. On considère les points A, B, C et D, d affixes respectives a, b, c et d :

Transcription

1 Nombres complexes Exercces corrgés s vous ave des remarques contacte mo EXERCICE Cet exercce comporte quatre affrmatons repérées par les lettres a, b, c et d Vous deve ndquer pour chacune de ces affrmatons, s elle est vrae (V) où fausse (F) Une réponse exacte rapporte 0,5 pont, une réponse fausse entraîne le retrat de 0,5 pont ucune justfcaton n est demandée Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal R= ( O; u, v) On consdère les ponts,, C et D, d affxes respectves a, b, c et d : a= ; b= ; c= + 4 ; d= + a (CD) est un parallélogramme b Le pont E, mage de C par la rotaton de centre et d angle, est un pont de l axe des abscsses c Soent f = 6 4et F le pont d affxe f Le trangle CDF est rectangle et socèle en D d Soent g= et G le pont d affxe g Le trangle CDG est rectangle et socèle en C Correcton Lorsqu on fat la fgure on répond mmédatement aux questons snon, avec a= ; b= ; c= + 4 ; d= + : Nombres Complexes corrgés Guesm

2 a Vra : (CD) est un parallélogramme ss = DC, sot = C D ce qu est évdent b Vra : = e ( ) = (+ 4 ) = 6 E C E c Vra : Le trangle CDF est rectangle et socèle en D s C a pour mage F dans la rotaton de centre D et d angle / On vérfe : f d= e ( c d) 6 4+ = (+ 4+ ) 4 = + 4 d Faux : CDG est rectangle et socèle en C s G a pour mage D dans la rotaton de centre C et d angle / Il est facle de vor que c est faux Par contre on a : CDG est socèle rectangle en D EXERCICE c d= e ( g d) + 4+ = ( + ) 4+ = 4+ ; L exercce comporte tros questons ndépendantes Pour chacune d elles, quatre réponses sont proposées, une seule réponse est exacte Une réponse exacte rapporte pont, une réponse fausse enlève 0,5 pont ucune justfcaton n est demandée + 4 Z= Z= vérfe + = 6+ ; l écrture algébrque de est : C D Le pont M d affxe Z est sur le cercle trgonométrque Un argument de 5 Z est 6 Z= Z Un argument de Z est Zest un magnare pur Le pont M d affxe Zest sur le cercle de centre O, de rayon 8 + Z= Le pont M d affxe Z² est sur l axe des ordonnées 8 + Correcton Le plus smple est de smplfer Z : + 4 (+ 4 )( + ) Z= = = Donc reponse C 4+ Ren qu en fasant la fgure on vot que est juste (arg(z)= /6) On peut vor les autres réponses : le module de Z est, C n est pas bon ; pour D : = + = + donc faux Comme est un réel, l faut que = +, sot = Cec élmne C et D Ce module vaut 0/, l faut donc que la parte réelle fasse 8/, réponse EXERCICE Dans chacun des cas suvants, répondre par VRI ou FUX ucune justfcaton n est demandée Les réponses nexactes sont pénalsées Le nombre complexe ( + ) est magnare pur 0 Le nombre complexe ( + ) est de module et l un de ses arguments est 7 Nombres Complexes corrgés Guesm

3 est le pont d affxe + dans un repère orthonormal L ensemble des ponts M d affxe vérfant ( + )( + + ) = 4 est le cercle de centre et de rayon 4 Correcton Vra : s on passe en forme trgonométrque c est mmédat : ( + ) = e 4 = e = Faux : Nombres Complexes corrgés 5 6 e = = e e = e ( + ) Faux : on développe : 5 7 donc de module mas d argument = ( ) 6 6 ( + )( + + ) = + ( ) + (+ ) + 4 d où en remplaçant par x + y, x + y + ( )( x y) + (+ )( x+ y) + 5= 4 x + y + x 4y+ = 0 ( x+ ) + ( y ) = 4 donc le centre est bon mas le rayon est On aurat pu remarquer drectement que + + = + d où est dentque EXERCICE4 Pour chacune des quatre questons de ce QCM, une seule des quatre propostons est exacte 0 ( + ) = 4 mas la concluson Le canddat ndquera sur sa cope le numéro de la queston et la lettre correspondant à la réponse chose ucune justfcaton n est demandée Une réponse exacte rapporte pont Une réponse nexacte enlève 0,5 pont L absence de réponse n apporte n n enlève aucun pont S le total est négatf, la note de l exercce est ramenée à 0 Dans le plan complexe, on donne les ponts, et C d affxes respectves +, et,08+,98 Le trangle C est : (a) : socèle et non rectangle (c) : rectangle et socèle (b) : rectangle et non socèle (d) : n rectangle n socèle À tout nombre complexe, on assoce le nombre complexe défn par : L ensemble des ponts M d affxe tels que ' = est : (a) : un cercle de rayon (c) : une drote prvée d un pont (b) : une drote (d): un cercle prvé d un pont 4 ' = + Les notatons sont les mêmes qu à la queston L ensemble des ponts M d affxe tels que est un réel est : (a): un cercle (c) : une drote prvée d un pont (b) : une drote (d): un cercle prvé d un pont 4 Dans le plan complexe, on donne le pont D d affxe L écrture complexe de la rotaton de centre D et d angle est : (a) : (c) : ' = + ' = Correcton Il faut calculer les dstances : (b) : (d) : = = + = 4 = 7, ' = + + ' = + + C= =,08+,98+ = 4,08,0 = 7,6868 C Guesm

