Dans toutes les questions suivantes, le système est orthonormal sauf il est énoncé. e x + 2e 4x e 4x e 4x. 1 4) dx = arctan(x) arctan 2

Transcription

1 Dans ous ls qusions suivans, l sysèm s orhonormal sauf il s énoncé I- ( poins) Parmi ls réponss proposés à chaqu qusion, un sul s jus Écrir l nombr d chaqu qusion donnr, avc jusificaion, sa répons corrspondan Qusions Réponss proposés A B C ) Un soluion d l équaion différnill (E): y + y 4y = s ) La négaion d p q s p q p q p q Soi > arcan + arcan = 4) d = arcan() arcan 4 5) 6) f s un foncion défini par : f() = f (n) () = f s un foncion coninu, dérivabl sricmn décroissan sur La sui n I n = f ()d, où n N *, s n f s un foncion coninu, dérivabl arcan 4 n n n+ Croissan Décroissan Aucun 7) 8) posiiv sur La sui I n = n n N *, s On considèr ls donnés suivans : f ()d, où Variabl [ 5[ [5 [ [ 5] Effcifs 7 L écar yp s à-pu-près Croissan Décroissan Aucun, 8,5 Aucun

2 II- ( poins) Dans un plan oriné, on considèr un riangl rcangl dirc ABC n A, ls qu AB = cm BC ; BA () S s la similiud plan dirc qui ransform A n B B n C ) Dérminr l rappor l angl d S ) Soi O l miliu d [AB] On considèr l sysèm orhonormal dirc O ;u, v l qu u OB a- Trouvr la form compl d la similiud S b- Dérminr l affi du poin W, l cnr d S E F son du poins d (AB) ls qu EB EA FB FA a- Calculr WE WF n foncion d WA WB b- Monrr qu W décri un crcl d diamèr [EF] c- Calculr WA, puis n déduir la posiion d W d- Précisr, géomériqumn, la posiion d W 4) Soi H la projcion orhogonal d A à (BC) On considèr l homohéi h d cnr H qui ransform B n C a- Trouvr l imag d A par h b- Trouvr l rappor l angl d la similiud h o S III- ( poins) Rami achè LL un bill prman d paricipr à un ju consiu d un graag suivi d un lori Il gra un cas sur l bill Il pu alors gagn LL avc un probabilié d, ou bin n rin gagnr Il paricip nsui à un lori avc l mêm bill À c lori, il pu gagnr LL, LL ou bin n rin gagnr Si Rami n a rin gagné au graag, la probabilié qu il gagn LL à la lori s la 7 probabilié qu il gagn LL à la lori s 49 On considèr ls événmns suivan : G: "Rami gagn au graag" L : "Rami n gagn rin à la lori" L : "Rami gagn LL à la lori" L : "Rami gagn LL à la lori" ) Calculr la probabilié pour qu Rami n gagn rin à la lori, sachan qu il n a rin gagné au graag ) On no X la variabl aléaoir qui rprésn l gain algébriqu oal du Rami, après graag lori On sai qu P(X = 9 LL) =,6 d P(X = 9 LL) =,4 a- Démonrr qu la probabilié qu Rami gagn LL à la lori, sachan qu il a gagné LL au graag, s égal à, b- Dérminr la loi d probabilié d X, puis calculr E(X) c- Calculr la probabilié qu Rami n gagn rin à la lori, sachan qu il a gagné LL au graag

3 IV- ( poins) L spac s muni d un rpèr orhonormal O ; i, j, k On considèr l poin A(,, ), l plan m (P) d équaion: y + z 6 =, la droi (D): y m (m R) z m ) Monrr qu A (D) dérmin un plan (Q) dérminr un équaion d (Q) ) a- Monr qu (P) coup (Q) dans un droi () défini par : = ; y = ; z = b- Monrr qu ls coordonnés d A, la projcion orhogonal d A n (), son,, M s un poin variabl d () s un msur d l angl formé par (AM) (P) a- Trouvr ls coordonnés d H, la projcion orhogonal projcion d A n (P) b- Calculr la disanc d A n (P), puis monrr qu AM sin = c- Dérminr la posiion d M pour qu s maimum Calculr sin dans c cas d- Qu rprésn c valur d par rappor au plans (P) (Q)? 4) On considèr l crcl (C) d cnr A qui s angn à () connan dans l plan (Q) La projcion orhogonal d (C) au plan (P) s un llips (E) a- Calculr l rayon d (C) b- Dérminr ls coordonnés du cnr d (E) c- Calculr l cnricié d (E) d- Dérminr un sysm d équaions paramériqus d l a focal d (E) V- ( poins) Dans la figur ci-conr, on a ls crcls : (C ) d cnr A( 5 ; ) rayon R = ; (C ) d cnr B(4 ; ) rayon R = 4; (C) d cnr M rayon R qui s angn ériurmn à crcls (C ) and (C ) au poins P Q On considèr ls poins C( 4 ; ) D( ; ) ) S s la similiud d angl qui ransform (C ) à (C ) a- Calculr l rappor d S b- Soi I l cnr d S Uilisr l égalié 4IA IB pou démonrr qu IC ID =, puis consruir, géomériqumn, l poin I ) Monrr qu M décri un hyprbol (H) don on dérminra l équaion l cnricié On considèr ls du homohéis h h' lls qu h(c ) = (C) h'(c) = (C ) Monrr qu h o h s un homohéi don on dérminra ss élémns

