Examen de géométrie - Durée : 2h

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1 Université de Lorrine Fculté des sciences et technologies L2 Mthémtiques 31/05/2016 Exmen de géométrie - Durée : 2h Consigne s ppliqunt à tous les exercices : fire oligtoirement des figures. Elles devront être précises, grndes et lisiles, et seront systémtiquement notées. Le rème dépsser 20 points pour tenir compte de l longueur du sujet. Exercice 1. Énoncer et démontrer le théorème de l ngle u centre dns s formultion du cours, vec les ngles orientés de vecteurs. Exercice 2. Énoncer le théorème de l ngle inscrit insi que s réciproque, vec les nottions du complément de cours c est-à-dire vec des ngles de droites. On ne demnde ps de preuve. Exercice 3. Une issectrice (intérieure ou extérieure) en A d un tringle ABC non isocèle en A recoupe le cercle Γ circonscrit à ce tringle en I. Montrer que I pprtient à l méditrice de [BC]. Exercice 4 (Théorèmes de Théult et de Vn Auel). Soit ABCD un qudriltère convexe direct. On construit qutre crrés qui s ppuient extérieurement sur les côtés [AB], [BC], [CD] et [DA]. Les centres respectifs de ces crrés sont notés P, Q, R et S. 1. Montrer que dns le crré construit sur [AB], on p = i 1 i. Démontrer des reltions nlogues pour les utres crrés. 2. Montrer le théorème de Vn Auel : P QRS est un pseudo-crré, c est-à-dire que ses digonles sont de même longueur et se croisent à ngle droit. Pour cel, clculer s q r p. 3. (Théorème de Théult) Dns le cs prticulier où ABCD est un prllélogrmme, montrer que P QRS est un crré. Exercice 5. Soient A, B, C et D les qutre points de R 3 de coordonnées (0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1) et (0, 1, 1). 1. Clculer les coordonnées de l isorycentre G des qutre points. 2. Montrer que les points sont les sommets d un tétrèdre régulier T. 3. Donner des équtions des qutre plns d ppui du tétrèdre, c est-à-dire les plns contennt les fces. 4. Pour chque pln d ppui, préciser de quel côté se trouve le tétrèdre et en déduire une description du tétrèdre pr qutre inéglités. 5. (Bonus) En déduire des inéglités pour l intersection du tétrèdre vec le pln z = 1/2. Fire une figure excte de cette intersection : choisir un repère orthonormé de ce pln (le plus simple possile), trcer les droites nécessires et hchurer l zone du pln recherchée. Exercice 6 (Formule de Héron). Soit ABC un tringle. On note (resp., c) l longueur du côté opposé à A (resp. B, C). On note de plus S son ire, p = 1 2 ( + + c) le demi-périmètre. Le ut de l exercice est de démontrer de deux mnières l formule de Héron : S = p(p )(p )(p c). Les deux preuves sont indépendntes et introduisent leurs propres nottions. On fer une figure pour chcune des deux preuves. 1. (Preuve vec Al-Kshi) On note α l ngle en A. () Exprimer S en fonction de α, et c.

2 () Clculer cos(α) en fonction de, et c. C est l loi des cosinus. Ce résultt est ussi ppelé théorème d Al-Kshi (en Frnce), ou encore théorème de Pythgore générlisé. (c) Clculer de même sin(α) en fctorisnt le plus possile et conclure. 2. (Preuve vec les nomres complexes) On note C le cercle inscrit, I son centre et r son ryon. On note églement x (resp. y, z) l distnce entre A (resp. B, C) et le point de tngence entre C et [AB] (resp. [BC], [CA]). () Montrer que S = rp. () Exprimer p(p )(p )(p c) en fonction de x, y et z. (c) Soient z 1 = r + ix, z 2 = r + iy et z 3 = r + iz. Clculer de deux fçons différentes z 1 z 2 z 3. En déduire que r 2 = xyz/(x + y + z) et conclure. Exercice 7 (Loi des sinus). Soit ABC un tringle. On note (resp., c) l longueur du côté opposé à A (resp. B, C) et on note α (resp. β, γ) l ngle en A (resp. B, C). L loi des sinus est l églité des trois quntités : sin β = c sin γ. Dns cet exercice on propose de l démontrer de plusieurs mnières, dns des versions plus ou moins précises. Les preuves sont indépendntes. On fer des figures différentes pour chque preuve. 1. (Preuve rpide) Montrer le résultt (on demnde une preuve courte et différente des preuves suivntes). 2. (Preuve plus précise vec l ire) Clculez les trois quntités en fonction de,, c et de l ire S du tringle et en déduire le résultt. 3. (Preuve plus précise vec des ngles inscrits) Soit C le cercle circonscrit à ABC, R son ryon et D le point de C dimétrlement opposé à B. () On suppose que D est différent de A et de C. Montrer l églité 2R. () Montrer l même églité dns les cs exclus pr l hypothèse précédente et conclure. 4. (Preuve vec les nomres complexes) () On suppose que A pour ffixe 0, que B pour ffixe 1, et on note z l ffixe de C. (Attention, et c sont toujours les longueurs introduites pr l énoncé : ce ne sont ps les ffixes des points.) Montrer l églité sin β en écrivnt les deux quntités en fonction de z. () Prouver le cs générl.

