Mathématiques, Semestre S1

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1 Polytech Pris-Sud PeiP1 2011/2012 Notes de cours Mthémtiques, Semestre S1 Filippo SANTAMBROGIO

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3 Tble des mtières 1 Les fonctions dns R et leurs limites Fonctions réelles d une vrible réelle Qu est-ce que c est? Définir une fonction pr des formules Limites finies en un point x 0 de R Voisinges, ouverts, dhérence, fermés Définition de limite Propriétés Unicité, gendrmes Quelques résultts utiles Opértions sur les limites Limites infinies et en l infini Voisinges de l infini Définition et opértions Limites infinies Continuité Définition et premières propriétés des fonctions continues Quelques théorèmes utiles Les gros théorèmes sur les fonctions continues Le théorème des vleurs intermédiires (TVI) Mxim et minim Les fonctions réciproques et leur continuité Bijections et fonctions réciproques Injectivité, monotonie et continuité Fonction réciproques fondmentles Dérivées et fonctions dérivbles Dérivée en un point et interpréttion géométrique Fonctions dérivbles sur un intervlle Extrem et points critiques Rolle, TAF et pplictions

4 4 Dérivées et développements limités Dérivées d ordre supérieur Formule de Tylor et dévéloppements limités Exemples et pplictions Clculs de DL et de limites Minim, mxim et DL Intégrles Fonctions Intégrbles Des clsses de fonctions intégrbles Fonctions monotones L intégrbilité des fonctions continues et l uniforme continuité Le théorème fondmentl du clcul et l IPP Méthodes de clcul de primitives et intégrles Intégrles sur des intervlles spéciux (symétrie, périodicité) Intégrtion pr prtie : récurrence et ruses spéciles Des cs simples Chngement de vrible d intégrtion Fonctions rtionnelles Fonctions rtionnelles de fonctions trigonométriques Applictions des intégrles ux développements limités Courbes prmétrées plnes Générlités Vecteur vitesse et tngente Distnce prcourue entre deux instnts Exemples de trcés - Coordonnées crtésiennes x(t) = t 2, y(t) = t 3, t R Courbes prmétrées en coordonnées polires Courbes en polires : générlités Un exemple : l crdioïde : r = 2(1 cos θ) Fonctions réelles de deux vribles Générlités Fonctions, ensemble de définition Compositions Représenttions grphiques Limites et continuité Boules, voisinges, prties ouvertes et fermées Définition Opértions

5 7.3 Dérivbilité DL d ordre Dérivées prtielles Fonctions de clsse C 1 sur un ouvert du pln Dérivées d ordre 2 et DL d ordre Dérivtion des fonctions composées Le théorème des fonctions implicites Recherche d extrem locux et globux Extrem locux et points critiques Conditions suffisntes à l ordre Extrem bsolus

6 Avertissements Ces notes sont de support pour le cours de mthémtiques du premier semestre de l première nnée des élèves ingénieurs de Polytech Pris-Sud. Dns ce semestre, les cours de mths s rticulent en deux prties. Une première prtie, bizrrement ppelée MthsInfo dns l emploi du temps, porte sur l logique, les démonstrtions, les ensembles et les fonctions dns leur générlité, comme introduction à l rigueur mthémtique bstrite. Pour cette prtie, un poly prépré exprès pr S. Lelièvre et P. Pnsu est disponible. L deuxième prtie ( Mths dns l emploi du temps) porte sur les bses de l nlyse mthémtiques des fonctions d une vrible (limites, continuité, dérivées, intégrles...) vec quelques ouvertures ux deux vribles vers l fin. Pour cette 2e prtie, on utilisit trditionnellement le poly prépré pr J.-C. Léger et F. Menous pour l fc de sciences. Or, ce poly ne s dptit ps ux finlités ppliquées d un cours pour ingénieurs, et s ppuyit ussi sur certines notions qui nous sont, mlheureusement, interdites dns ce cours (c est notmment le cs des suites, que vous llez voir u 2e semestre, et du lngge du inf et du sup, bornes inférieure et supérieure, pour ceux qui connissent...). Il étit donc opportun de refire un nouveu poly spécifique à ce cours, et ce poly veut répondre à cette exigence. Tnt qu à fire, j en i églement profité pour modifier certines définitions ou pproches que je préféris chnger (il y, de temps en temps, en mths, des pproches différentes, qu est-ce qu on donne comme définition et qu est-ce que l on démontre ensuite...quelle est l définition meilleure...et on n est ps tout le temps d ccord!). Or, quels sont les vertissements? surtout que ce poly est en construction et que pendnt l nnée je pourris trouver des détils à chnger sur les prties que vous vez déjà reçues. Ces modifictions seront mises en ligne et seront, évidemment, utiles ux étudints des promotions futures. En prticulier il pourrit toujours y voir des futes de frnçis, et je m en excuse. Et, plus que des futes, des expressions qui me prissent tout à fit clires mis que tout frnçis trouverit incompréhensible. N hésitez ps à me les signler, pr e-mil ou en fin de cours. Sinon, le poly se bse surtout sur l ncien poly de Léger et Menous et sur des polys que j vis rédigés pour des cours que j vis donnés illeurs, des cours qui prtgeient vec celui-ci un esprit plus ppliqué. Il peut toujours y voir des erreurs dus u copie-coller mis surtout des problèmes d hrmonistion entre les différentes sources (nottions ou noms des vribles différents...) qui devrient s méliorer u fur et à mesure des corrections. Un dernier mot sur les preuves : bien que le but soit d pprendre des notions pour les ppliquer, l rigueur des mthémtiques reste nénmoins très importnte et il est églement importnt de svoir pourquoi certines choses sont vries. Voilà pourquoi il est importnt de voir les preuves. Mis tous les théorèmes ne trouvent ps de preuve dns ce poly et dns ce cours : si vous trouvez un théorème (ou proposition, lemme, corollire...) sns preuve, c est que s preuve nous demnderit un lngge ou des outils qu on n ps, donc on v l zpper tout en en grdnt l énoncé, qu on pourr utiliser. Il y églement des théorèmes dont l preuve est écrite dns le poly mis qu on ne détiller ps en clsse : si c est sûr dès le début du cours qu une certine preuve ser omise j i indiquée HP (= hors progrmme) ; d utres preuves pourrient être fites ou ps, d près le temps disponible. Dns ce cs, qund le type de risonnement est similire à d utres et le niveu de difficulté ussi, on pourrit pr exemple demnder à les reconstruire pr exercice (mis, ne vous inquiétez ps, un contrôle ne pourr ps se bser que sur ç). 6

