CHAMP ÉLECTROSTATIQUE CHAMP GRAVITATIONNEL

Transcription

1 CHAP ÉLECTROSTATIQUE CHAP GRAVITATIONNEL I. ÉLECTROAGNÉTISE On appelle électomagnétisme l étde de l ensemble des phénomènes liés ax inteactions ente paticles chagées. L objet d étde le pls généal est n ensemble D de paticles en movement pa appot à n éféentiel donné, désigné sos le nom de distibtion de chages de coants. Le bt est de pédie l évoltion de D a cos d temps. La théoie actelle de l électomagnétisme ésot le poblème : Une paticle donnée de vitesse v dans le éféentiel R et de chage q sbit de la pat d champ électomagnétiqe ne foce de Loent : Foce de Loent : F = qe + qv ^ B La théoie est complétée pa n système d éqations ax déivées patielles, dites éqations de axwell E, t, B, t. ( ) (voi cos de dexième année) pemettant de calcle le champ électomagnétiqe ( ) ( ) I. Sitation en égime non pemanent La distibtion D vaiable dans le temps est la soce d champ électomagnétiqe ( E (, t ), B(, t) ). On a n coplage eliant le champ électiqe et le champ magnétiqe. I. Sitation en égime pemanent En égime pemanent, le coplage dispaaît. On pet donc étdie le champ électiqe pemanent, appelé champ électostatiqe indépendamment d champ magnétiqe pemanent, appelé champ magnétostatiqe. On a donc dans ce cas dex banches bien distinctes de l électomagnétisme, qi s étaient développées avant la synthèse poposée pa axwell. L électostatiqe étdie le champ électiqe pemanent céé pa des chages fixes dans n éféentiel donné : chages déposées s des isolants : bâton de vee o d ébonite fotté, chages pésentes à la sface de condctes en éqilibe La magnétostatiqe étdie le champ magnétiqe pemanent céé pa des coants pemanents o des aimants pemanents. L électostatiqe est l étde d champ électiqe en égime pemanent (on dit assi stationnaie, E indépendant d temps) : =. t II. QUELQUES PROPRIÉTÉS DE LA CHARGE ÉLECTRIQUE II. Consevativité La chage électiqe est ne gande scalaie positive o négative. L ensemble des expéiences d électomagnétisme indiqe qe la chage totale d n système isolé este constante a cos d temps. II. Invaiance La chage électiqe est invaiante, c'est-à-die q elle ne dépend pas d éféentiel. Champ électostatiqe (35-5) Page s 7 JN Bey

2 II.3 Qantification III. FORCE ÉLECTROSTATIQUE ET FORCE GRAVITATIONNELLE III. Foce électostatiqe et champ électostatiqe Soit D ne distibtion de chages immobiles. Soit n point matéiel de chage q. Il sbit ne foce électostatiqe : f = qe( D, ) E( D, ) est appelé le champ électostatiqe céé pa la distibtion D a point. III. Foce gavitationnelle et champ gavitationnel Soit D ne distibtion de masses immobiles. Soit n point matéiel de masse m. Il sbit ne foce gavitationnelle : f = ma( D, ) A( D, ) est appelé le champ gavitationnel céé pa la distibtion D a point. Nos allons étdie dans la site d cos comment calcle le champ électostatiqe et le champ gavitationnel po ne distibtion qelconqe. IV. CHAP ÉLECTROSTATIQUE ET CHAP GRAVITATIONNEL IV. Champ électostatiqe a) Champ céé pa ne distibtion constitée d ne chage ponctelle Soit ne chage Q en n point. Soit n point de chage q. La foce électostatiqe execée pa la qq chage Q s la chage q vat : f =. f On définit le champ électostatiqe céé pa la distibtion D : E( D, ) = q Cette chage Q céée donc n champ électostatiqe en tot point de l espace (saf en où le modèle de la chage ponctelle n est pas adapté). Q Q E( D, ) = = loi de Colomb 3 E( ) Le champ électostatiqe divege à pati de la chage Q < chage positive Q. chage Q > On note la distance ente et, le vecte nitaie diigé de ves. E( ) Le champ électostatiqe convege ves la chage négative Q. Champ électostatiqe (35-5) Page s 7 JN Bey

