CHAPITRE N 1 : FONCTIONS GÉNÉRALITÉS.

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1 CHAPITRE N : FONCTIONS GÉNÉRALITÉS. I) Panoama des fonctions de éféence. Fonctions Ensemble de définition, vaiations Repésentations gaphiques = 3 + Si a > 0 f est stictement coissante su 3 f : a + b Si a < 0 f est stictement décoissante su 3 = - + eecices et 4 page 468 f : f : 3 f est paie f est stictement décoissante su ] - ; 0 ] et stictement coissante su [ 0 ; + [ La coube epésentative de f est une paabole de sommet O. eecices 7 et 3 page 468 / 469 f est impaie f est stictement coissante su 3 = = 3 f : * f est impaie f est stictement décoissante su ] - ; 0 [ et stictement décoissante su ] 0 ; + [ La coube epésentative de f est une hpebole de sommet O. eecice 4 page 34 = f : f est stictement coissante su [ 0 ; + [ D f = [ 0 ; + [ = f : f est paie f est stictement décoissante su ] - ; 0 ] et stictement coissante su [ 0 ; + [ eecice 3 page 35 = f : cos f : sin Df = 3 f est paie f est péiodique de péiode π cos ( + π ) = cos La coube epésentative de f est une sinusoïde f est impaie f est péiodique de péiode π sin ( + π ) = sin La coube epésentative de f est une sinusoïde = cos = sin Page su 5

2 CHAPITRE N : FONCTIONS GÉNÉRALITÉS. Eecice n : On a tacé les coube epésentatives des fonctions f, g, h et i définies pa : + f() = ; g () = ; h () = ; i () = + ) Associe chaque fonction et sa coube epésentative. ) Détemine gaphiquement le nombe de solutions de l'équation + = et encade chacune des solutions pa deu enties consécutifs C 3 C 3 ) Utilise ce gaphique pou détemine l'ensemble des solutions de l'inéquation : Pou s'entaîne : eecice n 30 page 35, eecice n p 465. <. C II) Domaine de définition d'une fonction : ) Définition : Soit D une patie de 3. Défini une fonction f su D, c'est associe, à tout éel de D un éel et un seul noté f(). - Eemple : soit la fonction f définie su [0 ; 3] pa f() = +. Ici, la epésentation gaphique de f ne sea qu'un moceau de paabole : On note encoe : f : [0 ; 3] 3 a + - C 4 3 Convention : losque l ensemble de définition n est pas indiqué dans l énoncé d un poblème, on convient que cet ensemble est l ensemble de tous les nombes pou lesquels on peut calcule f(). ) Détemine l'ensemble de définition d'une fonction. Eecice n : Dans chacun des cas suivants, détemine l'ensemble de définition de f puis véifie en constuisant la coube epésentative de f su un odinateu ou une calculatice. Pemie cas : f() s'écit avec un dénominateu. a) f() =. Deuième cas : f() s'écit à l'aide d'une acine caée. b) f() = 3 Autes cas : c) f() =, pou s'entaîne : voi TD n. + Mémo : TRUC eiste ssi TRUC 0 et III) Eléments de sméties d'une coube : ) Domaines smétiques pa appot à zéo MACHIN eiste ssi MACHIN 0 Définition : un domaine D est smétique pa appot à zéo si pou tout de D, - appatient à D. Eecice n 3 : pami les ensembles suivants, souligne ceu qui sont smétiques pa appot à zéo. I =[-4 ; 4] J =[- ; ] K = ] -6 ; 6] L =[0; + [ M = [3 ; 4] N = [-5 ; 5[ 0=] - ; - ] [ ; + [ ) Fonctions paies a) Définition : Une fonction f, définie su D f est paie si pou tout de D f, on a : - D f et f() = f(-). Eemples : la fonction caée, la fonction valeu absolue et la fonction cosinus. b) Popiété : La epésentation gaphique d'une fonction paie, dans un epèe othogonal, est smétique pa appot à l'ae des odonnées. Page su 5