7 Chpitre 1 Les fonctions dns R et leurs limites 1.1 Fonctions réelles d une vrible réelle Nous rppelons ici certines des notions qu on déjà vu à propos du concept de fonction en générl, celles qui sont plus spécifiques ux fonctions définies sur des ensembles de nombres réels et à vleurs nombres réels, et on préciser les notions dont on besoin dns le cdre de R Qu est-ce que c est? Commençons pr une définition informelle : nous vons à disposition deux ensembles de nombres réels, deux prties de R, l ensemble de tous les nombres réels, D et A. Une fonction, f, de D vers A est un «objet mthémtique» qui, à tout nombre, tout élément de D ssocie ou fit correspondre un unique élément de A. 1. D est ppelé l ensemble de déprt, l source ou le domine de définition de l fonction f 2. A est ppelé l ensemble d rrivée ou le but de l fonction f 3. Si x est un élément de D, on note f(x) l élément de A ssocié à x pr l fonction f. Cet élément f(x) est ppelé l imge de x pr f. 4. Si on écrit «Soit une fonction f : D A...», on entend pr là «Considérons une fonction f, dont l ensemble de déprt est D et l ensemble d rrivée est A», et, à moins que ce ne soit précisé ultérieurement, cette fonction n ucune propriété prticulière hormis le fit d être un objet qui stisfit à notre définition informelle. L fonction f est «de vrible réelle» cr le domine dns lequel vrie son rgument, s source, est une prtie de R. Elle est «à vleurs réelles» cr son but est une prtie de R. Si on écrit «Soit l fonction f : [0, 1] R définie pr f(x) = 2x 2 1 pour tout x [0, 1]», on considère un objet mthémtique uniquement défini : l fonction f, dont l ensemble de déprt est l intervlle [0, 1], l ensemble d rrivée est R tout entier, qui ssocie à tout élément x de [0, 1] l unique nombre réel clculé pr l formule ci-vnt. On doit souligner que si f : D A est une fonction, si x est un nombre n pprtennt ps à D lors f(x) n est ps défini. Dns l exemple précédent f(2) n donc ps de sens même si en un. 7

8 Grphes Plçons-nous dns le contexte précédent. Soit f : D A une fonction réelle de vrible réelle. Son grphe est l prtie G de l ensemble-produit 1 D A définie pr G = {(x, f(x)), x D} = {(x, y) D A, y = f(x)} G est donc l ensemble de tous les couples possibles formés d une vleur x prise dns D et de son imge f(x). G est une prtie de l ensemble D A qui est lui-même une prtie de R R = R 2. On représente grphiquement (une prtie de) R 2 sur une feuille qudrillée de l fçon que vous connissez bien : le couple de réels (x, y) est représenté pr le point de coordonnées (x, y) reltivement u qudrillge. L usge veut que l xe des bscisses (coordonnée x) soit représenté horizontlement, orienté de l guche vers l droite et que l xe des ordonnées (coordonnée y) soit représenté verticlement, orienté du bs vers le hut. Certines situtions peuvent forcer à dopter d utres conventions. En retournnt notre mnche, on peut mintennt préciser l «objet mthémtique» dont nous prlions dns l définition informelle de fonction. Définition Soient D et A deux prties de R, une fonction f de D vers A est une prtie G de D A ynt l propriété suivnte : Pour tout x D, il existe un unique y A tel que (x, y) G. L stuce réside en ceci, qu étnt donnée une telle prtie G, on peut définir, pour x D, f(x) comme étnt l unique y A tel que (x, y) G. On lors défini sns mbiguïté une fonction f : D A. Il s vère posteriori que G est le grphe de f. Ce que dit l définition, c est très exctement qu une fonction f, c est son grphe. L usge montre cependnt qu utiliser le grphe de l fonction est ssez mlcommode lors que l nottion f(x) est très prlnte. Composition L opértion l plus importnte que l on puisse réliser vec deux fonctions est leur composition : On dispose de deux fonctions f : A B et g : C D. Si pour tout élément x de A, f(x) (qui est élément de B coup sûr) pprtient à C, on peut lors clculer g(f(x)). On peut donc ssocier à tout x A, g(f(x)) D et donc définir une nouvelle fonction, notée g f, dont l source est A et le but est D. En résumé, si f : A B et g : C D sont deux fonctions, l composée g f : A D est définie pr (g f)(x) = g(f(x)), x A Cette définition n de sens que si f(x) C, l source de g, pour tout x A, l source de f. Dès que l on écrit une formule imbriqunt des fonctions élémentires, on est en trin de fire un certin nombre de compositions Définir une fonction pr des formules L fçon l plus usuelle de définir une fonction d une vrible, disons x, est d utiliser un dictionnire de fonctions élémentires (exp, ln, cos, etc.), les opértions usuelles de l rithmétique, 1. D A est l ensemble de tous les couples (x, y) pouvnt être formés vec une vleur x dns D et une vleur y dns A. 8

9 et de combiner tout ceci en une formule comportnt l vrible x et pouvnt être clculée pour certines vleurs de cette vrible. Exemples et remrques L locution Soit f : [ 1, 1] R l fonction définie pr f(x) = exp(x 2 + 3) pour tout x [ 1, 1] définit prfitement l fonction f. On f(0) = e 3, f(1) = e 4, etc. Pr contre f(2) n est ps défini même si l formule définissnt f un sens lorsque x = 2 : on imposé que le domine de définition de f soit l intervlle [ 1, 1]. L formule doit, d une prt, être syntxiquement correcte et d utre prt, on doit être en mesure d identifier les vleurs de l vrible x pour lesquelles le clcul ne peut boutir. Les risons pour lesquelles ce clcul ne peut boutir sont pr exemple, une division pr 0, l prise du logrithme d un nombre négtif C est ce type de problème qui nous menés, plus hut, à donner une condition sur les fonctions f : A B et g : C D pour que l composée g f soit bien définie sur tout A. Déterminer l ensemble de définition d une telle formule, c est identifier les vleurs de l vrible x pour lesquelles le clcul boutir. C est ussi, en un certin sens, identifier le domine source de l fonction que nous sommes en trin de définir. Ce type de question mène souvent à l résolution, en cscde, d une suite d équtions et/ou d inéqutions en se bsnt sur le principe que f(g(x)) n est défini pour une certine vleur de x qu à prtir du moment où, à l fois, y = g(x) est bien défini et f(y) est bien défini. 3. On veut définir une fonction g à vleurs réelles sur un certin domine D de R pr l formule g(t) = ln(t 2 1), pour tout t D L question pertinente est «Quel est le plus grnd domine D possible sur lequel on peut définir cette fonction g?» Pour que g(t) soit défini, il fut (et il suffit) que { et () t2 1 > 0 cr le domine de définition de ln est ]0, + [. (b) ln(t 2 1) 0 cr le domine de définition de est [0, + [. On tombe donc sur un système d inéqutions d inconnue t R qu il fut résoudre. Ce système est équivlent à { et () t > 1 ou t < 1 (b) t cr ln X 0 si et seulement si X 1 c est-à-dire { () t > 1 ou t < 1 et (b) 2 t 2 Pour résumer, on donc D = [ [ ] 2, 1 1, ] On peut utiliser des définitions pr morceux. On pose l même question que précédemment en voulnt définir g sur un domine D de R pr l formule, pour tout t D, { ln(t g(t) = 2 1) si t > 0 tn t si t ] π, 0[ Pour que g(t) soit défini, il fut (et il suffit) que { et () soit t > 0 et ln(t 2 1) est bien défini (b) soit t ] π, 0[ et tn t est bien défini 9