3 ε est la pemittivité d vide. ε 36π = = F.m -. 9 ATTENTION : de est ne notation. Ce n est pas la difféentielle de E. C est simplement la contibtion de a champ électostatiqe a point. ρdτ E = = D D volme dτ 8,84 b) Champ céée pa ne distibtion constitée de N chages ponctelles Les chages q, q q N. sont sitées ax points, N. Soit n point de chage q. La foce électostatiqe execée pa la chage Q s la chage q vat : qq qq f = f On en dédit qe : E( D, ) = q N qi E( ) = i i= i On tilise le théoème de speposition po le champ électiqe. c) Champ céé pa ne distibtion volmiqe de chages Sovent on considèe ne distibtion macoscopiqe constitée d n tès gand nombe de paticles. Si considèe n volme mésoscopiqe dτ de l ode de gande de µm 3. C est n infiniment petit à note échelle macoscopiqe mais il contient n gand nombe de paticles. On va donc dans ce cas défini n champ électostatiqe qi est la moyenne d champ électostatiqe éel. Soit D ne distibtion volmiqe de chages. On considèe n petit élément de volme dτ de chage. On définit ρ la densité volmiqe de chages : ρ =. dτ Le champ céé en pa la chage vat : de( ) =. Le champ céé pa D vat : ( ) On tilisea soit les coodonnées catésiennes d sphéiqes dτ ( d)( dθ)( sinθ dϕ) =. D dx dyd τ =, cylindiqes dτ ( d)( dθ)( d) = o éthode de calcl tilisée dans les execices : Pévoi la diection d champ électostatiqe avec des agments de symétie Faie n schéma clai et écie la loi de Colomb : de( ) = Pojete et intége les pojections de de. d) Champ céé pa ne distibtion sfaciqe de chages : Les chages sfaciqes sont ne appoximation losqe les chages sont s ne tès faible épaisse. d) Calcl d champ électostatiqe Soit D ne distibtion sfaciqe de chages. On considèe n petit élément de sface ds potant la chage. On définit σ la densité sfaciqe de chages : σ =. ds Le champ céé en pa la chage vat : de( ) =. Champ électostatiqe (35-5) Page 3 s 7 JN Bey

4 σ ds Le champ céé pa D vat : E( ) = = D D On tilisea soit les coodonnées catésiennes, cylindiqes o sphéiqes.. éthode de calcl tilisée dans les execices : Pévoi la diection d champ électostatiqe avec des agments de symétie Faie n schéma clai et écie la loi de Colomb : de( ) = Pojete et intége les pojections de de. d) Relation ente la densité sfaciqe de chage et la densité volmiqe de chage La méthode est de calcle la chage de dex manièes. ds En identifiant les dex expessions, on en dédit : σ = ρd = σ ds = ρdsd e) Champ céé pa ne distibtion linéïqe de chages Les chages linéïqes sont ne appoximation losqe les chages sont s n tès faible volme. e) Calcl d champ électostatiqe Soit D ne distibtion linéïqe de chages. On considèe n petit élément de longe dl de chage. On définit λ la densité linéïqe de chages : λ =. dl Le champ céé en pa la chage vat : de( ) =. On en dédit : E( ) =. D On tilisea soit les coodonnées catésiennes, cylindiqes o sphéiqes. d éthode de calcl tilisée dans les execices : Pévoi la diection d champ électostatiqe avec des agments de symétie Faie n schéma clai et écie la loi de Colomb : de( ) = Pojete et intége les pojections de de. e) Relation ente la densité linéïqe de chage et la densité volmiqe de chage La méthode est de calcle la chage de dex manièes. dl λd ds dl = ρ = l dsdl En identifiant les dex expessions, on en dédit : λ = ρds IV. Champ de gavitation On note A le champ gavitationnel céé pa ne masse ponctelle. Soit ne masse m en n point P. Cette masse céée n champ gavitationnel en tot point de l espace (saf en P où le modèle de la masse ponctelle n est pas adapté). A Gm ( ) = A ( ) G est la constante de gavitation niveselle : G = 6, 67 N kg m On donne sovent le champ de pesante a nivea d sol : g = 9,8 m.s -. masse m P Champ électostatiqe (35-5) Page 4 s 7 JN Bey

