ENVELOPPE SPHÉRIQUE SOUMISE À UNE PRESSION INTÉRIEURE

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1 ENVELOPPE SPHÉRIQUE SOUMISE À UNE PRESSION INTÉRIEURE On considèe une enveloppe sphéique, homogène, de ayon intéieu a, de ayon extéieu b. Le matéiau qui la constitue est élastique pafaitement plastique, à élasticité linéaie isotope, ayant pou citèe de plasticité le citèe de von Mises ou celui de Tesca. Patant de l état initial natuel, on soumet cette sphèe à une pession intéieue nomale unifome p que l on fait coîte à pati de 0 (Fig.. P a Figue : Géométie et chagement appliqué à la sphèe sous pession b Analyse élastique. Donne la solution (champs des containtes et des déplacements en élasticité. Le volume étudié est à symétie sphéique, constitué d un matéiau homogène et isotope ; les conditions aux limites possèdent aussi la symétie sphéique. On est donc amené à cheche une solution du poblème dans un système de coodonnées sphéiques, θ, φ, tel que les champs de déplacement, de containte et de défomation soient espectivement de la fome : u = h( u θ = u φ = 0 σ = f ( σ θθ = σ φφ = g ( σ θ = σ φ = σ φθ = 0 ε = f ( ε θθ = ε φφ = g ( ε θ = ε φ = ε φθ = 0 Les équations d équilibe se éduisent à : dσ d + (σ σ θθ = 0 Les conditions aux limites statiques ont la fome : σ ( = a = p, σ ( = b = 0 Les équations cinématiques ont la fome : ε = du d, La loi d élasticité de Hooke donne : ε θθ = u a c Eε = [σ νσ θθ Eε θθ = [σ θθ ( ν νσ Figue : Pogession de la zone plastique à pati de la suface intéieue b En emplaçant les défomations pa leu expession en fonction des déplacements, on obtient pou les containtes les elations suivantes, λ désignant le coefficient de Lamé (λ = Eν/( ν/( + ν : σ = λ ν [ ( ν du d + νu σ θθ = λ ν [ ν du d + u En substituant ces deux elations dans les équations d équilibe, on

2 obtient l équation difféentielle suivante : d u d + du d u = 0 soit ( ( u = 0,, La solution de cette équation est : u = C + C En emplaçant la valeu de u dans les expessions pécédentes, on obtient : σ = λ [ ( + νc ( ν C ν σ θθ = λ [ ( + νc + ( ν C ν Les constantes C et C s obtiennent à pati des conditions aux limites : σ ( = b = 0 C = + ν ( ν b C σ ( = a = p C = ν E Finalement, on obtient : [ σ = a b a p a a p [ σ θθ = σ φφ = a b a + p u = [( a a ν + ( + ν b p E. Détemine la chage limite d élasticité P e de la sphèe sous pession pou les citèes de von Mises et Tesca. Le citèe de plasticité de Tesca, comme celui de von Mises, est indépendant de la pession moyenne. On peut donc l écie en emplaçant le tenseu σ pa la somme de σ et d un tenseu sphéique. Ici, si l on ajoute à σ le tenseu σ θθ I, on obtient un tenseu uniaxial, d unique composante non nulle σ σ θθ. D apès les fomules pécédentes, tant que l enveloppe sphéique este élastique, on a : σ σ θθ = a a p Le citèe de plasticité est atteint losque (σ σ θθ, fonction décoissante de p, devient égale à la limite d élasticité σ y en compession simple. Le pemie point plastique appaaît donc en = a et losque la pession p atteint la valeu P e, limite d élasticité initiale de la sphèe sous pession : P e = ( a σ y Analyse élasto-plastique. Donne la solution (champs des containtes et des déplacements en élasto-plasticité. Véifie que la zone plastique se développe à pati de la face intene de la sphèe ceuse (Fig.. Donne la elation ente le ayon de la zone plastique c et la pession p. Détemine la pession limite conduisant à la uptue pa défomation excessive, P p. Losque la pession intene p coît au-delà de la valeu P e, comme le pemie point plastique est appau su la face intéieue de l enveloppe, il est nomal de suppose qu une zone plastique se développe à pati de cette face, et occupe un volume a < < c, où c est une fonction de p. La zone c < < b est alos élastique. Le vecteu

3 containte su une facette nomale à l axe pend la même valeu dans la zone élastique et dans la zone plastique, à la tavesée de la suface = c. Su cette suface la containte nomale est alos égale en valeu absolue à la limite d élasticité initiale d une sphèe ceuse de ayon intéieu c, de ayon extéieu b, soumise à une pession intene, soit : σ (c = ( c σ y Les containtes dans la zone élastique sont donc données pa les équations pécédentes dans lesquelles on emplace a pa c et p pa σ (c ; dans cette zone : σ = c ( b σ y c ( + b σ y σ θθ = u = c E [( ν + ( + ν b σ y Etudions maintenant la zone plastique a < < c. Pou y détemine les containtes, on dispose des équations d équilibe et du citèe de plasticité, véifiés en tout point, soit : dσ d + (σ σ θθ = 0 σ σ θθ = σ y En combinant ces deux équations, on obtient successivement : dσ d σ y = 0,, σ = σ y ln( +C La détemination de la constante d intégation C s effectue en = c, en utilisant la continuité de la composante σ : σ y ln(c +C = ( c σ y Finalement, dans la zone plastique, on touve : σ = σ y σ θθ = σ y [ + ln( c c [ ln(c + c Ces containtes dépendent du paamète c, dont il faut donc détemine l évolution en fonction de la pession p. Dans la zone plastique, pou = a, on a : σ ( = a = p p = σ y [ ( c + ln a c La tansfomation de la sphèe étant supposée infinitésimale, a et b sont des constantes. La déivation de p pa appot à c donne alos : d p dc = σ y c [ c Ce teme est toujous positif. Le ayon c de la zone plastique coît donc constamment avec p ; ce ésultat est cohéent avec l hypothèse que nous avons faite que la zone plastique se développe à pati de la face intene de la sphèe ceuse. Le ayon extéieu de cette zone atteint la valeu b losque p atteint la pession limite P p : P p = σ y ln ( b a

