TES - Accompagnement: Probabilités conditionnelles,, variable aléatoire et loi binomiale

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1 TS - ccompagnement: Probabltés condtonnelles,, varable aléatore et lo bnomale xercce 1 'asthme est une malade nflammatore chronque des voes respratores en constante augmentaton. n France, les statstques font apparaître que, parm les adultes, envron 4 % des hommes et 5 % des femmes sont asthmatques. Dans la populaton françase, on consdère l'ensemble des couples homme-femme. Parte : tude de l'état d'asthme du couple On note: H l'événement: «l'homme est asthmatque» F l'événement: «a femme est asthmatque» On admet que les événements H et F sont ndépendants. 1) Compléter l'arbre de probabltés c-contre. 2) On note les événements: : «ucun des deux adultes du couple n'est asthmatque» : «Un seul des deux adultes du couple est asthmatque» C: «es deux adultes du couple sont asthmatques» a) Montrer que p() = 0,912 b) Calculer p() et p(c) Parte : tude de la transmsson de l'asthme au premer enfant es études actuelles sur cette malade montrent que: S aucun des parents n'est asthmatque, la probablté que leur enfant sot asthmatque est de 0,1. S un seul des parents est asthmatque, la probablté que leur enfant sot asthmatque est de. S les deux parents sont asthmatques, la probablté que leur enfant sot asthmatque est de. On note l'événement: «e premer enfant du couple est asthmatque». 1) Compléter l'arbre de probabltés c-contre. 2) Calculer p(). p et nterpréter le résultat. 3) Calculer Dédure p et nterpréter le résultat. 4) Quelle est la probablté qu'un enfant non asthmatque at au mons un de ses parents asthmatques? Indcaton: On pourra chercher à calculer l'événement contrare.

2 xercce 2 Une boîte de chocolats content 50 % de chocolats au lat, 30 % de chocolats nors et 20 % de chocolats blancs. Tous les chocolats de la boîte sont de même forme et d'emballage dentque. Ils sont garns sot de pralné sot de caramel et, parm les chocolats au lat, 56 % sont garns de pralné. On chost au hasard un chocolat de la boîte. On suppose que tous les chox sont équprobables. On note les événements: : «le chocolat chos est au lat» N: «le chocolat chos est nor» : «le chocolat chos est blanc» : «le chocolat chos est garn de pralné» : «le chocolat chos est garn de caramel» Tous les résultats seront donnés sous forme décmale. 1) Tradure les données du problème à l'ade d'un arbre de probablté. 2) Donner la probablté que le chocolat chos sot garn de pralné sachant que c'est un chocolat au lat. 3) Détermner la probablté que le chocolat chos sot au lat et garn de pralné. 4) Dans la boîte, 21 % des chocolats sont nors et garns de pralné. Calculer la probablté que le chocolat chos sot garn de pralné, sachant que c'est un chocolat nor. 5) Dans la boîte, 60 % des chocolats sont garns de pralné. a) Détermner la probablté que le chocolat chos sot blanc et garn de pralné. b) n dédure la probablté que le chocolat chos sot garn de pralné sachant que c'est un chocolat blanc. 6) a) Calculer la probablté que le chocolat sot blanc sachant qu'l est garn de pralné. b) Calculer la probablté que le chocolat sot nor sachant qu'l est garn de caramel. 7) On dspose de deux boîtes de chocolats dentques à celle décrte précédemment. Une personne prend au hasard un chocolat dans la premère boîte, pus un chocolat dans la deuxème boîte (les trages sont ndépendants). Détermner la probablté de l'événement C: «l'un des chocolats chos est garn de pralné et l'autre est garn de caramel». xercce 3 Deux joueurs oger et aphaël dsputent un match de tenns. Dans cet exercce, on s'ntéresse aux ponts gagnés par oger lorsqu'l sert (c'est à dre lorsqu'l effectue la mse en jeu). chaque pont dsputé, oger dspose de deux essas pour son servce. S'l rate ces deux essas, l perd le pont (on parle de double faute). oger s'apprête à servr. On note les événements: : «oger réusst son premer servce» : «oger réusst son second servce» : «oger gagne le pont» Une étude sur les précédents matchs de oger a perms d'établr que, lorsque oger sert: l réusst dans 75 % des cas son premer essa et lorsque ce premer servce est réuss, l gagne le pont dans 92 % des cas. s'l ne réusst pas son premer servce, l réusst le second dans 96 % des cas et lorsque ce second servce est réuss, l gagne le pont dans 70 % des cas. es probabltés demandées seront données sous forme décmale arronde, s nécessare, au mllème. 1) Compléter l'arbre pondéré ccontre. 2) Quelle est la probablté que oger fasse une double faute? 3) Quelle est la probablté que oger rate son premer servce, réusssse le second et gagne le pont? 4) Montrer que la probablté que oger gagne le pont est de 0,858. 5) Sachant que oger a gagné le pont joué, quelle est la probablté qu'l at réuss son premer servce?