10 c est-à-dire { et () soit t > 0 et t (b) Soit t ] π, 0[ et t π 2 [ [ ] 2, 1 1, ] 2 (on se sert ici de l exemple précédent) En résumé, le domine D cherché est ] D = π, π [ ] [ π ] 2 2, 0 1, ] 2 (quel est le domine de définition de l tngente?) Les fonctions usuelles plus utiles Nous rppelons ici le rôle joué pr certines fonctions (ou formules) qu on rencontrer souvent, et qu on déjà rencontrées dns ce chpitre. Les polynomes : c est peut-être les expressions qu on connit le mieux, celles où l on prend l vrible x et on en clcule une puissnce entière x n = x x x (où le produit n fcteurs, tous égux à x) ; si ensuite on prend plusieurs de ces expressions, on les multiplies fois des coefficients et on les joute, on trouve un polynome, de l forme, x + 2 x n x n (les coefficients i étnt des nombres réels). Les rcines et les puissnces rtionnelles : que signifie-t-il x 1/n? il signifie qu on prend le nombre tel que, élevé à l puissnce n, on retrouve x, c est-à-dire n x, pour respecter les propriétés des puissnce et fire en sorte que (x 1/n ) n = x. Ce nombre n est ps bien défini tout le temps : si n est impire ucun problème, pour tout x il existe unique un nombre y tel que y n = x, mis si n est pire 1) cel mrche juste pour x 0 2) pour tout x > 0 il y même deux nombres (de signe opposé) vec cette propriété. On choisit lors, pr convention, d indiquer pr n x celui qui est non-négtif, et cette expression n un sens que si x 0. Et que signifie-til x p/q (puissnces rtionnelles)? il signifie juste q x p. Pour éviter des problèmes de définition on préfère dire que cel n est défini que pour x > 0. Pourquoi? prce qu on voudrit bien que x 1/3 désigne l même quntité que x 2/6. Or, l deuxième, s gissnt d une rcine sixième (et 6 étnt pire) donne toujours un résultt positif, et elle est même définie si x < 0 prce que de toute mnière on prendr l rcine sixième de x 2. Ceci ne colle ps vec le comportement de x 1/3, mis il n y ps d mbiguité si on s limite à x 0. Et pourquoi ps x = 0? prce que ç poserit des problèmes pour p < 0 (et si on considère que p/q = ( p)/( q), ç poserit toujours des problèmes). Les exponentielles : Tout d bord prlons de x α, vec α R. considérons x > 0 : lors on peut toujours définir x r pour tout r rtionnel. Pr une procédure de limite, qu on ne définit ps ici, en prennt des rtionnels r qui pprochent α, on peut définir x α ussi (comme l limite des puissnces rtionnelles qund les exposnts ont α comme limite). Cel nous permet de définir toutes les puissnces vec bse positive et exposnt quelconque. Alors on peut églement mettre le x en hut et considérer x (vec > 0). Prmi toutes les fonctions de ce type 2 x, 3 x, x...il y en une spécile : c est e x, qui est souvent ppelée LA fonction exponentielle et on écrit ussi exp(x). Ce nombre e = 2, est un nombre irrtionnel qui plusieurs propriétés, dont une est le fit que l dérivée (on verr ensuite de quoi l on prle) de l fonction e x est elle-même 2, c est-à-dire c est encore l fonction e x. Ce même nombre est ussi l limite (là ussi, on en prler dns ps longtemps) de (1 + x) 1/x lorsque x > 0 pproche 0. L fonction e x est strictement croissnte (ce qui est le cs de toute fonction x pour > 1, prce qu on prend un nombre plus grnd que 1 et on l élève à x, donc si x ugmente le résultt ugmente, u contrire de ce qui se psse pour des petits) et elle est donc inversible. Son inverse s ppelle le logrithme mis on en prler ensuite. 2. et cel est à l bse de plein de blgues mtheuses sur les fêtes des fonctions ou similires, que vous connissez sns doute 10

11 Sinus et cosinus : Ces deux fonctions ont une origine géométrique : prenez un cercle de ryon 1 centré en (0, 0) dns le pln ; bougez dns le sens contrire des iguilles d une montre en prcournt une longueur x à prtir du point (1, 0) (pr exemple, si vous prenez x < 2π vous n vez ps terminé un tour complet, pour x > 2π vous pouvez éventuellement fire plusieurs tours) ; regrdez où vous rrivez et ppelez cos x (cosinus de x) l bscisse du point où vous êtes rrivées et sin x (sinus de x) son ordonnée. Ceci est une définition géométrique, qui montre bien que ces fonctions sont périodiques (si vous rjoutez 2π à x vous ne fites que rjouter un tour, ce qui ne chnge ps votre point d rrivée). Elle cche d utres propriétés, dont probblement l plus importnte est le fit que, si x tend vers 0, lors sin x/x tend vers 1 : on peut s en convincre ussi pr cette définition, si nous considérons que pour x très petit le déplcement qu on fit est petit mis surtout presque verticl ; il est donc vri que l distnce prcourue et l ordonnée d rrivée sont presque l même chose. D utres fonctions trigonométriques : Avec sinus et cosinus on peut construire ensuite plein d utres fonctions, dont l plus importnte est l tngente : tn x := sin x/ cos x. Seul problème : diviser pr 0. L tngente ser donc définie sur les points où cos x 0 seuls, c està-dire en tout point suf ceux de l forme π/2 + kπ vec k entier (prce qu vec π/2, i.e. un qurt de tour, on rrive vec bscisse nulle, et cel reste vri en rjoutnt un nombre entier de demi-cercles). D utres fonctions, et notmment les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques, et ben sûr le logrithme, seront importntes ussi, mis on v les présenter qund on prler un peu plus en détils des fonctions réciproques. 1.2 Limites finies en un point x 0 de R L notion de limite est à l bse de l nlyse. Nous llons rppeler les résultts vus en Première et Terminle et préciser quelques notions Voisinges, ouverts, dhérence, fermés On commence pr une définition essentielle pour les limites. Définition Un ensemble V R est un voisinge d un point x 0 R s il existe un intervlle du type ]x 0 h, x 0 + h[, vec h > 0, contenu dns V. Exemples et remrques Un intervlle ], b[ est voisinge de chcun de ses points 2. ]0, 1] est voisinge de tout x 0 ]0, 1[. Il n est ps voisinge de Soit A = R. A est voisinge de x 0 si x 0 0. A n est ps voisinge de 0. L notion de voisinge est utile pour définir ce qu un point dhérent à un ensemble. Définition Soit A R un ensemble quelconque et x 0 R. On dit que x 0 est dhérent à A si pour tout voisinge V de x 0 il y un point y A V. Exemples et remrques y = x 0 ). 1. Tout point x 0 A est dhérent à A (il suffit de prendre 2. Être dhérent à A ne signifie ps forcément pprtenir à A, mis plutôt être collé à. Notmment les bornes d un intervlle ouvert sont dhérentes à ce même intervlle. 3. Les points d dhérence de Q sont tous les points de R. Tnt qu à fire, on peut églement donner l définition d ensemble ouvert et d ensemble fermé, deux définitions qui vont être importntes à plusieurs reprises. 11

