Partie I. Formule du binôme négatif.

Transcription

1 Coigé HEC II 5 a Piee veuillez L obje du oblème e d éudie uelue oiéé d u eimaeu du aamèe d ue loi géoméiue. Paie I. Fomule du biôme égaif. Pou ou coule, d eie auel el ue, o aelle la fomule du iagle de Pacal : k k + k. ou ou eie de [[, ]], o a : k a écuece u avec + k k k k + + k +. Soi, u coule d eie auel, el ue. Pou ou éel x de ],[, o défii la focio f, a : f, x. a Pou ou éel x de ]; [, l égalié : k xf, x x x k k k k x k x k+ k k k + h x k x k k h+ [ k k x + k+ k x + x k x + k h xx + x h+ h h x x h x + h xf, x x + Cocluio : xf, x xf, x x + b O uoe l eie fixé. O a +!!! ] x k x + x + Cocluio :! uad + Coigé HEC II 5 Page /

2 . Soi x u éel fixé de ]; [ e oi u eie auel fixé. O veu éabli l exiece de la limie de f, x loue ed ve +, e déemie la valeu de cee limie. a f, x k x k k k de même éie uuelle x k x ca x < e f,x. k k x k kx k b Soi u eie auel o ul. O uoe ue, ou ou éel x de ], [, o a : O a écédemme : f, x lim f,x + e comme alo! x+ x Cocluio : lim f,x + Aii, a écuece o aua x x. [ ] xf, x x + x x x + x f, x x! x+ ca o x x +. k k x k x x +. Paie II. Déveloeme e éie de l x Soi x u éel de ], [. x k + ca x > x x. O a k Cocluio : k ou ou de [, [ e e iéga : x d k x k k x d x k k d. O a x u [, x] e doc x Cocluio : lim + x d.. x x d x d x k doc l x uad + k k x d l x d l x Cocluio : k x k k l x. Coigé HEC II 5 Page /

3 Paie III. Loi biomiale égaive. Toue le vaiable aléaoie ui ieviee da cee aie o défiie u u même eace obabilié Ω; A; P. Soi u éel de ], [. O oe, e o coidèe ue vaiable aléaoie X à valeu da N, ui ui la loi géoméiue de aamèe. O aelle ue ou ou eie k de N, P X k k.. O a E X e V X. O coidèe la vaiable aléaoie Y défiie a Y X. a La loi de Y e doée a : Y Ω { k /k N } e ou ou k N, P Y k P X k k b Comme Y e à valeu oiive, l abolue covegece éuivau à la covegece imle N k k P Y k N k k k N k k k l d aè la aie II. Doc la éie e abolume covegee, Y a ue eéace e Cocluio : E Y l c De même,a le héoème de afe : avec i k P Y k k P Y k la éie i k k P Y k e abolume covegee a majoaio de eme oiif. Cocluio : EY i exie doc ou ou i. Soi X e X deux vaiable aléaoie idéedae, à valeu da N, ui uive la même loi géoméiue de aamèe. O oe : S X, S X + X, Y S. a O a S Ω [[, + [[ avecs k X k X k e P S e Y Ω { / N,k } e Cocluio : P Y b O a P Y e comme la éie de covege, a éuivalece de eme oiif, Y a bie ue eéace c O afome alo la omme aielle : N P Y N N Cocluio : E Y + l + N N m N + m + l + Coigé HEC II 5 Page /

