8. Intégrales Un peu d'histoire Calcul de l'aire entre une courbe et l'axe des x INTÉGRALES

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1 INTÉGRALES 8. Intégrles 8.. Un peu d'histoire Archimède de Syrcuse (Syrcuse, Syrcuse, -) Les clculs d'ire de figures géométriques simples comme les rectngles, les polygones et les cercles sont décrits dns les plus nciens documents mthémtiques connus. L première réelle vncée u-delà de ce niveu élémentire été fite pr Archimède, le génil svnt grec. Grâce à l technique d'archimède, on pouvit clculer des ires ornées pr des proles et des spirles. Au déut du 8 ème siècle, plusieurs mthémticiens ont cherché à clculer de telles ires de mnière plus simple à l'ide de limites. Cependnt, ces méthodes mnquient de générlité. L découverte mjeure de l résolution générle du prolème d'ire fut fite indépendmment pr Newton et Leiniz (voir le chpitre ) lorsqu'ils s'perçurent que l'ire sous une coure pouvit être otenue en inversnt le processus de différentition. Cette découverte, qui mrqu le vri déut de l'nlyse, fut répndue pr Newton en 669 et ensuite puliée en 7 dns un rticle intitulé De Anlysis per Aequtiones Numero Terminorum Infinits. Indépendmment, Leiniz découvrit le même résultt ux environs de 67 et le formul dns un mnuscrit non pulié dté du novemre Clcul de l'ire entre une coure et l'xe des x Dns ce prgrphe, nous llons étudier le deuxième prolème mjeur de l'nlyse (le premier prolème étit de trouver l tngente à une coure qui nous conduit à l découverte des dérivées) : Le prolème du clcul d'ire Soit une fonction f continue et non négtive sur un intervlle [, ]. Trouver l'ire entre le grphe de f et l'scisse dns l'intervlle [, ]. Que vut l'ire sous l coure + sin(x) entre et 6 (voir dessin ci-contre)? 6 Georg Friedrich Bernhrd Riemnn (Breselenz, 7/9/86 - Selsc, /7/866) Note : cette somme est ppelée somme de Riemnn. L'idée est de sudiviser l'intervlle [, ] en plusieurs sous-intervlles de même lrgeur [x, x ], [x, x ],..., [x n, x n], vec x = et x n=. L lrgeur de chque sous-intervlle est égle à l lrgeur de l'intervlle [, ] divisé pr le nomre de sous-intervlles, c'est-à-dire : de x=. n Pour chque i =,,..., n, on dessine un rectngle ynt comme se le segment x ix i+ et comme huteur f(x i) (voir dessins pge suivnte). Ainsi, l'ire du i ème rectngle (huteur x lrgeur) est : L'ire totle des n rectngles est : f x i x n A( n)= f (x i ) Δ x i= Didier Müller - LCP - 6 Chier Anlyse

2 CHAPITRE 8 Rppel i= x i =x x x x Lorsque le nomre n de sous-intervlles ugmente, l lrgeur de chque sous-intervlle diminue et l'pproximtion de l'ire sous l coure devient plus précise. À l limite, nous otenons l'expression excte pour l'ire A : A= lim n + n i= f (x i ) Δ x vec x= n 6 6 Approximtion vec rectngles : ire = Approximtion vec rectngles : ire = 9.67 Exercice 8. Voici qutre mnières d'pprocher l'ire sous l coure +sin(x). Les trois premières utilisent cinq rectngles, l qutrième cinq trpèzes. Clculez ces pproximtions. L'ire excte est c. d Définition de l'intégrle définie Note importnte f x est un nomre. D'une mnière générle, et indépendmment du clcul d'ire, l quntité A= lim n + n i= f (x i ) Δ x (si l limite existe) est ppelée intégrle définie de l fonction f (x) de à. Elle est notée f x Les nomres et sont ppelés ornes d'intégrtion et x vrile d'intégrtion. est un symole insécle (on ne peut ps séprer le d du x). Il indique que l'on intègre sur x. Il se plce toujours en dernière position et mrque l fin de l'intégrle. Chier Anlyse Didier Müller - LCP - 6

