Résolution d équations et d inéquations avec logarithmes et exponentielles

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1 8 Résolution d équtions et d inéqutions vec logrithmes et exponentielles Échuffez-vous! 1 Ryez l encdré inexct. Soit, x et y des nombres réels. ) On suppose. Si x y lors x / y ; si x y lors x / y. b) On suppose. Si x y lors x / y ; si x y lors x / y. Cochez l cse correspondnt à l réponse excte. Soit et x des nombres réels, vec. Lorsque x, ln(x) existe. Vri Fux Lorsque x, ln(x) existe. Vri Fux Soit un nombre réel non nul. Ryez l encdré inexct. (Pour cel, trcez sur clcultrice l courbe évoquée, pour différentes vleurs de.) ) On suppose. L courbe représenttive de l fonction x ln(x) l llure de celle trcée ci-dessous en : rouge / bleu. b) L courbe représenttive de l fonction x e x l llure de celle trcée ci-dessous en : rouge / bleu lorsque ; rouge / bleu lorsque. y y Cochez l cse correspondnt à l réponse excte. Soit un nombre réel non nul. Pour tout nombre réel x, e x. Vri Fux x 1 x

2 1 Résolution d équtions ln(x) = b et d inéqutions ln(x) b (ou ln(x) b, ou ln(x) b, ou ln(x) b), 1. Exminer grphiquement une telle résolution On donne un trcé de l courbe représenttive f d une fonction f, définie sur [,1 ; 5] pr f(x) = ln(x), où. y 1 f (Trcé fit ici pour l vleur de telle que f(4) =.) x Activité 1. Trcez sur le grphique les trits montrnt que, dns [,1 ; 5] : l éqution ln(x) = pour seule solution le nombre 4.. Associez à chque inéqution son ensemble de solutions, dns [,1 ; 5]. ln(x) ln(x) ln(x) - [,1 ; 4[ [,1 ; 5] [4 ; 5]. Comment résoudre, dns un intervlle I, une éqution ln(x) = b, où? Méthode 1 Étpe 1 Indiquer que, puisque, on suppose x (pour que ln(x) existe). Étpe En ppliqunt l fonction exponentielle ux deux membres de l églité, écrire que ln(x) = b équivut à x = e b, c est-à-dire à x = eb. Étpe Si eb I, lors eb est l solution, dns I, de l éqution ln(x) = b ; sinon, cette éqution n ps de solution dns I. Résoudre dns I = [1 ; 1] chcune des équtions : ) ln(x) = ; b) ln(x) = - 5. Solution ) Étpe 1 Puisque = >, on suppose x >. Étpe ln(x) = équivut à x = e, c est-à-dire à x = e. Étpe Puisque e,7, e [1 ; 1], donc e dns [1 ; 1], de l éqution ln(x) =. b) Étpe 1 Puisque = >, on suppose x >. est l solution, Étpe ln(x) = - 5 équivut à x = e 5, c est-à-dire à x = e 5. [1 ; 1], donc l éqution Étpe Puisque e 5,, e 5 ln(x) = - 5 n ps de solution dns [1 ; 1]

3 . Comment résoudre, dns un intervlle I, une inéqution ln(x) b (ou ln(x) b, ou ln(x) b, ou ln(x) b),? Méthode Étpe 1 Indiquer que, puisque, on suppose x (pour que ln(x) existe). Étpe Résoudre l inéqution dns ] ; + [. Cs d une inéqution ln(x) b (ou ln(x) b) En ppliqunt l fonction exponentielle, strictement croissnte, ux deux membres de l inéglité, écrire que ln(x) b (ou ln(x) b) équivut à x e b (ou x e b ), c est-à-dire à x e b (ou x e b ). Cs d une inéqution ln(x) b (ou ln(x) b) En ppliqunt l fonction exponentielle, strictement croissnte, ux deux membres de l inéglité, écrire que ln(x) b (ou ln(x) b) équivut à x e b (ou x e b ), c est-à-dire à x e b (ou x e b ). Étpe Prendre prmi