ESTIMER LA PRÉCISION DES MESURES

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Charles Dubois
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1 ESTIMER LA PRÉCISION DES MESURES I. Précision d'une mesure directe Une mesure directe est une mesure lue sur un ppreil de mesure. Le résultt d'une mesure directe n'est jmis connu de fçon prfitement excte. EXEMPLES : 1. Un double décimètre ne permet ps de mesurer une longueur u millimètre (mm) près de On peut, u mieux, estimer le 1 2 mm. L longueur L ser lors mesurée vec une incertitude bsolue, notée L, de 0,5 mm. 2. Un voltmètre de clibre 5V permet de mesurer une tension U vec une précision de 0,05V. Ici on dir que l incertitude bsolue U est de 0,05V CONSEQUENCE : Le résultt d'une mesure directe est donné vec un nombre limité de chiffres que l'on ppelle "chiffres significtifs." + Si l incertitude bsolue sur une mesure de longueur est de 0,1 cm, lors l longueur d'une feuille de ppier s écrir : = 29,7 cm Le résultt comporte 3 chiffres significtifs : le 2, le 9 et le 7. + Un dynmomètre grdué en newton (N) permet de mesurer une force de vleur F = 5,8 N. L incertitude bsolue de mesure U est ici de 0,1 N. Le résultt ne comporte plus que 2 chiffres significtifs. 1/6

1 10 de On peut, u mieux, estimer le 1 2 mm. L longueur L ser lors mesurée vec une incertitude bsolue, notée L, de 0,5 mm. 2. Un voltmètre de clibre 5V permet de mesurer une tension U vec une précision de 0,05V.

2 CHOIX D'UN APPAREIL DE MESURE : Il fut veiller à choisir l'instrument de mesure dpté à l grndeur à mesurer. On ne choisit ps le même instrument pour mesurer l longueur de l cour ou l'épisseur d'une plnche!... On ne choisit ps le même dynmomètre pour mesurer une force de l'ordre de 1000 N ou une force de l'ordre de 10 N. Un ppreil de mesure de bonne qulité permet l lecture d'un résultt vec 3 chiffres significtifs. ENCADREMENT OU ZONE D'INCERTITUDE: On écrit le résultt d'une mesure directe sous forme d'un encdrement (ou zone d'incertitude). Si l'on reprend les deux exemples précédents : = 29,7 ± 0,1 cm soit 29,6 cm 29,8 cm F = 5,8 ± 0,1 N soit 5,7 N F 5,9 N REMARQUE : A noter, dns le cs de ces 2 écritures, l position du symbole de l'unité : pour les églités, à l fin de l ligne. pour les inéglités, de prt et d'utre. II. Précision sur le résultt d'une mesure indirecte Une mesure indirecte est une mesure clculée à prtir d'une ou plusieurs mesures directes. 1. EXEMPLE Pour déterminer l vitesse d'un mobile, vous vez mesuré l distnce d prcourue et l durée t du prcours. Les vleurs de d et t peuvent être données vec leur zone d'incertitude. d = 255 ± 1 m soit 254 m d 256 m t = 61 ± 1 s soit 60 s t 62 s L vleur de l vitesse v ser clculée à prtir de l'expression : v = d t 2/6

... On ne choisit ps le même dynmomètre pour mesurer une force de l'ordre de 1000 N ou une force de l'ordre de 10 N.

3 Comment trouver l zone d'incertitude sur v? 1 ère étpe : Clculer une vleur pprochée de v à prtir des vleurs "moyennes" de d et t. v = = 4,18 m.s-1 L vleur donnée pr l clcultrice est ici rrondie à 3 chiffres significtifs, pour l'instnt de fçon rbitrire. 2 ème étpe : Déterminer l zone d'incertitude sur l vleur de v en se plçnt dns les 2 hypothèses les plus défvorbles. ) Vleur l plus grnde possible : v mxi = t d mximle minimle 256 v mxi = = 4,27 m.s L vleur mximle est toujours rrondie à l borne supérieure. (ici : 4,27 pour 4,2666 donné pr l clculette). b) Vleur l plus petite possible : v mini = t d minimle mximle 254 v mini = = 4,10 m.s ème étpe : L écrt entre l plus grnde vleur et l plus petite permet de déterminer l incertitude bsolue de l vitesse : v = 0,09 m.s -1. On présenter lors le résultt insi : v = 4,18 ± 0,09 m.s -1 soit 4,09 m.s -1 v 4,27 m.s -1 On vérifie qu'il étit effectivement possible de prendre 3 chiffres significtifs pour l vleur de l vitesse puisque l précision est de 9/100 de m.s -1. Mis cette précision étnt très voisine du 1/10, le résultt peut ussi se donner sous l forme : v = 4,2 ± 0,1 m.s -1 3/6