12 Définition Soit A un sous-ensemble de R. On dit que A est ouvert si il est un voisinge de tous ses points : utrement, dit, si pour tout x A il existe un ryon r > 0 tel que ]x r, x+r[= {y R : x y < r} A. On dit que A est fermé si son complémentire est ouvert. Exemples et remrques L définition d ensemble ouvert générlise l notion d intervlle ouvert ( sns ses bornes ) à des ensembles qui ne sont ps des intervlles). Une réunion de plusieurs intervlles ouverts est ouverte, pr exemple, et cel vut ussi pour les réunions infinies. 2. L ensemble A =]0, [ n est ps fermé cr son complémentire n est ps voisinge de x 0 = 0. Pr contre l ensemble A = [0, [ et plus en générl tout intervlle ou demi-droite qui inclut ses points extremux est fermé. 3. Il ne fut ps penser que tout ensemble est soit ouvert soit fermé : pr exemple l ensemble [0, 1[ n est ni ouvert ni fermé et l ensemble vide est en même temps ouvert et fermé (et R ussi). L notion d ensemble fermé est en effet liée à l notion de points d dhérence. En effet, notons Ā l ensemble des points d dhérence de A : Nous vons lors Ā = {x R : V voisinge de x on V A }. Proposition Pour tout A R, l ensemble Ā est le plus petit ensemble fermé contennt A. En prticulier, un ensemble A est lui même fermé si et seulement si Ā A, c est-à-dire si et seulement s il contient tous ses points d dhérence. Démonstrtion. HP Il fut d bord montrer que Ā est fermé. Prenons son complémentire : c est l ensemble des points x tels qu il existe un voisinge V de x vec V A =. Or, pr définition de voisinge, il y un h > 0 tel que ]x h, x + h[ V et V est églement un voisinge de tout point y ]x h, x + h[. Donc ]x h, x + h[ est inclus dns le complémentire de Ā ussi, qui est donc ouvert (prce que pour tout x Ā il y h > 0 tel que ]x h, x + h[ est inclus dns ce complémentire. Il fut ensuite montrer que c est le plus petit fermé contennt A. Soit lors F un fermé contennt A. Prenons x F c (dns le complémentire de F ). F c est ouvert donc c est un voisinge de x. Mis F c F = donc, fortiori F c A = (cr A F ). Alors F c est un voisinge de x disjoint de A, donc x / Ā. Cel montre que tout point de Ā doit pprtenir à F, et donc Ā F. Mis lors c est vri que Ā est le plus petit fermé contennt A. L deuxième prtie suit fcilement : A est fermé si et seulement si il coïncide vec le plus petit fermé qui le contient, donc vec Ā. Mis comme il est toujours vri que A Ā on peut églement dire que A est fermé si et seulement si Ā A Définition de limite Définition Soit l R, f : D R et x 0 un point d dhérence de D. On dit que f dmet l limite l en x 0, ou que l limite de f(x) lorsque x tend vers x 0 (sous-entendu et x D ) est l si Pour tout voisinge V de l, il existe un voisinge U de x 0 tel que, pour tout x U D, f(x) V. 12

13 On note ce fit lim x x0 f(x) = l ou f(x) l lorsque x x 0, ou f(x) x x 0 l. Si on trduit les définitions de voisinge à l ide des intervlles, on rrive à l définition suivnte, équivlente : Pour tout ε > 0, il existe un δ > 0 tel que pour tout x D ]x 0 δ, x 0 +δ[ on f(x) ]l ε, l+ε[, ce qui peut être encore réécrit comme Pour tout ε > 0, il existe un δ > 0 tel que pour tout x D stisfisnt x x 0 < δ on f(x) l < ε. Il est souvent utile de restreindre, dns l définition de limite, l fonction f à un ensemble de définition plus petit. Etnt donné un ensemble B on peut définir l limite lim x x0,x B f(x) en demndnt l condition Pour tout voisinge V de l, il existe un voisinge U de x 0 tel que, pour tout x U D B, f(x) V. Ceci revient à chnger le domine de définition de f en prennt D B u lieu de D (ce qui est toujours possible, de restreindre le domine). Ceci est prticulièrement utile qund on veut pr exemple exclure le point x 0 (prendre B = R \ {x 0 }), pour ignorer l vleur excte prise pr l fonction en ce point, et ne considérer que le comportement de f(x) lorsque x est proche de x 0 en en étnt distinct 3 Dns ce cs on écrit lim x x0, x x 0 f(x) = l. il est utile de remrquer que, souvent, le point x 0 est utomtiquement exclu de l limite prce qu il n pprtient ps u domine D : il est en effet beucoup plus intéressnt déterminer lim x 0 x, où l frction n est ps définie en 0, que de clculer lim x 0 sin x + (3x + sin x 2) 4 e x, limite d une expression prfitement définie en 0, qui donne sin e 0 = 3, sns ucune surprise. il est églement utile de remrquer que, si x 0 D et qu on ne l exclut ps, lors l seule vleur possible de l limite l est bien f(x 0 ) (exercice!!). cependnt, comme on le verr dns l prtie dédiée à l continuité, l première question qu on se pose est justement l limite pour x x 0 est égle ou non à f(x 0 )?, question qu on peut se poser en retirnt ou non le point x 0. En effet (le démontrer pr exercice!!) on peut vérifier que lim f(x) = l lim f(x) = l ET f(x 0 ) = l, x x 0 x x 0, x x 0 et donc pour vérifier que l limite fsse bien f(x 0 ) on peut se contenter de regrder l limite vec B = R \ {x 0 }. considérer l limite d un seul côté (limite guche ou droite) ; ceci revient à prendre B = ]x 0, + [ ou B =], x 0 [. On écrit lors lim x x0, x>x 0 f(x) = l (mis prfois on écrit églement lim x x + f(x) = l) ou lim x x0, x<x 0 f(x) = l ( lim 0 x x f(x) = l). En effet l définition 0 de limite s pplique lorsqu on trville sur une fonction f et que l on s intéresse à l fois à ce qui se psse à droite et à guche de x 0, lors que les limites droites et guches nous permettent de séprer les deux côtés. 3. Dns certins textes celle-ci est l définition de limite en x 0, c est-à-dire celle qui exclut utomtiquement le point x 0. Ce n est qu une convention, ce qui est importnt est de clrifier toujours quels sont les points qu on prend en considértion, et ici nous choisissons de considérer le point x 0 ussi. Il y des vntges et des désvntges dns ce choix, bien entendu. 13

