ÉQUATIONS INÉQUATIONS SYSTÈMES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

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1 ÉQUATIONS INÉQUATIONS SYSTÈMES Site MthsTICE de Adm Troré Lycée Technique Bmko I Équtions du second degré : Résolution pr l méthode du discriminnt : Pour résoudre l éqution du second degré b c = ( d inconnu, je clcule le discriminnt noté : = b 4c. Si <, lors l éqution n dmet ps de solutions dns R ; Si >, lors l éqution dmet deu solutions réelles distinctes : b b. = et =. b Si =, lors l éqution dmet une solution unique : = =. Discriminnt réduit : ' b ' Si b est pir on pose b = b = b ; lors on clcule le discriminnt réduit =( b c. Si <, lors l éqution n dmet ps de solutions dns R ; Si >, lors l éqution dmet deu solutions réelles distinctes : b' ' b' '. = et =. b' Si =, lors l éqution dmet une solution unique : = =. Recettes : Soit l éqution du second degré : b c = (. R Si b c =, lors c = et = ; Eemple : résoudre dns R l éqution : 9 = 9 = donc = et =. D où S = { ; } R Si c = b, lors c = et =. Eemple : résoudre dns R l éqution : 8 9 = 9 = 8 donc = et = 9. D où S = { ; 9 } Equtions Inéqutions Pge sur 8 Adm Troré Professeur Lycée Technique

2 4 Somme et Produit des rcines : Soit l éqution du second degré b c = ( de discriminnt lors l éqution dmet deu rcines réelles distinctes : b' ' b' '. = et =. Somme des rcines : b b b b S= S = = ; S = =. b Produit des rcines : b b b 4c c P = = = c P = =. c Remrque : Deu nombres et dont l somme est S et le produit est P sont les solutions de l éqution : S P =. P = ( b ( b = d Eemples : - Soit l éqution =. Trouver les rcines en utilisnt l somme S et le produit P. S = et P = = 7 et =. - Former l éqution du second degré dont les rcines sont : = 4 et =. = 4 et = S = et P = d où =. - Déterminer les rcines et d une éqution du second degré dont l 7 somme est S = et le produit P = Fctoristion de f ( = b c ( : f ( = b c b c = = [ S P] [ ( ] = [ ] = [ ( ] = (. f = ( (. ( Equtions Inéqutions Pge sur 8 Adm Troré Professeur Lycée Technique

3 Eemple : Fctoriser f ( = ; g ( = 8 7 ; h ( = Équtions bicrrées : Eemples : résolvez dns R les équtions bicrrées suivntes : = ; = ; =. (indiction on pose = T ou = U II Inéqutions: Signe du binôme b : Soit le binôme f ( = b Si =, lors f ( est du signe de b. b Si, lors f ( = b = =. b b Signe de ( Signe de Eemple : étudier le signe de f ( = = = 6. 6 Pour ] ; 6] f ( ; Pour [6 ; [ f ( Signe d un trinôme du second degré: Considérons le trinôme f ( = b c ( ; le discriminnt de l éqution b c =. er cs : Si <, lors le trinôme b c est du signe de. ème cs : Si =, lors le trinôme b c est du signe de pour toutes b vleurs. ème cs : Si >, et ; les rcines de l éqution b c = ( < lors le trinôme du second degré est du signe de à l etérieur des rcines et du signe de ( à l intérieur des rcines. Equtions Inéqutions Pge sur 8 Adm Troré Professeur Lycée Technique

