CINÉTIQUE DU SOLIDE. Nous ne donnerons pas son expression dans le cas général mais uniquement dans les deux cas usuels étudiés en physique :

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1 CIÉTIQUE DU SIDE Rappel : En mécanique, on appelle solide un cops indéfomable : la distance ente deux éléments quelconques d un solide este constante au cous du temps. Dans le cas généal, le epéage d un solide dans un éféentiel donné, demande la donnée de 6 paamètes. (9x coodonnées pou tois de ses points, moins tois elations expimant que leus distances mutuelles estent constantes). n dit que le mouvement le plus généal d un solide a 6 degés de libeté. Il y a plusieus façons de choisi les six paamètes décivant la position d un solide (pemie exemple : méthode d Eule, coodonnées d espace, plus les tois angles dits angles d Eule : pécession, nutation, otation pope; deuxième exemple (utilisé pou un avion) : degés pou la position de son cente de masse, un angle (appelé assiette) pou caactéise la position de l axe du fuselage (appelé axe de oulis) pa appot à un plan hoizontal (caactéise le tangage), un angle pou caactéise la otation pope de l avion autou de l axe du fuselage de l avion (inclinaison), un angle (cap choisi) pou caactéise la position de l axe du fuselage autou d une veticale passant pa appelé axe de lacet. I. oi de distibution des vitesses des points d un solide Soit R le éféentiel d analyse (usuellement : éféentiel du laboatoie ou éféentiel teeste); soit un solide S, R S son éféentiel. Un solide étant pa définition indéfomable, ses points estent fixes les uns pa appot aux autes, il existe donc des elations ente les vitesses de ces points : loi de distibution des vitesses des points d un solide.. Vecteu vitesse instantanée de otation d un solide n caactéise le mouvement instantané du solide S dans le éféentiel du labo R pa un vecteu S/R appelé vecteu vitesse instantanée de otation du solide dans R. ous ne donneons pas son expession dans le cas généal mais uniquement dans les deux cas usuels étudiés en physique : Cas α : S est en tanslation dans R : S/R 0 Cas β : S est en otation autou d un axe fixe de R. Appelons z cet axe. Dans le plan pependiculaie à z, Soit x une diection fixe de R et X une diection fixe de S pependiculaie à z. Soit θ l angle (x,x). S/R θ & u z Cinétique du solide (méca)

2 . oi de distibution des vitesses des difféents points d un solide Soit deux points A et B du solide. En expimant que A et B appatiennent au même solide, et pa suite que les composantes du vecteu AB sont des constantes au cous du temps dans le éféentiel du solide, on obtient une elation ente leus vecteus vitesses dans le éféentiel d analyse R, appelée loi de distibution des vitesses des points du solide : loi de distibution des vitesses des points du solide S : A et B étant deux points quelconques du solide S v (B S) R v(a S) + S / AB appelée également elation de Vaignon ou encoe, avec des notations allégées : v (B) v (A) + AB Examinons ce ésultat dans les deux cas paticulies usuels : Cas α : S est en tanslation dans R : puisque S/R 0 v (B) v (A) Ce qui est bien confome à la définition d une tanslation : tous les points du solide S ont même vecteu vitesse. Cas β : S est en otation autou d un axe fixe de R. n a vu S/R θ & u z avec les notations appelées pécédemment. a loi de distibution des vitesses des points du solide s écit alos, en penant A su l axe z, donc de vitesse nulle : v(b) AB AH + HB soit v(b) HB ρθ& u θ B, où H est le pojeté de B su l axe de otation. Ceci est bien confome au fait que le point B a un mouvement ciculaie de cente H, de vitesse angulaie θ &.. oi de composition des vecteus vitesse instantanée de otation oi de composition des vecteus «vitesse instantanée de otation» S S ' + R' Remaque su le éféentiel baycentique R* : Appliquons le ésultat pécédent dans le cas où le deuxième éféentiel R est le éféentiel baycentique du solide S : D apès la définition de R* : 0 R * a loi de composition donne donc : S S * e vecteu otation instantanée d un solide est le même dans le éféentiel d analyse et dans le éféentiel baycentique du solide associé au éféentiel d analyse. Pa ailleus les vitesse et accéléation d entaînement d un point matéiel quelconque (ente les éféentiels R et R*) s écivent alos, puisque 0 v R * : e () v(cr *)/ R v() et ae() a(cr* )/ R a() Cinétique du solide (méca)