14 Pr exemple f : R + R, x f(x) = x x n ps de limite en 0 mis exhibe une certine régulrité séprément à droite et à guche de 0. En effet, les deux limites à guche et à droite existent, l limite globle non. g : ] 3, + [ R, x g(x) = 3 + x n est définie qu à droite de 3 mis g(x) un comportement régulier lorsque x s pproche de 3 pr l droite. Dns ce cs clculer l limite à droite ou l limite globle, du fit de l intersection vec D, revient u même, mis souvent on préfère préciser qu on ne prle que d une limite en s pprochnt pr l droite. Au niveu de nottion, nous omettons en générl d indiquer l ensemble sur lequel nous prenons l limite, s il coïncide juste vec le domine de l fonction f, suf si ce domine n est ps clire à priori. On ne verr donc ps d écritures lim x x0,x D f(x) = l. Il peut cependnt y voir des exceptions si le domine D est inttendu, n ps été introduit uprvnt et n est ps évident à deviner ; pr exemple : si on considère l fonction f(x) = sin x sur les points x Q uniquement, lors probblement on écrir lim x x0,x Q sin x, juste pour préciser u lecteur le domine. Les notions de limites droite et guche peuvent être utile lorsqu il s git de triter le cs d une fonction définie pr une lterntive du fit du résultt suivnt Proposition Soit f une fonction réelle de vrible réelle définie sur D et x 0 D. Sont équivlentes les propositions suivntes 1. l est limite de f(x) lorsque x x 0, x x 0 2. l est l limite à droite de f(x) lorsque x x 0, mis ussi l limite à guche de f(x) lorsque x x 0. Eglement, les propositions suivntes sont équivlentes 1. l est limite de f(x) lorsque x x 0 2. l est l limite à droite de f(x) lorsque x x 0, mis ussi l limite à guche de f(x) lorsque x x 0, et f(x 0 ) = l. DL à l ordre 0 Proposition Étnt donnée f : D R une fonction définie sur D, x 0 D et l R, f tend vers l en x 0 si et seulement si, il existe une fonction ɛ, définie u voisinge de 0, lim h 0 ɛ(h) = 0 telle que Pour tout x u voisinge de x 0, f(x) = l + ɛ(x x 0 ) Le fit d écrire, pour x voisin de x 0, que f(x) = l+ɛ(x x 0 ) s ppelle effectuer un Développement Limité de f à l ordre 0 en x 0. Nous verrons, u chpitre??, ce qu est un DL de f en x 0 à un certin ordre n N. 1.3 Propriétés Unicité, gendrmes Unicité Proposition Soit x 0 D, l, l R et f : D R une fonction définiesur un ensemble dont x 0 est point d dhérence. Si lors lim f(x) = l et x x 0 lim f(x) = l x x 0 14

15 l = l Démonstrtion. Supposons que l l, on peut lors trouver V et V des voisinges respectivement de l et l tels que V et V sont deux prties disjointes (pr exemple il suffit de prendre deux intervlles du type ]l ε, l + ε[ et ]l ε, l + ε[ vec ε < l l /2). De l définition de f(x) l lorsque x x 0, on tire l existence d un voisinge U de x 0 tel que si x U D, lors f(x) V et, de même, de l définition de f(x) l lorsque x x 0, on tire l existence d un voisinge U de x 0 tel que si x U D, x x 0, lors f(x) V. Puisque U U est encore un voisinge de x 0 (il contient le plus petit des deux intervlles centrés en x 0 qui étient contenus en U ou U ), du fit que x 0 est dhérent à D on trouve l existence d un point y U U D. L contrdiction provient du fit que son imge f(y) est donc à l fois dns V et V, ce qui est impossible. Théorème des gendrmes Proposition Soit x 0 R, f, g, et h trois fonctions à vleurs réelles définies sur D, et x 0 D, telles que pour tout x D, f(x) g(x) h(x). Alors 1. Si f, g, h ont pour limites respectives l, m, n en x 0, on l m n 2. Si f et h ont même limite l en x 0, g dmet l comme limite en x 0. L preuve de 1. est bsée sur le même risonnement que l preuve d unicité. Si on suppose que m < l, on prend ε tel que m + ε < l ε ; ensuite on peut trouver un point y dns un certin voisinge de x 0 tel que f(y) > l ε > m + ε > g(y), ce qui pporte une contrdiction. L preuve de 2. n est ps différente, mis le point importnt est le fit que l existence de l limite de g n est ps supposée dns les hypothèses, elle est déduite du comportement de f et h. Exemples et remrques Cette proposition fournit l méthode fondmentle pour montrer que f(x) l lorsque x x 0. Il suffit de trouver une mjortion du type f(x 0 + h) l ɛ(h) pour h voisin de 0 où ɛ est une fonction de limite 0 en 0. On peut en générl prendre une telle fonction ɛ dns une liste de fonctions de référence : pr exemple ɛ(h) = C h α vec α > 0, C une constnte positive. 2. Pr exemple, montrons que l fonction f : R R définie pr f(x) = x 2 + 2x + 3 pour limite f(1) = 6 en x 0 = 1. On f(1 + h) f(1) = (1 + h) 2 + 2(1 + h) = h(2 + h) + 2.h = h(4 + h) On trville pour h voisin de 0, on peut donc supposer que h 1. On donc, pour ces h, f(1 + h) f(1) 5 h Comme l expression à droite de cette inéglité définit une fonction ɛ(h) de limite 0 en 0, on donc démontré que lim f(x) = f(1) x 1 15

16 Fonctions de références Les fonctions suivntes sont des exemples fondmentux de fonctions de limites nulle en Soit α > 0. L fonction f : R R, x f(x) = x α pour limite 0 en L fonction g : R R, x x.(ln x ) pour limite 0 en Soit α > 0, β R. L fonction h : R R, x x α. ln x β pour limite 0 en Quelques résultts utiles f bornée loclement Proposition Si f dmet une limite l R en x 0 lors il existe un voisinge U de x 0 tel que f est bornée sur U D. Il suffit pour cel de considérer le voisinge V = ]l 1, l + 1[ de l et d ppliquer l définition de limite. Positivité sur un voisinge Proposition Si f dmet une limite l > 0 en x 0 lors f(x) > 1 2l > 0 pour tout x U D (U étnt un certin voisinge de x 0 ). En prticulier f reste positive sur U D. Il suffit pour cel de considérer le voisinge V = ]l/2, 3l/2[ de l et d ppliquer l définition de limite Opértions sur les limites En générl, on connît un certin nombre de limites de fonctions «simples» : polynômes, exponentielles, etc... et, comme les fonctions que nous étudions sont pour l pluprt obtenues grâce à des sommes, produits, quotients, etc... de ces fonctions simples, on veut pouvoir clculer des limites grâce à des moyens «opértoires». Dns tous les énoncés suivnts, que nous dmettons, f, g sont des fonctions définies sur un domine dont x 0 est un point d dhérence. Somme Si lors lim f(x) = l et x x 0 lim g(x) = m x x 0 lim (f + g)(x) = l + m x x 0 Produit Si lors lim f(x) = l et x x 0 lim g(x) = m x x 0 lim (f.g)(x) = l.m x x 0 16