3 INTÉGRALES 8.. Le théorème fondmentl du clcul intégrl L'usge de l définition de l'intégrle f (x)= lim n + i= n n f ( x i) se révèle être très peu prtique cr demndnt des clculs longs et prfois difficiles. Cependnt, pour certines fonctions (ps toutes), il existe une lterntive plus simple. Il se trouve qu'il y une reltion entre intégrtion et différencition. Cette reltion s'ppelle le théorème fondmentl du clcul intégrl. Théorème fondmentl du clcul intégrl Soit une fonction f continue définie sur l'intervlle [, ]. Alors f (x)=f () F () où F(x) est une fonction telle que F'(x) = f (x). F(x) est l primitive de f (x) et on écrit F x= f x. Preuve du théorème Pour simplifier, nous llons prouver le théorème pour une fonction f positive sur l'intervlle [, ]. Le cs générl est similire. Pour tout nomre réel x compris entre et, notons A(x) l'ire ornée pr l coure, l'scisse, l droite verticle pssnt pr et celle pssnt pr x. Ceci définit une fonction A(x). Considérons le chngement de l vleur A(x) qund x ugmente d'une petite quntité h. Si h est suffismment petit, l différence entre A(x) et A(x+h) est pproximtivement égle à l'ire du rectngle de lrgeur h et de huteur f (x), donc d'ire h f (x). Ainsi : En divisnt pr h, on otient : A xh A x h f x A xh A x f x h Plus h ser petit, plus petite ser l'erreur de l'pproximtion ci-dessus. À l limite, nous urons : lim h A xh A x = f x h Didier Müller - LCP - 6 Chier Anlyse

4 CHAPITRE 8 En d'utres termes, A(x) est l primitive de f (x) (les Anglo- Sxons disent volontiers ntidérivée ou encore intégrle indéfinie). Cette limite n'est rien d'utre que l dérivée A'(x) de l fonction A(x). Nous vons donc montré que : A'(x) = f (x) Supposons mintennt que F(x) est une primitive de f (x). Ainsi : Donc F'(x) = f (x) = A'(x) F'(x) A'(x) = [F A]'(x) = Cel signifie que l fonction F A est constnte sur l'intervlle [, ] (cr s dérivée est nulle). Supposons que [F A](x) = C. Ainsi : F(x) = A(x) + C Comme A() =, nous pouvons déterminer C en posnt x = : Ainsi : Il s'ensuit que F() = + C F(x) = A(x) + F() ou A(x) = F(x) F() f x =A =F F Q.E.D. Exemple Attention! Il fut toujours trviller en rdins! Reprenons notre exemple de déprt, à svoir clculer l'ire sous l coure de l fonction f (x) = + sin(x), dns l'intervlle [, 6]. Une primitive possile de f (x) est F(x) = x cos(x). On peut le vérifier isément en dérivnt F(x). Donc, d'près le théorème fondmentl du clcul intégrl : 6 F 6 F sin x= cos6 cos= Retour u prolème du clcul d'ire Exercice 8. Nous vons introduit l notion d'intégrle à prtir du prolème du clcul d'ire sous une coure (voir 8.). Ce prolème vit une restriction : l fonction f devit être positive dns l'intervlle [, ]. Que se psse-t-il si ce n'est ps le cs? Pour le découvrir, clculez successivement les intégrles définies ci-dessous : sin x = sin x = sin x = sin x = sin x = sin x = Voici le grphe de sin(x) dns l'intervlle [ π ; π]. Que consttez-vous d'étrnge et comment l'expliquez-vous? Chier Anlyse Didier Müller - LCP - 6

5 INTÉGRALES 8.6. Clcul de l'intégrle définie Propriétés de l'intégrle définie Comme vous vez pu le constter u 7.6, l'intégrle définie représente l'ire signée comprise entre l coure et l'xe Ox dns un intervlle donné. Cel signifie que l'ire est comptée négtivement qund l fonction est négtive. Cette constttion ide à comprendre les propriétés cicontre. S'il est impossile de trouver une primitive, on peut toujours pprocher numériquement le résultt pr l somme des rectngles définis u 7.. () () () () () (6) k f x =k f xg x = f x = f x = c f x = f x f x f x c f x g x (idem pour ) f x (vec c ) f x g x si f (x) g(x) pour tout x dns [, ] Chque fois que c'est possile, le clcul de l'intégrle définie entre les ornes et se fit en deux temps. Premièrement, trouver une primitive F(x) de l fonction f (x) à intégrer ; deuxièmement clculer F() F(). Comme exemple, clculons x x. Étpe : F (x)= x(+x )=( x+x )=x + x +C Étpe : x(+x )=F () F ( )=( + ) (( ) + ( ) )=8 Exercice 8. Clculez les intégrles définies ci-dessous :. d. 9 g. j. 6 x. x e. y y dy h. x x sin x k. x x c. t t8dt x 9 x x f. x x x i. cos x x x l. x cos x Exercice 8. Pour toutes les questions cicontre, il est vivement recommndé de fire une esquisse.. Clculez l'ire sous l coure y = x + dns l'intervlle [, ].. Clculez l'ire u-dessus de l'xe Ox mis en dessous de l coure y = ( x)(x ). c. Clculez l'ire du domine orné pr l coure y = sinx et l'scisse dns l'intervlle [, ]. d. Clculez l'ire du domine orné pr l coure y = x x + 6x et l'scisse dns l'intervlle [, ]. Exercice 8.. Clculez x. Clculez π / cos x Didier Müller - LCP - 6 Chier Anlyse

