Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications

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1 Développemet d ue foctio e série etière Exemples et applicatios Das ce chapitre, K désigera R ou C B(; R) désigera la boule ouverte de cetre et de rayo R > 1 Gééralités Défiitio 1 Soit f ue applicatio de K das K O dit que f est développable e série etière e s il existe ue série etière a x de rayo de covergece R > et u voisiage V de tels que : x V B(; R), f(x) = a x Si z K, o dit que f est développable e série etière e z s il existe ue série etière a z de rayo de covergece R > et u voisiage V de z tels que : z V B(z ; R), f(z) = a (z z ) Remarque : Si z K, alors f admet u développemet e série etière e z si et seulemet si la foctio g défiie sur K par g(z) = f(z +z ) admet u développemet e série etière e C est la raiso pour laquelle ous ous itéresseros das la suite aux développemets e série etière e Séries de Taylor Propositio 1 Soit f ue foctio de R das K, développable e série etière e Il existe u voisiage V de et ue série etière a x de rayo de covergece R > telle que : x V ] R; R[, f(x) = Alors f est de classe C sur V ] R; R[ et : N, a = f() () a x 1

2 Preuve - Notos S la foctio somme S est défiie sur ] R; R[ par : S(x) = O sait que S est de classe C sur ] R; R[ et que : a x N, a = S() () (voir le chapitre sur les séries etières) f et S coïcidet sur V ] R; R[ doc f est de classe C sur V ] R; R[ et o a : N, a = S() () = f() () Défiitio Si f est ue foctio de R das K, développable e série etière e, la série f () () x est appelée série de Taylor de f e Remarque : La réciproque de la propositio 1 est fausse E effet, cosidéros la foctio f défiie sur R par : f(x) = { e 1 x si x si x = f est de classe C sur R Motros par récurrece la propriété suivate : Pour N, otos Pr() la propriété : = : P = 1 doc Pr() est vraie; N, P R[X], x R, f () (x) = P (x) x = 1 : f est dérivable sur R et o a : doc P 1 = et doc Pr(1) est vraie; Soit N Supposos Pr() vraie : P R[X], x R, f () (x) = P (x) x x R, f (x) = x 3e 1 x x R, f () (x) = P (x) 1 e x 3 x 3(+1) 1 e x 3 1 e x 3 f () est dérivable sur R et o a : ( x x R, f (+1) 3 P (x) = (x) + 3x ) P (x) + P (x) e 1 x c S Duchet - wwwepsilofrst /11

3 Doc Pr( + 1) est vraie et doc Pr() est vraie pour tout N Pour tout etier aturel, f () est cotiue e, f () est dérivable sur R {} et f (+1) admet pour limite e doc f () est dérivable e et f (+1) () = Par coséquet, f admet comme développemet e série de Taylor e, mais f e s aulat qu e, il existe pas de voisiage V de tel que : x V, f(x) = f () () x = Propositio Soiet V u voisiage de das R, f ue foctio de V das K admettat u développemet e série etière e, oté a x Si f est paire, alors : N, a +1 = ; Si f est impaire, alors : N, a = Preuve - Notos R le rayo de covergece de la série a x O a : x V ] R; R[, f(x) = a x Soit I u itervalle setré e, iclus das V ] R; [R[ Soit g la foctio défiie sur I par g(x) = f( x) O a : X I, g(x) = Si f est paire, alors f = g, c est-à-dire : x I, f(x) = a ( x) = a x = Le développemet e série etière état uique, o e déuit : N, ( 1) a = a Pour impair, o a alors a = a, c est-à-dire a = Soit h la foctio défiie sur I par h(x) = f( x) O a : ( 1) a x ( 1) a x x I, h(x) = a ( x) = ( 1) +1 a x si f est impaire, alors f = h, doc : x I, f(x) = a x = ( 1) +1 a x c S Duchet - wwwepsilofrst 3/11

