TD 13 : Intégrales dépendant d un paramètre

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1 TD 3 : Inégrals dépndan d un paramèr Éuds d foncions Exrcic Enraînmn Oral Pis mins, PC, 5. On défini f x = a Dérminr l domain d définiion d f. b Éudir la régularié d f. c Qull s la limi d f x lorsqu x +? Répons. Pour ou x R, la foncion x Si x >, = o + + x x d convrg ; Si x, / = O x / + + / d divrg. On n dédui qu f s défini sur R +. On défini la foncion : xp x d. + x s coninu posiiv sur [,+ [. D plus : + F : x, x + Pour ou x >, la foncion F x, s coninu par morcaux inégrabl sur [,+ [ ; Pour ou, la foncion x F x, s d class C sur ],+ [ :, x >, k N, k F x k x, = k x + Pour ou k N ou x >, la foncion k F [,+ [ ; Soi a >. On a la majoraion : x, s coninu par morcaux sur xk x [a,+ [, >, k N k f, x, xk k a + La foncion majoran s coninu posiiv sur [, + [. Ell s d plus inégrabl sur [,+ [ puisqu : k a = + o + a/ a/ d convrg puisqu a >. Par conséqun, f s d class C sur [a,+ [. Cci éan vrai qul qu soi a >, on n dédui qu f s d class C sur ],+ [. Soi x >, paran d l ncadrmn : on obin par croissanc d l inégral : f x, x + x x d = x x + ls inégrals son bin convrgns donc par ncadrmn f x x +. hp://alxandr.boissau.fr.fr/priv/www/mahspc/d_inparam.pdf

2 x Exrcic Oral Pis mins, PC, 5. Soi F x = + + d. Domain d définiion D d F coninuié d F. Équivaln lorsqu n + d J n = x Répons. Ppour x R, la foncion + + plus : x + + x x x n + x n dx. + xn xpx ln = s coninu posiiv sur ],+ [. D + + x d convrg si, sulmn si, x < ; + + x x d convrg si, sulmn si, x >. + Par comparaison d foncions posiivs, la foncion F s défini sur ], [. On considèr mainnan la foncion x xpx ln f : x, = Pour ou x R, la foncion f x, s coninu par morcaux sur ],+ [ ; Pour ou >, la foncion x f x, s coninu sur R ; On considèr un sgmn [a,b] ],[. On a ls majoraions : d sor qu : x [a,b], >, x + + xpx ln xpb ln = + + x [a,b], >, x + + a + b si xpa ln + + si Comm a,b ],[, la foncion majoran s coninu, posiiv inégrabl sur ],+ [ d après c qui précèd puisqu F s défini n a n b. D après l héorèm d coninuié, la foncion F s coninu sur [a,b]. Cci éan vrai quls qu soin a b avc < a < b <, on n dédui qu F s coninu sur ],[. Avc l changmn d variabl d class C bijcif = x n, ls inégrals x n + x n dx + xn + + n n d son d mêm naur. Or, la scond inégral corrspond à n F n avc n ],[ puisqu n. Par conséqun l inégral J n convrg d plus : J n = n F n Par coninuié d F, on a F n F. D plus, F >, donc : n + On pu nsui ffcur l calcul d F : F = d + + = J n n + n F d = 4 3 d + + 3

3 On réalis l changmn d variabl affin u = + 3 : F = 4 3 On n dédui finalmn J n Calculs d limis / 3 n + 3 du u + = [arcanu] + 3 / = π 3 3 π = π π 3n 3. Exrcic 3 Oral Pis mins, PC,. On considèr la foncion : Démonrr la convrgnc d Démonrr qu la limi d + f n : x sinnx nx + x f n xdx. f n xdx lorsqu n + s fini la dérminr. Exrcic 4 Oral Mins-Pons, PSI, 5. Monrr qu, pour u [, [, ln u u. Soi α < n I n = n α d n Éudir la convrgnc donnr la limi évnull d la sui I n. Exrcic 5 Oral Mins-Pons, PC,. Jusifir la définiion d I n = nx cos x x pour n N. Dérminr un équivaln d I n. Répons. Pour n N, la foncion x x / nx cos x s coninu sur R. D plus : nx cos x x x x nx cos x = o x x + dx dx convrg x x x dx convrg d sor qu par comparaison d foncions posiivs l inégral I n convrg. On réalis l changmn d variabl affin = nx : I n = cos d n n On uilis l héorèm d convrgnc dominé appliqué à la sui d foncions f n n avc pour n : f n : > cos n Pour ou n, la foncion f n s coninu par morcaux sur ],+ [ ;

