Résistance de contact et effets à micro-échelle. Application aux basses températures.

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1 ésstanc d contact t ffts à mcro-échll Applcaton aux basss tmpératurs Jan-Prr BADON Laborator d Thrmocnétqu, UMCNS 667, BP 569, 4436 NANTES Cdx 3 (jan-prrbardon@unv-nantsfr) ésumé: A bass tmpératur où ls lbrs parcours ds porturs d énrg sont parfos consdérablmnt augmntés, l st nécssar d rconsdérr l analys du phénomèn d constrcton, qu st à la bas d clu d résstanc d contact à l échll macroscopqu On s propos d prndr n compt ls résstancs d ntrfac lés à la dffuson ds porturs dans ds couchs frontèrs stués d part t d autr d ctt ntrfac t d épassur d l ordr d qulqus lbrs parcoursl Dans un souc d clarté, on dévlopp tout l analys dans un approch physqu smplfé, fondé sur la noton d lbr parcours moyn l Nomnclatur α Coffcnt d accommodaton thrmqu α Factur d absorpton k Constant d Boltzmann Conductvté thrmqu l Lbr parcours moyn γ apport ds chalurs spécfqus à pt v m Mass d l élctron σ Constant d Stéfan n Nombr d élctrons par unté d volum Φ Flux d chalur q Dnsté d flux d chalur ndcs r ayon, résstanc thrmqu C constrcton ésstanc thrmqu élctron T tmpératur p phonon u Vtss ds élctrons nt ntrfac V Vtss ds phonons μ mcro-échll Introducton : L phénomèn d résstanc d contact ntr solds dont ls états d surfac résultnt d un usnag ndustrl (rugosté d l ordr d, à μ m t rayons ds ars d contact d,5 à 5 μ m ) s stu, l plus souvnt, dans un doman où ls los macroscopqus t l approxmaton ds mlux contnus s applqunt Par contr à bass tmpératur ( T K ) où ls lbrs parcours ds porturs d énrg sont parfos consdérablmnt augmntés, ou bn lorsqu ls dmnsons ds solds dvnnnt très ptts (échlls mcro vor nanométrqus) l st nécssar d rconsdérr l analys du phénomèn d constrcton, qu st à la bas d clu d résstanc d contact Ls résstancs d ntrfac lés à la dffuson ds porturs dans ds couchs frontèrs stués d part t d autr d ctt ntrfac t d épassur d l ordr d qulqus lbrs parcoursl dovnt êtr prss n compt C st c qu nous nous proposons d far dans l cadr d un approch physqu smplfé, fondé sur la noton d lbr parcours moyn l Ctt approch, vs plus à précsr l cadr t ls ordrs d grandur ds ffts à mcro-échll à prndr n compt, plutôt qu à donnr un stmaton précs d cux-c, c qu nécsst, la ms n œuvr d tchnqus plus lourds (dynamqu molécular, ou équaton d transfrt d Boltzman) Dscrpton ds résstancs d ntrfac ( l δ l )

2 On s plac, pour commncr, dans la stuaton où un sul typ d portur véhcul la chalur On consdèr (fgur) dux mlux t n contact (ntrfac lss) Dans ls zons prochs d l ntrfac ( δ l ) t au fur t à msur qu l on s rapproch d l ntrfac ls collsons porturs frontèr prnnnt l pas sur clls ntr porturs qu s raréfnt L transfrt d chalur st prturbé, un part du flux d énrg st réfléch ( apparnt dmnu) La tmpératur dans cs couchs a un évoluton θ ( x ) ou θ ( x) qu s écart d cll T ( x ) ou T ( x) prévu par ls los macroscopqus (mlu contnu) Fgur : zon frontèr Schéma d résstanc d ntrfac : Dans c schéma on suppos qu ls los macroscopqus T ( x ) t T ( x) dans chacun ds mlux s prolongnt jusqu à l ntrfac x = c st-à-dr qu la lo d Fourr t ls conductvtés ds mlux n sont pas modfés On ntrodut alors n x = un saut d tmpératur proportonnl au flux d chalur q qu travrs l ntrfac : ) T () T ( = q () Int st la résstanc d ntrfac Ell caractérs globalmnt l accrossmnt d résstanc apporté