17 Quotient Si lim f(x) = l et x x 0 lim g(x) = m x x 0 et m 0 lors, l fonction f/g est définie sur un certin voisinge de x 0 (plus précisément, sur l intersection de ce voisinge vec les domines de définition de f et g) et l on lim (f/g)(x) = l/m x x 0 Composition Proposition Soient f : D R, g : D R deux fonctions réelles d une vrible réelle, définies sur D et D, respectivement, et x 0, y 0 deux réels. Supposons que x 0 est un point d dhérence de D et que D est un voisinge de D. 1. Si lim x x0 f(x) = y 0, 2. si lim y y0 g(y) = l, lors g f est définie sur l intersection d un voisinge de x 0 vec D et lim x x 0 (g f)(x) = l. Démonstrtion. On considère h = g f. L première question concerne l bonne définition de h u voisinge de x 0. Pour que h soit bien définie en un point x il est nécessire et suffisnt que f(x) D. Or, nous svons que D est un voisinge de y 0 et que l limite de f en x 0 est bien y 0. Pr définition de limite, il existe un voisinge U de x 0 tel que pour tout x U D on f(x) D. Ceci montre que h est bien définie sur U D. Le même type de risonnement nous donne l limite cherchée. Soit W un voisinge de l : comme l limite de g en y 0 est l, on sit qu il existe un voisinge V de y 0 tel que pour tout y V, g(y) W. D utre prt, à ce voisinge V correspond, d près l définition de lim x x0 f(x) = y 0, un voisinge U de x 0 tel que pour tout x U D on f(x) V. Ceci implique h(x) = g(f(x)) W. Conclusion : étnt donné W voisinge de l, on donc trouvé un voisinge U de x 0 tel que pour tout x U D, h(x) := g(f(x)) est dns W : c est exctement l définition du fit que l limite de h(x) lorsque x x 0 est l. Cel revient, dns l prtique cournte, à effectuer un chngement de vrible, y = f(x). sin x Exercice : On rppelle que lim x 0 x = 1. En déduire, en utilisnt les formules trigonométriques d ngle double et les règles opértoires sur les limites que 1 cos x lim x 0 x 2 = Limites infinies et en l infini Voisinges de l infini Définition Soit V une prtie de R, on dit que 1. V est un voisinge de + si V contient un intervlle du type ], + [, pour un certin R. 17

18 2. V est un voisinge de si V contient un intervlle du type ], [, pour un certin R. Pour pouvoir définir les limites en ± in ser lors nécessire de dire qund + (ou ) est dhérent à un ensemble A. Or, en ppliqunt l définition d dhérence vec les vosinges, on trouve que + est dhérent à A si et seulement si A n est ps borné supérieurement (et donc pénètre dns toute demi-droite ], + [) et que est dhérent à A si et seulement si A n est ps borné inférieurement (et donc pénètre dns toute demi-droite ], [) Définition et opértions Définition Soit f : D R définie sur un domine D non borné supérieurement, l un réel. On dit que l limite f en + est l si Pour tout voisinge V de l, il existe un voisinge U de + tel que, pour tout x, si x U D, f(x) V. On note ceci pr lim x + f(x) = l ou f(x) l lorsque x +. Exemples et remrques en. 2. On encore unicité de l limite, sous réserve d existence. 1. On évidemment une définition nlogue pour l sitution 3. L définition de f(x) 0 lorsque x + s écrit donc, u cs où f est définie sur un voisinge de +, Pour tout ɛ > 0, il existe R tel que pour tout x ], + [, f(x) < ɛ. Fonctions de référence Les fonctions suivntes sont des exemples fondmentux de fonctions de limites nulle en Soit α > 0, l fonction f : R R, x 1 x α 2. Soit α > 0, l fonction f : R R, x ln x x α = x α pour limite 0 en ±. = x α ln x pour limite 0 en ±. 3. Soit α R, β > 0, l fonction f : R R, x x α e x β pour limite 0 en ±. Opértions Concernnt les opértions et les limites en +, les résultts vus sur les limites usuelles restent vlbles en remplçnt systémtiquement lim x x0 pr lim x Limites infinies Il s git, dns ce prgrphe, d exprimer le fit que l limite d une fonction en un point x 0, à guche où à droite ou en ± puisse être l un des deux infinis. Nous ne donnons que l une des définitions, le schém générl de telles définitions devnt être mintennt fmilier : Définition Soit f : D R une fonction définie sur D et x 0 D un point d dhérence de D ;on dit que f dmet + comme limite en x 0 si 18

19 Pour tout voisinge V de +, il existe un voisinge U de x 0 tel que pour tout x U D, f(x) V. De mnière similire on peut définir des limites droites ou guches en x 0 ynt vleur ±, ou exclure le point x 0... Ce qui est importnt est le critère suivnt, qui résume tous les cs : Définition générle pour les limites : si on une fonction f : D R et x 0, l R {± } (x 0 étnt dhérent à D) on dit que l limite de f lorsque x x 0 est l si pour tout voisinge V de l il existe un voisinge U de x 0 tel que, pour tout x U D on f(x) V. Fonctions de référence Les fonctions suivntes sont des exemples fondmentux de fonctions de limites infinies. Les exemples ci-dessous relèvent de ce que l on ppelle les «croissnces comprées», du logrithme, de l exponentielle et des fonctions puissnces, voir l prtie?? du chpitre?? pour des justifictions de ceci. 1. Soit α > 0, l fonction f : R R, x 1 x α = x α pour limite + en L fonction f : R R, x 1 x pour limite + en 0+ et en L fonction f : R R, x ln x pour limite en 0 et + en ±. 4. Soit α R, β > 0, l fonction f : R R, x x α e + x β pour limite + en ±. Proposition (Composition et limites infinies). Si lim y + g(y) = l où l est soit un nombre, soit l un des symboles ou +, si lim x x0 f(x) = +, lors. lim g(f(x)) = l x x 0 Exemples et remrques On le même type d énoncé vec g(y) l lorsque y, f(x) lorsque x x On peut remplcer les «x x 0» pr des limites lorsque x ± ou lorsque x x ± L preuve de cette proposition est sur le même cnevs que l preuve de l composition pour les limites finies, proposition Quelques remrques finles concernnt les opértions On vu les règles opértoires concernnt les limites finies et leur comportement vis à vis des opértions. Qund l une des limites est infinie ou qund on ne tombe ps dns l un des cs décrit, on tombe sur ce que l on ppelle une forme indéterminée. Il s git lors de trviller un peu plus pour «lever» cette indétermintion. Quelques exemples de formes indéterminées (lorsque x x 0 ) : 1. f(x) +, g(x), f(x) + g(x)?? 2. f(x) ±, g(x) ±, f(x) + g(x)??, f(x)/g(x)?? 3. f(x) 0, g(x) 0, f(x)/g(x)?? 4. f(x) 0, g(x) +, f(x).g(x)?? Il y pr contre un certin nombre de règles combinnt limites finies et infinies qui sont à connître 19