4 et C= =,08+,98+ + = 5,08+,98 = 4,6868 C La réponse est donc (b) : rectangle et non socèle (on a M d affxe tels que ' = est donné par + C = C ) 4 4 ' = ' = = 4 = Réponse (b) : c est une drote (la médatrce des ponts d affxe et d affxe 4) L ensemble des ponts M d affxe tels que est un réel est : 4 arg( ') = 0( ) arg = 0( ) ( M, M) = 0( ) + Il s agt encore d une drote mas c l faut enlever le pont Réponse (c) : une drote prvée d un pont 4 D d affxe La rotaton de centre D et d angle est : ' = e ( ) ' = ( ) + = + = + Réponse (a) EXERCICE5 L exercce comporte 4 questons Pour chaque queston, on propose affrmatons Pour chacune d elles, le canddat dot ndquer s elle est vrae ou fausse en cochant la case correspondante ucune justfcaton n est demandée Les réponses à cet exercce sont à nscrre sur la feulle jonte en annexe Toute réponse ambguë sera consdérée comme une absence de réponse Chaque réponse exacte rapporte 0,5 pont Une bonfcaton de 0,5 pont est ajoutée chaque fos qu une queston est tratée correctement en enter (c est-à-dre lorsque les réponses aux affrmatons sont exactes) réponses nexactes dans une même queston entraînent le retrat de 0,5 pont L abstenton n est pas prse en compte, c est-à-dre ne rapporte n ne retre aucun pont S le total des ponts de l exercce est négatf, la note est ramenée à éro Dans l exercce, le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O; u, v) Q Pour tout n enter naturel non nul, pour tout réel θ, ( e θ ) n est égal à : cos n e θ Faux Vra n n ( θ ) sn( θ ) + Faux Vra cos( nθ) + sn( nθ ) Faux Vra + Faux Vra Q La parte magnare du nombre est égale à : Faux Vra Faux Vra Q Q4 Sot un nombre complexe tel que = x+ y (x et y réels) S est un magnare pur, alors est égal à :, et C sont des ponts d affxes respectves a, b et c telles que b a =, alors : c a ( C) y Faux Vra y Faux Vra Faux Vra C= C Faux Vra, = + k, k Z Faux Vra Nombres Complexes corrgés 4 Guesm

5 CC = C Faux Vra Correcton Q Pour tout n enter naturel non nul, pour tout réel θ, ( e θ ) n est égal à : cos n e θ n n ( θ ) sn( θ ) Vra : cours + Faux : bof cos( nθ) + sn( nθ ) Vra : cours + Faux : + = ( x + y + x y ) = x Q La parte magnare du nombre est égale à : Vra :on a snθ = = y Faux : = ( x + y x + y ) = y y Vra : = y = y = y Q S est un magnare pur, alors est égal à : y Faux : = = Vra : comme est magnare pur, on a = y = y et = ( y) = y C= C Vra : d un côté on a b c = = = = C ; C c a par alleurs le trangle C est rectangle en d où + C = C 4C = C Q4, et C sont des ponts d affxes respectves a, b et c telles que b a =, alors : c a, = + k, k Z ( C) Faux : c a, = arg = arg b a = arg = ( C) CC = C Vra : CC = C = CC C ( C C) = 0 C = 0 ( C) ( ) EXERCICE6 On consdère le nombre complexe : Z= e + a On a : Z = Nombres Complexes corrgés 5 Guesm