4 Le développemet e série etière état uique, o e déduit : N, ( 1) +1 a = a Pour pair, o a alors a = a, c est-à-dire a = Propositio 3 Soiet a >, f ue foctio défiie sur ] a; a[, à valeurs das K, de classe C Soit N La formule de Taylor avec reste itégral doe : x ] a; a[, f(x) = k= f (k) () x k + k! f (+1) (t)dt Pour que f soit développable e série etière e, il faut et il suffit qu il existe b ];a] tel que : x ] b; b[, f (+1) (t)dt + Preuve - Supposos que f soit développable e série etière e Il existe alors ue série etière a x de rayo de covergece R > et u voisiage V de iclus das ] a; a[ tels que : x V ] R; R[, f(x) = a x Soit b ];a] tel que ] b; b[ V ] R; R[ D après la propositio 1, o a : Soit x ] b; b[ Soit N c est-à-dire N, a = f() () f(x) k= Supposos maiteat qu il existe b ];a] tel que : Soiet N, x ] b; b[ k= x ] b; b[, f (k) () x x k = f(x) k! f (k) () x k k! + f (+1) (t)dt + f (+1) (t)dt + f (+1) (t)dt + f(x) Doc f (k) () k! x k coverge vers f(x) et ceci pour tout x ] b; b[ Le rayo R de f (k) () k! x k vérifie k k < b R et doc f est développable e série etière e c S Duchet - wwwepsilofrst 4/11

5 3 Opératios sur les séries etières 31 Combiaiso liéaire Propositio 4 Soiet λ K, f et g deux applicatios de K das K admettat pour développemets e série etière respectifs a z et z b Alors f + λg est développable e série etière e et o a au voisiage de : (f + λg)(x) = (λa + b )z Preuve - Notos R et R les rayos de covergeces respectifs de a z et z b f est développable e série etière e doc R > et il existe u voisiage V de tel que : z V B(; R), f(z) = = a z g est développable e série etière e doc R > et il existe u voisiage V de tel que : z V B(; R ), g(z) = = b z Le rayo R 1 de la série etière (λa + b )z est strictemet positif car R 1 mi(r, R ), R > et R > Soit V = V V V est u voisiage de et o a : z V B(; R 1 ), (λf + g)(x) = (λa + b )z (voir le chapitre sur les séries etières) 3 Produit Propositio 5 Soiet f et g deux applicatios de K das K admettat pour développemets e série etière respectifs a z et z b Alors fg est développable e série etière e et o a auvoisiage de : où ( + ) ( + ) (fg)(z) = a z b z = N, c = a k b k Preuve - Repreos les otatios de la preuve de la propositio 4 Cosidéros la série c z, produit de Cauchy de a z et z b Notos R le rayo de covergece de cette série R > k= c z c S Duchet - wwwepsilofrst 5/11

6 car R mi(r, R ), R > et R > O sait que pour tout z C vérifiat z < R, o a : ( + ) ( + ) a z b z = c z c est-à-dire (fg)(z) = + i fty c z fg est doc développable e série etière e, le développemet état doé ci-dessus 33 Dérivatio Propositio 6 Soit f ue applicatio de R das K, développable e série etière e, dot le développemet est a x Alors f est développable e série etière e et au voisiage de : f (x) = 1a x 1 Preuve - Soit R le rayo de covergece de la série a x R > et il existe u voisiage V de tel que : x V ] R; R[, f(x) = a x O sait que f est de classe C sur V ] R; R[ (voir chapitre sur les séries etières) O sait par ailleurs que : doc ( + ) x V ] R; R[, a x = x V ] R; R[, f (x) = a x 1 a x 1 Le rayo de covergece de la série dérivée est R > (voir chapitre sur les séries etières) Par coséquet, f est développable e série etière e et o a au voisiage de : f (x) = a x 1 c S Duchet - wwwepsilofrst 6/11