3 CHAPITRE N : FONCTIONS GÉNÉRALITÉS. Eecice n 4 : voici un moceau de la epésentation gaphique d'une fonction paie f définie su [ -4 ; 4 ] Compléte la epésentation gaphique de f. Compléte f() = f(-) =. f() = f(-) =.. f(3,5) = f(-3,5) =... 3 ) Fonction impaies : a) Définition : Une fonction f, définie su D f est impaie si pou tout de D f, on a : - D f et f(-) = -f() Eemples : la fonction cube, la fonction invese et la fonction sinus sont des fonctions impaies. b) Popiété : la epésentation gaphique d'une fonction impaie, dans un epèe othogonal, est smétique pa appot à l'oigine Eecice n 5 : voici un moceau de la epésentation gaphique d'une fonction impaie f définie su [ -5 ; 5] Compléte la epésentation gaphique de f. Compléte : f(-) = - f() =.. f(4) = - f(-4) =. f(0) = 4 ) Etude de la paité d'une fonction Méthode : Pou étudie la paité d'une fonction a) On egade si le domaine de définition est smétique pa appot à O. b) Si oui, on calcule f(-) : si f(-) = f() alos f est paie, si f(-) = -f() alos f est impaie ; Si non, f n'est ni paie, ni impaie. Eecice n 6 : les fonctions suivantes sont-elles paies? ou impaies? ou ni paies ni impaies? a) f définie su 3 pa : f() = - 5 b) g définie su 3 pa : g() = c) h définie su 3 pa : h() = Méthode : Pou démonte qu'une fonction n'est ni paie, ni impaie, un conte eemple suffit.. + Pou s'entaîne : eecices n 5 à 8 p 3 et et p 33. =f() 5 ) Justifie une smétie d'une coube a) Ae de smétie : M f(a-h) f(a+h) M' Popiété : Soit f une fonction définie su une patie D de 3 et C f sa coube epésentative dans un epèe othogonal du plan. Soit a un éel fié. Si, pou tout éel h tel que a+h appatient à D, a-h appatient à D et f(a h) = f ( a + h), alos C f est smétique pa appot à la doite D d'équation = a. On dit que la doite d'équation = a est un ae de smétie de la coube C f. a-h0 a a+h Remaque : losque a = 0, on etouve le cas paticulie d'une fonction paie. Eecice n 7 : Soit g la fonction définie su 3 pa g() = -. Visualise su l'écan d'une calculatice la coube epésentative de C g et démonte qu'elle admet un ae de smétie. = a Page 3 su 5

4 b) Cente de smétie : CHAPITRE N : FONCTIONS GÉNÉRALITÉS. Popiété : Soit f une fonction définie su une patie D de 3 et C f sa coube epésentative dans un epèe O, i, j du plan. Soit a et b deu éels fiés. ( ) Si, pou tout éel h tel que a+h appatient à D, a-h appatient à D et f ( a h) + f( a + h) = b, alos C f est smétique pa appot au point I de coodonnées (a ; b) dans le epèe ( O, i, j ) On dit que I est un cente de smétie de la coube C f. Remaque : losque a = 0, on etouve le cas paticulie d'une fonction impaie. Eecice n 8 : soit f la fonction définie su 3 \ {-} pa f() =. + Visualise su l'écan d'une calculatice la coube epésentative de C f et démonte qu'elle admet un cente de smétie. Intéêt des sméties : une smétie connue pemet d étudie une fonction su un demiintevalle. M a-h =f() f(a-h) I b a+h a 0 M' f(a+h) IV) Sens de vaiation d'une fonction : ) Définitions : Soit I un intevalle (ouvet ou femé, boné ou non) Soit ƒ une fonction définie au moins su I. On dit que : ƒ est coissante su I signifie que : pou tous éels u et v de I, si u < v alos ƒ(u) ƒ(v) ƒ est stictement coissante su I signifie que : pou tous éels u et v de I, si u < v alos ƒ(u) < ƒ(v) ƒ est décoissante su I signifie que : pou tous éels u et v de I, si u < v alos ƒ(u) ƒ(v) ƒ est stictement décoissante su I signifie que : pou tous éels u et v de I, si u < v alos ƒ(u) > ƒ(v) ƒ est monotone su I signifie que ƒ est coissante su I ou décoissante su I. ƒ est stictement monotone su I signifie que ƒ est stictement coissante su I ou stictement décoissante su I. Remaques : Ces notions ne sont valables que su un intevalle On dit pafois que ƒ est coissante si elle conseve les inégalités et que ƒ est décoissante si elle envese les inégalités. Le sens de vaiation des fonctions suivantes est à connaîte pafaitement : a a + b a a 3 a a ) Tableau de vaiation a) Définition : Etudie le sens de vaiation d une fonction consiste à détemine les intevalles de l ensemble de définition su lesquels la fonction est stictement coissante ou décoissante. Les ésultats peuvent ête consignés dans un tableau appelé tableau de vaiation. b) Savoi eploite un tableau de vaiations Eecice n 9: soit u une fonction dont le tableau de vaiation su 3 est : u() - Les infomations contenues dans ce tableau pemettent-elles de compae : u(-3) et u(-)? u(0) et u()? u(0) et u(4)? Pou s'entaîne : eecices n et page 3 et n 7 p 40 3 ) Savoi utilise le sens de vaiation des fonctions usuelles pou manipule des inégalités : Eecice n 0 : Dans chacun des cas suivants, donne le meilleu encadement possible de f() a) ƒ() = et -< 3. b) f() = et < 3. Pou s'entaîne : eecices n 9, 0, 5 page ) Savoi utilise le sens de vaiation des fonctions usuelles pou détemine le sens de vaiation d'une fonction Eecice n : soit ƒ la fonction définie su 3 pa : ƒ() = a) En utilisant la calculatice pou obteni la epésentation gaphique de f, quelle conjectue peut-on fomule concenant le sens de vaiation de f? + b) Monte que pou tout éel, f() = ( ) 4. c) En utilisant les vaiations des fonctions de éféence, détemine les vaiations de f su [ ; + [ puis su ] ; ] Pou s'entaîne : eecices n, 6 page 34. Page 4 su 5