3 II. Cinématique du contact ente deux solides. Vitesse de glissement Soit deux solides S et S, à pioi tous deux en mouvement dans un éféentiel R, en estant au contact l un de l aute (contact supposé ponctuel). Soit I(t) un point mathématique (géométique) de contact à l instant t. Supposons les sufaces assez égulièes pou qu existent en I un plan tangent commun à S et S et une nomale commune à S et S. S Ν R plan tangent en I n I(t) Τ S Distinguons : le point géométique de contact I(t). Pa appot à R, I décit une coube C dans l espace. le point matéiel I (t) du solide S, en contact avec S (en I) à l instant t. Pa appot à R S, I décit une coube C dessinée su la suface extene de S. le point matéiel I (t) du solide S, en contact avec S (en I) à l instant t. Pa appot à R S, I décit une coube C dessinée su la suface extene de S. Si S et S sont en mouvement, ces points bougent. Ils ont en généal des tajectoies C, C, C, difféentes. n appelle vitesse de glissement à l instant t du solide S su le solide S, la vitesse dans le éféentiel R S lié à S, du point I de S en contact à l instant t avec S. vitesse de glissement du solide S su le solide S : v g (S / S ) v(i ) S Remaque : il ne s agit pas de la vitesse du point géométique de contact, mais du point matéiel de S (en contact avec S à l instant t). Aute expession : Soit R un éféentiel quelconque où se meuvent à pioi les deux solides S et S. a loi de composition des vitesses donne (R éféentiel absolu, R S éféentiel d entaînement) : v(i S )/ R v(i) ve (I) v(i) v(i) S En effet, le point coïncidant de I est le point lié au éféentiel d entaînement R S, c est-à-die I. n obtient ainsi une expession équivalente de la vitesse de glissement du solide S pa appot au solide S (qu on pouait tès bien pende comme définition) : vitesse de glissement du solide S su le solide S : v g (S / S ) v(i) v(i) Cas usuel où le solide S est immobile dans le éféentiel R d analyse c est-à-die losque le éféentiel d analyse et le éféentiel lié à S sont confondus : RR S. a vitesse du point I S dans le éféentiel R est alos nulle : Cas où S est immobile dans R : vitesse de glissement du solide S su le solide S : vg (S / S ) v(i) Cinétique du solide (méca)

