LIMITES ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

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1 IMITES ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MthsTICE de Adm Troré ycée Technique Bmko I Notion de ite: Activité : Soit une onction de représenttion rphique ci-dessous : b C b Nous pouvons remrquer sur le rphique que les vleurs de tendent vers lorsque tend vers d un côté comme de l utre On eprime ce it en disnt que l ite de lorsque tend vers est On écrit : imite à uche ite à droite : Déinition : Si une onction dmet pour ite l à droite lorsque l vrible tend vers on écrit : l l est ppelé l ite à droite de en De même Si une onction dmet pour ite l à uche lorsque l vrible tend vers on écrit : l p l est ppelé l ite à uche de en Remrque : Si l, lors l Déinition : Soit une onction numérique déinie sur un intervlle de l orme : ] α α [ ou sur ] α [ ] α [ α R * et un réel imites et continuité Pe sur 6 Adm Troré Proesseur ycée Technique

2 imites et continuité Pe sur 6 Adm Troré Proesseur ycée Technique On dit que l ite de u point d bscisse est, et on écrit :, si et seulement si [ ] 4 Théorème : Si une onction dmet pour ite l u point d bscisse, lors cette ite est unique Eemple : Soit l onction déinie pr : ] ] [ [,, dmet-elle une ite lorsque est rbitrirement voisin de? II Rèles de clcul des ites : imites élémentires : Soit un nombre réel R R R R 4 R 5 sin t R 6 cos cos Théorème : Si et eistent toutes deu, lors : [ ] b [ ] c [ ] d vec

3 e n n n vec Formes indéterminées : Dns l recherche de l ite, si nous obtenons l une des ormes suivntes :, ucun théorème mthémtique ne nous permet de conclure On dit qu on une orme indéterminée Eemples de clculs de ites : Clculer 8 8 orme ind 8 4 Pour t sin ind sin sin sin cos sin t sin cos cos sin co cos sin cos cos 4 Utilistion de l epression conjuuée : 8 Soit Déterminer l ensemble de déinition D de b Clculer Réponses : D [ 8 [ ] [ b 6 imites et continuité Pe sur 6 Adm Troré Proesseur ycée Technique

4 5 imites de onctions polynomiles : Théorème : Qund n tend vers ou, toute epression polynomile de l vrible réelle même ite que son monôme de plus hut deré b Eemples : imites de onctions Rtionnelles : Théorème 4 : Qund n tend vers ou, toute epression se présentnt sous l orme d une rction même ite que le rpport des termes de plus deré du numérteur et du dénominteur 5 b Eemples : imites impliqunt des rdicu : Clculer les ites de onctions suivntes : b 6 5, si c où, si 6 III Continuité d une onction: Continuité en un point d bscisse : Déinition : Soit une onction numérique de l vrible réelle d ensemble de déinition D On dit que est continue u point d bscisse de D si et seulement si est déinie et est continue u de D point déinie imites et continuité Pe 4 sur 6 Adm Troré Proesseur ycée Technique

5 Soit b Eemple : Soit déinie pr onction est-elle continue en? en? Déterminer l ensemble de déinition D de est-elle continue en? Prolonement pr continuité en un point : Déinition : est proloneble pr Si et continuité u point seulement si D l, l réel Son prolonement est l onction déinie pr :, si l b Eemples et contre eemple : 4 Soit l onction déinie pr est-elle proloneble pr continuité en? si oui déterminer son prolonement Soit déinie pr peut-elle être prolonée pr continuité en? Continuité d une onction sur un intervlle I [ b] : Une onction est continue sur I [ b], si elle est continue en tout point de I [ b] 4 Théorème : Toute onction polynôme est continue sur R Toute onction rtionnelle est continue en tout point de son ensemble de déinition 5 Théorème 4 : Si et sont deu onctions respectivement continue en lors les onctions λ λ IR si sont continues en imites et continuité Pe 5 sur 6 Adm Troré Proesseur ycée Technique

6 6 Théorème de l bijection : Si est une onction continue et strictement monotone sur un intervlle I [ b] lors rélise une bijection de I [ b] sur I où I est un intervlle b α b 7- Représenttion rphique d une bijection réciproque : Pour représenter l courbe C de l bijection réciproque de l bijection on trce le symétrique orthoonl de l courbe C de pr rpport à l première bissectrice d éqution y y C - ère bissectrice : y C imites et continuité Pe 6 sur 6 Adm Troré Proesseur ycée Technique