les solutions obtenues à l étpe celles pprtennt à I. Pour se guider : trcer sur clcultrice l courbe représenttive de l fonction x ln(x). Résoudre chcune des inéqutions suivntes, dns l intervlle I indiqué. ) ln(x) 1, vec I = ] ; ] ; b) ln(,5x) - 1, vec I = [,5 ; 1] ; c) ln(5x), vec I = [1 ; ]. Solution ) Étpe 1 Puisque >, on suppose x >. Étpe ln(x) 1 équivut à x e 1, c est-à-dire à x e. Étpe Puisque e 1,6, e ] ; ], donc l ensemble des solutions, dns ] ; ], de l inéqution ln(x) 1 est l intervlle ; e. b) Étpe 1 Puisque,5 >, on suppose x >. Étpe ln(,5x) > - 1 équivut à,5x > e 1, c est-à-dire à x > e 1,5. Étpe Puisque e 1 e 1,74, [,5 ; 1], donc l ensemble des,5,5 solutions, dns [,5 ; 1], de l inéqution ln(,5x) > - 1 est l intervlle e 1,5 ; 1. c) Étpe 1 Puisque 5 >, on suppose x >. Étpe ln(5x) < équivut à 5x < e, c est-à-dire à x < 1 5. Étpe Puisque 1 5 =,, 1 < 1, donc l inéqution n ps de 5 solution dns [1 ; ]. 11 chpitre 8 résolution d équtions et d inéqutions

4 Résolution d équtions e x = b et d inéqutions e x b (ou e x b, ou e x b, ou e x b), π 1. Exminer grphiquement une telle résolution On donne un trcé des courbes représenttives f et g de fonctions f et g, définies sur [- 4 ; 1] pr f(x) = e 1 x et g(x) = e x, où 1 et. (Trcé fit ici pour les vleurs de 1 et de telles que f(8) = 5 et g(- ) =.) y 6 f g x Activité 1. Trcez sur le grphique les trits montrnt que, dns [ 4 ; 1] : ) l éqution e 1 x = 5 pour seule solution le nombre 8 ; b) l éqution e x = pour seule solution le nombre -.. Associez à chque inéqution son ensemble de solutions, dns [ 4 ; 1]. e 1 x 5 [- 4 ; 8[ e 1 x 5 [- ; 1] e x [8 ; 1] [- 4 ; - [ e x. Comment résoudre, dns un intervlle I, une éqution e x = b? Méthode Étpe 1 Identifier le signe de b. Étpe Lorsque b, conclure que l éqution n ps de solution. (En effet, pour tout x, e x.) Lorsque b, en ppliqunt l fonction logrithme népérien ux deux membres de l églité, écrire que e x = b équivut à x = ln(b), c est-à-dire à x = ln(b). Conclure : si ln(b) ln(b) I, lors est l solution, dns I, de l éqution ex = b ; sinon, cette éqution n ps de solution dns I. Résoudre dns I = [-1 ; 1] chcune des équtions : ) e -x = ; b) e,5x = -7. Solution ) Étpe 1 b =, donc b. Étpe e - x = équivut à x = ln(), c est-à-dire à x = ln(). Puisque ln(),, ln() [ 1 ; 1], de l éqution e - x =. b) Étpe 1 b = 7, donc b <. [- 1 ; 1], donc ln() est l solution, dns Étpe Puisque b <, l éqution e,5x = - 7 n ps de solution dns [ 1 ; 1]

5 . Comment résoudre, dns un intervlle I, une inéqution e x b (ou e x b, ou e x b, ou e x b)? Méthode 4 Étpe 1 Identifier le signe de b. Étpe Résoudre l inéqution dns. Cs d une inéqution e x b (ou e x b) Si b, conclure que l inéqution n ps de solution. (cr, pour tout x, e x.) Si b, en ppliqunt l fonction logrithme népérien, strictement croissnte, ux deux membres de l inéglité, écrire que e x b (ou e x b) équivut à x ln(b) (ou x ln(b)), c est-à-dire à : x ln(b) (ou x ln(b) ) si ; x ln(b) (ou x ln(b) ) si. Cs d une inéqution e x b (ou e x b) Si b, conclure que l ensemble des solutions de l inéqution est. (cr, pour tout x, e x.) Si b, en ppliqunt l