Feuille d exercices n o 19

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1 Mahémaiques spéciales Feuille d eercices n o 9 Eercices basiques a. Convergence e calcul d inégrales Eercice 5. ln. sin e d 4. ( e ln e Eercice. e ( cos. e + Eercice ln. + e ln ln ( d Eercice 4. Pour α, β R, on souhaie déerminer la naure de e d α (ln β. On suppose α > En comparan avec une inégrale de Riemann, démonrer que l inégrale éudiée es convergene.

2 . On suppose α = Calculer, pour X > e, X d. En déduire les valeurs de β pour e (ln β lesquelles l inégrale converge. On suppose α < En comparan à /, démonrer que l inégrale éudiée diverge. Eercice 5. Soi f : [, + [ R une foncion coninue. On suppose que f( converge, e soi ( n e (y n deu suies endan vers +. Démonrer que y n n f( end vers.. En déduire que l inégrale e sin diverge. Eercice 6. Monrer que les inégrales impropres souhaie prouver que la foncion sin diverge.. Méhode Prouver que, pour ou R, sin Méhode. Prouver que, pour ou k N, (k+π kπ Rerouver alors le résula. sin e cos n es pas inégrable, c es-à-dire que sin (k + π son convergenes. On cos. En déduire le résula. π sin. sin Eercice 7. Après en avoir jusifié l eisence, calculer par récurrence la valeur de I n = (ln n d. Eercice 8. Monrer que ln + =.. Soi a >. Calculer ln + converge, puis, avec le changemen de variables u = /, que ln a +. Eercice 9. Soi f une foncion coninue bornée sur [, + [. Démonrer que les inégrales. Démonrer qu elles son égales. Applicaion : pour n, calculer f( + d e f(/ + d son convergenes. d (+ (+ n e n (+ (+ n d.

3 Eercice. Démonrer la convergence de ( arcan( + arcan( d. X+. Démonrer que lim X + arcan(d = π X. Calculer arcan(d. 4. Calculer ( arcan( + arcan( d Eercice Soi f une foncion coninue par morceau sur [, + [. On suppose que f es inégrable sur [, + [. Démonrer que + f( +. Eercice. Soi f : [, + [ R une foncion de classe C elle que f e f soien inégrables sur [, + [. Démonrer que f end vers en +. Eercice Soi f : [, + [ R une foncion coninue. On suppose que f( =. Démonrer que. Déerminer lim + b lim + a f( =. b f( a si on ne suppose plus que f( =. Eercice 4. Déerminer la limie, lorsque +, de sin. Eercice 5. Donner un équivalen de arcan lorsque end vers +. b. Convergence Dominée e Inégraion erme à erme 3

4 Eercice 6. Déerminer la limie, lorsque n end vers +, des suies suivanes : ( π/4 (an n ( f( n, f : [, ] R coninue. (. + n Eercice 7. Pour e n, on pose f n ( = ( + n n. Démonrer que, pour ou, f n ( e e que f n ( e.. En déduire, pour b >, la limie de ( + n n e b d. Eercice 8. (a Démonrer que (b En déduire que + n= n ( d = + k= ( k+ = ln. k d +.. En calculan de deu façons + n= ( n n ( d, déerminer la valeur de la somme + n= ( n (n + (n +. Eercice 9. Soi (a n une suie de nombres complees elle que n a nn! converge absolumen. Démonrer que ( e a n n d = a n n!. n= n=. Eercices d enraînemen a. Convergence e calcul d inégrales 4

5 Eercice. Discuer, suivan la valeur de α R, la convergence des inégrales suivanes : ln ( +. α α ln ( + e α d Eercice. ( a d, a R. 4. ( ( + ln + e ( e. Eercice. Soi f : [, + [ R une foncion coninue e s R els que f(e s converge. Soi F une primiive de f(e s sur [, + [. Démonrer que F es bornée sur [, + [.. En déduire que, pour ou s > s, f(e s converge. Sur le même modèle, démonrer que si g : [, + [ R es une foncion coninue elle que g( converge, alors g( converge. Eercice Soien < a < b. Jusifier la convergence de e a e b.. Soien < < y. Démonrer que y e a e b = Démonrer que, pour ou réel z >, b e a by e ay. En déduire que e bz ln b a bz az e e az ln b a. e a e b = ln b a. 5

6 Eercice 4. Le bu de l eercice es de prouver la relaion suivane : ln = Prouver la convergence de l inégrale. lim n n + k= (k +.. Monrer que, pour ou enier k, l inégrale I k = k ln converge, puis calculer I k. Monrer que, pour ou enier n, n k= (k+ = ln n+ ln. 4. Démonrer que la foncion ln se prolonge par coninuié en e en En déduire qu il eise une consane M >, qu on ne cherchera pas à calculer, elle que, pour ou ], [, ln M. 5. En déduire que lim n + n+ ln =, puis la relaion demandée. Eercice 5. Jusifier la convergence e calculer la valeur des inégrales suivanes : ln. sin(e a, a >. e Eercice 6. Soi f : [a, b[ R + coninue e croissane. On noe S n = n k= b a n f ( a + k(b a On suppose que b a f( converge. Monrer que la suie (S n converge vers b a f(.. On suppose que b a f( diverge. Monrer que la suie (S n end vers +. n. Eercice 7. Soi f une foncion coninue de carré inégrable de [, + [ dans R. Prouver que, pour ous a b, on a b a f( ( / b b a f (. a. En déduire que lim + f( =. 6

7 b. Convergence Dominée e Inégraion erme à erme Eercice 8. Soi f : R + R une foncion coninue e bornée. On pose I n = n f(e n d. Déerminer l = lim n + I n.. On suppose de plus que f es C, de dérivée bornée, e vérifie f (. Déerminer un équivalen de l I n. Eercice 9. On pose, pour n, Déerminer l = lim n + I n. I n =. Déerminer un équivalen de l I n. + n. Eercice 3. Démonrer que e = n n.. Plus généralemen, démonrer que, pour ous a, b >, on a e a + e b = (a + bn. n= Eercice 3 Démonrer que cos( e d = + n! n= ( n (n!. 7