4 . lissement, oulement et pivotement Décivons le mouvement de S dans le éféentiel lié à S. (RR ). Considéons pa exemple un ceceau (S ) avec une maque tacée dessus, et une table (S ). a vitesse d un point quelconque de S dans R s écit d apès la loi de distibution des vitesses du solide S : v( ) v(i ) + I v(i ) + S vg vitesse de glissement vg + I 44 T I + v () vitesse de oulement 44 I vp () vitesse de pivotement où est le vecteu instantané de otation de S dans R et I étant la nomale en I commune à S et S. n a décomposé en commun aux deux sufaces). +, somme de ses composantes nomale (su I) et tangentielle (su le plan tangent en I T Pou un mouvement de S le plus généal, la vitesse de se décompose en généal en tois temes, le pemie est la vitesse de glissement de S pa appot à S, le second est appelé vitesse de oulement, le toisième, vitesse de pivotement. Examinons les cas paticulies suivants : Pivotement sans glissement ni oulement (pivotement pu). opéateu fait pivote le ceceau autou de la nomale au point de contact. e vecteu otation instantanée du ceceau est alos nomal à la table, sa composante tangentielle est nulle; la vitesse de glissement est nulle également : v 0; 0; 0. v ( ) v ( p ) I g T, vecteu paallèle à la table. e mouvement d un point quelconque du ceceau pa appot à la table est un mouvement ciculaie instantané d axe I. Roulement sans glissement ni pivotement. opéateu fait maintenant oule le ceceau sans le faie glisse, et en le maintenant dans un même plan vetical, en contact quasi ponctuel avec la table. a vitesse de glissement du ceceau dans le éféentiel du laboatoie est alos nulle. Et oui, le ceceau ne glisse pas. a vitesse du point matéiel I S, appatenant au ceceau, en contact avec la table est, de façon instantanée, nulle!! C est un peu difficile à concevoi, mais, à un instant t donné, le ceceau toune autou d une doite imaginaie dessinée su la table passant pa le point I. Cetes, au cous du temps, les points de contact I, I S et I S changent, mais, à un instant t donné, la vitesse instantanée du point I S (vitesse de glissement) est bien nulle. v g 0; 0; T 0 e mouvement instantané du ceveau est une otation de vitesse angulaie T autou de la doite IT(t)(I, ) du plan tangent au point de contact, doite appelée axe instantané de otation. e mouvement du point S quelconque du ceceau pa appot au sol est un mouvement ciculaie instantané de cente I. v () T I I lissement sans oulement ni pivotement (glissement pu). opéateu maintient le ceceau dans un plan vetical, en contact quasi ponctuel avec la table, et tanslate le ceceau. e ceceau glisse sans oule su la table. a vitesse de glissement du ceceau dans le éféentiel du laboatoie est égale à la vitesse du point I S du ceceau en contact avec la table; puisque le ceceau est en tanslation, c est aussi la vitesse du cente du ceceau ou encoe du point maqué S : v g 0; 0; 0 : le mouvement instantané est une tanslation de vitesse v g. Tous les points de la oue ont T même vecteu vitesse instantané pa appot au sol, v g. Cinétique du solide (méca) 4

5 . Etude du oulement sans glissement ni pivotement : condition de oulement sans glissement (CRS) e cas tès féquemment étudié est celui du oulement sans glissement et sans pivotement (on omet quasiment toujous de pécise «et sans pivotement»), i.e., le deuxième cas paticulie ci-dessus. oulement sans glissement (et sans pivotement) 0 (et 0 ) v g Rappel : pas de glissement de S su S v g 0 v(i S ) S 0 R v(is ) / v(is ) ontons su un exemple que l exploitation du «non glissement» pemet de touve une elation ente la vitesse de otation instantanée du solide et la vitesse de son cente d inetie. Roue (S ) (veticale) oulant sans glisse (ni pivote) su une voie hoizontale ectiligne (S ) Soit v() vu, la vitesse du cente d inetie de la oue. y 0 v z I θ y x Touvons la elation ente v, vitesse du cente d inetie de la oue, vitesse angulaie de la oue et a ayon de la oue, qui ésulte du fait que la oue oule sans glisse. a loi de distibution des vitesses des points de la oue s écit, pou les points et I S (I point de la oue en contact avec le sol) ( étant le vecteu vitesse de otation de la oue pa appot au sol) : v vi + I 0 (oulement sans glissement) n déduit : v I a oue a un mouvement instantané de otation pue autou de I de vitesse vi Avec le choix des axes indiqué su le schéma : v u y u (-a z v-a e signe «moins» coespond au fait qu un mouvement de dans le sens des y coissants (v>0) coespond à une otation pope de la oue dans le sens invese du sens tigo (<0) (et vice-vesa). x u x ) + Remaque : est le vecteu otation de la oue pa appot au sol, c est aussi le vecteu otation de la oue dans son baycentique. Sa valeu algébique est donc la déivée pa appot au temps de l angle θ ente une diection fixe du baycentique, x pa exemple et une diection fixe de la oue telle que le ayon 0 ( 0 étant le point de la oue en contact avec le sol à t0). u & z θu z Remaque : Quand la oue patine (i.e. v0, mais θ & 0), il y a glissement, la elation v-a n est pas véifiée, v(i ) 0. De même, quand la otation de la oue est bloquée pa les feins, mais que la oue avance (v 0 mais θ & 0), il y a glissement, la elation v-a n est pas véifiée, v(i ) 0. Cinétique du solide (méca) 5