6 b On a : Z= ( ) e c Le réel d On a : Correcton est un argument de Z Z= e a Vra : On a : Z = e = = + ( ) b Faux : On a : Z= e = ( ) e + c Faux : Le réel d Vra : On a : EXERCICE7 Z= + e = e 4 e = e or ( ) Z= e Queston 8 On consdère les nombres complexes a= + et b= lors : a arga= b Il exste au mons un p de c Il exste au mons un q de d Il exste au mons un n e Il exste au mons un m Correcton N tel que N tel que N tel que n b = N tel que p a sot réel q a sot magnare pur m a et a Vra : a= + = e donc arg a= b Vra : c Faux : p a est réel s q a est magnare pur s m b soent réels p = k sot p= kavec k N * q = + k sot q= + k avec * k N donc d Faux : b= = e 4 n d où b = > donc b = n a pas de soluton e Vra : Donc m a et EXERCICE8 m b est réel s * m = k sot m= 4 kavec k N Et d après ) 4 * q N m a est réel s m= k avec m b sont réels s m est un multple de et 4 comme par exemple { } Queston 9 Dans le plan mun d un repère ( O;, j) b tels que a et b soent les solutons de l équaton : a OMON = ab b a+ b est un nombre réel c Le mleu de [ M, N ] est sur l axe des abscsses ;4;6 * k N, on consdère les ponts M d affxe a et N d affxe + = 0 On a : Nombres Complexes corrgés 6 Guesm

7 d La drote ( MN ) est parallèle à l axe des ordonnées e M et N appartennent au cercle de centre O et de rayon Correcton a Faux : Résolvons l équaton : ( ) OM et ON dans le plan mun d un repère ( O;, j) On a donc ( ) = d'où a= + et b= donc b= a Les affxes de sont respectvement a et b ab= aa= a = + = et OMON= = b Vra : a b a a ( a) + = + = Re = C est un réel c Vra : Le mleu de [, ] a+ b a+ a M N a pour affxe = = donc l est sur l axe des abscsses d Vra : Les ponts M et N ont la même abscsse égale à donc la drote ( MN ) est parallèle à l axe des ordonnées e Faux : On a a = a = b = donc M et N appartennent au cercle de centre O et de rayon EXERCICE9 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) On prendra cm pour unté graphque Les questons suvantes sont ndépendantes Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes, l équaton + 6= 0, étant le conjugué de On consdère le pont d affxe 4 Détermner la forme algébrque de l affxe du pont tel que O sot un trangle équlatéral de sens drect Sot le pont D d affxe a Représenter l ensemble (E) des ponts M d affxe dfférente de tels que : arg( ) = + k ( k Z ) 4 b Représenter l ensemble (F) des ponts M d affxe tels que = + e θ, θ R 4 tout pont M d affxe, on assoce le pont M d affxe telle que l ensemble des ponts M tels que ' = Correcton + = ( x y) ( x y) x y ( y x ) = = 0, sot x+ y = 0 x= y y=, x= = et x y+ 6 = 0 8y = = ' = + Détermner O est un trangle équlatéral de sens drect s a pour mage par la rotaton de centre O, d angle r: ' = e b= e ( 4 ) = + ( 4 ) = + + ( ) a arg( ) = + k ( u; DM) = + k ; l s agt de la dem-drote fasant un angle de 45 avec 4 4 l horontale, passant par D et orentée vers la drote θ θ b = + e = e = : l s agt du cercle de rayon et de centre D Nombres Complexes corrgés 7 Guesm