4 b c Signe de Signe de ( Signe de Eemples : étudier le signe des polynômes suivnts : f ( = ; g ( = ; h ( =. 8 Appliction à l résolution d inéqutions : Eemples : résoudre dns R les inéqutions suivntes : 4 ; 5 4f ; 9 6 p ; 5 ; III Équtions et Inéqutions irrtionnelles simples: Équtions irrtionnelles simples : b Propriété : = b = b ( Eemple : résoudre dns R l éqution =. L ensemble de vlidité D v = { IR tel que }. D = ;. v [ [ = = ( 4 = 4 = = D ou = 4 D ; d où S = { 4 }. ( v v Inéqutions irrtionnelles simples : Eemple : résoudre dns R l inéqution (. ( ( ( ( ( ( = = ou = ; = =. ( = = 6 6 = = =. 4 Equtions Inéqutions Pge 4 sur 8 Adm Troré Professeur Lycée Technique

5 Le système devient ( ( En dressnt le tbleu des signes de chcune des 4 4 ( inéqutions on : / 4 4 L ensemble des solutions est S = [ ; [ b Eemple : résoudre dns R l inéqution 5. er cs : 5 ; 5 = = 5 ; = =. 5 5 S = [5 ; [ ème cs : ( 5 p ( 5 5 4p 5 = = 5 ; = = ; 4 = = et = 8. Equtions Inéqutions Pge 5 sur 8 Adm Troré Professeur Lycée Technique

6 S = ] ; 5 ] L ensemble des solutions est S = S S = ] ; [ IV Signes des rcines d une éqution du second degré: Signes des rcines : Soit l éqution b c =, ( ; supposons que >, on clcule le c b produit P = et l somme S =. er cs : Si P<, lors les deu rcines sont de signes contrires ; le signe de S permet de dire lquelle des deu rcines est l plus grnde en vleur bsolue. ème cs : Si P>, lors les deu rcines sont de même signes; Si S >, lors les deu rcines sont positives Si S <, lors les deu rcines sont négtives. ème cs : Si P =, lors l une u moins des rcines est nulle. Si S >, lors = et > ; Si S <, lors < et = ; Si S =, lors = et = ; On résume ces résultts dns le tbleu suivnt (en supposnt P S Signes des rcines < > < < > > = > > < < = > < = = = Equtions Inéqutions Pge 6 sur 8 Adm Troré Professeur Lycée Technique

7 Eemples d équtions prmétriques : Eemple : Résoudre et discuter suivnt les vleurs du prmètre réel m l éqution (E m : (m (m 5m 6 =. Si m, m, lors l éqution est du second degré.. = 4(m 4(m (5m 6 = 4 [ m 4m ]. = m 4m = m = et m =. m Pour m ] ; [ ] ; [ < donc ps de rcines ; Pour m ] ; [ ] ; [ > donc l éqution dmet deu rcines 4m 6 m 4m 4m 6 m 4m = ; ( = ; S = { ; } m ( m 4m 6 Pour m =, = donc = = = ; donc S = { } ; ( m Pour m =, l éqution est du er degré, 4 = = ; S = { } 4m 6 Pour m =, = donc = = = ; donc S = { } ; ( m b Eemple : Soit l éqution prmétrique (E m : (m (m m 4 =. Discuter suivnt les vleurs de m l eistence et le signe des rcines de (E m. Trouver entre les rcines et une reltion indépendnte de m. Pour quelles vleurs de m l éqution dmet rcines de signes contrires 4 Pour quelles vleurs de m l éqution dmet rcines positives. Pour m on : = 6m 44m 8. = 6m 44m 8 = ; b c =, donc m = et m =. m Equtions Inéqutions Pge 7 sur 8 Adm Troré Professeur Lycée Technique

8 Etudions le signe du produit P et de l somme S. c m 4 P = = ; m m m 4 m 7 m 4 = m = ; et m P b m S = = ; m = m = et m. m m m m S Tbleu récpitultif des signes de, P et S. m P 7 5 Conclusions S Ps de solutions S= = = > > = > < > < < < S= = = = 4 Equtions Inéqutions Pge 8 sur 8 Adm Troré Professeur Lycée Technique

