Mathématiques ESSEC Option Scientifique, 2016

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1 Mahémaiques ESSEC Opion Scienifique, 6 Proposiion de corrigé Parie I. Soi x R\Z. Pour ou n N, n x e on a x u n x n + n d où u x nx n + n x La série de erme général es une série de Riemann convergene. Donc la série de g es convergene. n n Par héorème de comparaison pour les séries à erme posiif, la série de g u n x converge. La série de erme général u n x es alors absolumen convergene donc convergene.. a Pour ou x D, x D. De plus, pour ou n N, u n x = u n x. On en dédui u n x = u n x. Or, ϕx = x u n x. D où ϕ x = x + u n x = ϕx. n= b Soi x D e n N, n= n= La foncion ϕ es alors impaire. n x n+x = n+x n+x n xn+x = x n x c Soi x D e N N. D après l égalié de la quesion.b, N u n x+ = N [ ] n x = N n++x n x N n++x n= n= n= On fai le changemen d indice k = n dans la première somme e k = n + dans la seconde. On obien N u n x+ = N n= k=k x N+ k=k+x N D où, u n x+ = x + N n x + n+x x+ N +x N ++x N Ainsi, u n x+ = n= x + x+ + N u n x n= N +x N ++x. On fai endre N vers + car ou converge dans cee égalié. Il vien Par suie n= n= u n x+ = x + x+ + u n x n= n= n= ϕx+ = x+ u n x+ = x u n x = ϕx n= 3. a Soi x D {,}. Pour ou n, n x x e n x = n x d après la quesion.b n+x qui rese encore valable pour x = de façon immédiae e pour x = car x +x = x x. De même qu à la quesion, la série de erme général u n x pour n es absolumen convergene x donc convergene. On en dédui l exisence de gx = n=n e on a x n= n=

2 b Soi x D. gx = n= x n x = n= n x n+x ϕx = x x x gx = x x + +x gx car comme déjà vérifié précédemmen, x +x = x x ]. c Soi h ; [ e x [;]. Pour ou n, n x n x h = h e n xn x h n+x n+x+h = h n+xn+x+h D où, n x h n+x+h n x = h n+x n xn x h + n+xn+x+h Pour ou N, on a donc N u n x+h N u n x N u n x+h u n x n= n= n= h N n xn x h + n+xn+x+h Or, pour ou n, comme x [;] e h Dès lors, < n= ] ; n+x n x n > e n+x+h n x h n 3 > n xn x h + n+xn+x+h < n n 3 e N u n x+h N u n x h N n n 3 n= n= n n 3 n + n. La série de g es le muliple du g d une série de Riemann convergene. n Par TCPSTP, on en dédui que la série de g n n 3 converge. On peu alors faire endre N vers + dans l inégalié précédene car oues les quaniés convergen. On obien On a donc bien [, n= n= gx+h gx h N n n 3 x [;] gx+h gx C h avec C = N n=n n 3 ] d Soi x [;]. D après la quesion précédene, pour ou h ; [, gx +h gx C h C h. Par héorème d encadremen, gx +h gx d où gx gx. La foncion g h h x x es donc coninue en x. Cee propriéé es vraie pour ou x de [;]. La foncion g es donc coninue sur [;].

3 D après la quesion 3.b, pour ou x ];[, Les foncions x x, x x somme, on en dédui que ϕx = x x + +x gx e x x son coninues sur ];[ ainsi que la foncion g. Par La foncion ϕ es coninue sur ];[. Or, la foncion ϕ es périodique de période. Par suie, La foncion ϕ es coninue sur D. 4. a D après la quesion 3.b, pour ou x D, ϕx = x x + gx. Donc pour ou x D, +x xϕx = x x + x xgx. D après la quesion 3.d, xgx g donc xgx +x. x + x x + De plus, x e x x +x. Par héorème d opéraions, x xϕx x + De plus, pour ou x ] ;[, xϕx = xϕ x car ϕ es impaire d après la quesion I..a. Or, d après le calcul précéden, xϕ x. D où x On en dédui xϕx x puis xϕx x ϕx x x Pour ou x D, ϕx x = x + gx. On en dédui par héorème d opéraion e par +x coninuié de g sur [;] Or, g = n = e + =. D où n= Pour ou x ];[, on a ϕx x x + + g ϕx x x + ϕx x = ϕ x x Or si x <, x > donc ϕ x x. D où ϕx x x. On a donc x lim x ϕx x = b Pour ou x D, ϕx = ϕx. Or, x. Donc d après les résulas de la quesion précédene, x ϕx x x d où ϕx x x 3