8 4 ' = = + = + = + car le module du conjugué est le même que celu de l orgnal Il s agt du cercle de damètre IJ où I a pour affxe et J a pour affxe prvé des ponts I et J EXERCICE0 Dans le plan complexe mun du repère orthonormal ( O; u, v), on consdère les ponts M et M d affxes respectves et On pose = x + y et = x + y, où x, x, y, y sont des nombres réels On rappelle que désgne le conjugué de et que désgne le module de Montrer que les vecteurs OM et OM Re ' = 0 sont orthogonaux s et seulement s ( ) Montrer que les ponts O, M et M sont algnés s et seulement s Im ( ' ) = 0 pplcatons N est le pont d affxe orthogonaux? 4 On suppose non nul P est le pont d affxe que les ponts O, N et P soent algnés a Montrer que ( ) Quel est l ensemble des ponts M tels que les vecteurs OM et ON soent = On recherche l ensemble des ponts M d affxe tels b En utlsant l équvalence démontrée au début de l exercce, conclure sur l ensemble recherché Correcton OM apour coordonnées x y, OM x' y', ls sont orthogonaux s et seulement s xx' yy' 0 + = Calculons ' ( x' y' )( x y) ( x' x y' y) ( xy' yx' ) Re ( ' ) = 0 = + = + + Donc xx' + yy' = 0 s et seulement s det, ' = 0 ' ' = 0 Im ' = 0 O, M et M sont algnés s et seulement s ( OM OM ) xy yx ( ) pplcatons Prenons = = +, alors xx' yy' x( x y ) y( xy) x( x y ) ' x y xy produt scalare est donc nul s x= 0 (axe des ordonnées) ou 4 a On a ( ) ( ) + = + = + ; le x y = 0 (cercle trgonométrque) = = + = donc la condton du se tradut par ( ) ( ) Im Im Im = = b Comme est réel, la parte magnare est celle de = ( x y) = x + y + xy L ensemble cherché est la réunon des axes des abscsses et des ordonnées EXERCICE Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé drect ( O; u, v),, C désgnent les ponts d affxes respectves a=, b= et c= a Écrre b sous forme exponentelle b Placer les ponts et C sur une fgure Construre à la règle et au compas le pont sur ce dessn (lasser les tracés de constructon apparents) Nombres Complexes corrgés 8 Guesm

9 On désgne par E le barycentre du système {( ; ) ; (C ; )} et par F le barycentre du système {( ; ) ; ( ; )} a Établr que l affxe e du pont E est égale à b Détermner l affxe f du pont F + a Démontrer que le quotent e c peut s écrre k où k est un nombre réel à détermner En dédure que, e b dans le trangle C, le pont E est le ped de la hauteur ssue de Placer le pont E sur le dessn b Démontrer que le pont F possède une proprété analogue Placer F sur le dessn 4 On désgne par H le barycentre du système {( ; ) ; ( ; ) ; (C ; 6)} Démontrer que le pont H est le pont d ntersecton des drotes (E) et (CF) Qu en dédut-on pour le pont H? Correcton a b= = e = b L abscsse de correspond au mleu de [O] ; l ordonnée est obtenue en traçant un trangle équlatéral de base [O] e= + = + = a ( C ) ( 6 ) b ( ) ( ) a f = + = 4 + = + + e c ( )( ) 4 = = = = = e b 9 ( + ) ( + 9) E, CE = ; comme E est sur [C] comme barycentre, (E) est une hauteur de C On a donc ( ) b Comme F est sur [], l ne peut être que le ped de la hauteur ssue de C : ( )( + ) f c 4 = = = = ( FCF, ) = f a donc F est le ped de la hauteur ssue de C sur le côté [] 4 vec les barycentres partels, on a H le barycentre du système {(F ; ) ; (C ; 6)}, H est sur (CF) ; de même H le barycentre du système {( ; ) ; (E ; 4)} donc H est sur (E) C est leur pont d ntersecton et donc l orthocentre de C EXERCICE 5 ponts Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v) On consdère le pont I d affxe et le pont d affxe = + a Montrer que le pont appartent au cercle Γ de centre le pont I et de rayon Sur une fgure (unté graphque cm), qu on complètera au fur et à mesure de l exercce, placer le pont I, tracer le cercle Γ, pus construre le pont b On consdère la rotaton r de centre le pont I et d angle Nombres Complexes corrgés 9 Guesm

10 Démontrer que le pont mage du pont par la rotaton r a pour affxe ( ) le pont appartent au cercle Γ c Calculer l affxe du pont C symétrque du pont par rapport au pont I d Quelle est la nature du trangle C? Justfer = + + Justfer que Dans cette queston, toute trace de recherche, même ncomplète, ou d ntatve même non fructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton On consdère les ponts E et F tels que : E= I et F= I Que peut-on conjecturer pour les drotes (F) et (CE)? Valder cette conjecture à l ade d une démonstraton Correcton a On a I() et ( ) + donc I= = + = I Le pont appartent au cercle (C) de centre le pont I et de rayon Pour construre le pont l sufft de tracer l horontale contenant le pont qu coupe le cercle (C) est le pont d abscsse postve b Par défnton un pont M d affxe a pour mage M d affxe tel que ' I = e ( I ), sot ' = ( ) ' = + + ; on a donc = ( + ) + + = + ( + ) La rotaton est une sométre, donc I = I = d après la queston a : le pont appartent donc au cercle (C) + C c Par défnton du mleu I = C = I = = Remarque : on aurat pu dre que C est l mage de par la rotaton r d Par défnton de la rotaton, la drote (I) est perpendculare à la drtote (I) D autre part [C] est un damètre de (C) Le trangle C est nscrt dans le cercle (C) ; un de ses côtés est un damètre, l est donc rectangle en et (I) étant à la fos hauteur et médane, le trangle C est socèle en Le trangle C est rectangle socèle en Il semble que (F) et (CE) soent perpendculares et de même longueur E C Démonstraton : l sufft de vérfer que =± F E= I = + = = E I ( ) ( ) ( ) ( ) ; F= I = + = = + + F I ; Nombres Complexes corrgés 0 Guesm