fonction logrithme népérien, strictement croissnte, ux deux membres de l inéglité, écrire que e x b (ou e x b) équivut à x ln(b) (ou x ln(b)), c est-à-dire à : x ln(b) (ou x ln(b) ) si ; x ln(b) (ou x ln(b) ) si. Étpe Prendre prmi les solutions obtenues à l étpe celles pprtennt à I. Pour se guider : trcer sur clcultrice l courbe représenttive de l fonction x e x. Résoudre dns l intervlle I = [1 ; 5] chcune des inéqutions : ) e,6x ; b) e 6,7x - 1 ; c) e - 5x. Solution ) Étpe 1 b =, donc b. Étpe e,6x équivut à,6x ln(), c est-à-dire à x ln(),6. Étpe Puisque ln(),6 11,6, ln() [1 ; 5], donc l ensemble des,6 solutions, dns I, de l inéqution e,6x est l intervlle ln(),6 ; 5 4. b) Étpe 1 b = 1, donc b <. Étpes et Ainsi, l ensemble des solutions, dns I, de l inéqution e 6,7x -1 est l intervlle [1 ; 5]. c) Étpe 1 b =, donc b >. Étpe e - 5x équivut à 5x ln(), c est-à-dire à x ln() 5. Étpe Puisque ln(),, ln() 5 5 < 1, donc l inéqution e- 5x n ps de solution dns I. 115 chpitre 8 résolution d équtions et d inéqutions

6 1 ) ln(x) =,5 équivut à x = e,5, soit x = e,5. e,5,8, donc l solution, dns ] ; + [, de cette éqution est e,5. b) e,5 [1 ; ], donc cette éqution n ps de solution dns [1 ; ]. ) ln(,5x) = équivut à,5x = e, soit x = e,5. e,1, donc l solution, dns ] ; + [, de cette éqution,5 est e,5. b) e [,5 ; 1], donc cette éqution n ps de solution,5 dns [,5 ; 1]. ) ln(x) = équivut à x = e, soit x =,5. L solution, dns ] ; 1], de cette éqution est,5. b),5 ] ;,5[, donc cette éqution n ps de solution dns ] ;,5[. 4 ) ln(x) = 1 équivut à x = e. Puisque e,7, e [1 ; ], donc cette éqution n ps de solution dns [1 ; ]. b) L solution, dns [1 ; + [, de l éqution ln(x) = 1 est e. 5 ) ln(4x) = -1 équivut à 4x = e 1, soit x = e 1 4. e 1,9, donc l solution, dns] ; 1], de cette éqution 4 est e 1 4. b) ln(,1x) = équivut à,1x = e, soit x = e,1. Puisque e e,9, [1 ; ], donc cette éqution n,1,1 ps de solution dns [1 ; ]. 6 ) ln(x) + = équivut à ln(x) =, soit x = e, c'est-à-dire x = e e e. Puisque,, [1 ; 1], donc cette éqution n ps de solution dns [1 ; 1]. b) ln(5x) = équivut à ln(5x) =, soit 5x = e, c'est-àdire x = e 5. e 1,5, donc l solution, dns [1 ; 1], 5 de cette éqution est e 5. 7 ) ln(x) = 1 équivut à ln(x) =,5, soit x = e,5. e,5 1,6, donc l solution, dns [1 ; ], de cette éqution est e,5. b) ln(7x) = 6 équivut à ln(7x) =, soit 7x = e, c'est-àdire x = e 7. e 1,6, donc l solution, dns [1 ; ], de cette 7 éqution est e 7. 8 ) -ln(x) = -4 équivut à ln(x) =, soit x = e. e 7,4, donc l solution, dns ] ; 1], de cette éqution est e. b) ln(,5x) = 8 équivut à ln(,5x) = 6, soit,5x = e 6, c'est-à-dire x = e 6 e 6 e 6. Puisque,5, [1 ; 1],,5,5,5 donc cette éqution n ps de solution dns [1 ; 1]. 9 ) ln(x) 1 = 8 équivut à ln(x) =, soit x = e. Puisque e, e [5 ; 1], donc cette éqution n ps de solution dns [5 ; 1]. b),5ln(x) + 1 = équivut à ln(x) =, soit x = e, c'est-à-dire x = e e e. Puisque,7, [5 ; 1], donc cette éqution n ps de solution dns [5 ; 1]. 1 ) ln(x) = ln(1) équivut à x = 1. L solution, dns [,5 ; 1], de cette éqution est 1. b) ln(x) = ln(e) équivut à x = e. Puisque e,7, e [,5 ; 1], donc cette éqution n ps de solution dns [,5 ; 1]. 