L 1. Il étit presque impossile e trouver à l min une expression rtionnelle pour e lngge; en revnhe on peut ssez filement éfinir un utomte, à prtir uquel on peut ontruire une expression rtionnelle. Commençons pr onstruire un utomte qui reonnît tous les mots qui omprennent le fteur. On ommene pr une version non éterministe, e qui onne :,,,,,, Une pplition e l lgorithme e éterministion prouit l utomte suivnt : 0 0 0, ,1 0,2 0, ,2 0 0, ,3 0,3 0,1,3 0,3 0,3 0,1,3 0,2,3 0,1,3 0,3 0,3 0,2,3 0,3 0,1,3 0,3 0,3 ont l représenttion grphique est onnée ii : q3 lg1.jff 0 0,1 0,2, 0,3 0,1,3, 0,2,3 Cet utomte n est ps miniml, mis on peut le minimiser, e qui onne :,,, q3 lg1.jff , 2

3 Université Pris Dierot LI /13 orrigé C.C. n 1 Cet utomte est omplet, et on peut on prtir e et utomte pour reonnître le lngge es mots qui ne omprennnent ps le fteur. Pour el, il suffit e onsiérer que tous les étts e réussite e l nien utomte sont es étts éhe, et réiproquement. Cel onne l utomte :,,, q3 lg1.jff , On peut mintennt former l utomte qui reonnît le lngge L 1 : el onne on noter que l étt 4 est un puits) :,,, q3 lg1.jff ,,, À prtir e et utomte, on peut luler, en ppliqunt l lgorithme e MNughton & Ym, une expression rtionnelle, et on otient ii : ) )) ε ε )) Lngge L 2. L expression rtionnelle l plus simple qu on puisse ssoier à L 2 est onstruite ve l isjontion es mots e e lngge, qui est fini. ) ) ) Pour l utomte, est ette fois plus ompliqué. L version non éterministe est file à envisger 1 : q3 lg2.jff,,,,,, 1. On peut tirer prti u fit que eux fteurs se terminent ps pour réuire un peu le nomre étts, mis il fur qun-même minimiser le résultt e l éterministion. 3

4 Université Pris Dierot LI /13 orrigé C.C. n 1 L lgorithme e éterministion prouit un utomte très omplexe, ont voii l tle e trnsition suf erreur, voir fihier iniqué) : 0 0,1 0,6 0,4 0,8 q 0 0,8 0,1 0,6,9 0,4 0,8 q 1 0,6 0,1,7 0,6 0,4 0,8 q 2 0,4 0,1 0,6 0,4 0,5,8 q 3 0,1 0,1 0,2,6 0,4 0,8 q 4 0,6,9 0,1,7 0,3,6 0,4 0,8 q 5 0,1,7 0,1,3 0,2,6 0,4 0,4 q 6 0,5,8 0,1 0,6,9 0,4 0,3,8 q 7 0,2,6 0,1,7 0,3,6 0,4 0,8 q 8 0,3,6 0,1,3,7 0,3,6 0,3,4 0,3,8 q 9 0,1,3 0,1,3 0,2,3,6 0,3,4 0,3,8 q 10 0,3,8 0,1,3 0,3,6,9 0,3,4 0,3,8 q 11 0,3,4 0,1,3 0,3,6,9 0,3,4 0,3,5,8 q 12 0,1,3,7 0,1,3 0,2,3,6 0,3,4 0,3,8 q 13 0,2,3,6 0,1,3,7 0,3,6 0,3,4 0,3,8 q 14 0,2,3,6 0,1,3,7 0,3,6 0,3,4 0,3,8 q 14 0,3,6,9 0,1,3,7 0,3,6 0,3,4 0,3,8 q 15 0,3,5,8 0,1,3 0,3,6,9 0,3,4 0,3,8 q 16 On peut on oit) minimiser et utomte, e qui onne une version nettement plus simple grphiquement, l utomte reste ompliqué...) : Lngge L 3. C est le s le plus simple. L ontrinte est l suivnte : tout oit être suivi imméitement un, et tout oit être suivi imméitement un, ou un, ou un. On peut on onstruire un utomte à 3 étts plus un puits) : étt initil 0) : uune ontrinte violée étt 1 : ynt lu un, on ne veut qu un étt 2 : ynt lu un, on ne veut ps e. étt 3 : puits. q3 lg2.jff q3 lg2.jff 4

5 Université Pris Dierot LI /13 orrigé C.C. n 1 1,, 0, 3,,,, 2 Pour l expression rtionnelle, on peut proposer ) ) ) On peut on proposer ssez filement une expression rtionnelle qui érit le lngge emné : ε ) ))) ε )) ) ) ) ) ) ) Pour l utomte, l méthoe est simple en prinipe : il fut former un utomte ve un nouvel étt initil, et 3 ε-trnsitions qui vont e et étt vers l étt initil e hun es 3 utomtes présentés ii. Il reste ensuite!) à éterminiser le résultt. Les fihiers istriués permettent e voir le résultt sous JFLAP : q3_nondet.jff, q3_det.jff, q3_detmin.jff. 5