20 1. f(x) +, g(x) +, f(x) + g(x) +, f(x).g(x) + 2. f(x), g(x), f(x) + g(x), f(x).g(x) + 3. f(x) l, g(x) +, f(x) + g(x) +, () Si l > 0, f(x).g(x) +, (b) si l < 0, f(x).g(x), (c) si l = 0, indétermintion. 4. f(x) l, g(x) ±, f(x)/g(x) 0 5. f(x) l > 0, g(x) 0 + (cel signifie que g reste positive u voisinge du point considéré), f(x)/g(x) + Voici, sur un certin nombre d exemples et de techniques pour lever ces indétermintions sin x 1. 0/0, lim x 0 x = 1, c est à connître et une preuve de ceci ne peut reposer que sur l définition même de l fonction sinus (si on utilise l définition géométrique qu on donnée, cel revient à vérifier certines propriétés géométriques du cercle). 7x 2. + / +. lim 2 3x+2 x + = 7 3x Ici numérteur et dénominteur tendent vers + (pourquoi est-ce vri du numérteur?). L technique consiste à fctoriser en hut et en bs l plus grnde puissnce, qui est le terme dominnt lorsque x dns une expression polynomile. On donc, pour x ssez grnd, 7x 2 3x + 2 3x = x2 x x + 2 x x 2 Les règles opértoires indiquent qu lors l deuxième frction tend vers lim x + ( x 2 + x + 1 x) = 1 2 (expression conjuguée, puis technique précédente) (3x 2 x + 2) sin 1 3 lorsque x + x 2 5. Les techniques de développements limités du chpitre?? seront fondmentles pour l levée des indétermintions. 20

21 Chpitre 2 Continuité 2.1 Définition et premières propriétés des fonctions continues Définition Soit D un sous-ensemble de R. Une fonction f : D R est dite continue u point x 0 D si l limite lim x x0, x D f(x) existe et est égle à l vleur f(x 0 ). De fçon équivlente, on peut dire que f est continue u point x 0 si pour tout ε > 0 il existe un δ > 0 tel que tout x D vec x 0 x < δ stisfit ussi f(x 0 ) f(x) < ε (cel vient de l définition de limite). Une fonction est dite continue si elle est continue en tout point de son domine de définition D. Exemples et remrques Attention qu ici il est nécessire que x 0 pprtienne à D et ps seulement à D (prce qu il fut comprer l limite à l vleur f(x 0 )). 2. On peut remrquer que d près cette définition toute fonction f est continue en tout point isolé de son ensemble de définition. Si pr exemple D = [0, 1] {2} l fonction f est sûrement continue u point 2 cr pour tout ε > 0 il suffit de choisir δ = 1/2 : de cette fçon le seul point x D vec x 2 < δ = 1/2 ser le point 2 lui-même et l condition f(x) f(2) < ε ser verifiée cr f(x) = f(2) (une conséquence de x = 2)! 3. Les fonctions ln, exp, x x α, les fonctions trigonométriques usuelles sont continues en tout point de leurs ensembles de définition respectifs. 4. De ce qui été dit sur les limites, on pr exemple que toute fonction polynomile définie sur R est continue en tout x 0 R. Lorsque l fonction f n est ps définie en x 0, on dit qu on ne peut ps prler de continuité de f en x 0. Cependnt, pr un mécnisme de prolongement, on peut prfois obtenir une «vrinte» de f, une extension de f, qui est continue en x 0. Proposition Soit f : D R, et x 0 D \ D. Sont équivlentes les ssertions suivntes 1. Il existe une fonction g : D {x 0 } R, continue en x 0, égle à f sur D. 2. lim x x0 f(x) = l R existe (et est réelle). Dns ce cs, l fonction g est unique, elle est définie pr g(x) = f(x), si x D, g(x 0 ) = l = lim x x 0 f(x). g est ppelée le prolongement pr continuité de f u point x 0. Exemples et remrques L fonction «sinus crdinl», utile en tritement du signl, est définie, pour x R pr sinc(x) = sin x x si x 0, sinc(0) = 1. Il s git du prolongement pr continuité en 0 de l fonction définie pr x R \ {0} sin x 21 x.

22 2. f(x) = x sin 1 x est prolongeble pr continuité en 0 cr f(x) 0 lorsque x 0, x On entend prfois dire que l fonction f(x) = 1/x est discontinue, ou qu elle une discontinuité en 0. Cel est fux : elle est une belle fonction qui est continue en tout point de son domine D = R \ {0} ; le point 0 n pprtient ps u domine. Pr contre, son problème est que l limite en 0 n existe ps (elle une limite droite + et guche, ce qui donne un double problème, que les deux limites ne sont ps finies, et qu elles sont différentes), et cel empêche d en fire un prolongement pr continuité en 0. On peut églement définir l continuité à droite et à guche en un point x 0. Définition Soit f : D R une fonction définie sur un domine comprennt x 0 D. On dit que f est continue à droite en x 0 si lim x x 0 x>x 0 f(x) = f(x 0 ). On une définition semblble concernnt l continuité à guche. Exemples et remrques Soit H définie sur R pr H(x) = 1 si x 0, H(x) = 0 si x < 0. H est continue à droite, elle n est ps continue à guche. 2. Soit H définie sur R pr H(x) = 1 si x > 0, H(x) = 0 si x 0. H est continue à guche, elle n est ps continue à droite. Proposition Une fonction est continue en un point x 0 si et seulement elle y est continue à guche et à droite. Exercice : étudier, suivnt les vleurs du prmètre réel, l continuité en 0 de l fonction f : R R définie pr { sin 2x f(x) = x si x < 0 x + si x 0 Indiction : L limite à guche en 0 de cette fonction est 2, s limite à droite y est, qui est pr illeurs s vleur en 0, f est donc continue en 0 si et seulement si = Quelques théorèmes utiles On peut reformuler pour les fonctions continues en un point x 0, les résultts énoncés lors de l étude des limites. Proposition Si f est continue en x 0 lors f est bornée sur un voisinge de x 0. Proposition Si f est continue en x 0 et f(x 0 ) > 0, lors f(x) > 1 2 f(x 0) pour tout x dns un certin voisinge de x 0, et elle est donc positive sur ce même voisinge. Proposition Si f et g sont continues en x 0, il en est de même de f + g et f.g ; et, pourvu que g(x 0 ) 0, f/g est définie u voisinge de x 0 et est continue en x 0. Proposition Si f : D R est continue en x 0 D, y 0 = f(x 0 ), g : D R est continue en y 0 et D est un voisinge de y 0, lors h = g f est bien définie sur un voisinge de x 0 et est continue en x 0. L preuve est l même que pour l composition des limites. Démonstrtion. L preuve est l même que pour l composition des limites. Nénmoins, on peut en donner une utre, bsée sur le DL à l ordre 0, prce que nous utiliserons l même technique 22