11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) + ( ) ( ) ( ) E C = = = = F EXERCICE Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal ( O; u, v) Unté graphque : cm On rappelle que, pour tous nombres complexes a et b, l ensemble C des nombres complexes l équaton = 8 a b = ( a b)( a + ab+ b ) Résoudre dans On désgne par, et C les ponts d affxes respectves a, b et c défnes par : a =, b= + et c= On appelle r la rotaton de centre et d angle et r la rotaton de centre et d angle On pose ' = r'( ) et C' = rc ( ) et on note b et c les affxes respectves de et C a Placer les ponts, et C dans le repère ( O; u, v) Dans la sute de l exercce, on complètera cette fgure b Montrer que b' = + + c Montrer que b et c sont des nombres conjugués On appelle M, N, P et Q les mleux respectfs des segments [C], [ ], [ C ] et [C C] On note m, n, p et q leurs affxes a Montrer que l affxe n du pont N est égale à + ( ) algnés b Montrer que n + = (q + ) Que peut-on en dédure pour le trangle MNQ? c Montrer que le quadrlatère MNPQ est un carré Correcton vec a = et b = on a : 0 =, ( )( 4) + En dédure que les ponts O, N et C sont = + + ; 4 6 ( ) + = =, = = + a a =, b= + et c= b ( ) b' a= e ( b a) b' = + = + + c ( ) = = = d où les solutons c' a= e ( c a) c' = + = + Qu est ben le conjugué de b b+ b' a n ( ) ( ( ) ) = = = et ( + ) = ( ) C est parel ( ) + vecteurs sont colnéares, les ponts sont algnés n + + c ON + = + = = OC, les b+ c b M a pour affxe =, q est le mleu de [CC ] et a pour affxe le conjugué de n (pusque c et c sont + les conjugués respectfs de b et b ), sot q ( ) = Nombres Complexes corrgés Guesm

12 q+ = + + = d où n + = (q + ) Le trangle MNQ est un trangle rectangle socèle car le vecteur MQ a pour mage le vecteur MN par la rotaton r On a alors n+ = + ( + ) + = et ( ) ( ) c Comme Q est le symétrque de N par rapport à (Ox) et que M et P sont sur (Ox), les trangles MNP et MQP sont sométrques donc MNPQ est un carré N ' j M O P C Q EXERCICE4 Dans le plan orenté, on consdère les ponts O et fxés et dstncts, le cercle C de damètre [O], un pont M varable appartenant au cercle C et dstnct des ponts O et, ans que les carrés de sens drect MPN et MKLO La fgure est représentée c-contre Le but de l'exercce est de mettre en évdence quelques éléments nvarants de la fgure et de montrer que le pont N appartent à un cercle à détermner On munt le plan complexe d'un repère orthonormal drect de sorte que les affxes des ponts O et soent respectvement 0 et On désgne par le nombre complexe de module et d'argument On note k, l, m, n et p les affxes respectves des ponts K, L, M, N et P L K O M N C' P Démontrer que, quel que sot le pont M chos sur le cercle C, on a m = Nombres Complexes corrgés Guesm

13 Établr les relatons suvantes : l = m et p = m + + On admettra que l'on a également n= ( ) m+ et k= ( + ) m a Démontrer que le mleu Ω du segment [PL] est un pont ndépendant de la poston du pont M sur le cercle C b Démontrer que le pont Ω appartent au cercle C et précser sa poston sur ce cercle 4 a Calculer la dstance KN et démontrer que cette dstance est constante b Quelle est la nature du trangle Ω NK? 5 Démontrer que le pont N appartent à un cercle fxe, ndépendant du pont M, dont on détermnera le centre et le rayon Correcton N K P Ω M L O V Le centre du cercle a pour affxe, le rayon est, on a donc m = L est l mage de M par la rotaton de centre O, d angle, on a donc l = m ; de même P est l mage de M par la rotaton de centre, d angle, on a donc p = e ( m ) p= ( m ) + = m+ + De la même manère on a n= ( ) m+ et k= ( + ) m a Ω a pour affxe p+ l m+ + + m + = = ; comme m n apparaît plus, Ω ne dépend pas de M + b On a évdemment = = donc Ω appartent au cercle C Ω est à l ntersecton de C et de la médatrce de [O] Nombres Complexes corrgés Guesm