4 On a égalemen d après ce qui précède, pour x D, ϕx x = ϕx lim ϕx = x x x. Ainsi, x Parie II x x+ 5. Soi f E. Pour ou x [;], [;] e [;]. Par composiion, la foncion x x x+ f +f es encore coninue sur [ ; ] e à valeurs réelles. Donc Tf E. Soi f,g E e λ R. Pour ou x [;], x x+ [Tλf+g]x = λf+g +λf +g On a donc Tλf +g = λtf+tg e 6. a Soi k [;n]. Pour ou x [;], x = λ f +f x+ T es un endomorphisme de E. [Te k ]x = xk k + x+k k = k x k + k j= x +g +g k x j j x+ = λ[tf]x+ On a doncte k = k k k e j= j j + k e k F n. Par linéarié de l endomorphisme T, la famillee k k n éan une base de F n, on en dédui b On reprend les calculs de la quesion précédene : f F n Tf F n k [; n ] Te k = k k j= k e j j + k e k La marice de T n dans B n es donc riangulaire supérieure e / / k / n k/ k n/ n Ma Bn T n = n... / k / k n / n c La marice det n dans la baseb n es riangulaire supérieure. On en dédui direcemen les valeurs propres de T n qui son les élémens diagonaux. Les valeurs propres de T n son donc les {/ k, k n}. T n es un endomorphisme de F n qui es de dimension n+. De plus, T n a n+ valeurs propres disinces deux à deux. On en dédui que T n es diagonalisable. 7. a D après la quesion 6, on a Te = e donc T id E e = E. Par conséquen, KerT id E n es pas rédui à { E }. 4

5 b Comme f es dans KerT id E, pour ou x [;], f x +f x+ = fx En appliquan cee égalié à x, on obien x x + f +f = m d où f x + Or m éan le minimum de f sur [;], on a f m d où x f m Or m f x. On en dédui f x = m x x = m f x + c Monrons par récurrence que pour ou n N, f n = m. L égalié es immédiae par définiion pour n =. x Soi n N. Supposons f n = m. On applique alors le résula de la quesion 7.b à x qui vérifie n bien l égalié demandée. On obien ainsi x f n x = m d où f n+ = m Par conséquen, n N f x n = m. d La foncion f es coninue sur [;] e x n. En passan à la limie dans l égalié démonrée à n + la quesion 7.c, on obien m = f. e On applique ici l égalié à x. On obien x x + x x + f +f = M d où f = M f x + Or M éan le maximum de f sur [;], on a f M d où x f M x x Or M f. On en dédui f = M Par une récurrence du même ype que celle réalisée à la quesion 7.c, on monre alors que pour ou x n N, f = M. Par coninuié de f en passan à la limie dans cee égalié, on obien f = M. n f On a démonrée aux quesions 7.d e 7.e que m = M = f. Or m = min x [;] On en dédui La foncion f es consane sur [;]. 8. a On noe D co l ensemble de définiion de la foncion co. On a pour x R, x D co sinπx k Z, πx πk k Z, x k x D fx e M = max x [;] fx. La foncion co es donc définie sur D. Elle y es coninue comme quoien de foncions coninues don le dénominaeur ne s annule pas. 5

