Chute libre verticale

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1 CHAPIRE 1 ÉUDE DE CAS 1 Chute libe veticale 1 Mouvement de chute libe C est le mouvement d un objet soumis uniquement à son poids Expession de l accéléation En se plaçant dans un éféentiel teeste supposé galiléen et en considéant un solide soumis à son seul poids P, d apès la deuxième loi de Newton, on a : m a = P= m g, soit a g (1) G L accéléation du cente d inetie du solide est égale au champ de pesanteu Elle ne dépend ni de la masse du solide ni de sa vitesse initiale, c està-die de la manièe dont il est lancé Chute libe sans vitesse initiale Choisissons un epèe othonomé (O ; i, j, k) dont l axe vetical est oienté ves le haut et dont l oigine O est la position initiale L oigine des dates est choisie à l instant où le solide est lâché Le champ de pesanteu étant considéé comme unifome (identique en tout point de la égion considéée) dans le epèe choisi, on pose les conditions initiales suivantes : x = vox= OG_ t = i [ y = et vt _ = i [ voy= z= vz = { ax = x= Comme g [, on a d apès (1) : a ay = y = az = z =- g Pa intégations successives du vecteu accéléation et en tenant compte des conditions initiales, on obtient : vx = x = v et OG { { x = vy = y = y = v z= 1 z = z =- gt gt Le cente d inetie G d un solide en chute libe, abandonné sans vitesse initiale, est animé d un mouvement : 178 G =

2 cous savoi-faie execices coigés ectiligne vetical (ca x = et y = ) ; unifomément accéléé dca a$ v= _-gi$ _-gti = g t> ou} t> n La valeu de la vitesse coît d une façon linéaie avec la duée de la chute : v = v = g t z () 1 La hauteu de la chute est liée à la duée pa la elation : h = z = g t () En éliminant t ente les elations () et (), nous obtenons la elation caactéisant une chute libe : v = gh Pou mesue la pofondeu h d un puits, on laisse tombe du haut du puits une piee de masse m = kg, sans vitesse initiale On mesue la duée qui sépae le lâche de la piee et la peception du son émis los de son impact su l eau : t = 1,5 s Données : le son se popage dans l ai à la vitesse : v s = 4 ms 1 ; on penda g = 1 Nkg 1 Quelle est la pofondeu du puits? coigé commenté Indication : il faut du temps à la piee pou atteinde le fond, et il faut du temps au son de l impact pou emonte jusqu à l expéimentateu Soit t 1, la duée nécessaie pou que la piee atteigne le fond du puits Soit h, la pofondeu du puits : h = g t, soit: t _ g h 1i 1= (1) Soit t, la duée nécessaie pou que le son emonte : t v h = s () La duée totale de l expéience est : t = t 1 + t, soit t = g h + v h s () On pose X= h, avec X positif, ce qui donne dans la elation () : tvs= vs g X X + et pa suite X + dvs g n $ X- t vs= (4) On ésout cette équation du second degé : = vs g + 4 t vs = 516 L équation (4) a deux solutions : l une positive X 1 et l aute négative X C est la solution positive qui pemet de touve h : J N v K- d s g n + O h = X1 = L P exemple d application J N 4 K- d # n O AN : h = L P 1, 8 m 179

3 CHAPIRE 1 ÉUDE DE CAS Chute veticale avec fottement 1 Les foces en pésence Un objet qui tombe dans l atmosphèe est soumis à tois foces : son poids P, vetical, ves le bas, de valeu P = mg (constante pou un champ de pesanteu unifome) ; la poussée d Achimède P A due à l ai, veticale, ves le haut, de valeu (constante au cous du temps) égale au poids du volume d ai déplacé PA = mai g= ρ V g où V epésente le volume de l objet et ρ epésente la masse volumique de l ai ; une foce de fottement fluide f veticale, de sens opposé au mouvement et dont la valeu coît avec la vitesse d une façon linéaie Application de la deuxième loi de Newton à un mouvement de chute veticale On se place dans le éféentiel teeste supposé galiléen Le système étudié est un solide lâché, à t =, sans vitesse initiale, d un point O oigine du epèe et soumis aux tois foces P, P etf Appliquons au système étudié la e loi de Newton : P + P + f = m a (4) A Au fu et à mesue de la chute, la vitesse augmente et l intensité de la foce f augmente contaiement aux deux autes foces Pou une cetaine vitesse appelée vitesse limite v lim, l intensité de la foce f atteint un maximum tel que : f = P + P A On a alos f=- dp+ P A n, d où ag = A : le mouvement est alos unifome Équation difféentielle du mouvement Ces foces étant veticales, elles n ont chacune qu une composante veticale : P = mg ; P A = + m ai g ; f = λv On en déduit, d apès (4), que l accéléation n a qu une composante veticale telle que : ma = λv + m ai g mg (5) 18 G