4 VI- (7 poins) Pari A Soi f la foncion défini sur par : f() = ln( + ) (C) s la courb rprésnaiv d f dans un sysèm orhogonal O ; i, j (Uniés graphiqus: cm sur l a ds abscisss cm sur l a ds ordonnés) ) a- Dérminr la limi d f n b- Vérifir qu f() = ln Dérminr la limi d f n + c- En déduir qu la courb (C) adm du asympos qu l on précisra ) On considèr la foncion g défini sur ], + [ par : g() = ln( ) a- Monrr qu la foncion g s sricmn décroissan sur ], + [ b- En déduir l sign d g() lorsqu > a- Eprimr f () n foncion d g( ) b- Drssr l ablau d variaions d f 4) Tracr (C) Pari B Soi F la foncion défini sur par : F() = f ()d ) Eudir l sns d variaions d la foncion F ) a- Vérifir qu d dérminr b- En déduir, à l aid d un inégraion par paris, F() c- Vérifir qu F() = ln( + ) f() + ln qu F() = ln f() + ln Dérminr lim F() 4) Dérminr lim F() Donnr un inrpréaion graphiqu d c résula Pari C Soi (U n ) la sui défini sur N* par : U n = f() + f() + + f(n) ) Hachurr sur la rprésnaion graphiqu un domain don l air, n uniés d air, s U 4 ) Dérminr l sns d variaion d la sui (U n ) Monrr qu f (k) k f ()d, où k n, puis comparr U n F(n) k 4) La sui (U n ) s-ll convrgn? Jusifir vor répons

5 Barèms Qusion I No ) C ) B A 4) B 5) B 6) B 7) A 8) C chacun Qusion II No,5 ) k = ; =,5 a- z = i z i,75 ) b- z W = i, ) a- WE WA WB WA WB WF b- WE WF ; W décri un crcl (C ) d diamèr [EF], c- WA = ; W décri un crcl (C ) d cnr A d raon 7 7 d- {W} = (C ) (C ),5 h(b) = C h(a) = A; (AC) / / (AB); A s déplac sur la droi passan par C a- parallèl à (AB) En plus, h(a) = A; H, A, A son aligns; A s déplac sur (HA),75 A s l poin commun nr ls du drois b- ) P / G ) a- b- c- ABC rcangl [AH] hauur; AB AC = AH BC; AH = AHB rcangl; HC HB = HC = BC BH = Rappor d h = = h S?,, ; HB h S?, 6, Qusion III No 4 L 45 (L ) P L G P L G ; L PL / G PG PL / G PG P P ;,6 PL / G,, 98; PL / G 7 X = X i 9 9 T P(X = X i ),98,6,4 P(L ) = (P(L ) + P(L )) =,98; (L ) PL G PL G 4,98 45 PL / G,, 98 ; L / G, 8 P P ;,75,5,5

6 ) ) 4) ) ) Qusion IV A (D); A (D) dérmin un plan (Q) B(,, ) (D); AM AB u D ; (Q): + y z = a- () (P) () (Q) No A(,, ) (); A projcion orhogonal d A à (), alors AA u ; b- = ; A,, a- H(,, ),75 HA d(a,(p)),5 b- d(a, (P)) = L angl s A Mˆ H ; sin ; AM sin = AM AM AM ma; AM min; M A; M s la projcion orhogonal d A à () c- HA 6 sin AM AA (AH) (P), (AH) (); (AA) (),alors () (AH); s l angl dièdr du du d- plans (P) (Q) 6 a- Rayon = r = AA =,5 b- L cnr d (E) s la projcion orhogonal d A à (P); cnr s H(,, ),75 6 c- a = r = ; b = rcos; c = a b = r sin 6 ; c = ; = d- (FA) // () pass par H, l cnr d (E); (AF): =, y = k, z = k + a- Qusion V No R S(C ) = (C ); rappor = R = IB 4IA ; IB IA IB IA ; IC ID ; IC ID = I décri b- l crcl d diamèr [CD]; S(A) = B; I décri l dmi-crcl d diamèr [AB] privé qu A B; I s l poin commun d du nsmbls MB MA = MQ + QB (MP + PA) = = consan = a; M décri un hyprbol d foyrs A B a = ; a = c = AB = 9; c = 4,5 b = 84 / 4 = 4,5 Cnr s l y miliu d [AB]; cnr (, ) (H): 85 4 R R h s un homohéi d rappor k = ; h s un homohéi d rappor k = R R 4 ; h o h s un homohéi d rappor k k = ( ) h o h(c ) = h(c) = (C ); R R h o h(a) = B; l cnr J d h o h s l qu JB JA ou J C; h o h = H(C, ),5,5

7 Qusion VI No Pari A a- lim f () = ) ) b- f() = ln (facil) lim f () = c- y = AH and y = AH a- g() = < ; g s sricmn décroissan b- g() = g s sricmn décroissan; g() < a- f () = g b- Facil 4) Courb Pari B ) F() = f() > ; F s sricmn croissan ) d a- ; d b- F() = f ()d ln d = ln = ln( + ) + ln = ln( + ) ln( + ) + ln (u = ln( + ) dv = d) c- F() = ln( + ) f() + ln and F() = ln f() + ln (facil),5,5 lim F() ln 4) lim F() ln ; y = + ln s un asympo obliqu à la courb d F,5 Pari C ) Facil ) U n+ U n = = f(n + ) > ; (U n ) s sricmn croissan k k f s décroissan; f() f(k); f (k) k k f ()d U n = f() + f() + + f(n) f ()d + n f ()d + + f ()d = n n f ()d = F(n); F(n) U n 4) U n F(n) = ln; (U n ) s un sui croissan majoré par ln; (U n ) s convrgn,5