4 Pour ou > : f n = cos = f n n + d sor qu la sui d foncions f n convrg simplmn sur ],+ [ vrs f ; La foncion f s coninu par morcaux sur ],+ [ ; On a la majoraion : n, >, fn = f la foncion f s bin inégrabl sur ],+ [ puisqu : f f = o + d convrg Ainsi, avc l héorèm d convrgnc dominé : + cos d = f n d n n + d convrg f d = d C limi s non null c s l inégral sur ], + [ d un foncion sricmn posiiv, on n dédui l équivaln : I n n + + n d Il n rs plus qu à calculr c drnièr inégral. On uilis l changmn d variabl d class C bijcif u = : Par conséqun I n n + π n. Applicaion au calcul d inégrals d = u u u du = u du = π Exrcic 6 Inégral d Dirichl Oral CCP, PC, 3. Soi f : x R + cos x d. a Jusifir l xisnc d f x sur R +. Monrr qu f s coninu sur R + d class C sur R +. b Dérminr la limi d f x d f x quand x +. c Monrr qu f x = ln x ln + x pour x R +. + sin d Exprimr I = d n foncion d f. En déduir la valur d I. Exrcic 7 Inégral d Gauss Oral CCP, 5. Pour x R, on pos f s-ll coninu? dérivabl? On pos hx = x + x f x = + d d. Exprimr f à l aid d h n déduir la valur d d.

5 Uilisaion d séris Exrcic 8 Oral Pis mins, PC, 6. π d = n= n n Jusifir l xisnc ds dux rms d c égalié. + Calculr n d. Indicaion : y dy = 3 Conclur. Répons. La foncion f : s coninu posiiv sur ],+ [. D plus : d convrg ; = o / / d convrg. + Par comparaison d foncions posiivs, π. d convrg. On no I sa valur. Par aillurs, la séri considéré s un séri d Rimann convrgn. Pour n, la foncion f n : n s coninu posiiv sur [,+ [ n = o + / donc l inégral I n = n d s convrgn. On uilis l changmn d variabl d class C bijcif x = : I n = x nx dx On réalis nsui un inégraion par paris sur c inégral convrgn n considéran ls foncions : ux = x u x = v x = x nx vx = n nx Ls foncions u v son d class C sur [,+ [ on obin : I n = [ n ] + x nx + n nx dx = n On réalis nfin l changmn d variabl affin = nx : I n = n π d = n n n nx dx

6 3 On uilis la séri géomériqu : + I = d = + n= n d = n= n d = f n n= c qui s légiim puisqu ],[ pour >. On uilis alors l héorèm d échang séri inégral avc convrgnc dominé : Ls foncions f n son coninus par morcaux posiivs sur ],+ [ lls son inégrabls sur ],+ [ d après la duxièm qusion ; La séri d foncions f n convrg simplmn sur ],+ [ sa somm s f qui s coninu par morcaux sur ],+ [ d après ls calculs précédns ; Pour n, on a I n = f n d = f n d la séri I n convrg n uilisan ls dux qusions précédns. Ainsi, par applicaion du héorèm d échang séri inégral avc convrgnc dominé, on obin : d où l résula. I = I n n= d d Exrcic 9 Oral Cnral, PC, 9. Soi, pour n, u n = + n. Jusifir la définiion d u n. Dérminr la limi l d u n quand n +. n n Monrr qu u n l = + n d. 3 Écrir u n comm somm d un séri. 4 Donnr un équivaln d u n l. Répons. Pour n, la foncion f n : + n s coninu posiiv sur [,+ [. D plus : + n = O + d convrg. Par comparaison d foncions posiivs, l inégral + n d convrg ainsi qu l inégral + n d. On n dédui qu u n s bin défini. L problèm pour dérminr la limi d u n s qu l compormn d + n lorsqu n + dépnd d la posiion d par rappor à. C s pourquoi on décompos : Par aillurs : u n = ],[, d + n + d + n + n n + La sui d foncions f n convrg simplmn sur ],[ vrs la foncion consan égal à qui s coninu inégrabl sur ],[. D plus : ],[, n, + n Comm la foncion consan égal à s coninu inégrabl sur ],[, par applicaion du héorèm d convrgnc dominé : d d = + n n +

