Chapitre 4. Le potentiel électrique

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1 Chaite 4 Le otentiel électique Objectif intemédiaie 2.4 Connaîte la notion de otentiel électique, uis l'emloye en ésence de distibutions de chages onctuelles de distibutions de chages continues. Le otentiel Le otentiel électique, aelé simlement otentiel, em de calcule la quantité d'énegie à founi à une aticule test chagée ou la délace dans un cham électique. La quantité d'énegie à founi est tansféée a le tavail extéieu effectué su la aticule test. Si la vitesse est constante, la quantité d'énegie founie à la aticule test chagée se calcule a W = q = q ( - ) XT f i où W XT est le tavail extéieu en joules, q est la chage de la aticule test en coulombs, est la vaiation de otentiel en volts i, f sont les otentiels initial final en volts. Chaque oint de l'esace est à un cain otentiel électique comme une aticule chagée ossède une caine énegie otentielle électique en chaque oint de l'esace. Pou une aticule chagée en mouvement, la vaiation de otentiel électique coesond à une vaiation de l'énegie otentielle électique donnée a = U où est la vaiation de otentiel en volts, U est la vaiation de l'énegie otentielle en joules q est la chage de la aticule test en coulombs. D'aès cte elation, un volt est équivalent à un joule a coulomb. q = volt = joule coulomb = J C Le tavail effectué su la aticule test se calcule à ati de la tajectoie a XT W = - F = - q où W XT est le tavail extéieu en joules, F est le vecteu foce électique en newtons,

2 Chaite 4: Le otentiel électique Page C4-2 d s q est le vecteu délacement infinitésimal en mètes, est la chage de la aticule test en coulombs est le vecteu cham électique en newtons a coulomb. Si la vitesse est constante, le tavail extéieu est égal à la vaiation d'énegie otentielle, alos la vaiation de otentiel électique est donnée a = U = W XT = - d q q s où est la vaiation de otentiel en volts, U est la vaiation de l'énegie otentielle en joules, q est la chage de la aticule test en coulombs, W XT est le tavail extéieu en joules, est le vecteu cham électique en newtons a coulomb d s est le vecteu délacement infinitésimal en mètes. La vaiation de otentiel électique ente les oints est donc - = = - où, sont les otentiels aux oints en volts, est la vaiation de otentiel en volts, d s est le vecteu délacement infinitésimal en mètes. est le vecteu cham électique en newtons a coulomb Si le cham électique est unifome, la vaiation de otentiel électique, ente les oints, est - = - = - = - s où, sont les otentiels aux oints en volts, est le vecteu cham électique en newtons a coulomb, d s est le vecteu délacement infinitésimal en mètes s est le vecteu délacement du oint au oint en mètes. Pa exemle, si le délacement est aallèle à l'axe des x, la vaiation de otentiel électique, ente les oints, est - = - x x où, sont les otentiels aux oints en volts,

3 Chaite 4: Le otentiel électique Page C4-3 x est la comosante x du cham électique en newtons a coulomb x est le délacement (selon x) en mètes. D'aès la elation écédente, on voit que le cham électique eut aussi s'exime en volts a mète; ce seont les unités emloyées a la suite. newton coulomb N = C volt = mète = m. Un tavail de 5 µj est nécessaie ou délace de 6 cm une aticule otant une chage de 6 µc. Le cham électique est unifome aallèle au délacement. La vitesse de la chage est constante. a) Quelle est la vaiation d'énegie otentielle électique de la aticule ente la osition de déat d'aivée? b) Quelle la vaiation de otentiel électique ente la osition de déat d'aivée? c) Quelle est la gandeu du cham électique? 2. Une aticule otant une chage de 45 µc est délacée de 5 cm dans la diection des x ositifs. Un cham électique unifome de 3 /m diigé à 2 est ésent dans l'entouage de la aticule. a) Quelle est la vaiation de otentiel électique ente la osition de déat d'aivée? b) Quelle est la vaiation d'énegie otentielle électique de la aticule ente la osition de déat d'aivée? c) Si la vitesse est constante, quel est le tavail effectué su la aticule ou la délacée de 5 cm dans la diection des x ositifs? Les équiotentielles À chaque oint de l'esace, coesond un otentiel électique. Ce otentiel électique est visualisé a les équiotentielles. Une équiotentielle est une ligne (dans un esace 2-D) ou une suface (dans un esace 3- D) su laquelle le otentiel électique est constant. Les équiotentielles sont équivalentes aux lignes de niveau su les cates toogahiques. Il n y a as de vaiation d altitude ou une esonne se délaçant su une ligne de niveau. De même, la vaiation de otentiel est nulle ou une aticule test chagée se délaçant su une équiotentielle; ainsi = - = où est la vaiation de otentiel en volts, est le vecteu cham électique en volts a mète d s est le vecteu délacement infinitésimal en mètes. los, le cham électique doit tavese l'équiotentielle eendiculaiement afin que le oduit scalaie d s soit nul atout le long du acous.