9 Reltion entre les rcines, indépendnte de m. Je tire m dns les formules de P et S puis je les église. m 4 P = m = m P 4 P et S = m m = m S S P 4 S m = m = 6P 6S 48 = P S m S 8 = ( ( 8 = est l reltion. cherchée Pour quelles vleurs de m l éqution dmet rcines de signes contrires? Pour m ] 7 5 ; [ et sont de signes contrires. 4 Pour quelles vleurs de m l éqution dmet rcines positives. Pour m [ ; 7 5] et sont toutes deu positives. Comprison d un réel α u rcines d une éqution du second degré: Théorème : Soit l éqution f ( = b c = ( vec > et α R. Si f ( α p, lors on : p α p ; Si f ( α f, lors on : p p α ou α p p ; b Si en plus α f, lors p p α ; b Si en plus α p, lors α p p ; Si f ( α =, lors α est solution de l' éqution. Eemple : Clsser α = pr rpport u rcines de l éqution : (m (m m = Equtions Inéqutions Pge 9 sur 8 Adm Troré Professeur Lycée Technique

10 Réponse : er cs : si m = m = l éqution devient 6 = = < α =. ème cs : m m ; = 7m 5. = 5 m =. 7 m 5 7 ( m [( m 4 4( m ] f ( α = m ; ( m ( 5 f ( α = m ; ( m ( m 5 = m = ou 5 f ( α = m =. f (α m 5 α b m m 5 = =. Dressons le tbleu récpitultif ( m m m f (α b α Résultts Ps de rcines 4 = = < α = 6 < < α < α < < α < < < α = α < α < α < = α 6 = < α Equtions Inéqutions Pge sur 8 Adm Troré Professeur Lycée Technique

11 4 Eemple d Inéqution prmétrique: Eemple : Soit f ( = ( m ( m 5m 6 vleurs du prmètre réel m l inéqution f ( <.. Résoudre et discuter suivnt les er cs : Si m = m =, lors on : 4 < < ; d où S = ] ; [. ème cs : Si m, m, lors = 4(m 4(m (5m 6 = 4 [ m 4m ] = 4. = m 4m = m = et m =. On étudie le signe de et de (ici = m. m m Pour m ] ; [ < donc f ( est du signe de = m ; qui est négtif d où S = R ; Pour m ] ; [ > donc l éqution dmet deu rcines m m 4m m m 4m = ; ( = ; et ( m négtif m ( m f ( S = ] ; [ ] ; [ Equtions Inéqutions Pge sur 8 Adm Troré Professeur Lycée Technique

12 Pour m ] ; [ > et ( m positif f ( S = ] ; [ Pour m ] ; [ ] ; [ < donc f ( est du signe de = m qui est positif d où S =. f ( S = m Pour m =, = donc = = = et m négtif ; ( m f ( = = S = R {} 4m 6 Pour m =, = donc = = = et m positif ; ( m f ( S = Equtions Inéqutions Pge sur 8 Adm Troré Professeur Lycée Technique

13 V Systèmes d équtions et d inéqutions : Système d équtions du er degré à inconnues : Définition : Soient, b, c,, b, c si réels donnés. Résoudre pour et y réels le système by = c ' b' y = c' ( E ( E Consiste à déterminer l ensemble S des couples ( ; y simultnément les deu équtions. c Eemple : Résoudre pour et y réels le système (S 5y = 4y = 5 ère méthode : pr combinison linéires de réels qui vérifient (S 5y = ( 4y = 5 ( (S 5y = (4 4y = 5 (5 6 5y = 6 8y = y = y = 8 y = 44 5 y = 5 = 69 = Le système (S dmet le couple ( ; comme solution ; = { ( ; } S. ème méthode : pr substitution (S 5y = ( 4y = 5 ( Dns l éqution ( eprimons en fonction y : 5y = Dns l éqution ( remplçons pr s vleur : 5 = y. 5y 5y 4y = 5 4y = 5 5y 8y = y = 5 y =. On remplce y pr dns l epression de = y. On obtient =. D où l ensemble solution du système est S = { ( ; }. Equtions Inéqutions Pge sur 8 Adm Troré Professeur Lycée Technique