14 4 a La symétre de la fgure par rapport à la drote (LMP) montre que KN= O= Par le calcul on a KN = n k = ( ) m+ ( + ) m = m = m = = Il est nutle de fare le calcul b Pour la même rason de symétre, Ω NK est l mage de Ω O et est donc socèle rectangle Ce coup-c on ne fat pas le calcul 5 Pusque Ω NK est socèle rectangle, son côté est centre Ω de rayon La dernère queston est asse pénble s on utlse le calcul, vor KN = donc Ω N =, N parcourt un cercle de EXERCICE5 Cet exercce content une resttuton organsée de connassances Parte On suppose connus les résultats suvants : Dans le plan complexe, on donne par leurs affxes, et C tros ponts, et C lors C C C = C Sot un nombre complexe et sot θ un réel : est un enter relatf et arg C = ( C, C)( ) C e θ = s et seulement s = et ( ) arg = θ+ k, où k Démonstraton de cours : démontrer que la rotaton r d angle α et de centre Ω d affxe ω est la transformaton du plan qu à tout pont M d affxe assoce le pont M d affxe tel que α ( ω) ' ω= e Parte Dans un repère orthonormal drect du plan complexe ( O; u, v) d unté graphque cm, on consdère les ponts,, C et D d affxes respectves =, =, = + et = + a Donner le module et un argument pour, chacun des quatre nombres complexes,, C et D b Comment construre à la règle et au compas les ponts,, C et D dans le repère ( O; u, v)? c Quelle est la nature du quadrlatère CD? On consdère la rotaton r de centre et d angle E = r () et F = r (C) C Soent E et F les ponts du plan défns par : a Comment construre à la règle et au compas les ponts F et E dans le repère précédent? b Donner l écrture complexe de r c Détermner l affxe du pont E Correcton Parte Démonstraton de cours : la rotaton r d angle α et de centre Ω d affxe ω envoe M() sur M ( ) de sorte ' ω M' M = Ω =Ω ω ' ω α α que = e ' ω = e ( ω) ( ΩM, Ω M' ) = α ' ω ω arg = α ω D Nombres Complexes corrgés 4 Guesm

15 Parte a =, =, = + et = + = = = e C = + = + = e C 6 ; D 5 6 ; = = = e D = + = + = e b Les ponts sont sur le cercle de centre O, de rayon (cercle de damètre [PQ]) ; est un sommet de trangle équlatéral, D est damétralement opposé à, est sur la bssectrce de QOD et est tel que l arc Q= Q ' ; C est damétralement opposé à (trats pontllés nors sur la fgure) ; D ' a E C Q O P F c Le quadrlatère CD est un rectangle (c est un parallélogramme car ses dagonales se coupent en leur mleu et les deux dagonales sont de même longueur) C est même un carré car les dagonales sont à angle drot (calculer l angle) a Pusqu l s agt de trangles équlatéraux, on construt les deux cercles de rayon, de centre et de centre ; une des deux ntersectons est E ; même chose avec les cercles de rayon C, de centres et C (en rouge et vert sur la fgure) b ' = e ( ) ' + = ( + ) c E ( ) E ( ) + = + = + +, sot E = = + Nombres Complexes corrgés 5 Guesm

16 EXERCICE6 ts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) Unté graphque : 0,5 cm On note j le nombre complexe e On consdère les ponts, et C d affxes respectves a = 8, b = 6j et c = 8j Sot l mage de par la rotaton de centre C et d angle, l mage de C par la rotaton de centre et d angle, C l mage de par la rotaton de centre et d angle Placer les ponts,, C,, et C dans le repère donné On appelle a, b et c les affxes respectves des ponts, et C a Calculer a On vérfera que a est un nombre réel b Montrer que b' = 6e En dédure que O est un pont de la drote ( ) c On admet que c' = 7+ 7 Montrer que les drotes ( ), ( ) et (CC ) sont concourantes en O On se propose désormas de montrer que la dstance M+M+MC estmnmale lorsque M = O a Calculer la dstance O + O + OC b Montrer que j = et que + j+ j = 0 c On consdère un pont M quelconque d affxe du plan complexe On rappelle que a = 8, b = 6j et c = 8j Dédure des questons précédentes les égaltés suvantes : ( ) ( ) ( ) a + b j + c j = a+ bj + cj = d On admet que, quels que soent les nombres complexes, + ' + '' + ' + '' Montrer que M+M+MC est mnmale lorsque M = O Correcton Nombres Complexes corrgés 6