11 ) ln(x) équivut à x e. e, donc l ensemble des solutions, dns ] ; + [, de cette inéqution est l intervlle ] ; e ]. b) L ensemble des solutions, dns [1 ; ], de cette inéqution est l intervlle [1 ; e ]. 1 ) ln(x) >,6 équivut à x > e,6. e,6,5, donc l ensemble des solutions, dns ] ; + [, de cette inéqution est l intervlle ]e,6 ; + [. b) L ensemble des solutions, dns ] ; 1], de cette inéqution est l intervlle]e,6 ; 1]. 1 ) ln(x) <, équivut à x < e,, soit x < e,. e,,4, donc l ensemble des solutions, dns ] ; 1], de cette inéqution est l intervlle 4 ; e,. <,5, donc cette inéqution n ps de solution dns [,5 ; 1]. b) e, 14 ) ln(5x) > équivut à 5x 1, soit x =,, donc l ensemble des solutions, dns ] ; 1], de cette inéqution est l intervlle [, ; 1]. b), >,1, donc cette inéqution n ps de solution dns ] ;,1]. 116

7 15 ) ln(x) équivut à x e, soit x e. e 1,4, donc l ensemble des solutions, dns ] ; 1], de cette inéqution est l intervlle ] ; 1]. e 1 b) ln(,4x) > 1 équivut à,4x > e 1, soit x >,4. e 1,9, donc l ensemble des solutions, dns [1 ; + [,,4 de cette inéqution est l intervlle [1 ; + [. 16 ) ln(,1x) < 5 équivut à,1x < e 5, soit x < e 5,1. Puisque e 5 e 5,7, < 1, donc cette inéqution n ps,1,1 de solution dns [1 ; ]. b) ln(,x) 1 équivut à,x e 1, soit x e 1,. e 1,, donc l ensemble des solutions,, dns [1 ; + [, de cette inéqution est l intervlle [1 ; + [. 17 ) -ln(x) + équivut à ln(x), soit x e. e 7,4, donc l ensemble des solutions, dns ] ; 1], de cette inéqution est l intervlle ] ; e ]. b) ln(x) 4 < équivut à ln(x) < 7, soit x < e7. e 7 66, donc l ensemble des solutions, dns ] ; 1], de cette inéqution est l intervlle ] ; 1]. 18 ) ln(,5x) < 1 équivut à ln(,5x) < 1, soit x < e 1,5. e 1 14,, donc l ensemble des solutions,,5 dns ] ; 15], de cette inéqution est l intervlle 4 ; e 1,5. b) ln(1x) 1 équivut à ln(1x) 1, soit x e 1 1. e , donc l ensemble des solutions, dns ] ; 1], de cette inéqution est l intervlle 4 ; e ) e x =,5 équivut à x = ln(,5), soit x = ln(,5). L solution, dns R, de cette éqution est ln(,5). b) ln(,5),, donc l solution, dns [ 1 ; 1], de cette éqution est ln(,5). ) e,5x = équivut à,5x = ln(), soit x = ln(),5. L solution, dns R, de cette éqution est ln(),5. b) ln() > 1, donc cette éqution n ps de solution,5 dns [ 1 ; 1]. 1 ) e x = 1 équivut à x = ln(1), soit x =. L solution, dns [ ; 1], de cette éqution est. b) e x = 1 équivut à x = ln(1), soit x =. L solution, dns [ ; 1], de cette éqution est. ) Puisque b <, cette éqution n ps de solution dns [ ; 1]. b) e x = 1 équivut à e x = 1, soit x = ln(1), c est-àdire x =. < 1, donc cette éqution n ps de solution dns [1 ; ]. ) e x =,1 équivut à x = ln(,1), soit x = ln(,1). ln(,1),8, donc l solution, dns [ 1 ; ], de cette éqution est ln(,1). b) e,1x = équivut à,1x = ln(), soit x = ln(),1. Puisque ln() 1,99, ln() > 1, donc cette éqution,1,1 n ps de solution dns [ 1 ; 1]. 4 ) e x = équivut à e x =, soit x = ln(), c est-à-dire x = ln(). ln(),5, donc l solution, dns [ 5 ; ], de cette éqution est ln(). b) e 5x + = équivut à e 5x =. Puisque b <, cette éqution n ps de solution dns [ ; + [. 