4 . Détemine les défomations plastiques et leus vitesses. S il est possible, à pati de la solution en containte obtenue à la question pécédente de constuie, en utilisant la loi de compotement, un champ de déplacement qui soit compatible avec les liaisons (cinématiquement admissible, la solution touvée est unique. Consevant l hypothèse de symétie sphéique, on calcule le déplacement adial dans la zone plastique. Comme la défomation plastique ne poduit pas de vaiation de volume du matéiau, cette vaiation n est due qu à la patie élastique de la défomation, soit : ε + ε θθ = ν E [σ + σ θθ On obtient donc ainsi l expession de la composante adiale du déplacement : du d + u u = C 4 ν = ( σ y [ln c E ( ν E σ y [ln + ( c En utilisant le fait que le déplacement adial est continu à la tavesée de la suface = c, on peut détemine la constante d intégation : C 4 = ( ν σ y E c On obtient finalement dans la zone plastique : u = σ y [( E ν c [ ( ν + ln c A pati de cette expession du déplacement, on peut calcule les défomations totales dans la zone plastique. On obtient alos les défomations plastiques pa difféence ente les défomations totales 4 et les défomations élastiques calculées en utilisant les fomules donnant les containtes. Les seules composantes non nulles sont : ε p = σ y ( ν ( c E ε p θθ = εp φφ = σ y (( ν( c E Comme c est une fonction coissante de p et que le tajet de chagement étudié est pa hypothèse à «p coissant», on peut choisi c comme paamète de chagement. Le tenseu de vitesse de défomation est du type compession simple : ε p = dεp dc = 6σ y ( νc E < 0 ε p ττ = ε p φφ = εp. Que se passe-t-il si l on effectue le tajet de chage suivant : 0 p m (p m > P e 0 p m (p m > P e? Si l on a soumis une sphèe ceuse à une pession intene P m > P e, et qu on la déchage jusqu à p = 0, les containtes ésiduelles, pésentes apès cette déchage, seont égales à la difféence ente les containtes calculées en élasto-plasticité et la solution élastique coespondant à un chagement P m. On obtient alos un champ de containtes ésiduelles σ : dans la zone plastique (a < < c : σ = σ y σ θθ = σ φφ = σ y [ + ln c [ + a b a P m [ [ ln + c a b a + P m

5 dans la zone élastique (c < < b : σ = σ θθ = σ φφ = c ( [ b σ y + a b a c P m [ ( + σ b y a b a + P m Les équations pécédentes ne sont valides que s il n appaaît aucune défomation plastique pendant la déchage. Pou que la plastification éappaaisse en compession, il faut tavese le domaine d élasticité, et etouve un point pou lequel : σ σ θθ = σ y. Cela se poduia effectivement à pati du moment où la pession maximale atteinte P m est supéieue à P e. L étude des vaiations de P e et P p en fonction de (b/a monte que cela n est possible que si la pession limite est ellemême supéieue à P e. Ceci founit une condition géométique su la sphèe. La figue illuste le fait que P p dépasse P e si le appot (a/b est inféieu à une valeu citique x, solution de l équation (4/( x = ln(x, soit : a/b < x 0.59 Dans le cas où il n y a pas plastification à la déchage, on dit que la stuctue est adaptée. Il s agit de égime de fonctionnement sû, qui est utilisé dans la patique pou les écipients sous pession : ceux-ci subissent avant mise en fonctionnement une opéation de timbage 5 au cous de laquelle ils sont potés à une pession supéieue à la pession de sevice ultéieue. Si au contaie il y a eplastification, des défomations plastiques cycliques vont se poduie, avec un phénomène de fatigue plastique du matéiau, qui conduia à la uine de la stuctue aux cous des cycles successifs 0 P m 0 P m... La figue 4 epoduit les vaiations des difféentes composantes du tenseu des containtes à pession maximale et apès déchage, dans le cas où (a/b = P p σ y (, P e σ y ( ( ( a/b Figue : Vaiation de P e et P p en fonction de a/b

6 6 0-0 c/b= c/b=0.85 c/b= c/b= c/b= c/b=0.85 c/b= c/b=0.975 sigma_ (MPa (mm sigma_tt (MPa (mm a. b J/sigma_y(MPa sigma (MPa c/b= c/b=0.85 c/b= c/b= (mm -0 sigma_ sigma_tt von Mises -40 (mm c. d. FIG. (a, (b Pofils de containtes dans l épaisseu du tube pou difféents niveaux de pession, (c mise en évidence de l avancée de la zone plastique, (d containtes ésiduelles apès déchage.