3 Correction 1. Cours. Correction 2. Cours. Correction 3. TD. Correction 4. TD. Correction L isorycentre des qutre points pour coordonnées (1/2, 1/2, 1/2). 2. Dns le cs demndé, il suffit de montrer que toutes les distnces entre les points sont égles. Ceci est suffisnt pour montrer que les qutre fces sont des tringles équiltérux et que le polyèdre est un tétrèdre régulier. Comme il y qutre points, il y ( 4 2) = 6 distnces à clculer. On pr exemple AB = ( 1) 2 + ( 1) = 2. Les utres distnces vlent églement Le pln ABC dmet n := AB AC comme vecteur norml. Comme ce vecteur pour coordonnées = 1, on en déduit que le pln ABC pour éqution x y z = d, où d R doit encore être déterminé. Comme A pprtient u pln, ses coordonnées doivent vérifier l éqution, d où on tire d = 0. Ainsi, l éqution du pln ABC est : x y z = 0. Pour les trois utres plns ABD, ACD et BCD on otient de l même mnière les équtions x y + z = 0, x + y z = 0 et x + y + z = Le pln ABC ynt pour éqution x y z = 0, le tétrèdre se trouve soit dns le demi-espce x y z 0, soit dns le demi-espce x y z 0. Comme G pprtient u tétrèdre et que x G y G z G = 1/2, on en déduit que le tétrèdre pprtient u demi-espce x y z 0. On procède de même pour les trois utres plns d ppui, ce qui donne l crctéristion : x y z 0 x y x y + z 0 T z x + y z 0 x + y + z 2 5. En remplçnt z pr 1/2, on trouve les qutre inéglités crctérisnt les scisses et ordonnées de l intersection du tétrèdre vec le pln d éqution z = 1/2. Finlement, on : z = 1/2 x x y 1/2 y T et z = 1/2 x y 1/2 z x + y 1/2 x + y 3/2 Si on munit le pln z = 1/2 du repère orthonormé ((0, 0, 1/2), i, j), l intersection est le crré dont les sommets ont pour coordonnées (1/2, 0), (1, 1/2), (1/2, 1) et (0, 1/2).

4 Correction (Preuve vec Al-Kshi) () On S = c sin(α) /2, cr l ire est l moitié de celle du prllélogrmme porté pr AB et AC. Or, ce dernier pour ire AB AC = c sin α. () (Al-Kshi) Il existe de très nomreuses preuves. L plus courte est celle utilisnt l outil le plus évolué disponile en géométrie plne u lycée, à svoir le produit sclire : 2 = BC 2 = CB 2 = AB AC 2 = AB 2 2 AB, AC + AC 2 = 2 +c 2 2c cos(α). (c) On otient donc sin(α) = ( 1 cos 2 (α) = c 2 2c ) 2 d où c sinα 2 = 1 (4 4 2 c c 2 )(4 2 c c 2 ) ( + + c)( + c )( + c)( + c) = 16 = p(p )(p )(p c) 2. (Preuve vec les nomres complexes) () On S = Aire(ABC) = Aire(ABI)+Aire(IBC)+Aire(CIA) = r AB 2 BC CA +r +r 2 2 = rp. () On p = x + y + z, p = x, p = y et p c = z, d où (c) D une prt, on p(p )(p )(p c) = (x + y + z)xyz. z 1 z 2 z 3 = (r + ix)(r + iy)(r + iz) = r 3 r(xy + yz + zx) + i ( r 2 (x + y + z) xyz ). D utre prt, comme ÂIB + BIC + ĈIA = 2π, on Arg(z 1 z 2 z 3 ) = Argz i = π, utrement dit z 1 z 2 z 3 est réel, donc s prtie imginire est nulle. On en déduit r 2 (x + y + z) xyz = 0. Comme x + y + z 0, ceci est équivlent à : r 2 = xyz x + y + z. En utilisnt les questions précédentes, on otient finlement : xyz S = pr = (x + y + z) x + y + z = xyz(x + y + z) = p(p )(p )(p c). Correction (Preuve rpide) Soit h l longueur de l huteur issue de C. Alors on h = sin(β) = sin(α), d où. On montre de même les deux utres églités. sin β

5 2. (Preuve plus précise vec l ire) Avec les mêmes nottions, on l ire S est égle à ch/2 = c sin(α)/2, d où c 2S. On prouve de même les deux utres églités, ce qui donne l forme plus précise de l loi des sinus : sin β = 3. (Preuve plus précise vec des ngles inscrits) c sin γ = c 2S. () Les ngles géométriques α et BDC interceptent l même corde [BC] dont sont égux ou supplémentires. Ils ont donc même sinus. On sin BDC. Or, BDC est rectngle en C et on donc 2R/, d où 2R. () Si D = C ou D = A, cel signifie que ABC est rectngle en A ou C et dns ce cs on fcilement sin α = 2R. L églité est donc toujours vrie, et les deux utres se montrent de l même mnière. 4. (Preuve vec les nomres complexes) () Dns ce cs prticulier, on c = 1, = z, et = z 1. D une prt, on sin(α) = Im(z)/ z. D utre prt, on sin(β) = Im(z 1)/ z 1. On en déduit que z 1 z = = sin α Im(z) z z 1 Im(z 1) = sin β. () L formule à prouver est invrinte pr similitude. Or, il existe une similitude envoynt [AB] sur le segment relint les points d ffixes 0 et 1.