5 ) e x = 1 équivut à e x = 5, soit x = ln(5). ln(5) 1,6, donc l solution, dns [ 5 ; 5], de cette éqution est ln(5). b) e 7x = 6 équivut à e 7x =, soit 7x = ln(), c est-à-dire x = ln() 7. ln(),1, donc l solution, dns [ ; ], de cette 7 éqution est ln() 7. 6 ) e x = 4 équivut à e x =, soit x = ln(), c està-dire x = ln(). ln(),7, donc l solution, dns [ 1 ; ], de cette éqution est ln(). b) + e,5x = 8 équivut à e,5x = 6, soit,5x = ln(6), c està-dire x = ln(6). Puisque ln(6),6, ln(6) < 5, donc cette,5,5,5 éqution n ps de solution dns [5 ; 1]. 7 ) e x + 1 = 5 équivut à e x = 4, soit e x = 4, c est-à dire x = ln1 4. ln 1 4,, donc l solution, dns [ ; 1], de cette éqution est ln1 4. b),5e x + 1 = équivut à,5e x = 1, soit e x =, c està-dire x = ln(). Puisque ln(),, ln() [ 1 ; ], donc cette éqution n ps de solution dns [ 1 ; ]. 117 chpitre 8 résolution d équtions et d inéqutions 117

8 8 ) e x = e équivut à x = ln(e), soit x = 1. L solution, dns ] ; ], de cette éqution est 1. b) e e x = e équivut à e x = e, soit x = ln(e), c est-à-dire x =,5. L solution, dns [ ; 1], de cette éqution est,5. 9 ) e x équivut à x ln(). ln() 1,1, donc l ensemble des solutions, dns R, de cette inéqution est l intervlle ] ; ln()]. b) L ensemble des solutions, dns [ ; 1], de cette inéqution est l intervlle [ ; ln()]. ) e x >,5 équivut à x > ln(,5). ln(,5),7, donc l ensemble des solutions, dns R, de cette inéqution est l intervlle ]ln(,5) ; + [. b) L ensemble des solutions, dns [ 1 ; 1], de cette inéqution est l intervlle ]ln(,5) ; 1]. 1 ) e x < 5 équivut à x < ln(5), soit x < ln(5). ln(5),8, donc l ensemble des solutions, dns [ ; 1], de cette inéqution est l intervlle ; ln(5). b) ln(5) < 1, donc cette inéqution n ps de solution dns l intervlle [1 ; 1]. ) e 5x 1 équivut à 5x ln(1), soit x. L ensemble des solutions, dns [-1 ; 1], de cette inéqution est l intervlle [ 1 ; ]. b) [1 ; 1], donc cette inéqution n ps de solution dns l intervlle [1 ; 1]. ) Puisque b <, cette inéqution n ps de solution dns [ 5 ; 5]. b) Puisque b <, l ensemble des solutions de cette inéqution est [ ; 1]. 4 ) e,1x > 8 équivut à e,1x > 4, soit,1x > ln(4), c est-à-dire x < ln(4),1. ln(4) 1,9, donc l ensemble,1 des solutions, dns [ 5 ; ], de cette inéqution est l intervlle 5 ; ln(4),1. b),5e,4x 1 équivut à e,4x, soit,4x ln(), c est-à-dire x ln(),4. ln() 1,7, donc l ensemble des,4 solutions, dns [ ; ], de cette inéqution est l intervlle ln(),4 ; 4. 5 ) e x + équivut à e x, soit x ln(). ln(),7, donc l ensemble des solutions, dns [ ; 1], de cette inéqution est l intervlle [ ; ln()]. b) e x 4 < 5 équivut à e x < 9, soit x < ln(9), c està-dire x > ln(9). ln(9),7, donc l ensemble des solutions, dns [ ; 1], de cette inéqution est l intervlle [ ; 1]. 