4 Chaite 4: Le otentiel électique Page C4-4 équiotentielles insi, les lignes de cham électique les équiotentielles sont atout eendiculaies ente elles. Une aticule test chagée qui se délace dans l'esace subia une vaiation d'énegie otentielle si la osition de déat d'aivée ne se touvent as su la même équiotentielle. De lus, la diminution d'énegie otentielle sea égale à l'augmentation d'énegie cinétique. Note : La vaiation de otentiel ne déend que de la osition des oints ; elle est indéendante du acous. Pa consevation de l'énegie, on a K = - U = - q tajectoie où K est la vaiation d'énegie cinétique en joules, U est la vaiation de l'énegie otentielle en joules, est la vaiation de otentiel en volts q est la chage de la aticule test en coulombs. 3. Une aticule chagée se délace du oint ayant un otentiel électique de 22 ves le oint ayant un otentiel électique de 35. La aticule ossède une chage de -225 µc une masse de 75 g. La vitesse initiale de la aticule est de 25 cm/s. a) Quelle est la vaiation d'énegie otentielle de la aticule? b) Quelle est la vaiation d'énegie cinétique de la aticule? c) Quelle est l'énegie cinétique finale de la aticule? d) Quelle est la vitesse finale de la aticule? Distibutions de chages onctuelles Le cham électique au voisinage d'une chage onctuelle est k q = 2 u

5 Chaite 4: Le otentiel électique Page C4-5 où est le vecteu cham électique en volts a mète, q est la chage onctuelle en coulombs, k est la constante de la loi de Coulomb (8,99 9 N m 2 /C), est le ayon de l équiotentielle en mètes u est le vecteu unitaie s'éloignant de la chage q. Le cham électique oduit a une chage onctuelle étant adial au voisinage de celle-ci, les équiotentielles seont shéiques. La vaiation de otentiel électique s'obtient le lus simlement a l'intégation du cham électique en suivant un chemin aallèle à un ayon (ente deux sufaces shéiques). insi - = - = - - = - = - k q = k q - k q d 2 où, sont les otentiels aux oints en volts, est le vecteu cham électique en volts a mète, d s est le vecteu délacement infinitésimal en mètes, est le cham électique en volts a mète, est le délacement infinitésimal en mètes, k est la constante de la loi de Coulomb (8,99 9 N m 2 /C), q est la chage onctuelle en coulombs, d est le ayon de l équiotentielle en mètes, sont les ayons des équiotentielles aux oints en mètes. est la vaiation infinitésimale du ayon de l équiotentielle en mètes, Le otentiel électique est défini à une constante ès. Un otentiel de éféence nul est is en un oint situé à l'infini. Ce choix de otentiel de éféence em d'adote une exession simle ou le otentiel électique autou d'une chage onctuelle, soit k q = où k q est le otentiel au oint P autou d'une chage onctuelle en volts, est la constante de la loi de Coulomb (8,99 9 N m 2 /C), est la chage onctuelle en coulombs est le ayon de l équiotentielle au oint P en mètes.