4 cous savoi-faie execices coigés D apès la définition de l accéléation et en posant : v = v (< ), d v (6) t m v m ai =- m + d m - 1n g d C est l équation difféentielle du mouvement f z P A P Fig Résolution de l équation difféentielle pa la méthode d Eule D apès la notion de déivée, d v lim v d t = t " t, soit en pemièe appoximation : d v v pou t le plus petit possible d t t En appliquant cette elation à l équation (6), nous obtenons une suite de valeus de la vitesse à intevalles de temps égulies t (c est-à-die aux dates :, t, t, t), à pati de v = m v v m v ai 1 - = - m mai > $ + d m - 1n $ gh t, soit avec v =, v1= d m - 1n $ g$ t À pati de v 1, on peut établi de la même manièe les valeus v, v Cette méthode numéique itéative pemet de tace point pa point la coube epésentative de la fonction v(t) exemple d application En utilisant la méthode d Eule avec un pas de t =,5 s, touve la vitesse limite de la chute d une balle de masse m = 5 g et de volume V = 1dm lâchée sans vitesse initiale dans l ai de masse volumique ρ = 1,9 gdm On considèe g = 1 Nkg 1 Le coefficient de fottement vaut ici λ =,5 Nsm 1 coigé commenté Indication : tacez v = f(t) : la coube tend asymptomatiquement ves v limite L application du théoème du cente d inetie aboutit à l équation difféentielle : dv t m v mai =- m + f m - 1p g, où m d ai est la masse du volume V d ai R V S D apès la méthode d Eule, on obtient : v m v mai i 1 = - m W + $ i+ f m - 1p $ g t + vi S, W soit numéiquement v i + 1 =,5v i 4,99 X Comme v =, on peut touve v 1 Connaissant v 1, on touve v v est négatif ca l axe vetical est oienté ves le haut et la balle descend On calcule les valeus v i pou pou difféents instants t i A pati de t 5,5, la valeu de la vitesse est constante : v limite = 9,97 ms 1 181

5 CHAPIRE 1 ÉUDE DE CAS Mouvement plan d un pojectile dans un champ de pesanteu unifome 1 Équations hoaies paamétiques Nous epenons l étude du solide soumis à son seul poids, mais avec une vitesse initiale non nulle En se plaçant dans un éféentiel teeste supposé galiléen, d apès la deuxième loi de Newton, on a: m ag = P= m g, soit ag = g Choisissons un epèe othonomé (O ; i, j, k ) tel que la position initiale soit su l axe Oz et le vecteu vitesse initial soit dans le plan vetical (O ; i, k ) Nous considéons les conditions initiales : vox=+ vo cos α OG_ t = i[ et v_ t = i[ voy= z vz=+ vo sin α ax = x = Comme les coodonnées de g sont : [, on a : a [ ay = y = - g az = z =- g Pa intégations successives de l accéléation et en tenant compte des conditions initiales, on a : vx = x=+ v cos α x=+ v cos α t (7) v() t [ vy = y= et OG() t [ y = (8) =- g t + v sin α z=- 1 vz = z g t + v sin α t + z (9) Quelle que soit la date t, on a y = : la tajectoie est donc décite dans le plan (Ox, Oz) Équation de la tajectoie D apès (7), on a : t = x vo cos α t En injectant cette elation dans (9), on en déduit l équation de la tajectoie : z 1 g =- ( x) + tan α ( x) + z v cos α La tajectoie est plane et paabolique 18 (1) z h v o z o k i α S Fig 1- x

