Grandeurs qui se conservent et grandeurs conservatives

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1 9 e Année - N 805 Publication Mensuelle Juin 1998 Gandeus qui se consevent et gandeus consevatives a José-Philie PÉREZ OMP Toulouse RÉSUMÉ On se oose de écise ce que l on entend généalement a lois de consevation en mécanique, en distinguant les gandeus qui se consevent occasionnellement de celles qui sont consevatives, c est-à-die de celles ou lesquelles le teme de oduction est toujous nul. 1. INTRODUCTION Dans l enseignement de la hysique, on ecommande de lus en lus, de s auye su les lois de consevation de gandeus hysiques. Non seulement cette démache est souhaitable su le lan fondamental, mais elle l est aussi su le lan technique (efficacité, aidité, etc.). Ceendant, il convient, me semble-t-il, de distingue ce qui elève de chacun de ces deux lans, sinon on isqueait de comomette l intéêt même de la démache. En bef, il est indisensable de distingue ce qui est occasionnel de ce qui est univesel, dans l état actuel de la hysique. Le oblème ainsi osé est bien illusté a le concet d énegie mécanique. Voilà une gandeu qui ne se conseve qu occasionnellement, mais qui end de écieux sevi- Vol. 9 - Juin 1998

2 98 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS ces losqu on veut ésoude simlement et aidement les oblèmes concets de mécanique à un seul degé de libeté. Ce n est ceendant as un concet fondamental, uisqu il a fallu le généalise en énegie totale, ou le seul motif qu il ne ésentait as de caactèe consevatif : l énegie mécanique eut ête oduite contaiement à l énegie totale. Cette généalisation constitue écisément le emie incie de la themodynamique [1]. Dans cet aticle, nous oosons de evisite successivement les concets de base de la mécanique, quantité de mouvement P, moment cinétique L et énegie cinétique E k, en distinguant soigneusement leu consevation occasionnelle de leu caactèe consevatif éventuel. Notons que, dans le langage de la mécanique analytique, les lois de consevation sont issues des équations de Hamilton établies dans le cas où toutes les foces déivent d une énegie otentielle. Ces lois taduisent la consevation automatique de cetaines gandeus mécaniques liée à l absence de vaiable dite conjuguée dans l exession de l hamiltonien H []. Ainsi, losque la vaiable satiale z est absente de H, la comosante suivant z du moment conjugué z, ou quantité de mouvement suivant z, se conseve ; de même, l absence de la vaiable angulaie exime la consevation du moment conjugué, ou moment cinétique, selon un axe eendiculaie au lan dans lequel est défini ; enfin, l absence de la vaiable tems t dans H exime la consevation de l énegie.. QUANTITÉ DE MOUVEMENT Raelons le théoème de la quantité de mouvement d un système matéiel femé, c est-à-die n échangeant as de matièe avec le milieu extéieu, soumis à la somme S ex des foces extéieues. La quantité de mouvement d un système matéiel, qui est la somme des quantités de mouvement des aticules qui le foment, satisfait à l équation vectoielle : dp / = Sex. Pou un système ouvet, c est-à-die ouvant échange aussi de la matièe à taves une suface, dite de contôle, qui le délimite, fixe et indéfomable, on monte que l équation vectoielle écédente devient [3] : d P = S ex +( qm v ) s e v étant la vitesse avec laquelle une quantité de matièe tavese la suface de contôle soit en entant (indice e), soit en sotant (indice s). Ce bilan est elatif au éféentiel R lié à la suface de contôle. Si R n est as galiléen, il faut ajoute, aux foces dues à la ésence d autes cos, les foces d inetie d entaînement et de Coiolis. Gandeus qui se consevent et gandeus consevations BUP n 805