6 Pour ou x D, x D e La foncion co es donc impaire. Pour ou x D, x+ D e co x = π cos πx sin πx = πcosπx sinπx = cox cox+ = π cosπx+π sinπx+π = π cosπx sinπx = cox La foncion co es donc périodique de période. π b cosπx donc cosπx. Comme πx, alors sinπx πx. D où, cox x x x x x πx puis cox x x De plus, pour ou x, cox x = xπcosπx sinπx. On a xsinπx πx. De plus, au xsinπx x voisinage de, cosπx = π x + ox e sinπx = πx π3 x 3 + ox 3. D où, 6 Ainsi, cox x x π x 3. c cox = cox x x xπcosπx sinπx = πx π3 x 3 πx+ π3 x 3 6 car x x. On a égalemen, cox x x π 3 x. + ox 3 x π3 x 3 3 d Soi x D. Si x/ / D, alors x = p avec p Z d où x / D e c es absurde. De même si x+ / D, alors il exise p Z el que x = p e x / D, ce qui es absurde. Dès lors, x x+ D e D. E, pour ou x D x x+ cos π co +co = π x cos π x sin π x +π + π cos π x πx sin sin π x + π = π sin π x π πx cos x x+ cos π Ainsi, co +co = π x sin π x sin π x cos π x x x+ D où, co +co = π cosπx sinπx = cox à l aide des formules de duplicaion. 9. a Soi x D. Soi N. On calcule I N = N n= n x n+ x + N n= n x+ n+ x+ N = n=n x + N n=n x N n=n+x N n=n++x N = k=3k x N+ k=4 k+x 6

7 en regroupan les ermes d indices pair e impair dans les sommes. Alors, N I N = k=3 k x N k +x k=3 + 3+x N ++x En faisan endre N vers + dans cee expression, il vien x x+ g +g = gx+ 3+x x + +x De plus, E, x x+ x x+ + + x + = x x + +x + x+ = x+ x + 3+x Avec la formule de la quesion 3.b., on rouve alors x x+ ϕ +ϕ = x x + gx = ϕx x+ b La foncion ϕ co es coninue sur ];[ e périodique. Pour x D, ϕx cox = ϕx x cox. Or, d après la quesion 8.b, cox x x e x ϕx x d après la quesion 4.a. On en dédui que ϕx cox e on prolonge ϕ co x par coninuié en en posan ϕ co = Pour x D, ϕx cox = ϕx x cox. Or, d après la quesion 8.b, cox x x e ϕx x x x on prolonge ϕ co par coninuié en en posan ϕ co =. On conclu x d après la quesion 4.a. On en dédui que ϕx cox x e La foncion ϕ co se prolonge par coninuié sur [ ; ]. c La foncion ϕ co es donc coninue sur [;]. De plus, d après les quesion 8.d e 9.a, Tϕ co = ϕ co donc ϕ co KerT id E. D après la quesion 7.f, la foncion ϕ co es alors consane sur [;]. Comme elle vau en, on a pour ou x ];[, ϕx = cox. La deux foncions éan périodiques de période, on conclu :. a Pour ou x D, b Soi x ];[. xcox x = δx x x = x D ϕx = cox x cox x π x x 6x π x 6 xcox Ainsi, lim x x = π 6. n= Or, + x x x = +x + x x n x n + x x x 7 n= = d où

8 δx x x = n= n x n x = n n x Pour ou x ];[ e pour ou n, n x n > donc < en dédui n= x δx x = x n n x x n n n= n= x n n x x n n. On c La foncion x n=n x éan paire, il suffi de calculer la limie pour x +. On uilise l inégalié éablie à la quesion.b. x + n n n= x + Par héorème d encadremen, on a ainsi δx x x. Or, pour x ];[, x + E, x δx = δx x x + x x x. D où, par héorème d opéraions, δx. On en dédui x + x + lim x + n x = lim x n x = n d Pour x D, Or, ϕx = cox d où dédui Par unicié de la limie n= n x = x n= n= n= x ϕx = xϕx x n x = xcox x. D après la formule éablie à la quesion.a, on en n= lim x n= n x = lim x n = π 6 n= xcox x Parie III : Développemen eulérien de la foncion sinus. Soi x [;[. x /n. Alors α x nx n + n + n. Par comparaison avec le g posiif x /n d une série convergene, on en dédui que la série α n x es absolumen convergene, donc convergene.. a Soi N N. Par linéarié de l inégrale, = π 6 N n=n d = N n= n d = N [ lnn ] x n= = N ln x 8 n= n

