Chapitre 4: Calcul de primitives

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1 PCSI Préparaion des Khôlles - Chapire : Calcul de primiives Eercice ype Calculerlesprimiivesde +, e sin(), 5+6 e ++. :Pour,f()= + esdéfinieeconinuesur],+ [,f admedesprimiivessurceinervalle. Ona + = +,ainsi f()d= + +C= +C oùc R. Pour, f()=e sin() es définie e coninue sur R donc f adme des primiives. On a f() = Im e e i = Im e (+i),oruneprimiivedee (+i) es +i e(+i) = i + e(+i) = i e (cos+isin). 5 Ainsi f()d= e (sincos)+c oùc R. 5 Pour,f()= 5+6 = ()() esdéfinie,coninuesurd f =R\{,}.Elleadmedesprimiivessur ouinervallei inclusdansd f.ona a + b = (a+b)ab ()() a+b= En choisissan a+b= a=eb=,ona f()d = d=ln ln +C=ln +C oùc R valablesuri R\{,} Pour, on a ++ = (+) +, ainsi f() = ++ es défini e coninue sur R donc y adme des primiives. On a f()d= (+) + d.or du u +a = a arcan +C oùc R,donc a (+) + d= arcan + +C oùc R. Remarque : Onpeuaussiécrireque forme u u +. (+) + d= d= d,eonreconnaîla Eercice ype Calculer (+)( +) d(rouvera,b,créelselsque (+)( +) = a + +b+c + ). :Soif()= surouinervallei D f.oncherchea,b,créelselsque (+)( +),alorsfesdéfinieeconinuesurd f =R\{}.Ainsifadmedesprimiives (+)( +) = a + +b+c +. a Si on rédui au même dénominaeur, on obien + + b+c + = (a+b) +(b+c)+(a+c) (+)(. On résou donc +) a+b= b+c= a+c= c= b=c a=c.ainsi (+)( +) = /8 G H

2 PCSI Préparaion des Khôlles - d où ainsi (+)( +) d= + + d + =ln + +C, + d. Mais + d= ln + +C e d + =arcan+c + + d= + ln + + ln + arcan+c oùc R Eercice ype SoiF()= ln d,donnerledomainededéfiniiond f def. : Soif()=, définie e coninue sur ],[ ],+ [, F()esdéfiniesi eseulemensi l inervalle ln d inégraion[,]esinclusdansd f.unepremièrecondiiones>.ilyaalorsdeucas: >eainsi>d où[,] ],+ [. <<e<,donc, eainsi[,] ],[. ConclusionD f =, ],+ [. Eercice ype SoiF()= arcan d,quelesledomainededéfiniiondef?calculerf ()eendéduiref. :Posonsf()= arcan,lafoncionf esdéfinie,coninuesurr doncinégrablesurouinervalleinclus dansr.orl inervalled inégraiones,selon,soi,,soi,. Onrésume cela par,,. R.On endéduiquef esdéfiniesurr.soiengehdesprimiivesdef sur],+ [e],[respecivemen(pareemple G()= f()deh()= f()d).lesfoncionsgeh sondérivablessur],+ [e],[resopecivemen, ededérivéeségalesàf().deplus,si>,onaf()=g G()esi<, F()=H H().Onen déduiquef esdérivablesurr (composéedefoncionsdérivables)e Si>,F ()= G G ()= f f() Si<,F ()= H H ()= f f() Donc =, D où F ()= arcan arcan arcan = +arcan Si>,F ()= esi<, F ()= car arcan +arcan=signe() PuisqueF()=eF()=,onobien Si>,F()= F ()d= lnf()= ln /8 G H

