Correction examen Automates

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1 Coection exmen Automtes 00-0 mi 0 - heues Les documents sont intedits. Les execices sont indépendnts. On pou dmette l éponse à une uestion pou psse à l uestion suivnte. Execice. Clcule un utomte émondé econnissnt l intesection des lngges econnus p les deux utomtes ci-dessous. Pou pouvoi clcule l intesection, il fut suppime les -tnsitions du pemie utomte : p Succ () = {, } Succ () = Succ () = {} Succ () = On doit donc joute u dépt de les mêmes flèches ue celles uiu ptent de ou, et u dépt de celles ui ptent de, d où, Ceci fit, on peut diectement pocéde u clcul du poduit econnissnt l intesection :

2 p,, p,,,, p,,, p,, ou, p,, p,,,,,, p, On peut los émonde le ésultt ; il este :, p, p,, Execice. Clcule une expession tionnelle epésentnt le lngge complémentie su l lphet {,} du lngge + ( ). Pou clcule le complémentie, on doit psse p les utomtes. Soit on constte ue l expession est éuivlente à : p Soit, on constuit l utomte des positions pou + ( ).

3 i Pou clcule le complémentie, il fut des utomtes déteministes complets, il fut donc soit déteminise le pemie, soit compléte le second : p, p, ou i, On peut los complémente. p, p, ou i, nsfomons mintennt cet utomte en expession (je le fis su celui de guche...) p, p +

4 + p, + p, ( + ) + + ( + )

5 ( + ) + ( + ) ( + ( + ) ) Une expession pou le complémentie est donc ( + ) + ( + ) ( + ( + ) ). Execice. Un -utomte est un utomte noml, suf u un mot est ccepté si et seulement si le nome de chemins éussis étiuetés p ce mot est impi. Le lngge econnu p un -utomte est l ensemle des mots cceptés.,,. Considéons le -utomte A suivnt : p ) Énumée tous les chemins éussis étiuetés p ; le mot est-il ccepté p le -utomte A? ) Énumée tous les chemins éussis étiuetés p ; le mot est-il ccepté p le -utomte A? c) Quel est le lngge econnu p le -utomte A?. Expliue pouuoi uel ue soit le lngge tionnel L, il existe un -utomte ui econnît L?. On considèe un -utomte A ui econnît un lngge L et un -utomte B ui econnît le lngge K. Monte ue le -utomte poduit A B econnît l intesection de L et K (comme pou les utomtes nomux).. ) On considèe un -utomte A ui econnît un lngge L et un -utomte B ui econnît le lngge K. Quel lngge est econnu p le -utomte fomé de l union de A et B? ) A pti d un -utomte A ui econnît un lngge L, comment peut-on clcule simplement un -utomte ui econnît le lngge complémentie L? c) Popose une constuction pou constuie un utomte ui econnisse l union de L et K. 5. Soit A = (Q,A,E,,) un -utomte. Pou tout sous-ensemle d étts X (inclus dns Q), pou tout étt, on note Ped X (,) = {p X p } l ensemle des étts de X ui sont des pédécesseus de pou l lette. Le -déteminisé de A est le -utomte D défini de l fçon suivnte : les étts de D sont des sous-ensemles de Q; 5

6 l uniue étt initil de D est l étt ; si X est un étt de D, X est teminl s il contient un nome impi d étts teminux de A ; si X est un étt de D et une lette, soit Y l ensemle des étts tels ue Ped X (,) un nome impi d éléments ; los Y est un étt de D et il y une tnsition de X à Y étiuetée p. ) Clcule le -déteminisé du -utomte A donné u. de cet execice. ) Monte ue le -déteminisé D d un utomte A econnît toujous le même lngge ue le -utomte A (on pou monte p écuence su l longueu des mots ue w étiuète dns A un nome impi de chemins d un étt initil à p si et seulement si l étt X tteint dns D en lisnt w contient l étt p.). ) Voici les chemins éussis étiuetés p : p p p p p p p p Le mot étiuète tois chemins éussis, il est donc ccepté p le -utomte. ) Voici les chemins éussis étiuetés p : p p p p p p Le mot étiuète deux chemins éussis, il n est donc ps ccepté p le -utomte. c) Le nome de chemins éussis étiueté p un mot donné est égl u nome de dns le mot. Le -utomte econnît donc l ensemle des mots ui ont un nome impi de. Si on veut donne une expession tionnelle : (+ ) ou ( ) p exemple.. out lngge tionnel L peut ête econnu p un utomte déteministe. Dns un tel utomte, tout mot ccepté étiuète exctement un chemin éussi, donc si on intepète cet utomte comme un -utomte, il econnît encoe le lngge L.. Dns l utomte poduit A B u on constuit pou clcule l intesection, chue chemin éussi étiueté p un mot w coespond exctement à une pie fomée d un chemin éussi de A étiueté p w et d un chemin éussi de B étiueté p w ; écipouement, si on pend un chemin éussi de A étiueté p w et un chemin éussi de B étiueté p w, il y un chemin éussi de A B ui coespond à cette pie de chemin. Finlement, le nome de chemins éussis étiuetés p w dns A B est le poduit du nome de chemins éussis étiuetés p w dns A et du nome de chemins éussis étiuetés p w dns B. Le nome de chemins éussis étiuetés p w dns A B est donc impi si et seulement si il est impi à l fois dns A et dns B. Le -utomte A B ccepte donc w si et seulement si il est à l fois ccepté p les -utomtes A et B. Le lngge econnu p le -utomte A B est donc l intesection des lngges econnus p les -utomtes A et B. 6