23 de preuve lors de l proposition pour prouver l énoncé concernnt l dérivée d une fonction composée. L continuité de g en y 0 = f(x 0 ) implique l existence d un DL d ordre 0 de g en y 0, i.e il existe une fonction η, η(0) = 0, continue en 0 telle que, pour tout y dns un voisinge V de y 0, on g(y) = g(y 0 ) + η(y y 0 ). De même, l continuité de f en x 0 implique l existence d un DL d ordre 0 de f en x 0, i.e il existe une fonction ɛ, ɛ(0) = 0, continue en 0 telle que, pour tout x dns un voisinge U de x 0, on f(x) = f(x 0 ) + ɛ(x x 0 ). On peut pr illeurs supposer que si x U, f(x) V quitte à restreindre l ensemble U. On peut donc substituer f(x) à y dns l première églité pour obtenir que pour tout x U, h(x) = g(y 0 ) + η(f(x 0 ) + ɛ(x x 0 ) y 0 ) = h(x 0 ) + (η ɛ)(x x 0 ). L fonction η ɛ est nulle en 0 et est continue en 0 (voir à ce propos l énoncé de composition de limites), on donc obtenu un DL de h en x 0 à l ordre 0 qui prouve que h est continue en x 0. Nous terminons cette prtie vec quelques remrques sur l notion de continuité sur un ensemble ou sur un intervlle. En effet, qund on une fonction f : D R et un sous-ensemble B D, il ne fut ps confondre, u vu des définitions qu on données, f est continue en tout point de B (en considérnt f comme une fonction sur D mis en regrdnt s continuité sur certins des points de D, ceux qui pprtiennent à B et l restriction de f à B est continue. Pr exemple, si f : [0, 3] R est définie pr f(x) = 1 si x [1, 2] et f(x) = 0 si x / [1, 2], en prennt D = [0, 3] et B = [1, 2] on est dns l sitution suivnte : tout point de B n est ps un point de continuité (f n est ps continue en 1, ni en 2) ; pourtnt si on restreint f à B on obtient l fonction constnte 1, qui est donc continue. En prticulier, on peut remrquer que, qund le sous-ensemble B est un intervlle [, b] D, l continuité de l restriction équivut à l continuité de f (considérée comme une fonction sur D) en tout point de ], b[ ccompgnée de l continuité à droite en et à guche en b. Ce qui est différent de l continuité en tout point de [, b]. Proposition (Recollement). Soient I et J deux intervlles fermés ynt un seul point commun. Soit f : I J R une fonction dont l restriction à I, insi que l restriction à J, sont continues. Alors f est continue sur l intervlle I J. Il suffit de voir que dns cette sitution, comme I et J sont non triviux, est un point intérieur à l intervlle I J. Pr illeurs, les limites à guche et à droite de f en coincident toutes deux vec f(). En conclusion f dmet f() pour limite en. Proposition Si I est un intervlle de R non trivil, f, g, fonctions à vleurs réelles sont continues sur I lors 1. f + g est continue sur I, 2. f.g est continue sur I, 3. si g ne s nnule ps sur I, f/g est continue sur I. Proposition Soient I et J deux intervlles de R. Si f, à vleurs réelles, continue sur I, g, à vleurs réelles, continue sur J. Si, pour tout x I, f(x) J, l composée h = g f est continue sur I. 23

24 2.2 Les gros théorèmes sur les fonctions continues Nous présentons ici deux théorèmes importnts sur les fonctions continues qu il nous est, héls, interdit de démontrer Le théorème des vleurs intermédiires (TVI) Ce théorème montre l une des propriétés plus importntes et intuitives des fonctions continues, qui colle bien vec l idée une fonction est continue si on peut trcer son grphe sns lever le cryon. En prticulier, si on prend l feuille où l on trce le grphe et on l sépre en deux prties pr une droite horizontle (prllèle ux bscisses), pour psser d une région à l utre il fudr bien trverser (et donc croiser) l droite elle même. Nous llons en donner plusieurs versions. Théorème (TVI 1). Soit g une fonction, à vleurs réelles, continue sur un intervlle I de R,, b I. Si g() et g(b) sont non nuls et de signes opposés, il existe lors c, strictement entre 1 et b tel que g(c) = 0. Ce théorème correspond à l énoncé qu on vient de donner en termes de cryons et grphes, si on considère l droite {y = 0}. Il des pplictions très puissntes, si on construit bien l fonction uquel on veut l ppliquer. Exercice : Montrer qu il existe un nombre c ] 0, π 2 [ tel que c = cos 2 c. On peut évidemment donner une version plus générle. Théorème (TVI 2). Soit I un intervlle de R, f à vleurs réelles, continue sur I,, b I. Si y est entre f() et f(b), il existe lors x entre et b tel que f(x) = y. Démonstrtion. Soit y un nombre entre f() et f(b). Il s git de se mettre en position pour ppliquer le théorème Il suffit de considérer l fonction g définie pr g(t) = f(t) y pour t I cr une solution de l éqution g(x) = 0, x I est une solution de f(x) = y, x I et réciproquement. Soit donc, si f() y et f(b) y (l utre cs se trite de mnière similire), g(t) = f(t) y cette fonction est continue sur I, g() = f() y 0, g(b) = f(b) y 0 et donc il existe c entre et b tel que g(c) = 0 et donc f(c) = y. Ainsi qu une version plus bstrite, qui porte sur l définition d intervlle (un concept qu on toujours utilisé sns jmis bien se poser l question). Donc, tout d bord, qu est-ce qu un intervlle? on peut dire qu un intervlle est un ensemble de l forme [, b], [, b[, ], b], ], b[, [, + [, ], + [, ], b], ], b[, ], + [ (= R), {} (= [, ]) (tout ç pour, b R ; et éventuellement on peut y mettre ussi ). En gros, un intervlle est quelque chose qui un début et une fin, ses bornes, et qui comprend tout ce qu il y u milieu (peu importe, pr contre, s il inclut les bornes). Surtout il n ps de trous. Mis lors on pourrit donner une définition qui se bse sur ç, plutôt que fire l liste de tous les types d intervlles possibles. Définition Un intervlle est une prtie A de R possédnt l propriété suivnte, «Pour toute pire de points y 1 et y 2 dns A, si y est un réel entre y 1 et y 2 lors y A» lors A est un intervlle de R. 1. c est entre et b si c b ou c b, il est strictement entre et b si < c < b ou > c > b 24