3 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS Quantité de mouvement d un système isolé Si le système est isolé, c est-à-die n échange, ni énegie, ni masse avec le milieu extéieu, alos sa quantité de mouvement se conseve : Sex 0 et q m donnent : dp 0 soit : P = Cte.. Écitue en teme de bilan de quantité de mouvement Le théoème de la quantité de mouvement eut ête eximé en teme de bilan d une gandeu. En effet, on eut écie, ente deux instants infiniment voisins t et t + : dp = δp + δp avec : δp = S + ( q v) ex m s e et : δp = 0 Le emie teme eésente l échange de quantité de mouvement avec le milieu extéieu, à la fois a les foces extéieues et a le tansfet de matièe. Le second, qui taduiait une éventuelle oduction de quantité de mouvement, est nul. C est là écisément une caactéistique univeselle de la quantité de mouvement qu il convient de distingue de sa consevation occasionnelle..3. Alication à la dynamique des chocs La dynamique des chocs des systèmes femés utilise lagement le langage des bilans. On écit, en effet, dans ce cas : + τ P = P = S t 1 étant l instant du début du choc et sa duée, suosée tès faible devant toute duée caactéistique du hénomène, a définition même du choc. Ce bilan d une gandeu consevative fait aaaîte natuellement le teme d échange, aelé aussi ecussion associée à S ex : P = + τ S ex ex Vol. 9 - Juin 1998

4 984 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS Notons que si la foce et le moment sont des gandeus finies, c est-à-die si la nome de S ex est finie, le teme d échange coesondant est négligeable. En effet emlaçant la nome de S ex a une valeu majoante F m, on obtient : + τ + τ S t ex d m 1 t 1 t F = F m τ 0 uisque est tès faible. C est le cas de la luat des foces, telles que le oids, à l exclusion des foces de éaction ente solides : ce denie cas est illusté a la ecussion qu exece l axe matéiel de otation su un endule balistique. On etouve la consevation de P losque le système est isolé, ou seudo isolé si les actions extéieues existent mais sont telles que Sex = 0. Notons qu en dynamique des chocs la condition d isolement du système est eu estictive, uisque seules les ecussions associées aux foces de éaction ne sont as négligeables. 3. MOMENT CINÉTIQUE Le moment cinétique a des oiétés analogues à celles de la quantité de mouvement. C est une gandeu qui se conseve losque le système est isolé ou seudo isolé, et qui est consevative, c est-à-die que le teme de oduction du moment cinétique est toujous nul. Le théoème du moment cinétique ou un système ouvet s écit, en effet [3] : O O O dl = δl + δl avec : δlo = M, + ( q OA v) O ex m s c et : δlo = 0 où O est un oint fixe du éféentiel d analyse, M O, ex le moment en O des actions extéieues. A un oint généique a lequel le système échange de la masse avec l extéieu. En dynamique des chocs des systèmes femés, on a, ou le moment cinétique : + τ LO = L O = MO, ex Gandeus qui se consevent et gandeus consevations BUP n 805

5 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS ÉNERGIE CINÉTIQUE, ÉNERGIE MÉCANIQUE Pou un système ouvet, le théoème de l énegie cinétique s écit [3] : k ex in m s e = P + P + 1 ( q v ) 1 e soit : k = δw ex + δw in + ( q m v ) s si δwex = Pex et δwin = Pin eésentent les tavaux élémentaies des foces, extéieues et intéieues, eçus a le système, ente les instant infiniment voisins t et t +, et ( q v / ) d t la vaiation d énegie cinétique associée au tansfet de masse. m s e On en déduit le théoème de l énegie mécanique en distinguant les foces qui déivent d une énegie otentielle extéieue ou intéieue : k Pex nc Pin nc, ex, in 1 = + + ( qmv ) s e l exosant nc caactéisant les foces qui ne déivent as d une énegie otentielle. Il vient, en intoduisant l énegie mécanique du système : E = E + E + E m ex nc in nc m s e = P + P + 1 ( q v ) m k, ex, in : nc ou : m ex in nc 1 = δw + δw + ( qmv ) s e Si le éféentiel n est as galiléen, il faut ajoute évidemment la contibution des foces d inetie d entaînement, celle de Coiolis étant nulle Cas d un système isolé Losque le système est isolé, c est-à-die losqu il n échange ni énegie ni masse avec le milieu extéieu, on a : k =δw m nc ou : m =δw in Ainsi, dans le cas généal, ni l énegie cinétique, ni l énegie mécanique d un système isolé ne se consevent. La deuxième équation est tès souvent utilisée en mécanique ca, ou de nombeux systèmes, la uissance des foces intéieues qui ne déivent as d une énegie otentielle est nulle. Vol. 9 - Juin 1998

