I. Formes n-linéaires alternées

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1 Soi u cors de crcérisique différee de Ch 4 : Déermis I. Formes -liéires lerées Soi * E... E e F+ esces vecoriels f : E F es licio liéire si elle es liéire r ror à chcue de ses vribles E F càd :,, ( es liéire x f(,...,, x, +,..., O di que f es ue forme liéire si F = E Exemle fodmel :,, ϕ L( E, f es ue forme liéire ( x... x ϕ ( x O se lce ds le cs où E = E =... = E = E f F( E, forme liéire. f es lerée si (... E,, = f(... = f F( E, forme liéire. f es isymérique si σ S, f(... = εσ ( f(... σ( σ( E Si f es ue forme liéire sur E, si σ S, o oe σ f ( x... x f( xσ(... xσ( σf es ouours liéire, e f isymérique ssi σ S, σf = εσ ( f f forme liéire sur E, στ S τ σf = ( τ σ f (, ( f forme liéire f es isymérique ssi our oue rsosiio τ S, τ f = f f forme liéire f es isymérique ssi f es lerée Preuve : Si f isym, o red =, o les ermue, o f(... = f(... Si f lerée, o red + e e e, o déveloe (liérié, o rerouve τ f = f L'esce des formes liéires sur E es u sous esce vecoriel de F( E, ( E, = { formes liéires erées sur E} es u sev de l'esce des formes liéires E de E de dim e de bse (, egedre (de d m (... ( ( ( i E v v εσσ v = iei σ S

2 Preuve : li: f( v... v = f( e... e i = i f( e... e = σ S i i i i i ( i... i f( v... v = σ( f( eσ(... eσ( = εσ ( σ( f( e... e σ S σ S Mq de ( E, θ : ( v... v = ϕ ( v li d'rès l'exemle fodmel σ( σ( + τ S, τde vec le fi que σ e τ so bi, o rrive à ce qu'o veu Pour oue bse de E, de ( E, de ( = bse de E, f ( E, f = f( e... e de = f( de e bses de E de = de ( de bse de E = ( v... v fmille de E de ( v... v = ssi = ( v... v es liée de ssi = ( v... v es ue bse Preuve : Su liée : v = v O dv r -li., o rouve = r isym... e, i i i= = ( e ( v E, v = e O oe de = II. Déermis de mrice e d edomorhisme M ( = ( de( = = εσ ( i ( i,, σ ( σ S ϕ L( E = ( e... e bse de E de ( ϕ = de ( ϕ( e... ϕ(e bse de E de dim = M ( v... v de( = de ( v... v = M ( ϕ de( = de ( ϕ E ev de dim f L( E d e ( f ds ue bse e déed s de l bse choisie. O le oe de( f E Preuve : Deux bses, de ( f de ( de ( f ϕ = li, ler ( v... v de ( f( v... f ( v ϕ = ϕ( de de ( f = de ( ϕ( = de ( de ( ϕ( e... e = de ( f Deux mrices semblbles o le même déermi

3 de( f g = de( f de( g de( = de( de( Preuve : Soi u des deux es s biecif, soi les deux so biecifs bse sur bse ( es iversible de( de \ Gl ( es u morhisme de groues : de( M ssi = de de( I = de( dig(... = III. Résuls uiles our le clcul de déermis = ( C... C Oérios usuelles : C C ( i de( C... C... C... C = de( ( ετ ( = i i ème i os ème os C C + C de( C... C + C... C = d ( e (de -li e leré C i i i = = i i C i i i (ussi vlble our les liges de( C... C = εσ ( de( σ( σ( de( = de( de( C... C... C = de( ( li Preuve : d ( e = εσ ( = εσ ( = εσ ( + bi σ ( σ ( σ( σ( σ ( σ S σ S σ S = = M ( rigulire : de( (reuve : r l'bsurde M = de( M = de( de( C C q q Preuve : Nécessireme, our qu'il 'y i s de zéro, σ, S, \ doc σ \, bi ussi... + * M = de( M = de( e M ( O oe l mrice exrie de e élimi l i lige e l i i+ i+ i i ( ide( i (si o fixe ou i= de( = ( de( = i e coloe. Preuve : Uiliser li our déveloer r ror à chque E de l coloe Effcer oue l lige du corresod. Permuer liges e coloes : ( E i i i+ 3

4 Qud ue lige ou coloe beucou de, o déveloe r ror à cee lige / coloe O elle comrice de ( : ( (( i + M com = de( i ( com( = ( com( = (de( I ( i,, Preuve : Digole : i i i + i i i= ( com( = ( de( = de Sio, r isym Gl ( = ( com( de ( c d c = = b d d bc b Mrice de ermuio : σ S P = ( δ de( P = εσ ( σ σ( i ( i,, σ x x x Déermi de V der Mode : VdM ( x... x = = ( x x < x x x Preuve : O e fi u olyôme e me des X ds l derière lige, écessireme les rg( = ssi les coloes so oues coliéires I,, J, Mrice exrie de M ( : mrice obeue e coserv les liges de I e coloes de J rg( es l ille du lus grd déermi exri o ul IJ x so rcies M ( es semblble à ds M es semblble à ds M ( (, ( IV. Polyômes crcérisiques L suie es u rogrmme de sé Pour ou λ, o défii P ( λ = de( λi P es de degré, our coefficie domi (, P ( = de(, so erme e X es ( r( + Les vleurs rores de so les rcies du oyôme crcérique : λ es vleur rore de P ( λ = = M ( f es digolisble ssi = Q Q où es dig λi = Q( λi Q P = P Si es digolisble, P = P = ( µ X = ( X dim( E = mul ( où vleur rore e E esce rore ssocié P 4

5 ϕ L ( E vleur rore E = er( ϕ Id Les ( E so e somme direce Preuve : l l E E E v E ( E, v = v = v, w = v = ϕ ( w = = v VdM v = E = E ssi ϕ es digolisble... = P = ( ( X X Mrice comgo : ( ϕ L( E Si ϕ u veceur oliseur w lors = ( w, ϕ( w... ϕ ( w es bse de E f L( E Si P( f, oue vleur rore de f es écessireme rcie de P = L ( E 5

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