6 cous savoi-faie execices coigés Flèche de la tajectoie La flèche est l altitude maximale h atteinte pa le mobile, c est-à-die l odonnée z S du sommet S En ce point, la tangente à la tajectoie et donc le vecteu vitesse sont hoizontaux, d où : v sinα vz() S =- gts+ v sinα =, soit ts= g sin sin D apès (9), on a alos : h z() S 1 v α v α = =- g + v sinα g g z +, v sin α soit h = + z g exemple d application Un joueu de tennis tente de lobe son advesaie situé à 7 mètes de lui Il fappe la balle alos que celle-ci se touve à 6 cm du sol La balle pat avec un vecteu vitesse v incliné d un angle α = 4 pa appot au sol On négligea les fottements avec l ai La balle est assimilée à son cente d inetie G et on démonte que le mouvement de celui-ci, dans un epèe (Ox, Oz) semblable à la figue 1-, est donné pa : OG () t v cos αt i 1 =+ + d- g t + vsinαt + zn k (E) 1 Le sommet S de la tajectoie étant atteint au niveau de l advesaie, en déduie la valeu de la vitesse initiale v En sautant, l advesaie peut atteinde avec sa aquette une hauteu maximale de,7 m Peut-il intecepte la balle? coigé commenté 1 Indication : le sommet S de la tajectoie est à la veticale de l advesaie (x s = 7 m) Au sommet de la tajectoie, à la date t s, la vitesse est hoizontale : v sinα vz() S =- g ts+ v sinα =, soit t s = g v cos αsin α v sinα O d apès (E) : xs= ( v cos α) ts= g =, g gx soit : v s = AN : v # 9, 8# 7-1 = 11, 8 m s sinα sin( # 4) Indication : : pou que l advesaie intecepte la balle, il faut que z s,7 m D apès (E), l odonnée du sommet S de la tajectoie est : h z() S =- 1 v sin α = g ts + vsinα ts+ z, soit : h = + z g 11, 8 sin AN : 4 h = +,6 =, m # 9, 8 Les conditions initiales sont telles que l advesaie ne peut donc pas intecepte la balle 18

7 CHAPIRE 1 ÉUDE DE CAS 4 Le mouvement des planètes : les tois lois de Képle Le mouvement des planètes s étudie dans le epèe héliocentique dont l oigine est le cente d inetie du Soleil et dont les tois axes sont diigés ves tois «étoiles fixes» Il est considéé comme galiléen 1 Pemièe loi de Képle Dans un epèe héliocentique, les centes des planètes décivent des ellipses dont le cente du Soleil est l un des foyes La figue 1- vous monte l ellipse de foyes S (cente du Soleil) et F décite pa le cente de la planète P Deuxième loi de Képle (loi des aies) Le ayon Planète-Soleil «balaie» des aies popotionnelles aux duées mises pou les «balaye» On emaque, figue 1-, que les aies A 1, A et A sont «balayées» pa le ayon PS pendant la même duée : elles sont donc égales On en déduit, intuitivement, que les acs pacouus sont tels que : l 1 > l > l La planète a donc sa plus gande vitesse, su son obite, aux alentous du point A qui est le plus poche du Soleil ; au contaie, la vitesse la plus faible est atteinte en A, point le plus éloigné du Soleil Si on assimile l obite planétaie à un cecle de cente O, on en déduit que la planète se déplace à vitesse constante : le mouvement est alos considéé comme ciculaie unifome oisième loi de Képle Le caé de la péiode de évolution est popotionnel au cube du gand axe de l obite 184 P l 1 A 1 A l a A S F A, Fig 1- A l