6 ) e x e équivut à x ln(e), soit x,5. L ensemble des solutions, dns [ ; 1], de cette inéqution est l intervlle [ ;,5]. b) e 7x + e > e équivut à e 7x > e, soit -7x > ln(e), c està-dire x < ,14, donc l ensemble des solutions, 7 dns [ 1 ; ], de cette inéqution est l intervlle 1 ; ) p(x) = 1 équivut à ln(x) = 1, soit ln(x) = 61 61, c est-à-dire x = e 44. e , donc l solution, 44 dns [1 ; 1], de cette éqution est e 61 44, soit 4 à l unité près. b) Ce client cheté 4 lots ) ln(x) = 1 équivut à x = e 1. L solution, dns [,1 ;,5], de cette éqution est e 1, soit,7 u centième près. b) f 1 1 e = 1 ln 1 1 e + 1 =. c) f 1 1 e = 1 1 e ln 1 1 e = e. d) Comme f 1 1 =, l éqution réduite de est de l forme y = b. e De plus, f 1 1 e =, donc son éqution est y = e e.. ) f (x) = équivut à (ln(x) + 1) =, soit x = e 1 (question 1.)). f (x) > équivut à (ln(x) + 1) >, soit ln(x) < 1, c est-à-dire x < e 1. Ainsi, f (x) > sur l intervlle [,1 ; e 1 [. f (x) < équivut à -(ln(x) + 1) <, soit ln(x) > 1, c est-à-dire x > e 1. Ainsi, f (x) < sur l intervlle ]e 1 ;,5]. b) Tbleu de vrition x,1 e 1,5 f (x) + e f (x) f (,1) f(,5) c) Tbleu de vleurs (rrondies à l unité près) x,1,5,1,,,4,5 f(x)

9 d) Trcé de l droite et de l courbe. y c) Tbleu de vrition x 1 5 f (x) 89 f (x) 89 log(5) d) Trcé sur tbleur ,1,,,4,5 x. ) À l ide du tbleu de vrition, on lit que l durée de chuffe nécessire pour tteindre l tempérture mximle est e 1,7 h, soit environ min. Cette tempérture mximle est 11,4 C. e b) À l ide du grphique, on lit que l durée pour lquelle l tempérture du four est égle à 6 C est environ,8 h, soit environ 5 min u(t) = 8 équivut à 1(1 e,5t ) = 8, soit ln1 1 e,5t = 1 ln1 1, c est-à-dire t =,5. 44, donc,5 ln1 1 l solution, dns [ ; 15], de cette éqution est,5, soit 44 rrondie à l unité.. De l question 1., on déduit que le temps dont dispose une personne pour quitter l slle vidéo vnt le déclenchement de l sirène est environ 44 secondes L = 1 + 1log 1,1 4πR ; L = 1 + 1log(,1) 1log(4πR ) ; L = 1 1log(4π) log(r). Or, 1log(4π) 11. Ainsi, L 1 11 log(r). L peut donc s écrire pproximtivement L = 89 log(r).. ) f (x) 69 équivut successivement à 89 log(x) 69 ; log(x) 1 ; ln(x) ln(1) ; x e ln(1). e ln(1) = 1, donc l solution, dns [1 ; 5], de cette inéqution est l intervlle [1 ; 5]. b) f (x) = ln(1)x.. ) D près l question.), on déduit que c est à prtir de 1 m de l source que le niveu d intensité sonore devient inférieur ou égl à 69 db. b) Pour x pprtennt à l intervlle [1 ; 5], l droite d éqution y = 69 est située sur ou u-dessus de l courbe représenttive de f, ce qui vérifie grphiquement le résultt précédent i(t) = 18 1 e 1, t = 1,5(1 e 6t ). 1. i() = 1,5(1 e ) =. i(,1) = 1,5(1 e 6 ) = 1,5 1,5e 6.. ) i (t) = 9e 6t. b) Pour tout t de l intervlle [ ;,1], i (t) >. c) Tbleu de vrition t,1 i (t) + 1,5 1,5e 6 i (t) 4. L vleur excte du mximum M de l fonction i sur l intervlle [ ;,1] est1,5 1,5e 6, soit environ 1,5 A. 5. ) L vleur décimle rrondie à,1 près de M est, chpitre 8 résolution d équtions et d inéqutions 119