2 ème étpe : Déterminer l zone d'incertitude sur l vleur de v en se plçnt dns les 2 hypothèses les plus défvorbles. ) Vleur l plus grnde possible : v mxi = t d mximle minimle 256 v mxi = = 4,27 m.

4 2. APPLICATION Vous pouvez vous entrîner en suivnt les étpes de l'exemple précédent pour les exercices suivnts. Exercice 1 : somme de 2 tensions U = U 1 + U 2 On mesuré : U 1 = 5,7 ± 0,1 V U 2 = 9,4 ± 0,1 V 1 ère étpe : clculer U 2 ème étpe : clculer U mximle et U minimle en vous plçnt à chque fois dns l sitution extrême. 3 ème étpe : présenter le résultt sur U vec l zone d'incertitude. Exercice 2 : différence de 2 msses m = m 2 - m 1 On mesuré : m 1 = 171 ± 1 g m 2 = 327 ± 1 g Donner l vleur de m vec s zone d'incertitude. Exercice 3 : produit de deux grndeurs mesurées q = I t q = chrge électrique en coulombs (C) I = intensité en mpères (A) t = durée en seconde (s) On mesuré : I = 0,356 ± 0,001 A t = 179 ± 1 s Donner l vleur de q vec s zone d'incertitude. 4/6

l sitution extrême. 3 ème étpe : présenter le résultt sur U vec l zone d'incertitude.

5 Corrigé de l'exercice 1 1 ère étpe : U = U 1 + U 2 = 5,7 + 9,4 = 15,1 V 2 ème étpe : U mxi = U 1 mxi + U 2 mxi U mxi = 5,8 + 9,5 = 15,3 V U mini = U 1 mini + U 2 mini U mini = 5,6 + 9,3 = 14,9 V 3 ème étpe : U = 15,1 ± 0,2 V 14,9 V U 15,3 V Corrigé de l'exercice 2 1 ère étpe : m = m 2 - m 1 = = 156 g 2 ème étpe : m mxi = m 2 mxi - m 1 mini m mxi = = 158 g m mini = m 2 mini - m 1 mxi m mini = = 154 g 3 ème étpe : m = 156 ± 2 g 154 g m 158 g Corrigé de l'exercice 3 1 ère étpe : q = I t = 0, = 63,724 C 2 ème étpe : q mxi = I mxi t mxi q mxi = 0, = 64,26 C q mini = I mini t mini q mini = 0, = 63,19 C 3 ème étpe : q = 63,7 ± 0,5 C cr ucune donnée plus de trois chiffres significtifs 63,2 C q 64,2 C 5/6

mini = m 2 mini - m 1 mxi m mini = 326-172 = 154 g 3 ème étpe : m = 156 ± 2 g 154 g m 158 g Corrigé de l'exercice 3 1 ère étpe : q = I t = 0,356 179 = 63,724 C 2 ème étpe : q mxi = I mxi

6 3. CONCLUSION Avec les exemples précédents il est fcile de voir que lorsque le clcul est une somme ou une différence, l incertitude bsolue sur le résultt correspond à l somme des incertitudes des éléments de l somme ou de l différence. Si = b + c ou si = b - c lors = b + c Pr contre, dns le cs du clcul d un produit ou d une division, une reltion simple entre incertitude bsolue n pprît ps. On introduit dns ce cs l incertitude reltive d une mesure, qui correspond à un quotient tel que pour une mesure. Et on peut démontrer que l incertitude reltive du résultt d un produit ou d un quotient est u plus égle à l somme des incertitudes reltives des fcteurs du produit ou du quotient. Si = b x c ou = c b lors = b b + c c 6/6

Si = b + c ou si = b - c lors = b + c Pr contre, dns le cs du clcul d un produit ou d une division, une reltion simple entre incertitude bsolue n pprît ps.

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