6 Chaite 4: Le otentiel électique Page C4-6 Le incie de sueosition s'alique, ou calcule le otentiel en un oint P dans le cas où il y a lusieus chages onctuelles aux alentous, soit N P = où P est le otentiel au oint P oduit a les chages onctuelles en volts, k est la constante de la loi de Coulomb (8,99 9 N m 2 /C), q i est la chage otée a la i e aticule en coulombs i est la distance du oint P a aot à la i e aticule en mètes. i= Losqu'une 2 e chage onctuelle se délace du oint au oint autou d une e chage onctuelle, la aie de chages onctuelles subit une vaiation d'énegie otentielle donnée a k q k q U -U = q2 ( - )= q2 - où U,U sont les énegies otentielles électiques aux oints en joules,, sont les otentiels aux oints en volts, k est la constante de la loi de Coulomb (8,99 9 N m 2 /C), q, q 2 sont les chages otées a la e la 2 e aticule en coulombs, sont les ayons des équiotentielles aux oints en mètes. L'énegie otentielle électique est également définie à une constante ès. Une énegie otentielle de éféence nulle est également ise en un oint situé à l'infini. L'exession de l'énegie otentielle électique d une aie de chages q q 2, avec cte éféence, est k q q2 U 2 = 2 où U 2 est l'énegie otentielle électique de la aie de chages q q 2 en joules, k est la constante de la loi de Coulomb (8,99 9 N m 2 /C), q, q 2 sont les chages otées a la e la 2 e aticule en coulombs 2 est la distance ente les chages q q 2 en mètes. Dans le cas où il y a lusieus aies de chages onctuelles, l'énegie otentielle électique de la distibution de chage est la somme de l'énegie otentielle ou chaque aie de chages onctuelles. insi, ou une distibution de tois chages onctuelles, l'énegie otentielle électique est U 23 =U 2 +U 23 +U 3 k q q k q q k q3 q = où U 23 est l'énegie otentielle électique des chages q, q 2, q 3 en joules, U 2 est l'énegie otentielle électique de la aie de chages q q 2 en joules, est l'énegie otentielle électique de la aie de chages q 2 q 3 en joules, U 23 k q i i

7 Chaite 4: Le otentiel électique Page C4-7 U 3 k q, q 2, q est l'énegie otentielle électique de la aie de chages q 3 q en joules, est la constante de la loi de Coulomb (8,99 9 N m 2 /C), sont les chages otées a la e, la 2 e la 3 e aticule en coulombs, est la distance ente les chages q q 2 en mètes, est la distance ente les chages q 2 q 3 en mètes 3 est la distance ente les chages q 3 q en mètes. 4. Deux aticules otent des chages onctuelles de +3 µc -3 µc. La distance ente les aticules est de cm. a) Quel est le otentiel électique à 2,5 cm de la chage ositive dans l'esace ente les deux aticules? b) Quel est le otentiel électique à 2,5 cm de la chage négative dans l'esace ente les deux aticules? c) Quelle est l'énegie otentielle électique de la aie de aticules? 5. Soit une aie de chages onctuelles comenant une chage de -5 µc une chage de µc. a) Quelle est l'énegie otentielle de la aie de chages onctuelles losque la distance ente elles est de 5 cm? b) Quelle est l'énegie otentielle de la aie de chages onctuelles losque la distance ente elles est de cm? c) Quel est le tavail founi afin d'éloigne les chages de 5 cm à cm? 6. Une chage onctuelle de 4 µc se aoche d'une chage onctuelle de µc. La distance initiale ente les chages ente de 2 cm. La distance finale ente les chages est de 8 cm. a) Quelle est la vaiation de otentiel électique ente la osition à 2 cm la osition à 8 cm autou de la chage onctuelle de µc losqu'elle est seule? b) Quelle est la vaiation d'énegie otentielle électique de la chage de 4 µc losqu'elle se délace d'une distance de 2 cm à 8 cm a aot à la chage de µc? c) Si les chages ont été aochées à vitesse constante, quel tavail a-t-il fallu founi? Distibutions de chages continues Si on calcule le otentiel électique au oint P oduit a une chage infinitésimale, on obtient un otentiel électique infinitésimal en un oint donné a k dq = où k est la vaiation de otentiel infinitésimale au oint P en volts, est la constante de la loi de Coulomb (8,99 9 N m 2 /C),

8 Chaite 4: Le otentiel électique Page C4-8 dq est un élément de chage infinitésimal en coulombs est le ayon de l équiotentielle au oint P en mètes. Pa le incie de sueosition, le otentiel électique ésultant, en un oint donné, se calcule a = k dq où P est le otentiel au oint P oduit a les chages onctuelles en volts, k est la constante de la loi de Coulomb (8,99 9 N m 2 /C), dq est un élément de chage infinitésimal en coulombs est le ayon de l équiotentielle au oint P en mètes. 7. Soit une tige ayant une longueu de 2 cm otant une distibution de chage linéaie de 4 µc/m. l d * oint P a) Quelle est l'exession du otentiel électique en un oint situé le long de l'axe de la tige (à une distance d du bout de la tige)? b) Quelle est la gandeu du otentiel électique en un oint situé à 5 cm de l'extémité le long de l'axe de la tige? ceceau 8. Soit un ceceau ayant un ayon de cm otant une distibution de chage linéaie de 6 µc/m. a x * oint P a) Quelle est l'exession de la gandeu du otentiel électique oduit a le ceceau en un oint situé le long d'un axe eendiculaie assant ale cente du ceceau? b) Quelle est la gandeu du otentiel électique oduit a le ceceau en un oint situé à 25 cm du cente le long d'un axe eendiculaie assant ale cente du ceceau? Détemination du cham à ati du otentiel La vaiation de otentiel électique infinitésimale coesondant à un délacement infinitésimal est = - = - ( x dx + y dy + z dz ) où d s x, y, z est la vaiation de otentiel infinitésimale au oint P en volts, est le vecteu cham électique en volts a mète, est le vecteu délacement infinitésimal en mètes, sont les comosantes x,y,z du cham électique en volts a mète