9 Donc, N n d = β N x. n= b La foncion ϕ es coninue sur ];[ d après la parie I, d après le héorème d opéraions. De plus, d après la quesion I.4.a, la foncion ϕ es prolongeable par coninuié en. On en dédui que pour x ];[, l inégrale ϕ d converge. c Soi x ];[. ϕ d N n=n d = n d n=n+ n=n+ n d Or, pour ou [;x], x donc pour ou n N +, < n n d où < n n. D où, Or, ϕ d d = x. On en dédui ϕ d N n d n= n= n=n+ N n d n=n+ d n n d Soi x ] ; [. D après les quesions précédenes, on en dédui pour ou N, ϕ d β N x n=n+ n La série de erme général n éan convergene, n=n+n. De plus, β Nx N + N + βx. On en dédui d après le héorème d encadremen e l unicié de la limie βx = ϕ d e Soi x ];[. D après la quesion II.9, on a pour ou y ];x[, Or, sinπy πy en dédui sinπy d où ln y πy y ϕ d = βx = y π cosπ y sinπ d y d = [lnsinπ] x y [lnπ]x y sinπx = ln πx ln sinπy πy. En passan à la limie dans l expression précédene, on ϕ sinπx d = ln πx 9

10 3. a Soi x [;[. Pour ou n e pour ou k, x /k > donc P n x >, d où lnp n x = lnπx+ n ln x = lnπx+β n x. La suie β n x convergean, on en dédui par somme que k= k la suie lnp n x converge. On en dédui que la suie P n x n es convergene. b Soix ];]. La foncion ln éan coninue sur];+ [, en passan à la limie dans l égalié précédene, il vien lnpx = lnπx+βx D où, Px = πxexpβx = sinπx c Soi x R. Il exise n N el que pour ou k n, x x < d où >. De la k k même manière qu à la quesion, on monre que la série ln x k n k converge. Dès lors la suie N x k converge. En la muliplian par un nombre fini de ermes, il vien que la suie k=n N n P n x n converge. d Soi n N e x ] n;n[. P n x+ = πx+ n x+ k= = πx+ n k k= k n k x k= n k++x k= = πx+ n n+ x k x k +x n k k= k= k= = πx+n+ x n x n x k k= = x+n+ P n x n x e Soi x R. D après la quesion précédene, pour ou n x +, P n x+ = x+n+ P n x n x x+n+ n x n +. En passan à la limie dans l expression précédene, on obien Px+ = Px Pour ou x R, Px+ = Px+ = Px La foncion P es alors -périodique sur R. f Soi x [ ;[, alors x+ [;[. Donc Px + = sinπx + = sinπx d après la quesion 3.b. De plus, d après la quesion 3.f, Px = Px+ = sinπx. On a donc monré que pour ou x [ ;[, Px = sinπx. La foncion P es -périodique sur R ou comme la foncion x sinπx. On en dédui alors Pour ou x R, Px = sinπx.