3 PCSI Préparaion des Khôlles - Si<,F()= F ()d= ln F()= ln Eercice Soif()= ef définieparf()= f()d.jusifierquef esdéfiniesurr.monrerquef esimpaire.a + l aideduchangemendevariableu=,éablir,pour=,unerelaionenref()ef.endéduirelalimie def en+.calculerf ()pour R,endéduirelesvariaionsdeF sur[,+ [. :OncommenceparjusifierqueF esdéfinieeconinuesurr.lafoncionf esdéfinieeconinuesurr, soiφuneprimiivedef surr,alors,pour R,onaF()=Φ()Φ().AinsiF esdéfinieeconinuesurr. Pour éudier la parié, on a F() = f()d, on pose alors u = (changemen C sur R donc sur l inervalle d inégraion, ceinervalle es [,] si >, e[,] si <, on peu écrire qu il vaui =[,] [,]). pour avoirf()= f(u) (du).puisquef espaire,onaf()=f().ainsif esimpaire. Onposeensuieu=,changemendevariableC surr Onaalors= u = d=du d = u = du du + u + =.Ondéerminelesnouvellesbornes.Si= +u u alorsu=,si=,alorsu=.onadonc Puisque F(u) u F F()= du = +u du =F +u F() = (c es la coninuié de F en u = ) e que u = + (onuiliselacomposiiondeslimies).ainsi + F() + Pourfinir,onsaiqueF()=Φ()Φ()avecΦdérivablesurRellequeΦ ()= surre F () = Φ ()Φ ()= = = (reenir a b= ab ) a+ b = D() = D() Onendéduiquef escroissanesur oùd()>surr = + esdusignede D(), puisdécroissane.ainsif aunmaimumen=., on en dédui que.ainsi,f esdérivable + /8 G H

4 PCSI Préparaion des Khôlles - VoicilegraphesurR: / Eercice ype 5 Ondéfini,pouroueniernaureln,l inégralei n pari n = n d.monrerquepourn,i n = n n+ I n. :OninégreI n parparies(eninégran carceefoncionn espasdérivableen,onn adoncpas le choi pour l IPP). Sin, d où Ainsi I n = = n f ()= f()= () g()= n g ()=n n,f egsonc sur [,] n ()d= n () n () d= n n d nn () d I n = n (I ni n ) I n = n n+ I npourn. n d = n (I ni n ) Eercice ype 6 Monrerque k N,k, cos(k)d= k. :Oninègreparparies.Onfaideuinégraionsparpariesendérivanlepolynôme. cos(k)d = = k = = k sin(k) d sin(k) k sin(k)dcar sink= k cos(k) k = k k cos(k) k cos(k)d= k + k cos(k) d cos(k) d /8 G H

5 PCSI Préparaion des Khôlles - NepasoublierquelorsdesdeuIPP,lesfoncionssondeclasseC sur[,] (Ils agidepolynômesedesfoncions sin(k), cos(k)). Eercice ype 7 SoiI n = pourn. sin n d, donnerune relaionde récurrence pour la suie (I n ) n N. Endéduire que (n+)i n+ I n = : LadéfiniiondeI n esassuréeparlaconinuiéde sin n sur,. Pourn, oninègreensuie parpariesenécrivanquesin n =sin sin n. Onobienalors u ()=sin u()=cos v()=sin n v ()=(n)cossin n uevsonc sur, () I n = = (n) sin sin n d= cossin n +(n) = (n)(i n I n ) sin sin n d soi,eneprimani n enfonciondei n eaprèsmuliplicaionpari n ni n I n =(n)i n I n cos sin n d ce qui signifie que la suie définie par u n = (n+)i n+ I n es consane égale à son premier erme I I. Or I =, I = sind=d oùlerésula. Eercice ype 8 Calculer denposanu= +,queleslesignedurésulaobenu,pourquoi? :Lechangemendevariableu= queu = + d où = = u e + 8+ d = = + esc sur, 8.Pourcalculerduc esassezcompliqué,onécri d= u (u ) du = = u= = 8 = u= u (u ) +u u du= u u du u+ u du=[u+ln( u )] = ln()< car > 8 eparposiiviédelafoncioninégrée. 5/8 G H