4 4. O coidèe ue uie X N de vaiable aléaoie à valeu da N, idéedae, de même loi géoméiue de aamèe. Pou ou eie de N, o oe S X k. e comme elle o idée- a Comme le X i o ue eéace, ES k E X k dae, V S V X k k b Récuece : Pou o a vu ue S Ω [[, + [[ e P S doc la oiéé e vaie ou ou ou avec S X Soi N el ue la loi de S e doée a S Ω [[, + [[ e ou ou eie : P S alo S + S + X + P S + k S k X + k icomaible P S k P X + k a idéedace k k k k k + k h + + emièe fomule Cocluio : la fomule e vaie ou ou eie 5. Pou ou eie de N, o oe Y S. a O a Y Ω { / e eie } e P Y P S b Soi u éel uelcoue de [, [ e m de Z, O découe m ou gade u moceau de éie covegee : m m avec m m / / / ca m o ca / > e doc m De lu la éie géoméiue de aio covege doc a majoaio de eme oiif, m, e covegee.. O a P Y avec!!! coae a ao à. e la éie de eme gééal covegee, doc a éuivalece de eme oiif, la éie de eme P Y e abolume covegee e Y a ue eéace.! De même P Y doea l exiece de l eéace de Y e la vaiace de Y Plu imleme : P Y P Y ou, e la éie e doc covegee a majoaio de eme oiif. Coigé HEC II 5 Page 4/

5 Paie IV. Ue eimaio ocuelle du aamèe. Soi u éel de ], [. Da cee aie, o coidèe ue vaiable aléaoie éelle X à valeu da N, ui ui ue loi géoméiue de aamèe icou. O oe. Pou ou eie auel o ul, o coidèe u -échaillo X, X,..., X de vaiable aléaoie à valeu da N, idéedae, de même loi ue X. Le vaiable aléaoie X; X ; X ;...; X o défiie u u même eace obabilié Ω; A; P. O oe X S Y.. E X E S doc X e u eimaeu a biai ou le aamèe. So iue uadaiue e b + V X V X V S. Pou ou eie de N, o oe h e ϕ le alicaio défiie u [, [ à valeu da R elle ue : [, [, h, ϕ O adme da oue la uie du oblème, ue h e de clae C e ue ou ou éel de [, [, la déivée h de h véifie : h. O adme égaleme ue la focio ϕ e déivable u ]; [, de déivée ϕ, e ue ou ou de ], [, ϕ h. a O ai déjà ue Y a ue eéace e E Y Y P + h h e coiue u [, ] doc h h d. E comme h i d aè I..b Cocluio : ou ou de [, [, : h d. i i b Avec y e y /, o eme le chageme de vaiable da le e imle : Coigé HEC II 5 Page 5/

6 y y y + y e d + y dy avec focio C de y u [, /] e doc Cocluio : h h /. y + y dy d / y + y y e coiue u l ievalle image [, ] + y dy / y + y dy Pa iégaio a aie, avec u e v C : u y + y : u y + y e v y y : v y y o a : Cocluio : h h [ ] / + y y / + + / / + / y + y dy. + / y + y dy + y y dy y dy avec + + y. Pou ou eie de N, oi b la focio défiie u ], [ à valeu éelle ui, à ou éel de ], [ aocie b EY. b eéee le biai de Y ou eime Coigé HEC II 5 Page 6/

7 a O a : b EY h + + / y / y + y dy / y + y dy + y dy b O ecade l iégale via o coeu, e coeva la uiace ui ovouea o l eèe la covegece : Pou ou y [, /] o a + y > doc + y e y + y y e comme le boe / o a alo / y + y dy / / y + y dy + y dy + + e doc fialeme b + e a ecademe b uad +. E comme E Y b + Cocluio : c O éiège lim EY + / y + y dy a aie avec u y + y : u y + y e v y y : v y + y+ e u e v C e o ouve : / y + y dy [ + y + y+ ] / + / / / / + y + y+ dy y + dy avec + + y y + + y dy Coigé HEC II 5 Page 7/

8 e doc b / y + y dy / y + + y dy / y + Comme écédemme + y dy e ed ve uad + + doc e calcula b + + o + + o b + o o + o Paie V. Limie de la vaiace de Y. Le coexe de cee aie e ideiue à celui de la aie IV.. a O a vu ue e comme h / + / y + y dy + / y + y dy y + y dy + uad + alo la uaié ee [] uad e h loue ed ve a valeu uéieue. b Comme h do l iégale covege e, a éuivalece de h focio oiive l iégale d e covegee. Efi ϕ h h ou ou ], [ doc e ue ϕ ϕ + d. e Cocluio : ϕ h d. Coigé HEC II 5 Page 8/