9 Chaite 4: Le otentiel électique Page C4-9 dx, dy, dz sont les comosantes x,y,z du délacement infinitésimal en mètes. Pou un délacement aallèle à l'axe des x, la comosante x du cham électique est x = - dx y, z constants où x est la comosante x du cham électique en volts a mète, est la vaiation de otentiel infinitésimale en volts dx est la comosante x du délacement infinitésimal en mètes. Pou un délacement aallèle à l'axe des y, la comosante y du cham électique est y = - dy x,z constants où y est la comosante y du cham électique en volts a mète, est la vaiation de otentiel infinitésimale en volts dy est la comosante y du délacement infinitésimal en mètes. Pou un délacement aallèle à l'axe des z, la comosante z du cham électique est z = - dz x, y constants où z est la comosante z du cham électique en volts a mète, est la vaiation de otentiel infinitésimale en volts dz est la comosante z du délacement infinitésimal en mètes. Le cham électique eximé à l'aide de ses comosantes devient = x i + = - dx y j + z y,z constants k i - dy x,z constants j - dz x,y constants où est le vecteu cham électique en volts a mète, x, y, z sont les comosantes x,y,z du cham électique en volts a mète, i, j,k sont les vecteus unitaies ou les axes x,y,z, est la vaiation de otentiel infinitésimale en volts dx, dy, dz sont les comosantes x,y,z du vecteu délacement infinitésimal en mètes. k

10 Chaite 4: Le otentiel électique Page C4- Ce ésultat est généalement eximé dans une notation difféente, soit où x,, y z = - i - j - k ou = - x y z est le vecteu cham électique en volts a mète, sont les déivées atielles du otentiel a aot aux vaiables x,y,z en volts a mète, i, j,k sont les vecteus unitaies ou les axes x,y,z est le (vecteu) gadient du otentiel électique en volts a mète. Pa exemle, le otentiel électique au bout d'une tige ectiligne est donné a l x oint P ( x) = 4 λ πε x + l ln x * insi, le cham électique au bout de la tige est donnée a ( x) = d dx ( ( x) ) = d dx 4 λ πε x + l ln x vec un changement de vaiable, on a x + l u = x du dx = ( x) = d x + l l = 2 dx x x d dx 4 λ πε ln u = 4 ( x) = 4 λ πε λ πε du u dx x l x + l x 2 Q = 4πε x ( x + l) 9. Le otentiel électique dans une égion de l'esace est décit a l'exession où (x,y,z) s exime en volts x,y s eximent en mètes. (x, y,z) = x + 25 y a) Quelle est la comosante x du cham électique? b) Quelle est la comosante y du cham électique? c) Quelle est la comosante z du cham électique?

11 Chaite 4: Le otentiel électique Page C4-. Soit un otentiel électique su la doite joignant deux aticules otant des chages +Q -Q est décit a l'exession = k Q x - d - x oint P +Q -Q x * d où la chage ositive est lacée à l'oigine où la osition x est telle que < x < d. a) Quelle est l'exession de la comosante x du cham électique su la doite joignant les deux aticules? b) Quelle est l'exession de la comosante y du cham électique su la doite joignant les deux aticules? c) Quelle est l'exession de la comosante z du cham électique su la doite joignant les deux aticules? Réonses. a) +5 µj b) +,83 c),39 /m 2. a) 39, b) +,75 mj c),75 mj 3. a) -2,925 mj b) +2,925 mj c) 5,269 mj d) 37,5 cm/s 4. a) +7,2 6 b) -7,2 6 c) -8 J 5. a) -9 J b) -45 J c) +45 J 6. a) +375 k b),5 J c),5 J λ d + l 7. a) = ln b) 5,794 M 4πε d λ a 8. a) = b)2, ε x + a 9. a) - /m b) -25 /m c) /m. a) x = k Q + b) 2 y = c) x ( d - x ) 2 Tous doits ésevés, Richad Fadte. z =