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1 LE RESEU RECIPROQUE solution L pge 85 de votre poly de physique est conscrée à l définition du réseu réciproque, un concept initilement introduit pr J.W. Gibbs ( ). Ce concept, plutôt bstrit, est bsolument centrl en physique du solide : le but de ce TD est de vous donner l occsion de mnipuler le réseu réciproque et d en comprendre quelques utilistions. - Rngées cristllines, plns réticulires et réseu réciproque Un pln cristllogrphique (ou pln réticulire) est un pln déterminé pr les nœuds qu'il contient. On le définit pr ses indices de Miller. Imginons un pln qui coupe les xes du repère quelconque en trois nœuds du réseu,, C. Les unités choisies sur les trois xes sont, b et c ; on peut écrire : O x. O y.b OC z.c Les coordonnées de sont (x,0,0) ; celles de sont (0,y,0) et celles de C sont (0,0,z) où x, y, z sont des entiers Prenons leurs inverses 1/x, 1/y, 1/z et multiplions les pr leur plus petit commun multiple. On obtient trois nombres premiers entre eux h,k,l qui sont les indices de Miller du pln considéré. Les indices de Miller d'un pln sont notés entre des prenthèses : (h,k,l). L'éqution du pln C s'écrit h x + k y + l z N. Vous pouvez le vérifier ux points,, C ; l constnte entière N est nulle lorsque le pln psse pr l'origine. 1. Imginez un réseu quelconque ; portez les nœuds,,c,d,e et F de coordonnées : 100, 010, 001, 00, 00, 00. Quels sont les indices de Miller du pln C puis ceux du pln DEF? Réponse : (111) pour les deux plns on définit donc une fmille infinie de plns prllèles. Considérons mintennt le réseu orthogonl ci-contre (l xe c est perpendiculire u pln de l feuille). Donnez les indices de Miller du pln verticl dont l trce est mtérilisée sur l figure. Réponse : (10) Vous vez compris? lors, résolvez le problème suivnt :. Dns un repère orthogonl tel que le rpport des prmètres b, trouvez l'ngle qui existe entre l rngée [1-1 0] et l normle u pln (1-1 0).

2 Réponse : Le dessin ci-dessous indique, dns les plns de bse,b (001) l trce du pln (1-1 0) mrquée T et l rngée [1-1 0] mrquée R. L normle u pln est indiquée pr N. 1) - On remrque que R et N, contenus dns les plns (001), ne sont ps colinéires. b donc 60degrés et 0deg.. Si on exmine ttentivement les différents rectngles, on voit que l'ngle entre R et N est: Donc, l normle à un pln n'est ps, en générl, l rngée qui pour indices les indices de Miller du pln. 4. Construisez le réseu réciproque ssocié u réseu hexgonl (on trcer l projection des réseux direct et réciproque sur le pln (001), à prtir de l même origine). Réponse : on rppelle l définition des vecteurs du réseu réciproque b 0 c 0 0 b c 0 C 0 C b 0 C c insi que l définition de l mille élémentire du réseu hexgonl : b c et α β, γ d où le schém suivnt, dns le pln de bse (001) : b vec 4 1 Qunt u vecteur C, il est colinéire à c et C c 5. Sur le schém que vous venez de trcer, construisez l rngée [10] du réseu réciproque, et l trce du pln (10) du réseu direct. Que remrquez-vous?

3 10 direct b [ ] 10 réciproque On remrque évidemment que l rngée [10] du réseu réciproque n est utre que l normle u pln (10) du réseu direct. Vous venez de découvrir une propriété fondmentle du réseu réciproque : l normle u pln d indices de Miller (hkl) est l rngée réciproque de composntes [HKL]. On pourr le démontrer de l fçon clssique suivnte : on considère le vecteur N définissnt l rngée du réseu réciproque [HKL], et on construit l ensemble des vecteurs OM du réseu direct tels que M corresponde à tous les nœuds du pln cristllogrphique (P) perpendiculire à N. N h + k + lc OM u + vb + wc OM N OQ N cste M P soit hu + kv + lw cste On obtient donc l éqution du pln d indices de Miller (hkl). 6. Clculez l distnce interréticulire entre deux plns successifs d une même fmille dns un réseu hexgonl. (P) et (P ) sont deux plns cristllogrphiques successifs de l fmille (hkl). D près ce qui précède on les reltions suivntes : OM N OQ N K vec K entier OM N OQ N ( K + 1) d où ( OQ OQ) N soit : d hkl N