17 C' ' O j C ' a Notons au préalable que b= 6j= 6e = 6 + et a' c= e ( b c) a' = 8e + e 6e 8e = 8e + 6e 8e b c= 8j = 8e = 8 = = = 4 b' a= e ( c a) b' = 8+ e 8e 8 = 8+ 8e 8e = = 8 8 = 6e b' On a alors ( O, O' ) = arg = arg b' argb= = donc O et O' sont colnéares et O est sur b ( ) c et sont sur (Ox) ;, O et sont algnés, l sufft de montrer que C, O et C sont algnés : c' = 7+ 7 = 4 + = 4e c' OC, OC' = arg = arg c' argc= =, ok c d où ( ) a O+ O+ OC= a + b + c = = Nombres Complexes corrgés 7

18 b 6 = = = = j e e e c ( ) ( ) ( ), + j+ j = + = 0 a + b j + c j = a+ bj + cj j j = a+ bj + cj ( + j+ j ) = avec (a ), ( b ) j et ( ) d Utlsons ' '' ' '' ( ) ( ) ( ) c j : a + b j + c j a + b j + c j = a + b + c = M+ M+ CM ; comme ( ) ( ) ( ) a + b j + c j = a+ bj + cj =, cette valeur est le mnmum de M+M+MC et l est obtenu lorsque = 0, sot lorsque M est en O 7 Calcul a On consdère le nombre complexe = Mettre sous forme trgonométrque Calculer b Résoudre dans C l'équaton En dédure les solutons dans C de l'équaton Correcton a = = e = 4e =, = 8e = 8 et En dédure 99 et = 0 (on remarquera que cette équaton a une racne évdente réelle) ( ) + 8= 0 Donner les solutons sous forme algébrque Comme on tourne à chaque fos de 60, tous les exposants multples de ramèneront sur l axe réel (un coup postf, un coup négatf) ; tous les multples de + (comme, 4, 7, ) seront sur la drote ssue de O et passant par, enfn tous les multples de + seront sur la drote ssue de O passant par 99 est un multple de 6 (x), on a b = e =, et + 8= 0 a comme racne évdente ; on factorse + : développant et dentfant les coeffcents : Les autres racnes sont alors : = +, = Pour résoudre + 8 = ( + )( + 4) = e = ( ) + 8 = ( + )( a + b+ c) ce qu donne en ( ) + 8= 0 on reprend l équaton précédente avec le changement d nconnue Z=, ce qu donne les solutons en Z ; on revent en arrère pour les solutons en Z+ Z= = Z+ = = Z d où les tros solutons : 0 = ( ) =, = (+ ) = et = ( ) = pts EXERCICE8 Dans l ensemble C des nombres complexes, désgne le nombre de module et d argument Montrer que ( + ) = 8 On consdère l équaton (E) : 6 = 8 a Dédure de une soluton de l équaton (E) b L équaton (E) possède une autre soluton ; écrre cette soluton sous forme algébrque Dédure également de une soluton de (E ) : = 8 4 On consdère le pont d affxe et la rotaton r de centre O et d angle Nombres Complexes corrgés 8