par ls ntractons porturs-frontèr dans ls couchs frontèrs d part t d autr d l ntrfac Il st souvnt commod, n consdérant la tmpératur ntrmédar T d l ntrfac théorqu, d décomposr ctt résstanc n dux résstancs t qu caractérsnt ls prturbatons s dévloppant d part t d autr d ctt ntrfac : T ( ) T = q t T T ( ) = q ésstanc d ntrfac gaz-sold t sold-sold : Pour stmr l ordr d grandur d cs résstancs, on s appu sur crtans résultats classqus concrnant ls ntrfacs gaz- sold, t sold-sold Pour un mlu gazux au contact d un mlu sold bon conductur, ls ffts à mcroéchll prépondérants sont stués coté gaz La résstanc côté sold st néglgabl dvant cll coté gaz = Ctt résstanc a été largmnt étudé dans l cadr d la théor ds gaz raréfés (Knnard []) Dans cll-c l transfrt d énrg s ffctu par ls chocs molécul-paro Au cours d cs chocs nélastqus ls moléculs sont supposés réfléchs d manèr ssntllmnt dffus On st condut à l xprsson : () α l = k α γ k = st un constant, 663 pour ls gaz datomqus, t, 8 pour ls gaz ( γ + ) Pr monoatomqus, α st l coffcnt d accommodaton molécul-paro, l caractérs la fracton ds moléculs ncdnts qu s mttnt n équlbr avc la tmpératur d la paro ( α ) Il dépnd d la natur du gaz, t baucoup d l état physqu t chmqu d la surfac (lss ou ruguus, présnc d couch molécular adsorbé, ou d contamnants) l st l lbr parcours moyn, Int

3 st la conductvté macroscopqu du gaz On vot qu l Par xmpl, pour ds surfacs ndustrlls métallqus, avc l ar ( α =, 8 ) avc l hélum ( α =, 4 ) l 8,t avc l hydrogèn ( α =, ) l 8 l 3, Pour un ntrfac ntr mlux solds délctrqus, dans lsquls ls porturs sont unqumnt ls phonons, dux typs d réflxon, spécular ou dffus, sont à consdérr : -réflxon spécular (paro lss) : Dans la théor (acoustc msmatch modl), du à Lttl [], ls phonons mpactant l ntrfac sont n part réfractés t n part réfléchs slon ds los dntqus à clls d Frsnl n optqu Il n découl pour chaqu couch frontèr un résstanc : = 3 4σ PT port auss l nom d résstanc d Kaptza σ st un constant analogu à cll d Stfan σ pour ls photons ( p Γ = ou (3) σ, P =,5 σ C V C st la vtss d la lumèr, V un vtss moynn ds phonons tll qu 3V = Vl + V t ( V l tv t vtsss ds onds longtudnals t transvrsals)) T st la tmpératur n K, Γ st un factur ( Γ ) qu caractérs l adaptaton mparfat d mpédanc ds dux 3 mlux On vot qu à bass tmpératur dvnt très grand (trm nt ) C modèl d réflxon spécular n st pas très adapté aux stuatons ls plus courants, xcpté à très bass tmpératur (T<K) -réflxon dffus (ntrfac mcroruguus) : Dans la théor (dffusv msmatch modl [3]) qu st plus adapté aux stuatons rélls, surtout à tmpératur moynn ou haut, ls phonons sont dffusés dans touts ls drctons Il n résult un résstanc : α l D = (4) 3 α D st la résstanc dffus rlatv à un ds zons frontèrs, α st l factur d absorpton ds phonons à la frontèr ( α ), st la conductvté macroscopqu du mlu corrspondant On rtrouv un lo : l D On put notr qu pourα =, 8 : l D = Dans la réalté la réflxon st souvnt pour un part (p) spécular t pour un autr part (-p) dffus Pour un ntrfac métal-métal, ls porturs d énrg sont ls élctrons lbrs t ls phonons Pour ls métaux purs cux sont ls élctrons qu jount l rôl prncpal, alors qu pour ls métaux non purs, ou ls allags désordonnés, ls dux typs d porturs jount ds rôls équvalnts Dans ctt stuaton, avc dux typs d porturs, l analys st baucoup plus complx Il convnt d soulgnr, notammnt, qu ls couchs frontèrs, rlatvs à chaqu typ d porturs, sont d épassurs dfférnts, Dans clls-c, t au tout