7 D mêm : >, + n n + >, n, + n + = f La sui d foncions f n convrg simplmn sur ],+ [ vrs la foncion null. C foncion s coninu sur ],+ [ la foncion f s coninu inégrabl sur ],+ [. Par applicaion du héorèm d convrgnc dominé : En ajouan ls dux : On par oujours d : + n d n + u n d = n + d + u n = + n + d + n Dans la duxièm inégral, on réalis l changmn d variabl u = / d class C bijcif sur ],+ [ : d u n = + n + u n + u n du = + n + n d ainsi : u n = + n + n n n d = + n d Rmarqu : on pu aussi uilisr c xprssion d u n pour appliqur l héorèm d convrgnc dominé. Pour écrir u n sous form d séri, on considèr n, on par d la rlaion précédn on fai apparair la somm d un séri géomériqu : n n u n = + n d = n n k nk d = k= k= k nk+n nk+n Chaqu foncion f k s défini coninu sur ],] la séri k f k convrg simlmn sur ],] vrs la foncion n n + n qui s coninu sur ],]. D plus, on obin facilmn pour k : =f k fk d = k nk+n nk+n d = nk + n nk + n + = n k + L majoran s l rm général d un séri convrgn par rappor à k, n éan fixé. Par conséqun, la séri k f k d convrg on pu appliqur l héorèm d échang séri inégral : k u n = n k + k= d

8 Cci prm d écrir u n comm somm d un séri. Avc l résula précédn : k u n = + k= n k u n = k n k= k n On pu écrir cci sous la form : n u n = g n n définissan pour x ], [ : k g x = k= k x Considérons un sgmn [ a, a] ],[, on a : k k, x [ a, a], k x k a L majoran s l rm général d un séri convrgn. On monr ainsi qu la foncion g s coninu sur [ a, a] n pariculir : g x g = x k= k On pu calculr c drnièr somm n paran d la quanié : S = k= k = π 6 On décompos c somm n dux, slon ls rms pairs impairs : d sor qu : nfin : S = finalmn : p= p + p + = 4 k= p= k k = p= p= p= p + p= k p + = 3 4 S = π 8 k= p + = 4 S + p= p + p = π 8 4 S = π u n n + π 6n p +

9 Exrcic. Monrr qu π cos x dx = π Répons. On uilis la séri xponnill : On défini pour n N : π cos x dx = n= n!. π n= f n : x n cos n x n! Chaqu foncion f n s coninu sur [,π] d plus : d sor qu : n cos n x n! n N, x [,π], fn x n n N, fn,[,π] n n! La séri xponnill n /n! convrg donc la séri d foncions f n convrg normalmn sur [, π]. Par applicaion du héorèm d échang séri inégral avc convrgnc uniform sur un sgmn on obin : Pour n N : π cos x dx = I n+ = n π n= n! dx n! cos n x dx =I n cosxcos n+ xdx On réalis un inégraion par paris avc ls foncions ux = cos n+ x u x = n + sinxcos n x v x = cosx vx = sinx Ls foncions u v son d class C sur [,π] : d sor qu : I n+ = [ sinxcos n+ x ] π = n + = π = n + I n n + I n+ +n + π cos xcos n xdx n N, I n+ = n + n + I n sin xcos n xdx En pariculir, comm on a facilmn I =, on n dédui qu I n = lorsqu n s impair. Alors : π cos x dx = n= n pair n n! I n = k= k k! I k

10 On déroul nsui la récurrnc prman d obnir un xprssion d I k : I k = k k I k = k k 3 k k 3 I k 4 = = kk kk On mulipli l numéraur l dénominaur par l produi ds rms pairs : On obin ainsi : π I k = kk k k 3 kk I = k! k k! I = π k! k k! cos x dx = k= k k! π k! k k! = π k! k= I Exrcic Oral Mins-Pons, PC,. Soi f : x sinx d. a Dérminr l domain d définiion d f. Éudir la coninuié d f. b Exprimr f comm somm d un séri d foncions. Répons. Pour x R, la foncion sinx s coninu sur ],+ [, d plus : sinx x donc sinx sinx s prolongabl par coninuié n d convrg ; sinx = O sinx d convrg donc + d convrg absolumn par comparaison d foncions posiivs. Ainsi, f s défini sur R. On défini : F : x, sinx Pour ou x R, la foncion F x, s coninu par morcaux sur ],+ [ ; Pour ou >, la foncion x F x, s coninu sur R ; Soi A >. On uilis la majoraion sinu u qul qu soi u R on obin : x [ A, A], >, sinx x A La foncion ϕ : A s coninu posiiv sur ],+ [ d plus : ϕ = A A ϕ = A = o / / d convrg + donc la foncion ϕ s inégrabl sur ],+ [. On n dédui qu f s coninu sur [ A, A] cci éan vrai qul qu soi A >, on n dédui qu f s coninu sur R. Pour x R : f x = sinx d = sinx n d = n= sinx n d n=