14 ème méthode : pr déterminnt Soit le système de deu équtions du premier degré à deu inconnues et y. by = p ( E c dy = q ( E Où ; b ; c ; d ; p ; q sont des réels donnés. Pour résoudre ce système on clcule b le déterminnt principl : Dét = = d bc ; c d p b le déterminnt secondire en : D = = pd bq ; q d p le déterminnt secondire en y: D y = = q pc ; c q Si y Dét ; lors les droites ( et ( E I ( ;. Le système dmet un couple unique ( y E sont sécntes en un point ; de solution tel que :. D D y = et y =. et S = {( ; y} Dét Dét Si Dét = et D ou Dy Le système n dmet ps de solutions, Alors les droites ( E et ( E sont prllèles S = φ. Si Dét = et D = ; Dy = Le système dmet une infinité de solutions de l forme, S = { ( ; α β / IR } ou S = { ( α y β ; y / y IR }. Alors les droites ( E et ( E sont confondues Eemple : Soit à résoudre pr l méthode du déterminnt le système. (S 5y = 4y = 5 ( ( 5 5 Dét = = 8 ( 5 = ; D = = 44 ( 5 = 69 ; D 69 Dy D y = = ( = ; = = = ; y = = = 5 Dét Dét D où l ensemble solution est : S = { ( ; }.. Equtions Inéqutions Pge 4 sur 8 Adm Troré Professeur Lycée Technique

15 d Interpréttion grphique du système : (S 5y = 4y = 5 ( ( y D 4 I 5 D 5 5y = est une éqution d une droite D. 4y = 5 est une éqution d une droite D. Le clcul précédent permet d ffirmer que les droites (D et (D sont sécntes u point I ( ;. ( ; est l solution du système. Systèmes de trois équtions à trois inconnues : Eemple : Résoudre dns R le système suivnt 4 y z = y 5z = 6 y z = Equtions Inéqutions Pge 5 sur 8 Adm Troré Professeur Lycée Technique

16 Méthode de Substitution : (L z = 4 y. En remplçnt z pr s vleur dns les utres équtions on le système devient : y = 9 ( 9 7 y = ( 9 ( y =9 y =. En remplçnt y pr s vleur dns ( on obtient : = 4 = y = z =. D où l solution du système est le triplet ( ; ;. Et l ensemble solution est S = { ( ; ; }. Méthode du pivot de Guss : 4 y z = y 5z = 6 y z = Eliminons dns les équtions (L et (L ( L y z = 9y 5z = 48 = y 7z = 6 (4L ( L 4y 8z = 5 6y z = 9 = y z = 4 Le système devient : y z = y 7z = 6 y z = 4 Eliminons y dns l éqution (L ( L y 7z = 6 y z = 4 = 6z = 8 y z = y 7z = 6 6z = 8 Le système devient : Un tel système est dit échelonné ou tringulrisé. Equtions Inéqutions Pge 6 sur 8 Adm Troré Professeur Lycée Technique

17 6z = 8 z = y 5 = 6 y = 6 = = d où S = { ( ; ; } Système d inéqutions du er degré à inconnues : Eemple : Représentons l ensemble des solutions du système d inéqutions : y p y p Ce système est équivlent u système yf yp il fut représenter dns le pln les droites d éqution respectives : (D : y = et (D : y =. y D D L région du pln non hchurée est l prtie solution du système. Equtions Inéqutions Pge 7 sur 8 Adm Troré Professeur Lycée Technique

18 Eemple : Représentons l ensemble des solutions du système d inéqutions : Ce système est équivlent u système y y y y il fut représenter dns le pln les droites d éqution respectives : (D : y = et (D : y =. D y D 4 5 L région du pln non hchurée est l prtie solution du système. Equtions Inéqutions Pge 8 sur 8 Adm Troré Professeur Lycée Technique