7 4 Développemets usuels 41 Foctio exp Le foctio exp est défiie sur R, à valeurs das R +, par exp(x) = e x exp est de classe C sur R et o a : N, exp () = exp doc N, exp () () = 1 Appliquos la formule de Taylor avec reste itégral O a : Comme max(1, e x ) x +1 N, x R, exp(x) = e t dt max(1, ex ) (+1)! + k= 1 x k! xk + exp(t)dt dt max(1, ex ) x +1 ( + 1)!, il e est de même du reste itégral d ordre D après la propositio 1, o e déduit que exp est développable e série etière e et au voisiage de : Pour tout N, otos a = 1 a +1 x est + doc : 4 Foctios si et cos e x = a = 1 x +1 + x R, e x = doc le rayo de covergece de la série x cos et si sot des foctios de classe C sur R et o a : { cos () (x) = cos ( x + π ) N, x R, si () (x) = si ( x + π ) doc et N, N, ( π cos () () = cos ( π si () () = si Appliquos la formule de Taylor avec reste itégral : N, x R, cos(x) = k= { ) si = p + 1 = ( 1) p si = p { ) si = p = ( 1) p si = p + 1 cos (k) () x x k + cos (+1) (t)dt k! c S Duchet - wwwepsilofrst 7/11

8 Comme x +1 (+1)! + cos (+1) (t)dt 1 dt x +1 ( + 1)!, il e est de même du reste itégral d ordre D après la propositio 1, o e déduit que exp est développable e série etière e et au voisiage de : cos(x) = Soit x R ( 1) +1 x + ( + )! : ( 1) x ()! cos () () x ( 1) = ()! x = x ( + 1)( + ) + ( 1) ()! x D après la règle de d Alembert pour les séries à termes réels positifs, o e déduit que coverge absolumet pour tout réel x Le rayo de cette série etière est doc + Par coséquet : De même, o démotre que : x R, cos(x) = x R, si(x) = 43 Foctio f α : x (1 + x) α,α R ( 1) ()! x ( 1) ( + 1)! x+1 Soit α R O cosidère la foctio f α défiie sur ] 1; + [ par f α (x) = (1 + x) α f α est de classe C sur ] 1; + [ et o a : x ] 1; + [, f α(x) = α(1 + x) α 1 = x 1 + x f α(x) f α est doc solutio sur ] 1; + [ de l équatio différetielle : (1 + x)y xy = Supposos qu il existe ue foctio S développable e série etière e, solutio de cette équatio différetielle Il existe alors ue série etière a x de rayo de covergece R > et u voisiage V de tels que : x V ] R; R[, S(x) = a x Soit a R + tel que ] a; a[ V ] R; R[ S est de classe C sur ] a; a[ et o a : a ] a; a[, S (x) = S état solutio de l équatio différetielle, o a : a x 1 x ] a; a[, (1 + x)s (x) αs(x) = c S Duchet - wwwepsilofrst 8/11

9 (1 + x)s (x) αs(x) = (1 + x) + a x 1 α + a x = + a x a x α + a x = + ( + 1)a +1 x + + a x α + a x = + (( + 1)a +1 + ( α)a ) x S état solutio de l équatio différetielle, o a : x ] a; a[, (( + 1)a +1 + ( α)a )x = Par uicité du développemet e série etière e, sachat que S est solutio de l équatio différetielle et qu o doit avoir S() = 1 : { a = 1 O démotre facilemet par récurrece que : N, ( + 1)a +1 + ( α)a = Soit a x la série etière où : N, a = α(α 1) (α + 1) a +1 a = α +1 + de cette série O a alors : a = 1 et pour tout N, a = α(α 1) (α + 1) 1 doc le rayo de covergece de la série a x est 1 Notos S la somme x ] 1; 1[, S(x) = a x O sait que S est de classe C sur ] 1; 1[ et o vérifie sas peie que S est solutio de l équatio différetielle Par coséquet, f α et S sot deux solutios de l équatio différetielle Cette équatio différetielle état liéaire du premier ordre, l esemble des solutios est de la forme Kf α, où K R Il existe doc K R tel que : x ] 1; 1[, S(x) = K f α (x) = K (1 + x) α Sachat que S() = 1, il e résulte que S = f α sur ] 1; 1[ doc f α est développable e série etière et o a : x ] 1; 1[, (1 + x) α = 1 + α(α 1) (α + 1) x c S Duchet - wwwepsilofrst 9/11