6 986 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS 4.. Écitue en teme de bilan d énegie cinétique Le théoème de l énegie cinétique eut ête éécit en teme de bilan. En effet : = δe + δe k k k avec : δ = δw + 1 ( q v ) et : δ = δ E k ex m s e E k Le emie teme eésente l échange d énegie cinétique avec le milieu extéieu, à la fois a les foces extéieues et a le tansfet de matièe ; le second taduit une oduction d énegie cinétique. Pa conséquent, l énegie cinétique n est as une gandeu consevative, écisément en aison du teme δw in. De même, l énegie mécanique n est as une gandeu consevative à cause du teme de oduction δw in nc. Seule l énegie totale intoduite en themodynamique l est. W in 4.3. Alication à l énegétique des chocs Un tel bilan est généalement effectué dans l étude des systèmes femés subissant un choc. L intégation de l équation écédente, su la duée du choc, donne : E = E + E k k k Dans la liste de ces tavaux, le tavail des foces finies est négligeable uisque les délacements le sont au cous d un choc : E k = W ex 0. Pa conséquent, le système eut ête considéé comme seudo-isolé. En ce qui concene le tavail des foces de contact, il est généalement négatif, ca, même si les foces de fottement sont nulles, le système subit une défomation locale et donc consomme une atie de l énegie cinétique. Ainsi, la diminution d énegie cinétique d un système, au cous d un choc, n est as uniquement liée aux foces de fottement : une atie set à le défome : E k = W in 0 Ce ésultat est à l oigine de la distinction ente chocs élastiques et inélastiques. Un choc ente deux systèmes, fomant un ensemble isolé ou seudo-isolé, est élastique losque l énegie cinétique totale du système est consevée : E k = 0. Dans tous les autes cas, le choc est inélastique : l énegie cinétique edue emet de modifie la natue des systèmes en les défomant, en les bisant en moceaux ou en augmentant leu teméatue. Il est alos natuel de caactéise un choc inélastique a le facteu de estitu- Gandeus qui se consevent et gandeus consevations BUP n 805

7 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS 987 tion en énegie, c est-à-die le aot de l énegie cinétique aès le choc su l énegie cinétique avant : ε= E k, av Ek, a avec : 0 ε 1 La limite suéieue ε=1coesond à un choc élastique ( Ek, a = Ek, av), alos que la limite inféieue ε=0taduit la disaition totale de l énegie cinétique disonible ; un tel choc est afaitement inélastique. CONCLUSION Résumons ce qui nous semble ête l essentiel. Cetaines gandeus en mécanique se consevent au cous du mouvement. Ce ésultat est occasionnel comme le ouve le simle ael des théoèmes de la quantité de mouvement, du moment cinétique et de l énegie cinétique ou tout système matéiel. Ceendant, on constate une difféence imotante ente les deux emies concets et l énegie cinétique ; alos que P et L sont des constantes ou un système isolé, E k vaie selon le tavail des foces intéieues W in. Cette difféence s exime autement en teme de bilan : dans les deux emies cas, le teme de oduction est nul, alos que, dans le toisième, il s identifie à W in. La echeche d une gandeu énegétique consevative est écisément à l oigine du concet d énegie mécanique ; ceendant le teme de oduction de cette denièe quantité est lui aussi non nul, uisqu il s identifie au tavail W in nc des foces intéieues qui ne déivent as d une énegie otentielle. Cette echeche est écisément à l oigine du concet d énegie totale intoduit a R. MAYER dans l énoncé du emie incie de la themodynamique [1]. BIBLIOGRAPHIE [1] : «Themodynamique, fondements et alications» - e édition - Masson (1997). [] H. GOLDSTEIN : «Mécanique classique» - PUF (1964). [3] : «Mécanique, fondements et alications» -5 e édition - Masson -. 3 (1997). Vol. 9 - Juin 1998