3 6) es deux joueurs dsputent 4 ponts de sute (oger servant à chaque fos). On admet que chaque pont joué est ndépendant des ponts joués précédemment. a) Quelle est la probablté que oger gagne exactement 2 ponts? Quelle est la probablté que oger ne gagne pas la totalté des 4 ponts? xercce 4 Un club de nataton propose à ses adhérents tros types d'actvté: la compétton, le losr ou l'aquagym. Chaque adhérent ne peut pratquer qu'une seule des tros actvtés. 30 % des adhérents au club pratquent la nataton en losr, 20 % des adhérents au club pratquent l'aquagym et les autres adhérents pratquent la nataton en compétton. Cette année, le club propose une journée de rencontre entre tous ses adhérents. 20 % des adhérents de la secton losr et un quart des adhérents de la secton aquagym partcpent à cette rencontre. 30 % des adhérents de la secton compétton ne partcpent pas à cette rencontre. On nterroge au hasard une personne adhérente à ce club. On consdère les événements: : «a personne nterrogée pratque l'aquagym» C: «a personne nterrogée pratque la nataton en compétton» : «a personne nterrogée pratque la nataton en losr» : «a personne nterrogée partcpe à la rencontre» 1) Tradure les données à l'ade d'un arbre pondéré. 2) a) Calculer p(c ). b) e présdent du club déplore que plus de la moté des adhérents ne partcpent pas à la rencontre. Justfer son affrmaton par un calcul. 3) On nterroge une personne au hasard lors de la rencontre. Calculer la probablté qu'elle sot de la secton 2 compétton. Donner une valeur approchée du résultat arronde à. 4) es tarfs du club pour l'année sont les suvants: l'adhéson à la secton compétton est de 100 et l'adhéson à la secton losr ou à l'aquagym est de 60. De plus, une somme de 15 est demandée aux adhérents qu partcpent à la rencontre. On appelle S la somme annuelle payée par un adhérent de ce club (adhéson et partcpaton éventuelle à la rencontre). a) Compléter le tableau suvant donnant la lo de probablté de S: s p(x = s ) 0,11 5 b) Calculer l'espéranbce mathématque de S et nterpréter ce nombre.

4 TS - ccompagnement: Probabltés condtonnelles, varable aléatore et lo bnomale - Corrgé xercce 1 Parte 1) Vor arbre c-contre 2) a) p() = p( H F ) = 0,96 0,95 = 0,912 H 0,05 F b) p() = p(h F ) + p( H F) p() = 0,04 0,95 + 0,96 0,05 = 0,086 0,04 0,95 F p(c) = p(h F) = 0,04 0,05 = 0,002 0,96 F 0,05 H 0,95 F Parte : tude de la transmsson de l'asthme au premer enfant 1) Vor arbre c-contre 2) p() = p( ) + p( ) + p(c ) p() = p() p ( ) + p() p ( ) + p(c) pc ( ) p() = 0,912 0,1 + 0, ,002 p() = 0,118 p 0,912 0, ) p ( ) = = = 73 p() 0, a probablté qu'un enfant asthmatque n'at aucun de ses deux parents ashtmatque est égale à p = 1 p ( ) = 1 = a probablté qu'un enfant asthmatque at au mons un de ses deux parents asthmatques est égale à 27. p = 1 p 4) ( ) p( ) p 0,912 0,9 0, = 1 = 1 = 1 = 1 = 0,069 1 p 1 0, Ω 0,912 0,086 0,002 C 0,1 0,9

5 xercce 2 1) Vor arbre c-contre: 2) p = 6 (c'est écrt sur l'arbre) 6 0,44 3) p( ) = p() p ( ) = 6 = 8 4) 21 % des chocolats sont nors et garns de pralné donc p(n ) = 1 p( N ) 0, 21 pn ( ) = = = (vor arbre complété p N c-dessous) Ω N 5) a) 60 % des chocolats sont garns de pralné donc p() = 0,6 On sat que: p() = p( ) + p(n ) + p( ) 0,6 = p( ) donc p( ) = 0,6 1 8 = 0,11 b) p ( ) = 6) a) p ( ) = ( ) p( ) p ( ) p p = 0,11 0, 2 = 5 = 0,11 0,6 = 0,183 à 3 Ω N 6 0,44 5 0,45 b) p ( N ) = p N p N p N p = = = 25 1 p 1 0, 6 7) Vor arbre c-contre: p(c) = 0,6 0,4 + 0,4 0,6 = 0,48 0,6 (sot le chemn - sot le chemn - ) 0,6 0,4 0,4 0,6 0,4

6 xercce 3 1) Vor arbre c-contre 2) p( ) = p( ) p ( ) = 5 0,04 = 0,01 5 0,92 0,08 3) p( ) = 5 0,96 = 0,168 4) p() = p( ) + p( ) p() = p() p ( ) + p( ) p() = 5 0,92 + 0,168 = 0,858 5) p ( ) = p 0, 75 0,92 = = 0,804 à p 0, ,96 0,04 6) Sot l'épreuve de ernoull qu consste à dsputer un pont. a probablté que oger gagne un pont est égale à 0,858 (= probablté d'un succès) On répète 4 fos cette épreuve de ernoull de façon dentque et ndépendante. Sot X la varable aléatore égale au nombre de ponts gagnés par oger (= nombre de succès) X sut donc la lo bnomale de paramètres 4 et 0, , ,858 = 6 0,858 0,142 2 a) p(x = 2) = ,089 à b) p(x < 3) = 1 p(x = 4) = , ,858 4 près = ,858 1 = 1 0,858 0,458 à 10 3 xercce S = C = , = ) Vor arbre c-dessus

7 2) a) p(c ) = p(c) pc ( ) = = 5 b) p( ) = p( ) + p(c ) + p( ) p( ) = p() p ( ) + p(c) pc ( ) + p() p ( ) p( ) = ,8 p( ) = 4 a probablté qu'une personne nterrogée ne partcpe pas à la rencontre étant égale à 4, le présdent du club a donc rason. 3) p ( C ) = p C = = = p p( ) = 61 à 3 4) a) vor arbre page précédente p(s = 60) = p( ) + p( ) = p() p ( ) + p() + p(s = 100) = p(c ) = p(c) pc ( ) = = 0,15 s p(x = s ) 9 0,11 0,15 5 emarque: la somme des 4 probabltés est ben égale à 1 b) (S) = , , = 86,9 Un adhérent paye en moyenne 86,9 euros par an. p = 5 + 0,8 = 9

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