7 . ) Le nome de chemins éussis étiuetés p w dns A B est égl à l somme du nome de chemins éussis étiuetés p w dns A et du nome de chemins éussis étiuetés p w dns B. Cette somme est impie si et et seulement si un des deux nomes est impi et l ute pi, donc uniuement si le mot w est ccepté p un et un seul des deux utomtes A et B. Le lngge econnu p A B est donc l difféence symétiue de L et K : L K = L K L K = (L K) ( L K). ) Penons le -utomte B vec un seul étt initil et finl su leuel chue lette de l lphet étiuète une oucle ; cet utomte econnît A ; donc le -utomte A B econnît L A L A = A L = L. c) Pou econnîte l union de L et K, il fut d od clcule un utomte ui econnît l intesection (A B), puis fie l union de A B, A et B. Si un mot est ccepté uniuement p A, il étiuète un nome de chemins pi dns A B et dns B et impi dns A, donc impi dns l union des tois utomte ; de même s il est ccepté uniuement p B ; s il est ccepté p A et B, il étiuète un nome de chemins impi dns A B, A et B, donc impi dns l union des tois. S il n est ccepté ni p A ni p B, il étiuète un nome de chemins pi dns A B, A et B, donc pi dns l union des tois. 5. ) Soit D le -déteminisé de A. L étt initil de D est {p}. L étt p est un pédesseu de p p ; c est ussi un pédecesseu de. Donc {p, } est le successeu de {p} p dns D. L étt p est un pédesseu de p p, mis ce n est ps un pédecesseu de. Donc {p} est le successeu de {p} p dns D. Pmi les étts {p, }, seul p est un pédecesseu de p p, mis p et sont tous deux pédesseus de p. Comme deux pédesseus, il n ppît ps dns le successeu de {p, } p ui est donc {p}. Pmi les étts {p, }, seul p est un pédecesseu de p p, et seul est un pédecesseu de p. Donc le successeu de {p, } p est {p, }. {p} n est ps finl c il ne contient ucun étt finl ; {p, } est finl c il contient un (impi) étt finl. D où le ésultt : p On emue ue cet utomte econnît ien le lngge nnoncé plus hut, c est-à-die les mots ui ont un nome impi de. ) On monte p écuence su l longueu de w : P(w)="pou tout étt p, w étiuète dns A un nome impi de chemins d un étt initil à p si et seulement si l étt X tteint dns D en lisnt w contient l étt p. Bse. Si w =, p est tteint dns A à pti d un étt initil seulement si c est un étt initil, et dns ce cs, il y un uniue chemin pou tteinde p (chemin de longueu nulle). Comme l étt initil de D est l ensemle des étts initiux, P() est vi. nduction. Si w est de longueu stictement positive, w s écit w = u. Supposons ue P(u) est vi. Considéons tous les chemins ui ptent d un étt initil et ui ivent en p étiuetés p w. On peut clsse ces chemins selon leu vnt denie étt. Regdons p exemple ceux dont l vnt denie étt est un cetin étt ; ce sont exctement les chemins ui ptent d un étt initil et ivent en étiuetés p u. l y en donc un nome impi si et seulement si l étt X tteint dns D en lisnt u contient. Le nome de chemins ui ptent d un étt initil et ui ivent en p étiuetés p w est impi si et seulement si il y un nome impi d vnt denies étts pou lesuels le nome de chemins ui ptent d un étt initil et ui ivent en étiuetés p u est impi, utement dit si et 7

8 seulement si p un nome impi de pédecesseu p dns X, donc si et seulement si l étt Y, successeu de X p, c est-à-die l étt tteint dns D en lisnt w, contient p. Conclusion. Comme P() est vi et ue si P(u) est vi, los pou tout, P(u) est vi, l poposition P(w) est vie pou tout w. Mintennt, un mot w est ccepté p D si et seulement si l étt X dns leuel il mène contient un nome impi d étts teminux, donc si et seulement si le nome d étts de A dns leuel on peut ive en lisnt p su un nome impi de chemins est impi, c est-àdie si et seulement si le nome de chemins éussis dns A étiuetés p w est impi. Donc w est ccepté p le -déteminisé de A si et seulement si il est ccepté p le -utomte A. Un -utomte et son -déteminisé econnissent donc le même lngge. 8