8 cous savoi-faie execices coigés étant la péiode (temps nécessaie pou effectue une évolution su l obite) et a = AA le gand axe, on écit : = k( a) ou = Cste a Cette constante k est la même pou toutes les planètes du système solaie, ce qui a des applications impotantes en astonomie Pou deux planètes P et P du système solaie, on peut écie : =, soit a = a d n a a Cela pemet de détemine la valeu de a et donc la tajectoie de la planète P exemple d application Vénus gavite autou du Soleil su une obite considéée comme ciculaie La distance v de la planète Vénus au Soleil est de,7 ua En vous appuyant su les données suivantes, calcule sa péiode v de évolution dans le éféentiel héliocentique Données : péiode de évolution de la ee autou du Soleil : = 65,5 jous ; distance ee-soleil : = 1 ua = 149,61 6 km coigé commenté Indication : sachez que le demi-gand axe (a) d une tajectoie elliptique équivaut au ayon () d une tajectoie ciculaie La toisième loi de Képle, appliquée à une planète de tajectoie ciculaie, pemet d écie : k = k étant une constante identique pou toutes les planètes du système solaie, on en déduit : v v =, soit v = et pa suite v = v f p v Remaque : pou l application numéique, il est inutile de conveti les distances en unités du système intenational puisqu il s agit d en faie le appot (gandeu sans dimension) On laissea donc ces distances en unité astonomique, 7 AN : v = f p 65,5 4,54 jous 1 185

9 CHAPIRE 1 ÉUDE DE CAS 5 Le mouvement des satellites 1 Foce de gavitation Dans un epèe géocentique supposé galiléen, un satellite subit une foce de gavitation de la pat de la ee : M m F=-G i (1) où G = 6, SI ee O (M) Fig 1-4 S (m) En assimilant la foce de gavitation à une foce de pesanteu et le champ de gavitation au champ de pesanteu, on a : F = mg GM On en déduit, d apès (1) : g =- (1) i Satellite à tajectoie ciculaie D apès la deuxième loi de Newton, F = ma, soit mg = ma, d où g = a Nous admettons que le cente de la tajectoie d un satellite en obite ciculaie est confondu avec le cente de la ee Dans la base de Fénet (u, n) liée au satellite (u, vecteu unitaie tangent en S à la tajectoie et dans le sens du mouvement ; n, vecteu unitaie u n Satellite othogonal à u et oienté ves l intéieu ee de la concavité), les coodon- nées des vecteus F et a sont : F F t = * d où a a t = a dv t = dt * (14) O, on démonte que : a[ Fn = m g an = g a v n = R avec a t, accéléation tangentielle et a n, accéléation nomale Fig 1-5 (15) On en déduit que : a dv t = = La valeu de la vitesse du satellite est donc dt constante : un satellite à tajectoie ciculaie a un mouvement unifome Remaque : l accéléation étant adiale centipète, on démonte que la tajectoie d un satellite est située dans un plan passant pa le cente O de la ee i F g 186

10 cous savoi-faie execices coigés Calcul de la vitesse d un satellite à tajectoie ciculaie Comme a n = g, on a v = g, d où v = g Soit : v = GM La vitesse du satellite n est fonction que de sa distance au cente de la ee, c est-à-die de son altitude 4 Calcul de la péiode de évolution d un satellite à tajectoie ciculaie La péiode de évolution coespond à la duée d un tou, soit : = π v = π = π On en déduit : = 4 π GM GM GM Le appot est donc constant et indépendant de la masse du satellite : il ne dépend que de la masse esponsable de l attaction gavitationnelle ( e loi de Képle) Le développement des télécommunications nécessite la pésence de satelliteselais immobiles pa appot à la ee, appelés satellites géostationnaies Quelle est altitude d un tel satellite? coigé commenté exemple d application Indication : la péiode de évolution d un tel satellite est égale à la péiode de otation de la ee su elle-même, soit = s (1 jou sidéal) Pa définition du champ, d apès (1), on pose : G M g G M =, soit g = et donc G M = g R, avec R ayon de la ee R D apès la e loi de Képle et en posant = R + h où h est l altitude du satellite, on en déduit : 1 J N 4π 4π R K O = = On a donc : h= g R ( R h) G M - = 5 88 km + g R K 4 π O L P 187