6 PCSI Préparaion des Khôlles - Eercice Calculer I = d aires. d en posan = sin, rerouver ce résula par une inerpréaion géomérique en ermes : L inégrale I eise car la foncion inégrée es bien coninue sur [,]. Dans ce eemple, on réalise le changemendevariabledansl auresens.lechangemendevariableesc surl inervalle,surquelinervalle?ona d=cosd si= onchoisi = si= onchoisi = Onadonc, elechangemendevariableesc surceinervalle.deplus d= sin cosd= cos cosd=cos d carsur, onacos.d oùi= cos +cos d= d= +sin =. Onpeurerouvercerésulagéomériquemen,eneffelacourbey= esunarcdecercle(y= y = +y = ) L inégrale demandée es donc l aire(algébrique) d un quar de cercle, la règle des y y signesdonnelavaleur. Eercice Calculer les inégrales suivanes à l aide du changemen de variable indiqué: () () ln d, u= + () + e e + d, u= e + () d +, u=+ sin cos d, u= cos d :() = u du= +. ()onau=+ pasc donc=(u) = d=(u)e d + = (u) du= 5 u ln ()Onposeu= e +,soie =u = e e d=udue e + = u u du, d où u ln e e + d= u du=. ()Onacos=u = sind=uduesin =cos =u d où sin d= cos u du= /8 G H

7 PCSI Préparaion des Khôlles - Eercice SoiI= sin sin+ cos d,àl aided unchangemendevariableasucieu,calculeri. sin :L inégraleieisecar esbiendéfini,coninuesur, sin+ cos.eneffe,sur,, sin e cos,ainsi Si sin+ cos=alors sin= cos= d où cos + sin = mais( sin cos) + =cos +sin =,absurde.ledénominaeurn esdoncjamaisnul. sin DansI= d,onposeu= sin+ cos quiesbienc sur,,onobien I= cos d= sin+ cos cos sin+ cos d d où I= sin+ cos sin+ cos d= = I= Eercice 5 Calculer ϕ ( +) denposanu= oùϕ= + 5 (ona + + = +) :Onvérifiequel inégraleeise(uiliserlafacorisaiondonnée)puisonadu=+ = +,or donc d = d + = ϕ + d= u du Pour calculer la dernière inégrale, le plus simple es d idenifier la courbe y = y = ey +y =. Il s agi donc du demi-cercle rigonomérique. Comme [, ], la dernière inégrale correspond à l aire ey d unquardecerclederayon,soi. Eercice ype 9 + CalculerI= denposan=cosϕ. 7/8 G H

8 PCSI Préparaion des Khôlles - + : L inégraleeisecarlafoncion esbiendéfinieeconinuesur,. Lechangemende variable donné, =cosϕ donne d=sinϕdϕ, onchoisi pour=, ϕ= e =, ϕ=. Ainsi ϕ, e =cosϕesc sur,.onobienalors I= Onsimplifiedirecemen +cosϕ cosϕ = (+cosϕ) cos ϕ = (+cosϕ) sin ϕ +cosϕ cosϕ sinϕ=(+cosϕ)= I= +cosϕ cosϕ sinϕdϕ..puisqueϕ,,onasinϕ>eainsi (+cosϕ)dϕ=[ϕ+sinϕ] = 6 + Aure méhode : Avec+cosϕ=cos ϕ ecosϕ=sin ϕ,onobien(puisque ϕ 6,,an ϕ >) I= sinϕ an ϕ dϕ= sin ϕ cosϕ an ϕ dϕ= cos ϕ dϕ= (+cosϕ)dϕ= Eercice 6 Calculersh(lna),endéduiresh(ln),sh(ln).Calculerladérivéedef()= sh ch.enfincalculer e d + enposan=sh. d (+ ) + a =ainsish(ln)= a,sh(ln)=.puisf ()= :Sia>,alorssh(lna)= e lna e lna = ch sh ch = ch.les deu inégrales eisen car les foncions inégrées son coninue sur l inervalle d inégraion. Onpose=sh,apriori,onnesaipasquelesl inervalled inégraionen,maispuisqueshesc surr,celaimpore peu Onaalorsd=ch()d,puis + = +sh =chcarch>surrd où Reselesbornes,maisonaleableausuivan Onadonc Carch(lna)= a + a =,d où d ln (+ ) + = d (+ ) + = d + = d oùch(ln)= 5.Puis ch() ch ()ch() d= ch d sh d =sh() ln ln ch() ch ()ch() d= d ln + = ln ln d ln + = sh d= ch sh ln d ch () = ln ln sh d.mais, 5 = ln sh = sh(ln) ch ch sh 5 ch(ln) = 5 = sh ch = 5 sh = sh si 8/8 G H