6 III. andeus cinétiques d un solide en otation pue (instantanée). Définition n dit qu un solide a un mouvement instantané de otation pue à l instant t, si au moins un de ses points a une vitesse nulle à cet instant. ous admettons qu alos il existe une doite passant pa ce point dont tous les points ont une vitesse nulle. Cette doite est l axe cental du toseu des vitesses des points du solide, c est l axe instantané de otation pue, il est colinéaie au vecteu vitesse instantanée de otation (t). étude de ce type paticulie de mouvement d un solide est impotante ca elle concene de nombeux cas : le oulement sans glissement d un solide su un pofil fixe : e point du solide qui est au contact du pofil a, de façon instantanée, une vitesse nulle. e mouvement du solide est donc un mouvement instantané de otation pue. le mouvement de otation d un solide autou d un axe fixe. le mouvement d un solide ayant un point fixe : mouvement de otation pue dont l axe (t) passe en pemanence pa. (ex toupie, solide aticulé pa une otule, gyoscope). le mouvement baycentique d un solide : étant fixe dans R*, on a une otation pue dont l axe instantané passe en pemanence pa : dans son baycentique, tout solide a un mouvement de otation pue (ou est immobile).. oment cinétique en un point de l axe instantané de otation pue Soit R le éféentiel d analyse. Soit un élément dv du solide S, de masse dm, centé su un point, H son pojeté su l axe instantané (t). e moment cinétique du solide en un point de l axe (donc de vitesse nulle dans R) s écit donc, en décomposant le vecteu : v() dm a loi distibution des vitesses donne : H v () R v(h) + S H S / / R H donc on peut écie : H ( Hdm) + H ( Hdm) Développons les deux doubles poduits vectoiels à l aide de a ( b c) (c.a)b (b.a) c H.H 44 dm 0 ( H. ) Hdm + ( H.H) dm ( H. ) Hdm + ( H.H ) dm H. Hdm 0 Il est de la fome : avec ( H. ) + Hdm composante nomale à et Cinétique du solide (méca) 6

7 ρ ()dm u u composante colinéaie à paallèle à (t) est appelé moment cinétique du solide pa appot à l axe. n constate qu il est indépendant du point choisi pou le calcule. est popotionnel à la vitesse angulaie instantanée, la constante de popotionnalité étant le moment d inetie du solide pa appot à. Remaque : Dans les poblèmes de physique de P, on s intéesse essentiellement à ca dans les cas suivants qui sont les cas féquemment étudiés, la composante nomale est nulle : est un axe de symétie du solide S. n peut alos décompose le solide S en couples d éléments dv() et dv( ), symétiques pa appot à, de même pojeté othogonal su, H. a contibution de ces deux éléments à est ( H. ) Hdm ( H. ) H' dm. est donc bien nulle puisque H H'. S est un solide plan dont le plan est pependiculaie à et passe pa : pou tous les éléments de ce solide, H. est donc bien nulle.. oment d inetie d un solide pa appot à un axe a) définition C est la quantité positive : ρ ()dm en kg.m avec ρ()h distance de à C est une caactéistique du solide qui ne dépend que de sa géométie et de la épatition des masses pa appot à. Il est d autant plus gand que les éléments qui le constituent sont massifs et épatis à gande distance de. Il se calcule pa intégation mais les calculs sont désomais hos pogamme. b) Exemples tige ectiligne homogène, de longueu l b, de section négligeable, de masse m. e moment d inetie pa appot à une médiatice est : mb m(b) m l ceceau de section négligeable, de ayon R et de masse m. e moment d inetie pa appot à son axe est : ρ²dm R² dm mr² : mr disque ou cylinde plein de ayon R, de masse m. e moment d inetie pa appot à son axe est : mr (on peut emaque que est indépendant de la hauteu du cylinde) c) Remaques : e moment d inetie possède, de pa sa définition, la popiété d associativité : le moment d inetie pa appot à un axe d un solide fomé de deux paties disjointes est la somme des moments d inetie pa appot à cet axe de chacune. (SA SB) ρ²dm ρ²dm + ρ²dm (SA ) + (SB) (S A et S B d intesection nulle) S S A B S A S B Cinétique du solide (méca) 7