10 b) i(t) =,75 équivut à 1,5(1 e 6t ) =,75, soit 1 e 6t =,5, c est-à-dire e 6t =,5. c) e 6t =,5 équivut à 6t = ln(,5), soit t = ln(,5) 6. ln(,5) 6,1. Une vleur pprochée du temps u bout duquel, près l fermeture de l interrupteur, l intensité tteint l moitié de s vleur mximle est,1 seconde ) Pour E = 15, R = 1 e, b) Pour E = 1, R = 1 e 61.. ) f (x) =,66e,x. Pour tout x de l'intervlle [15 ; 1 ], f (x) <. b) Tbleu de vrition x 15 1 f (x) 1 e,45 f (x) c) Trcé sur tbleur 1 e b) 1 e,x équivut à e,x 1, soit ln 1 ln 1 1 x >,. 1 6, donc l ensemble, des solutions, dns [15 ; 1 ], de cette inéqution ln 1 1 est l intervlle, ; Tbleu Intervlle de temps Type de fonction [ ; ] ffine [5 ; 1] sinusoïdle [14 ; 18] exponentielle. ) Pour x = 18, on lit y 4. Or e, ; 116 e, ; e, Ainsi, g(x) = e,445x. b) g(x) = 1 équivut à e,445x = 1, soit 1 1 ln1 x = ln , donc l,445,445 solution, dns [14 ; 18], de cette éqution est 1 ln ,445. Vérifiction grphique : 5 Tempérture en C Montée en tempérture Régultion Refroidissement Tempérture de pyrolyse y = 4 Tempérture de verrouillge. ) Pour x pprtennt à l'intervlle [6 ; 1 ], l droite d éqution y = est située u-dessus de l courbe représenttive de f. Une vleur pprochée de l vleur minimle de l'éclirement pour lquelle l résistnce de l LDR est inférieure ou égle à ohms est 6 lux Durée progrmmée Durée en minutes c) Le temps u bout duquel l porte se déverrouille est : 14 minutes, soit heures minutes depuis le début du cycle de pyrolyse, 14 1 =, soit minutes à compter du début du refroidissement. 1

11 Comme à l écrn Résoudre une éqution et une inéqution L tension U(t), en V, ux bornes d un boîtier électrique, en fonction de l durée de chrge t, en s, est donnée pr l églité U(t) = 4(1 e, t ), vec t 1. Voici un tbleu de vleurs (U(t) à,1 près) et un trcé obtenus vec un tbleur. 1. ) Expliquez comment remplir l colonne A sns sisir les vleurs une à une. On entre dns l cellule A et 5 dns l cellule A, on sélectionne ces deux cellules, puis on les recopie vers le bs jusqu à l cellule A. b) Entourez l formule écrite dns l cellule B, puis recopiée jusqu en B. =4*(1-EXP(-,*A)) =4*(1-EXP(^-,*A)) =4*(1-^(-,*A)). ) Écrire l éqution à résoudre dns [ ; 1] pour déterminer l durée pour lquelle l tension ux bornes du boîtier est égle à 16 V. On doit résoudre l'éqution u(t) = 16, équivlente à 4(1 e,t ) = 16. b) Indiquez l cellule du tbleu où lire une vleur pprochée de l solution de cette éqution, puis donner cette vleur. Il s'git de l cellule A1 ; on lit t = 55. c) Contrôlez sur le grphique, en trçnt les trits ppropriés.. ) Écrire l inéqution à résoudre dns [ ; 1] pour déterminer les durées pour lesquelles l tension ux bornes du boîtier est supérieure ou égle à V. On doit résoudre l'inéqution u(t), équivlente à 4(1 e,t ). b) Indiquez l cellule du tbleu où lire une vleur pprochée de l borne inférieure de l intervlle des solutions de cette inéqution, puis donner cet intervlle, vec cette vleur pprochée. Il s'git de l cellule A ; l'intervlle des solutions est [9 ; 1]. c) Contrôlez sur le grphique, en mrqunt l intervlle des solutions

12 Évlution Nom Prénom Clsse Dte Exercice 1 5 points 1. ) Résoudre dns ] ; 1] l éqution ln(8x) =. (Donner l vleur excte de l solution, puis s vleur décimle rrondie à,1 près.) Puisque = 8 >, on suppose x >. ln(8x) = équivut à 8x = e, c'est-à-dire à x = e e. Puisque 8 8,5, e e ] ; 1], donc est l solution, dns ] ; 1] de cette éqution. 