6 6 CHAPITRE Théorème de l moyenne (du clcul intégrl) Pour toute fonction f à vleurs réelles, définie et continue sur un intervlle [ ; ], il existe un réel c dns l'intervlle ] ; [ vérifint : f (c)= f ( x) Le nomre f (c) est ppelé l vleur moyenne de l fonction f sur [ ; ]. Démonstrtion Le théorème de l moyenne est une reformultion du théorème des ccroissements finis (voir p. ). En effet, si F est une primitive de f, lors le théorème des ccroissements finis pour F fournit l'existence d'un réel c strictement compris entre et tel que F () F () F ' (c)=. Comme F' = f et F () F ()= f (x), on ien le résultt souhité. Exercice 8.6 Soit l fonction f (x) = x x.. Trouvez l vleur moyenne de l fonction f sur l'intervlle [ ; ].. Trouvez une vleur c dns l'intervlle [ ; ] où f tteint s vleur moyenne. c. Dessinez le grphe de f et superposez un rectngle dont l'ire est précisément égle à l'intégrle de f entre et. Exercice 8.7 Dns une ville, l tempérture (en C) t heures près 9 heures est pproximtivement donnée pr l fonction T (t)= ( sin π ) t 8.8. Aire entre deux coures Quelle est l tempérture moyenne entre 9 heures et heures? Prolème Soient f et g deux fonctions continues dns l'intervlle [, ] telles que f (x) g(x), pour x. Clculer l'ire A du domine délimité pr ces deux coures. Solution Si g est positive (g ) dns l'intervlle [, ], lors donc A= A = «ire sous f» «ire sous g» f x g x= [ f x g x] Chier Anlyse Didier Müller - LCP - 6

7 INTÉGRALES 7 Cette formule est ussi vlle qund les fonctions ne sont ps prtout positives. En effet, si g prend des vleurs négtives dns l'intervlle [, ], on trnslte les deux coures verticlement vers le hut de sorte que l fonction g soit prtout positive ou nulle. Il s'git donc de trouver le minimum m de g sur [, ], puis de soustrire m (cr m<) à f (x) et à g(x). Puisque les deux coures sont trnsltées de l même fçon, il est clir que l'ire entre les deux coures ne v ps chnger. On lors : Les m se sont simplifiés. A= [ f x m g x m] =[ f x g x] Exercice 8.8 On donne les fonctions f et g. Clculez l'ire du domine orné délimité pr les deux fonctions.. f x=x g x=8 x. f x=x x g x= x x6 c. f x=x x 6 x g x=x 7 x x d. f x= x g x= x Clculez l'ire du domine compris entre les coures des fonctions f et g et les droites verticles x = et x =. e. f (x) = x + g(x) = x = = f. f (x) = x g(x) = x = = g. Clculez l'ire du domine compris entre les coures y = x, y= x horizontles y = et y =., et les droites 8.9. Volume d'un solide de révolution Prolème Soit f une fonction continue et non négtive sur l'intervlle [, ]. Trouver le volume V du solide généré pr l révolution utour de l'xe Ox de l portion de coure y = f (x) comprise entre x = et x = Volume de révolution otenu en fisnt tourner l coure de guche utour de l'xe Ox - Didier Müller - LCP - 6 Chier Anlyse