5 CHAPITRE N : FONCTIONS GÉNÉRALITÉS. 5 ) Savoi utilise les ègles de calcul algébique pou détemine le sens de vaiation d'une fonction Eecice n : étudie le sens de vaiation de la fonction ƒ définie su [0 ; + [ pa : ƒ() = 4. On vea, los du chapite su la déivation, une aute méthode pou étudie le sens de vaiation d'une fonction. 6 ) Etemum d'une fonction. a) Définition : f admet un maimum su un intevalle I en 0 ( 0 I) si et seulement si pou tout éel de I, on a : f() f( 0). f admet un minimum su un intevalle I en 0 ( 0 I) si et seulement si pou tout éel de I, on a : f() f( 0). Pou s'entaîne : TD page 9. b) Savoi justifie l eistence d un etemum. Eecice n 3 : Soit f la fonction définie su 3 pa f() = A l aide de la calculatice, détemine le minimum de f. Démonte pa le calcul que 4 est le minimum de f su 3. Pou quelle valeu de est-il atteint? Pou s'entaîne : eecices n 38 page 34. V) Egalité de fonctions : ) Définition : Deu fonctions f et g, d ensembles de définition espectifs D f et D g sont égales quand : D f = D g Pou tout de D f, f() = g() ) Monte l'égalité de deu fonctions : Eecice n 4 : a) Monte que les fonctions f et g définies pa f() = et g() = 3 + sont égales. ( ) ( ) b) Vai ou fau? les fonctions f et g définies su 3 pa : f() = 3( ) et g() = sont égales. Pou s'entaîne : eecices n 43 et 44 page 37. Eecice n 5 : f et g sont deu fonctions, pécise dans les cas suivants si f = g. ) f : a et g : a + + ) f : a 3 et g: a 3 3 ) f : 4 8 a et g : a 4 + VI) Compaaison de fonctions : Pou étudie les positions elatives de deu coubes C f et C g epésentant espectivement des fonctions f et g dans un epèe du plan (et donc compae les deu fonctions), on étudie le signe de f() g() su D = D f D g Si f() g() > 0 pou tout éel appatenant à I, alos C f est stictement au-dessus de C g su I Si f() g() < 0 pou tout éel appatenant à I, alos C f est stictement au-dessous de C g su I Les solutions de f() g() = 0 sont les abscisses des points d'intesection de C f et C g Eecice n 6 : soient f la fonction définie su 3\ { -} pa f() = et g la fonction définie su 3 pa g()= -. + Quelle est la position elative des coubes epésentant, dans un epèe, les fonctions f et g? Page 5 su 5