10 44 Foctio x l(1 + x) Soit f la foctio défiie sur ] 1; + [ par f(x) = l(1 + x) f est de classe C sur ] 1; + [ et o a : x ] 1; + [, f (x) = x = (1 + x) 1 D après le paragraphe précédet (avec α = 1), o a : x ] 1; 1[, f (x) = 1 + Soit S la foctio défiie sur ] 1; 1[ par : ( 1) x = ( 1) x S(x) = ( 1) x = ( 1) +1 x O sait que ( 1) x et ( 1) x ot le même rayo de covergece (voir le chapitre sur les séries etières, otammet le rayo de covergece d ue série etière et de sa série dérivée) S est de classe C sur ] 1; 1[ et o a : ( + ) x ] 1; 1[, S ( 1) x +1 (x) = = + 1 doc S et f diffèret d ue costate Il existe c R tel que : x ] 1; 1[, S(x) = f(x) + c ( 1) x = f (x) Comme S() = et f() =, il e résulte que c = f est doc développable e série etière e et o a : x ] 1; 1[, l(1 + x) = ( 1) +1 x Remarque : Si x = 1, ( 1) +1 x = 1 et la série est divergete Si x = 1, ( 1) +1 x = ( 1) +1 x et la série coverge d après le critère des séries alterées (voir chapitre sur les séries 1 à termes réels ou complexes) Doc : x ] 1; 1], l(1 + x) = ( 1) +1 x E particulier, l() = ( 1) +1 c S Duchet - wwwepsilofrst 1/11

11 45 Fractios ratioelles Propositio 7 Toute fractio ratioelle admettat pas pour pôle est développable e série etière e et le rayo de covergece du développemet e série etière est égal au miimum des modules des pôles complexes Preuve - Soit F C(X) O suppose que F admet pas pour pôle E effectuat la décompositio de F e élémets simples, o obtiet des élémets de la forme Pour z C vérifiat z < z, o a : Pour z < z, o a λ λ (z z ) = λ z 1 ( z z 1 ) = ( λ ( z ) 1 z ) z λ (z z ), où λ, z C et N z z < 1 doc z (1 z z ) est développable e série etière (il e est de λ (z z ) même pour z (z z ) ) Le rayo de covergece du développemet e série etière de z est z Par coséquet, F est développable e série etière e (somme de foctios développables e séries etière e ) et le rayo de covergece R du développemet vérifie R ρ, où ρ est le miimum des modules des pôles complexes de F) Supposos maiteat que R > ρ Il existe z C, pôle de la fractio ratioelle F tel que z < R F est cotiues sur B(; R) doc e z, ce qui est impossible car F(z) z z + Exemple : Cosidéros la fractio ratioelle suivate : F : z 1z z 3 z + z Pour tout z C, o a : z 3 z + z = (z )(z i)(z + i) O a doc : Pour z C tel que z < : z < 1 : Doc pour z < 1 : i z i z C {, i, i}, F(z) = 4 z + i + + i z i z + i 4 z = 4 ( ( 1 z ) = 1 z ) 1 + ( z ) = + i z + i F(z) = = i i(1 + iz) = (1 i)(1 + iz) 1 = (1 i) ( iz) = + i i(1 iz) = (1 + i)(1 iz) 1 = (1 + i) (iz) Le rayo de covergece de cette série etière est 1 a z avec a = (1 i)( i) + (1 + i)i c S Duchet - wwwepsilofrst 11/11