8 8 CHAPITRE 8 Solution (méthode des disques) L'idée est l même que lorsque l'on cherchit l'ire sous une coure. On v découper l'intervlle [, ] en n sous-intervlles de même lrgeur [x, x ], [x, x ],..., [x n, x n ], vec x = et x n =. L lrgeur de chque sous-intervlle est égle à l lrgeur de l'intervlle [, ] divisé pr le nomre de sous-intervlles, c'est-à-dire : x=. Pour chque i =,,..., n, n on dessine un rectngle ynt comme se le segment x i x i+ et comme huteur f(x i ). Lorsqu'ils tourneront utour de l'xe Ox, chcun de ces rectngles v définir un cylindre très fin (presque un disque) de volume π [f(x i )] x. Le volume du corps de révolution ser l somme de tous ces cylindres : V = lim n n i= qui n'est rien d'utre que l'intégrle définie : [ f x] x V =[ f x] - - Volume de révolution pproché pr une série de cylindres. Exercice 8.9 Clculez le volume des solides générés pr l révolution utour de l'xe Ox des coures suivntes et donnez le nom (qund ils en ont un) de ces solides :. y =, x. y = x, x c. y = x +, x d. y=r x, R x R e. y= x, x f. y = x, x g. Donnez l formule permettnt de trouver le volume engendré pr une révolution utour de l'xe Oy, puis clculez le volume du solide généré pr l révolution utour de l'xe Oy de l coure : y = x, y. h. Trouvez le volume du corps engendré pr l révolution utour de l'xe Oy de l coure x=y, y. Chier Anlyse Didier Müller - LCP - 6

9 INTÉGRALES Mouvement rectiligne Remrque Dns ce prgrphe, nous supposerons que tous les mouvements se font sur une ligne droite. Pour introduire les dérivées, nous vions prlé du prolème de clculer l vitesse instntnée d'un moile connissnt son horire s(t). Nous vions vu que l vitesse v(t) est l dérivée de l'horire et l'ccélértion (t) l dérivée de l vitesse : v t=s' t = ds dt et t =v ' t= dv dt = d s dt Inversement, on déduit que l'horire est l primitive de l vitesse et que l vitesse est l primitive de l'ccélértion : st= v t dt et v t= t dt Ainsi, si l fonction vitesse d'un moile est connue, on peut trouver s position à condition d'voir suffismment d'informtions pour déterminer l constnte d'intégrtion. Exemple Trouvez l fonction horire d'une prticule se déplçnt vec une vitesse v(t) = cos(π t) le long d'une ligne droite, en schnt qu'en t =, s =. L fonction horire est st= v t dt= cos t dt= sin tc. Comme s = qund t =, il suit que =s= sin C=C. Ainsi, st= sin t. Déplcement et distnce prcourue Le chngement de position, ou déplcement, du moile dns un lps de temps [t, t ] est donné pr l formule : t vt dt=s t st t L distnce prcourue pr le moile dns ce même lps de temps peut être différente du déplcement. Elle est donnée pr l formule : t vt dt t Exercice 8. Donnez l fonction horire s(t) d'un moile schnt que. v(t) = t t + ; s() =. (t) = ; v() = ; s() = c. (t) = cos(t) ; v() = ; s() = d. Trouvez l position, l vitesse et l'ccélértion en t =, si v (t)=sin ( π t ) et schnt que s = qund t =. Donnez le déplcement et l distnce prcourue pr une prticule le long d'une droite schnt que e. v(t) = t + t ; t f. (t) = t ; v() = ; t g. (t)= t+ ; v() = ; t h. Schnt qu'un moile en chute lire dns le vide suit une ccélértion (t) = g, trouvez les formules de l vitesse v(t) et de l'horire s(t). Didier Müller - LCP - 6 Chier Anlyse

10 6 CHAPITRE Appliction u tritement d'imges Exercice 8. Une imge numérique en noir et lnc est composée de petits crrés (pixels) dont l couleur v du lnc u noir en pssnt pr toutes les nunces de gris. Chque nunce est codée pr un réel de l fçon suivnte : x = pour le lnc ; x = pour le noir ; x =., x =. et insi de suite jusqu'à.99 pr ps de. pour toutes les nunces intermédiires (du clir u foncé). L'imge A ci-contre est composée de qutre pixels et donne un échntillon de ces nunces vec leurs codes. Un logiciel de retouche d'imge utilise des fonctions numériques dites «fonctions de retouche». Elles sont définies sur l'intervlle [ ; ] et possèdent les qutre propriétés suivntes : f() = ; f() = ; f est continue sur l'intervlle [ ; ] ; f est croissnte sur l'intervlle [ ; ]. Une nunce codée x est ssomrie pr l fonction f si f (x) > x, et éclircie si f (x) < x. Ainsi, si f (x) = x, un pixel de nunce codée. prendr l nunce codée. =.. L'imge A ser trnsformée en l'imge B. On voit que l'imge B est plus clire que A. Si f (x) = x, l nunce codée. prendr l nunce codée... L'imge A ser trnsformée en l'imge C. L'imge C est plus somre que A. On considère les fonctions f et g définies sur l'intervlle [;] pr : f (x) = x 6x + x g(x) = ln(+(e )x).. Démontrez que ces fonctions sont des fonctions de retouche. On s'intéresse à des fonctions de retouche f dont l'effet est d'éclircir l'imge dns s glolité, c'est-à-dire telles que, pour tout réel x de l'intervlle [ ; ], f (x) x. On mesurer l'éclircissement glol de l'imge en clculnt l'ire A f de l portion de pln comprise entre l'xe des scisses, l coure représenttive de l fonction f, et les droites verticles d'équtions respectives x = et x = (voir figure cicontre). Entre deux fonctions, celle qui ur pour effet d'éclircir le plus l'imge ser celle correspondnt à l plus petite ire. On désire comprer l'effet des deux fonctions suivntes, dont on dmet qu'elles sont des fonctions de retouche : f (x)=x e (x ) g( x)= x + 6 x+. Lquelle de ces deux fonctions pour effet d'éclircir le plus l'imge? Chier Anlyse Didier Müller - LCP - 6