11 Il suffi alors d jusifir qu il s possibl d échangr la séri l inégral. On propos dux méhods pour cla. Méhod : avc l héorèm d échang séri inégral avc convrgnc dominé. On considèr x R fixé on défini pour n N la foncion f n : sinx n Chaqu foncion f n s coninu par morcaux sur ],+ [ inégrabl sur ],+ [ puisqu : n, >, fn D après ls calculs précédns, la séri d foncions f n convrg simplmn sur ],+ [ sa somm s coninu par morcaux sur ],+ [ ; On rappll qu pour ou u R, on a sinu u. Pour n, on n dédui avc un inégraion par paris : fn d = sinx n d Ainsi, la séri fn d convrg. x n d = x n Par applicaion du héorèm d échang séri inégral avc convrgnc dominé, on obin : Un drnir calcul donn : finalmn : f x = n= sinx n d sinx n d = Im ix n d = f x = n= x x + n x x + n Méhod : n uilisan la somm ds rms d un sui géomériqu. On considèr donc N on écri : ainsi : Ensui : N n= sinx n d = f x = N sinx d = f x N x x + n + n= N sinx d + x N sinx d N d Considérons la foncion u :, c foncion s coninu sur R : u + u + sinx N+ d

12 donc la foncion u s borné sur R + il xis donc un consan M ll qu, pour ou >, u M. Alors : N sinx d + M x N d = M x N N + En faisan ndr N vrs +, on obin finalmn : f x = n= x x + n Modélisaion Exrcic d modélisaion Calcul d un volum. Pour a >, on défini la foncion : f a : ],] R z - x - y x ln + ax on considèr l volum V a délimié par la roaion d la courb rprésnaiv d f a auour d l ax Ox. Calculr l volum V a. Indicaion : on pourra commncr par considérr un «ranch» d épaissur dx siué à l absciss x calculr son volum. x Répons. La ranch d épaissur dx siué à l absciss x pu êr considéré comm un cylindr d rayon f a x d hauur dx. z x - y L volum d c ranch s donc πf a x dx air du disqu d bas qui a pour rayon f a x muliplié par la hauur du cylindr. Pour obnir l volum V a on ajou ous cs volums élémnairs avc un inégral : V a = πf a x ln + ax dx = π x dx

13 L inégral s faussmn impropr n puisqu : f a x a x Noons va = V a /π c volum, on obin ainsi un foncion v défini sur ],+ [. Il n smbl pas simpl d l xplicir dircmn, on va donc l éudir. Admons qu l on puiss dérivr sous l inégral par rappor à a, on aura alors : a >, v a = + ax dx On pu s ramnr à la dérivé d la foncion arcan n réalisan l changmn d variabl affin = ax : v a = a a + d = a [arcan] a = arcan a a Supposons qu l on connaiss un primiiv A d la foncion arcan, on aurai alors : v a = a arcan a = a A a On rconnai alors la dérivé d un composé d sor qu : a >, va = A a + Cs On dérmin un primiiv A d arcan par inégraion par paris : arcan d = arcan + d = arcan ln + on n dédui : a >, va = a arcan a ln + a + Cs Pour dérminr la consan, on uilis la limi n. Tou d abord : nsui, avc l inégalié ln + : a arcan a ln + a a va = ln + ax La consan d inégraion s donc null ainsi : x dx a a a >, va = a arcan a ln + a V a = π a arcan a ln + a Il n rs plus qu à jusifir la dérivabilié d la foncion v, c s un applicaion dirc du héorèm du cours. On défini : f : a, x ln + ax x

14 a >, x ],] f a, x s coninu sur ],], posiiv inégrabl l inégral s faussmn impropr n ; x ],], a > f a, x s d class C sur ],+ [ : a >, x ],], f a a, x = + ax a >, x ],] f a, x s coninu sur ],] ; a E nfin : a >, x ],], f a, x a = + ax la foncion majoran s inégrabl sur l sgmn ],]. D après l héorèm d class C pour ls inégrals à paramèrs, v s d class C sur ],+ [ : c qui jusifi ls calculs précédns. a >, v a = + ax dx