11 Parie IV : Un aure développemen du sinus 4. Soi x D {}. Pour ou n, n x x donc ν n x exise. De plus, ν n x. Par comparaison n + n avec le muliple d une série de Riemann convergene, la série de g ν n x es absolumen convergene, donc convergene. 5. Soi n N. Soi x D {}. Les foncions cosx e sinn n [ λ n x = cosx sinn n ] π son de classe C sur [;π]. Par inégraion par paries, il vien x + n sinxsinnd = x sinx sinnd n Les foncions sinx e cosn son de classe C sur [;π]. Par inégraion par paries, il vien n λ n x = x [ sinx cosn ] π + x x n n n n cosxcosnd = x sinπx n n + x n λ nx Dès lors, λ n x = sinπ n x n x = sinπxν n x En uilisan la formule indiquée dans l énoncé, on pouvai procéder auremen. λ n x = cosx+nd+ cosx nd = [ ] sinx+n π + [ ] sinx n π x+n x n = n sinxπ sinxπ + n x+n x n = n sinπx x n x n+x+n = n xsinπx n x 6. Soi R e n N. a C n = n k=e ik + n e ik. Pour pπ avec p Z, e i e e i, d où k= C n = eieni e i + e ie ni e i De plus, = ein+/sinn/ sin/ + e in+/sinn/ sin/ = cosn+/ sinn/ sin/ On en dédui que sinn+/ sin/ = sinn+/cosn/+cosn+/sinn/ sinn + / cosn/ + sinn/ cosn + / = cosn+/sinn/ C n = sinn+/ sin/ b Si = pπ avec p Z, pour ou k N, cosk = donc C n = n.

12 c Par linéarié de l inégrale, I n = n k= [ coskd = n sink k 7. Les foncions F e cosn+/ éan de classe C sur [;π], en inégran par paries, on obien n+/ [ Fsinn+/d = F cosn+/ ] π π + F cosn+/d n+/ n+/ La foncion F éan de classe C, elle es bornée sur [;π] par un réel M > de même que sa dérivée F par M > e que la foncion cosn+/ qui es bornée par. On a donc k= ] π = Fsinn+/d M +πm n+ Or, M +πm n+ n +. D où, d après le héorème d encadremen, Fsinn+/d n + 8. a La foncion Φ x es de classe C sur ];π] comme quoien de deux foncions de classe C don le dénominaeur ne s annule pas. Au voisinage de +, comme x e /, on a Φ x + x + x On en dédui au voisinage de + Φ x = x +o. Or, Φ x =, on en dédui que Φ x es coninue en e dérivable en avec Φ x = x. Or, pour ou ];π], Φ xsin/sinx /cos/cosx x = sin / On déermine un équivalen de cee expression en considéran des développemens limiés d ordre du numéraeur e du dénominaeur. On obien au voisinage de +, xsin/sinx /cos/cosx = x + x 4 +o = x 4 +o x D où, Φ x 4 4 que x x = Φ x. La foncion Φ x es donc coninue en e on en dédui La foncion Φ x es de classe C sur [;π]. b Soi ];π]. D après la quesion 6.a, on a direcemen C n cosx = cosx + Φ xsin n+ De plus, d après la quesion 6.b, C n = n donc C n cosx =. De plus,

13 On a donc le résula voulu aussi pour =. cosx + Φ xsin n+ = c Soi n N e soi x D. Par linéarié de l inégrale, n λ k x = k= cosxc n d En uilisan la quanié I n, on a encore avec la quesion 8.b n λ k x = k= C n cosx d+i n = cosx d+ = sinπx + π x + Φ x sin Φ x sin n+ n+ d+i n d+i n 9. a Soi x D. Parons de l expression éablie à la quesion 8.c. Pour ou n N, I n =. De plus, la foncion Φ x éan de classe C sur [;π], on en dédui d après la quesion 7 que De plus, d après la quesion 5, pour ou n N, Or, Φ x sin n+ d n + n λ k x = sinπx n ν k x k= n ν k x ψx. Dès lors en passan à la limie dans l expression éablie à la quesion 8.c, k= on obien n + k= ψxsinπx = sinπx x b Soi x D. On a donc sinπx. En divisan l expression de la quesion précédene par sinπx, on obien ψx = x + π sinπx + π D où, π sinπx = x +x n= n n x 3