8 8 b) Résoudre dns ] ; 1] l inéqution ln(,5x) -. Puisque,5 >, on suppose x >. ln(,5x) équivut à,5x e, c'est-à-dire à x e,5. Puisque e,5,996, e ] ; 1], donc l'ensemble des solutions,,5 dns ] ; 1], de l'inéqution est l'intervlle e,5 ; 1.. ) Résoudre dns [- 1 ; 1] l éqution e x = - 7. Puisque b = 7 <, l éqution e x = 7 n ps de solution dns [ 1 ; 1]. b) Résoudre dns [- 1 ; 1] l inéqution e - 5x 1. Puisque b = 1 >, e 5x < 1 équivut à 5x < ln(1), c est-à-dire à x > ln(1). Puisque ln(1),46, ln(1) [ 1 ; 1], donc 5 5 l ensemble des solutions dns [ 1 ; 1] de l'inéqution est ln(1) 5 ; 1. Exercice 5 points Un signl émis pr une diode lser est tténué dns l fibre servnt à son trnsport. Le récepteur ne reçoit qu une prtie P de l puissnce émise P (en W), suivnt l églité P = P e - L, où (en db/km) est le coefficient d tténution et L est l longueur de l fibre (en km) Clculer, à,1 près, schnt que P =,, P =,7 et L =,5. On résout l éqution, =,7e,5, équivlente à e,5 =,,7 ln1,, c est-à-dire,5 = ln 1,,7, soit =,7. Ainsi,,.,5. Lorsque =, db/km, clculer, u m près, pour quelles longueurs L de l fibre l puissnce P est strictement inférieure u qurt de l puissnce émise P. On résout l'inéqution P <,5 P, successivement équivlente à P e,l <,5P ; e,l <,5 ;,L < ln(,5) ; L > ln(,5). Or,, ln(,5) 4,6 98, soit pour des longueurs strictement supérieures, à 4,61 km. 1 chpitre 8 résolution d équtions chpitre et d inéqutions 1 Vecteurs 1 15

13 Exercice 1 points Lors de l chrge d un composnt électrique, l te nsion U(t) à ses bornes (en V), en fonction de l durée t (en s), est donnée pr l églité U(t) = 1(1 - e -5t ), pour t pprtennt à [ ;,1]. 1. Clculer, à,1 V près, l tension ux bornes du composnt lorsque t =,1. U(,1) = 1(1 e 5,1 ) = 1 1e ) Résoudre l inéqution 1(1 - e 5t ) >,8 1, c est-à-dire U(t) > 9,6. 1(1 e 5t ),8 1 équivut successivement à 1 e 5t,8 ; 1,8 e 5t ; 5t ln(,) ; t ln(,). Puisque ln(,) 5 5,, l'ensemble des solutions de l'inéqution, dns [ ;,1], est ln(,) 5 ;,1. b) En déduire les durées de chrge pour lesquelles l tension ux bornes du composnt est supérieure ou égle à 8 % de l tension obtenue à l question 1.. Il s'git de résoudre l'inéqution de l question.). Les durées de chrge sont donc comprises entre, s et,1 s.. On se propose de vérifier vec un tbleur les résultts obtenus à l question.. ) Entrer dns les cellules A1 à A1 les vleurs de t vec le ps de clcul,1. Expliquer comment procéder pour ne ps sisir les vleurs une à une. On entre dns l cellule A1 et,1 dns l cellule A ; on sélectionne ces deux cellules que l'on recopie vers le bs jusqu'à l cellule A1. b) Entrer dns les cellules B1 à B1 les vleurs de U(t) ssociées à celles de t. Donner l formule entrée dns l cellule B1, puis copiée jusqu à l cellule B1. =1*(1 EXP( 5*A1)). c) Utiliser l ssistnt grphique du tbleur pour obtenir un trcé de l courbe représenttive de l fonction U. d) Le grphique obtenu à l question précédente est nlogue u suivnt ,1,,,4,5,6,7,8,9,1,11,1,1 Résoudre grphiquement dns [ ;,1] l inéqution U(t) > 9,6. (Fire pprître les trits utiles sur le grphique.) Pour x,, l courbe représenttive de U est située u-dessus de l droite d'éqution y = 9,6. L'ensemble des solutions est donc [, ;,1]. Le résultt est-il cohérent vec celui de l question. b)? Oui. 16 1