4 Dns le cs du réseu hexgonl, on pourr se rppeler les crctéristiques du réseu réciproque et clculer Nhkl Nhkl Nhkl ( h + k + lc ) ( h + k + lc ) h + k + l C + hk ( h + k ) + l + hk cos c 4 l 4 ( h + k + hk ) + c D où d hkl 4 h + k + hk + l c 7. Toujours dns le réseu hexgonl, clculez l ngle entre les plns (101) et (111) (on supposer que le rpport c/ est égl à 1,58). Réponse : on clcule l ngle entre les plns (hkl) et (h k l ) en clculnt l ngle entre leurs normles respectives pr l formule clssique : N N cosφ N N près quelques clculs sns difficultés on obtient, dns le cs du réseu hexgonl : 1 hh + kk + ( hk + h k ) + ll cosφ h + k + hk + l h k h k l ppliction numérique pour l ngle entre les plns (101) et (111) on trouve φ 9,61 (pour les détils, voir ci-dessous)

5 cosφ ( 1+ 0) ,5 + 0, 75*(0, 65) ( 1+ 0,75*(0,65) ) ( + 0,75*(0,65) ) 1,5 + 0,16875 ( 1+0,16875)( + 0,16875) 1, ,16875*, , , ,8697 ce stde, il est essentiel de comprendre que tous les clculs de géométrie concernnt les plns cristllogrphiques se rélisent isément dns l espce réciproque c est bsolument indispensble dès lors que le repère du réseu direct n est plus orthonormé - Réseu réciproque et microscopie électronique en trnsmission J en vois déjà qui râlent : «ouis, c est ps de l physique çà, c est des mths y en mrre». Très bien. Nous llons donc montrer ici que le réseu réciproque n est ps qu une construction purement bstrite Le schém ci-contre illustre le trjet des électrons dns un microscope électronique en trnsmission (pour ceux que ç intéresse, nous disposons de ce type d équipement à l EMSE). Le fisceu incident prllèle trverse l échntillon (pr exemple un monocristl de silicium sous forme d une «lme mince» de ~100 nm d épisseur). On suppose que le monocristl est orienté de fçon à ce qu une fmille de plns réticulires (hkl) est en position de rgg excte. L objectif est constitué d un jeu de lentilles électromgnétiques, et peut-être ssimilé à une lentille mince convergente. Dns le pln focl imge nous obtenons un cliché de diffrction constitué de deux tches :

6 1. Montrer, grâce à l construction d Ewld, que ce cliché de diffrction n est rien d utre qu une coupe de l espce réciproque si ç c est ps de l physique! Plns (hkl) θ O R.. Réponse : voir l construction complète ci-dessous où l on remrque que : * O Phkl λghkl λ sinθ * O d hkl remrque : le fcteur de normlistion utilisé en physique du solide est pénlisnt dns l nlyse de l diffrction en fit le réseu réciproque utilisé dns ce cs est courmment défini pr : 1 b 0 c b 1 c 0 d où l reltion ghkl dhkl C 0 C b 0 C c 1

7 Mintennt que vous svez mtériliser le réseu réciproque dns un microscope électronique en trnsmission, retrouvez les conditions d extinction obtenues pge 94 pr le clcul du fcteur de structure. Pour ce fire, on construir et comprer les réseux réciproques des structures cubique simple, cubique centrée et cubique fce centrée Utilisez l mille primitive pour votre construction. Réponse : oui, je sis, c est bêtement clcultoire, mis l idée c est de leur fire entrer dns l tête que le réseu réciproque crctérise le phénomène de diffrction. Cubique simple : ( V ) Cubique centré : ( V ) Cub. Fce Centrée : ( V 4) Réseu direct i b j c k i + j+ k b ( i j+ c ( i + j j+ k b i + k c ( i + j) 4 Réseu réciproque b c i V c j V b C k V ( j+ ( i + C ( i + j) i + j+ k ( i j+ C ( i + j 4 C (111) (000) (100) (000) C (000) (00) (00) (110) (0) (00) C Cubique simple Cubique centré Cubique fces centrées Ps d extinction Somme des indices pires Indices de même prité

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