5 G T T désigne la masse de la tee et R T le ayon de la tee : g = avec R T = 64 km et T = 6 4 kg. RT Dans la site d cos, les ésltats po le champ électostatiqe (théoème de Gass ) poont ête généalisés a champ gavitationnel en tilisant l analogie sivante : chage masse G E A IV.3 Bilan On admet les ésltats sivants : a) Appoximation volmiqe ρdτ L expession E( ) = est valable même si on a des chages à l infini. D Le champ électostatiqe est défini et contin en tot point de l espace. b) Appoximation sfaciqe σ ds L expession E( ) = est valable même si on a des chages à l infini. D Le champ électostatiqe est défini en tot point de l espace saf s la distibtion. Le champ électostatiqe sbit ne discontinité à la tavesée de la sface de distibtion. Soit ne sface S qi pote ne densité sfaciqe de chage σ. A et A sont des points voisins de A E = lim E A E = lim E A. sités dans les domaines et. On note ( ) et ( ) A A A A Le champ électostatiqe est discontin à la tavesée de la sface de distibtion : σ E E = n ε c)appoximation linéïqe λdl E = L expession ( ) D est valable même si on a des chages à l infini. Le champ électostatiqe n est pas défini en n point où il existe ne distibtion linéïqe de chages o ne chage ponctelle. d) Comment faie si on vet ente dans ne sface? L appoximation volmiqe est la meillee appoximation. Dans cetains execices, il est demandé d tilise l appoximation sfaciqe. Si des difficltés mathématiqes isses d ne modélisation pls fote appaaissent, il fat alos «eveni en aièe» et change de modélisation. Exemple : calcl d champ céé pa n plan infini. Le calcl envisagé n a pas de sens losq on vet connaîte le champ dans le plan. Il fat alos epende les calcls en considéant ne épaisse e avec ne appoximation volmiqe. Voi chapite s le théoème de Gass. Champ électostatiqe (35-5) Page 5 s 7 JN Bey

6 V. EXEPLES V. Champ céé pa n segment nifomément chagé On considèe n segment nifomément chagé de densité linéïqe de chages λ. ψ θ de est n plan de symétie po les chages, donc E( ) Le plan (,, ) appatient à ce plan. Soit de le champ céé en pa l élément de longe dl = d sité en. d E =. On pojette s et de = cosψ : de sinψ = Avec = λd.il fat choisi n paamète po pacoi le segment. Po les segments, on choisit tojos saf indication contaie de l énoncé l angle ψ. Attention : Qand on décit le segment po faie la somme de totes les contibtions d champ, est constant, pa conte et ψ vaient. cos ψ cosψ =, d où = tanψ =, d où = tanψ et d = dψ cos ψ λ cos ψ λ de = d cos cos d ψ ψ = ψ ψ cos 4 ψ πε On en dédit : λ cos ψ λ de = dψ sinψ sinψdψ = cos ψ λ ( sinψ sinψ ) On intège ente ψ et ψ. D où E λ ( cosψ cosψ ) π π λ Cas limite d fil illimité : ψ et ψ. On a alos : E = πε Remaqe impotante : Ce ésltat sea démonté diectement avec le théoème de Gass. Champ électostatiqe (35-5) Page 6 s 7 JN Bey

7 V. Disqe de sface S On considèe n disqe de sface S. On cheche le champ électostatiqe s l axe O pependiclaie a disqe. O O ψ > Tos les plans passant pa et contenant l axe O sont des plans de symétie po les chages soces d champ, donc le champ électostatiqe en appatient à l intesection de tos les plans : E( ) // O. Po >. On appelle d E le champ céé en pa l élément de sface ds = ( d)( dθ ). On écit pafois l exposant po appele q il y a dex infiniment petits. d E =. La pojection s l axe O s écit : dd d d E = σ θ σ cosψ dθ 3 = ( + ) + = ( + ) On pose = + ;d = d 3 σ d En intégant θ ente et π, on a de = π. Il este à intége ente et R + : + R 3 σ + R d σ σ E = π ( ) = =. On a donc : = 4ε 4ε R + σ E = po > ε R + On en dédit le champ, po < pisqe le plan = est n plan de symétie. σ E = po <. On a emplacé pa et ajoté n signe. ε R + Attention : il y a des expessions difféentes po > et <. Cas paticlies : Si R, on tove le modèle limite d plan infini (voi dans les exemples sivants). + De pat et d ate de la distibtion, = et =, on a ne discontinité d champ σ électostatiqe. On véifie qe : E E = n. ε Le champ divege à pati des chages positives. d E Champ électostatiqe (35-5) Page 7 s 7 JN Bey