11 INTÉGRALES 6 8.*. Intégrles impropres Une intégrle définie est dite impropre (ou générlisée) dns deux cs :. une ou les deux ornes sont à l'infini ou. l fonction n'est ps continue dns l'intervlle d'intégrtion. Premier cs Si l fonction f est continue dns l'intervlle d'intégrtion, on définit : f x= lim f x et f x= lim f x Dns les deux cs, si l limite existe et n'est ps infinie, on dit que l'intégrle converge. Autrement, elle diverge. De plus, f x= f x f x. Exemple x =? On : x = C=F x x D'où : x = lim x = lim Cette intégrle converge vers. F F = lim = Exemple x =? On : =ln x C=F x x D'où : x = lim Cette intégrle diverge. x = lim F F = lim ln ln = Second cs Si l fonction f n'est ps définie en c dns l'intervlle [, ] (c peut être une des ornes d'intégrtion), lors f x =lim c c f x lim c c f x Exemple x =lim x lim On : x = C =F x x Clcul de l première limite : lim Clcul de l seconde limite : lim x =? x =lim x =lim = = Cette intégrle diverge. Si on vit ppliqué nïvement l formule sns prendre de précution, on urit trouvé F() F() = =. Résultt errnt puisque f n'est jmis négtive : l'intégrle définie ne peut ps être négtive non plus! Didier Müller - LCP - 6 Chier Anlyse

12 6 CHAPITRE 8 Exercice 8. Clculez les intégrles impropres ci-dessous :. e x. x d. e x ln x + g. j. e. x h. tn x k. c. x f. e x x x x i. x l. x cos x sin x Exercice 8. L Trompette de Griel est une figure inventée pr Evngelist Torricelli (68-67). Le nom fit llusion à l trdition d'identifier l'rchnge Griel à l'nge qui souffle dns l trompette pour nnoncer le Jour du jugement. L trompette de Griel est engendrée pr une portion d'hyperole d'éqution y= x trcée dns l'intervlle [ ; + [ tournnt utour de l'xe Ox. Extrémité guche de l Trompette de Griel + Son ire est donnée pr l formule A=π x + d x=+. x Clculez son volume. Qu'un solide de longueur infinie puisse posséder un volume fini semle contre-intuitif ux mthémticiens de l'époque et suscite de nomreuses correspondnces sur le sujet du fini et de l'infini. Cvlieri s'en étonne, et Roervl met d'ord en doute le résultt de Torricelli. Ce résultt déstilise Descrtes dns ses convictions sur l'infini et suscite un dét entre Hoes et Wllis. Ce solide présente ussi un second prdoxe pprent puisque s surfce est infinie. Il suffit donc d'un volume fini pour en remplir son intérieur lors qu'il fudrit une quntité infinie de peinture pour en couvrir seulement l surfce. Ce prdoxe montre les limites de l'ssocition surfce = quntité de peinture nécessire pour l peindre. En effet, l quntité de peinture suppose que l surfce soit peinte sur une épisseur e. Lorsque l'on peint l'intérieur de l trompette, il rrive un moment où le ryon intérieur devient inférieur à e. Alors on s'rrête de peindre tndis que l surfce continue à se déployer indéfiniment. 8.. Ce qu'il fut solument svoir Comprendre comment clculer une ire vec une somme de rectngles ou de trpèzes Connître le théorème fondmentl de l'nlyse et svoir le démontrer Clculer une intégrle définie Clculer l'ire comprise entre une coure et l'xe des x Connître le théorème de l moyenne Clculer l'ire entre deux coures Clculer le volume d'un solide de révolution utour d'un des xes Trouver les vleurs de l constnte C d'près les données initiles Chier Anlyse Didier Müller - LCP - 6