8 ous veons (chapite suivant) que le moment d inetie pa appot à caactéise l inetie du solide à se mette en otation autou de sous l influence des actions extéieues. d) Théoème d Huygens Soit un axe et l axe paallèle à passant pa. n cheche la elation ente les moments d inetie du solide pa appot à et pa appot à. a Soit a la distance ente et. H et H étant les pojections d un point du solide espectivement su et, on a : H dm et H a ( HH + H ) + H + HH HH. H dm + H + HH.H Η Η Μ dm ma + + HH.dm ma + + HH. dm n a mis en facteu le vecteu HH ca il est indépendant du point (c est un vecteu pependiculaie à et, et de nome a). e denie teme est nul pa définition du cente d inetie. théoème de Huyghens + ma² e théoème de Huygens nous monte que, pou des axes de diection donnée, le moment d inetie d un solide est minimum pa appot à celui qui passe pa son cente d inetie, ce qui coespond bien à l idée intuitive que nous avons du cente d inetie. Exemple : tige ectiligne homogène, de longueu b, de section négligeable, de masse m. Soit un axe qui lui est pependiculaie et qui passe pa son CD, et un axe qui lui est pependiculaie et qui passe pa une de ses extémités. D apès le théoème de Huyghens : 4 + mb² mb² + mb² mb² > mb² 4. Enegie cinétique d un solide animé d un mouvement de otation pue Soit un point de vitesse nulle de S, appatenant donc à l axe instantané de otation. a vitesse d un point quelconque de S s écit : v () R v() + S S / / R énegie cinétique de S s écit donc : E c v dm v.vdm ( ).vdm. vdm. pou un solide en otation pue autou de (t), (t) E c. Cinétique du solide (méca) 8

9 Remaque : énegie cinétique ne fait jamais inteveni la composante du moment cinétique pependiculaie à, même si celle-ci n est pas nulle. C est encoe une aison pou laquelle on s intéesse essentiellement à //. IV. andeus cinétiques d un solide dans le cas généal. andeus cinétiques baycentiques Dans le éféentiel baycentique R* du solide, le cente de masse est un point fixe. e mouvement du solide dans son éféentiel baycentique est donc une otation pue et l axe instantané de otation pue passe pa. Pa ailleus le mouvement de R* pa appot à R étant une tanslation, le vecteu otation instantané du solide dans R* est confondu avec le vecteu otation instantané du solide dans R (loi de composition des vecteus otation). otons l axe instantané de otation du solide dans R*. application des ésultats du paagaphe pécédent dans R* donne : * et E * c En effet E * c.* *. Expession généale de l énegie cinétique d un solide En utilisant le théoème de Koenig et les ésultats pécédents : * E c E c + mv + mv avec vecteu otation instantané de S dans R ou dans R* Exemple Considéons une oue pleine de ayon a (moment d inetie (/)ma ), de vitesse v, oulant sans glisse su un plan hoizontal. D apès le ésultat pécédent, l énegie cinétique de la oue dans le éféentiel du laboatoie vaut, (on a vu au II.. que le mouvement baycentique est une otation autou de l axe de la oue, de vitesse angulaie v/a en valeu absolue) : E c + mv v ma + a mv mv 4 Remaque :n peut également etouve ce ésultat en emaquant que le point de contact I de la oue avec le sol est un point de vitesse nulle (oulement sans glissement); pa suite, le mouvement de la oue dans le éféentiel du laboatoie est une otation pue autou d un axe instantané de otation passant pa I et de diection l axe de la oue, de vitesse angulaie aussi : E v c I I I avec + ma ma d apès le théoème de Huyghens. a Cinétique du solide (méca) 9