4 p vosnag d la frontèr (fgur ), coxstnt dux tmpératurs, cll rlatv aux élctrons t cll rlatv aux phonons (résau) Ls flux d énrg transportés par chaqu typ d porturs sont addtfs, la résstanc d ntrfac st donc la résultant d plusurs résstancs placés n parallèl t corrspondant aux transfrts à travrs l ntrfac, phonon-phonon, élctron-élctron, élctron-phonon, t phonon-élctron On néglgra dans ctt analys ls mods crosés t on rtndra qu dux résstancs Ph t El rlatvs à chaqu typ d porturs Pour ls Fgur :coxstnc d tmpératurs phonons Ph a déjà été xplcté, c st la mêm xprsson qu pour ls délctrqus, sul l lbr parcours moyn l P st nférur, à caus d l ntracton phonon-élctron qu dans un métal st un caus supplémntar d dffuson ds phonons Pour ls élctrons El st lé à la dffuson ds élctrons lbrs dans ls zons frontèrs (qulqus lbrs parcours lp tl p ) Il s agt c ds lbrs parcours moyns ds élctrons dans ls mlux t t rlatfs aux ntractons élctrons-phonons qu, suls, lmtnt la conductvté thrmqu (ls collsons élctron-élctron ndusnt ds lbrs parcours baucoup plus grands t n sont pas rsponsabls ds lmtatons d la conductvté thrmqu) Par analog avc c qu l on a établ avc ls autrs typs d portur, on écrt la résstanc d ntrfac : lp lp El = k ( ) + k ( ) (6) l α α αt α sont ds paramètrs ( ) qu caractérsnt globalmnt ls ntractons élctrons- frontèr t dont l rst à précsr la valur (sot à partr d un modélsaton plus lourd, sot à partr d msurs d conductvtés thrmqus [4,5,6,7] ffctués sur ds flms mncs( on a pu stmr k t,5 α pour ds métaux tls qu l cuvr, l argnt) t sont ls conductvtés élctronqus macroscopqus ds mlux t Pour un ntrfac métal-délctrqu, ls flux d chalur transportés par ls élctrons t ls phonons dans l métal sont rprs unqumnt par ls phonons dans l délctrqu La résstanc d ntrfac côté métal résult d la composton n parallèl ds dux résstancs El t Ph rlatvs à chaqu typ d portur La résstanc coté délctrqu s rédut à un sul résstanc = Ph 3 Phénomèn d constrcton à mcro-échll : Lorsqu la tall ds ponts d contact (rayon r ) dvnt d l ordr d qulqus lbrs parcours l, la résstanc d ntrfac à la mcro-échll ds lbrs parcours n st plus néglgabl dvant la résstanc d constrcton t l convnt d l ajoutr à cll-c On consdèr c (fgur 3) l cas d la constrcton ntr un ar crcular d rayon r t un mlu sm-nfn On suppos qu un tmpératur T st mposé sur ctt ar, l rst du plan x = st solé, à l nfn la tmpératur st T

5 On sat qu à l échll macroscopqu ( r l ) on a la rlaton : T T = c Φ (7) Où c = st la résstanc d constrcton à échll macroscopqu 4r Par contr, dans la stuaton qu nous ntérss où ls ffts à mcro-échll n sont plus néglgabls, t tant qu r 3l, on put consdérr qu l phénomèn d constrcton macroscopqu s dévlopp ncor plnmnt jusqu au drot du crcl d rayon r, mas là on dot ntrodur un dscontnuté d tmpératur caractérsé par un résstanc d ntrfac r = qu rprésnt Fgur3 : constrcton globalmnt l ntracton porturs-frontèr sur l ar π r ' Dans c modèl r μ s ajout à la résstanc macroscopqu t l flux transms Φ st plus ptt qu Φ On a : T T = ( + r ) Φ = Φ C μ La résstanc d constrcton st augmnté par ls ffts à mcro-échll On put l écrr: 4 l C = [ + k( ) ] 4r π α r (9) 4 Ordr d grandur ds corrctons d résstanc d constrcton : 3mu L tablau, donn l évoluton, n nm, d l p = avc T pour qulqus métaux : π nk BT Tn K Or Argnt Alumnum (98AlMgF) Inox,5,9,43,74,9,3,9,6,4, (66FCr,5NMn) Tablau : évoluton d l p avc T On vot qu à bass tmpératur cs lbrs parcours sont très augmntés pour ls métaux purs tl qu l or, l argnt, l alumnum, alors qu pour un allag tl qu l acr noxydabl ls augmntnt baucoup mons A ttr d xmpl, pour un ar d contact crcular d rayon r = μ m t un métal tl qu l or ( k, α, 7, u =,39 m / s, k B =,38 J / K, m 3 =,9 kg ), on trouv à T = 5K, l =,58μm,t avc = = 375Wm K, ' C =, 735C La résstanc d constrcton st prsqu multplé par! A T = 3K, = = 3WmK, l p =,9 μm, ' C = 7,38 C La corrcton n st qu d 7% 5 Doman balstqu t d transton ( r 3l ): Lorsqu l rayon d l ar d contact r dvnt plus ptt qul, alors ls transfrts au tout vosnag t à travrs ctt ar, n sont plus d typ dffusf (c st-à-dr gouvrnés par ls C μ π r p (8)

6 collsons ntr porturs) mas s ffctunt slon un régm dfférnt, applé régm balstqu, t pour lqul ls porturs mpactnt ctt ar d contact sans avor sub d collson ntr ux S r l, la zon dans laqull s dévlopp habtullmnt, n régm dffusf, la constrcton (hémsphèr d rayon r ) s stu, ntèrmnt dans la couch frontèr d épassur l, l n y a donc pratqumnt plus d résstanc d constrcton Sul subsst la résstanc caractérsant l mpact porturs- frontèr : l rμ = k( ) α πr Lorsqu,3r l r un part d la zon d constrcton s stu ncor dans l doman dffusf t un part β d la résstanc d constrcton subsst C = βc + rμ 6 Incdnc sur ls modèls d résstanc d contact : Tous ls modèls [8,9] font ntrvnr la résstanc d constrcton qu l convnt donc d modfr pour tnr compt d cs ffts évntuls à mcro-échll Cpndant baucoup d cs modèls font ntrvnr un valur r moynn statstqu ds rayons d contact Cc n st pas adapté, l faut donc modfr cs modèls pour prndr n compt la répartton statstqu ds rayons ds ars d contact ( r l ) 7 Concluson : On a voulu, dans l cadr d ctt analys smplfé, défnr t soulgnr c qu sont ls ffts à mcro-échll t l rôl mportant qu ls puvnt jour sur ls mécansms d transfrt d la chalur à l ntrfac d contact ntr dux solds accolés Cs ffts dovnt êtr prs n compt dès qu ls dmnsons ds ars d contact dvnnnt d l ordr d grandur ds lbrs parcours ds porturs d énrg (élctrons t phonons) Ils s tradusnt par un résstanc d ntrfac qu s ajout à la résstanc d constrcton macroscopqu, ou s y substtu L ordr d grandur d cs résstancs ( l ) st n général très nférur aux résstancs d constrcton habtullmnt rsponsabls du phénomèn d résstanc d contact La prs n compt d cs résstancs d ntrfac n st justfé qu pour ds ars d contact d dmnsonδ nférur à l Pour ds valurs dδ plus grands lls dvnnnt néglgabls Pour ds dmnsons δ nférurs à l (doman balstqu) la résstanc d constrcton dsparaît t c st la résstanc d ntrfac qu s substtu complètmnt à cll-là La prs n compt d ctt résstanc d ntrfac, mplqu d connaîtr, d un part ls lbrs parcours moyn (c n st pas toujours facl), t d autr part, la dmnson ds ars d contact t lur lo d dstrbuton statstqu Pour abordr, l doman ds très basss tmpératurs ls modèls d résstancs d contact actuls dovnt êtr adaptés éférncs : [] EH Knnard, Kntc thory of gas Mcraw-Hll,Nw York,(938) [] WA Lttl, CanJPhys 37,(959)p334 [3] ET Swartz and O Pohl, v Mod Phys 6,(989) 65 [4] D Cahll and al JApplPhys93 (3), [5] LWda Slva and M Kavan, IntJHat Mass Transfr, 47,-(4), [6] JStvns, LVZhgl and PMNorrs, IntJHat Mass Transfr,5,9-(7) [7] ALahmar and al Thn Sold Flms,389(), 67-7 [8] CV Madhusudana, Thrmal Contact Conductanc, Srngr (996) [9] JP Bardon, vénéral d Thrmqu, XI,5 (97),49-44