9 /. a Pou ou eie de N y, e ou ou éel de ]; [, o oe H + y dy. O a, ou ou de ], [, ϕ h Cocluio : o a ϕ b O exime H ϕ covege. D où ϕ Cocluio : ϕ / H / y + y dy y + y dy do l iégale covege e doc ϕ d d + + H d H d. a O ecade le coeu ui e lui même ue iégale : [ ] y Pou ou y, : + y y doc / y / H + y dy y dy + + e doc + H + d où efi, + H d H d + + d h + + d aè l éciue IV.a h Cocluio : L éciue IV.b h + d où H d h + + / h + + d. e H d y + y dy ou doe h + + uad h Coigé HEC II 5 Page 9/

10 E a ecademe Cocluio : lim + H d. b O effecue le même chageme de vaiable ue écédemme : y + y e d dy e aux boe y e y / + y d ue l o iège a aie avec u y y : u y y e v y / / y + y y + y y + y dy + y dy + y : v y + y d où d [ ] / y + y / + / y + y dy. + y y dy avec là ecoe / / E il e ee ue y + y dy + y + y dy + o ouve ue e doc ed ve uad +. + Cocluio : c O a vu ue E Y e doc ue E Y. Pou E Y do o ai u elle exie, o evie à la défiiio E Y + P Y + ϕ lim d + uiue la défiiio du IV doe ϕ Coigé HEC II 5 Page /

11 D aue a ϕ d + H d du V.b e doc ϕ + d + H d D oùe Y uad + Cocluio : lim V Y + Paie VI. U ievalle de cofiace du aamèe Da cee aie, le coexe e ideiue à celui de deux aie écédee.. a IV..c doe b + o, e comme E Y b + o e dédui E Y [ + + o + + o ] Cocluio : loue ed ve + : EY + b O adme ue, loue ed ve + : EY + O a alo V Y E Y E Y + + o + o [ + o ] Cocluio : loue ed ve +, V Y [ + + o + o + o ]. Pou ou eie de N, o oe T Y. O adme ue la uie de vaiable aléaoie T N covege e loi ve ue vaiable aléaoie T ui ui la loi omale ceée, éduie. Cee ueio a ou objecif la déemiaio, ou aez gad, d u ievalle de cofiace du aamèe icou, au iue α doé. Aueme di, il agi de ouve de vaiable aléaoie I e J, focio de Y elle ue P I J α. Coigé HEC II 5 Page /

12 a Soi a α, le éel iceme oiif el ue P T a α α. Pou aez gad, o eu coidée ue : P a α T a α α. a α T a α a α Y Y + a α a α Y a α Cocluio : P Y a α Y + a α P a α T a α α. b Pou ecade lu lageme mai a faie ievei o éudie le vaiaio de ou luo de o caé f u [, ] f e déivable e f d où / + f doc f e maximum e / où elle vau f + f doc ou ou ], [ Doc avec I Y a α e J Y + a α I J doc P I J P a α T a α α 4 9, o a a α T a α Cocluio : avec I e J ci deou, le iveau de cofiace de [I, J ] e d au moi α I Y a α e J Y + a α. c O uoe ue 9. U échaillo obevé x ; x ;...; x 9 de éaliaio de vaiable aléaoie X ; X ;...; X 9 a foui le éula uiva : x 9 9 x i 4. 9 i O a Y 9 9 do la éaliaio e ici /4, 5 S 9 X 9 O e doe u iveau de iue α,5; le ombe a,5 e à eu è égal à. Sacha ue 45,6, u ievalle de cofiace éalié ui coiee le aamèe icou avec u iveau de cofiace au moi égal à,95. e : [I 9, J 9 ] oi a α a α a α 45, 6 doc ce ievalle e Cocluio : [, 5, 6 ;, 5 +, 6] e u ievalle de cofiace de au iveau de cofiace 95% Coigé HEC II 5 Page /