19 a Détermner l affxe b du pont, mage de par r, ans que l affxe c du pont C, mage de par r b Montrer que b et c sont solutons de (E ) 5 a Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) (unté graphque cm), représenter les ponts, et C b Quelle est la nature de la fgure que forment les mages de ces solutons? c Détermner le centre de gravté de cette fgure Correcton Sot on développe brutalement en utlsant le bnôme de Newton, sot on calcule d abord 6 ( + ) = + + =, ce qu donne ( + ) = ( ) = 8 Une autre possblté état de mettre + sous e forme trgonométrque : = 4 6 d où ( + ) = e 4 = 8e = 8 a Comme trouver + 6 ( + ) = 8, on a b D une manère générale l équaton ( ) + = 8 = ( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) = donc 6 De la même manère on peut écrre ( + ) = ( + ) smplfer et trouver ) 4 a La défnton de r donne : pour C : 4 ( + ) est une soluton On peut développer et = u a les deux solutons = u et = u, sot c l autre racne donc ' = e, sot avec : c= be = e e = e = = ( + ) est une soluton de (E ) (on peut b= e = + = ; pus 6 b En utlsant la forme trgonométrque on a : b = e = 8e = 8 et la même chose pour c 5 a b c : La rotaton de centre O d angle transforme en, en C et C en donc le trangle C est équlatéral de centre O qu est donc son centre de gravté On donne le nombre complexe = + + a Exprmer ² sous forme algébrque b Exprmer ² sous forme exponentelle c En dédure sous forme exponentelle Correcton a ( ) ² = + + = ²( ) = + (+ )( ) + = 4 = b ² = = 4 4e 4 = c EXERCICE9 4 ² 4 ² 4,arg( ²) [ ] arg( ) [ ] arg( ) [ ] = e = = = = = = Nombres Complexes corrgés 9

20 Sur [ ; [, on aurat sot = e 8, sot = e = e Le sgne de la parte réelle et de la parte magnare de donné dans l énoncé nous donne EXERCICE0 On consdère le polynôme P défn par : ( ) Calculer P( ) et P( ) 4 P = e = = pus montrer qu l exste un polynôme Q du second degré à coeffcents réels, que l on détermnera, tel que, pour tout C, on at P( ) ( ) Q( ) = + Résoudre dans C l équaton P() = 0 Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal ( O; u, v), les ponts,, C, D d affxes respectves =, =, C = + et D = C, pus montrer que ces quatre ponts appartennent à un même cercle C 4 On note E le symétrque de D par rapport à O Montrer que = e pus détermner la nature du trangle EC Correcton P( ) = 9 6( ) = 0, ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 4 E P = = 0 P = + + a+ b = + a + a+ b + a+ b donc a= 6 et b=, sot ( ) ( )( 6 ) P = : = 6 84= 48= ( 4 ) , = = +, = = P() = 0 a pour racnes et ans que et Comme et d un côté, C et D de l autre sont symétrques par rapport à l axe (( O, u ), les trangles C et D ont mêmes cercles crconscrts, ls appartennent donc au même cercle 4 E, le symétrque de D par rapport à O a pour affxe = + D ( + )( ) C = = = = = e E Le trangle EC est donc équlatéral EXERCICE Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque cm) Résoudre dans C l équaton = 0 On consdère les ponts et qu ont pour affxes respectves les nombres complexes a= 4 4 et b= a Ecrre a et b sous forme exponentelle b Calculer les dstances O, O, En dédure la nature du trangle O On désgne par C le pont d affxe c= + et par D son mage par la rotaton de centre O et d angle Détermner l affxe du pont D 4 On appelle G le barycentre des tros ponts pondérés (O ; ), (D ; +), ( ; +) Nombres Complexes corrgés 0 Guesm

21 a Justfer l exstence de G et montrer que ce pont a pour affxe g= b Placer les ponts,, C, D et G sur une fgure c Montrer que les ponts C, D et G sont algnés d Démontrer que le quadrlatère OGD est un parallélogramme Correcton = 0 : = = 64 = (8 ) d où = = ou = 4 4 a a= 4 4= 8 = 8e 6 et b= b= 4 + 4= = e b Il est mmédat que O= O= 8 ; = b a = = 8 = 8 O est équlatéral 5 r: ' = e d= e ( + ) = e e e 6 e 6 + = = = évdemment en utlsant les coordonnées cartésennes) (on peut le fare 4 a G : barycentre de (O ; ), (D ; +), ( ; +) exste car la somme des coeffcents n est pas nulle Son affxe est G = ( O + D + ) = d+ b= = b Il faut évdemment utlser les formes trgo G D C O c C, D et G sont algnés : CD a pour affxe d c= ( + ) = + et DG g d= = 4 + 4= 4( d c) donc DG= 4CD a pour affxe d ppelons K le mleu de [D], alors G est le barycentre de (O ; ), (K ; ) d où OG= OK OG= OK, donc K est le mleu de [OG] Mêmes mleux donc parallélogramme + Nombres Complexes corrgés

22 EXERCICE On consdère le polynôme P de la varable complexe, défn par : ( ) ( ) P( ) = a Détermner le nombre réel y tel que y sot soluton de l équaton P() = 0 b Trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout nombre complexe, on at ( )( ) P( ) = + a+ b c Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes, l équaton P() = 0 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) On prendra cm pour unté graphque a Placer les ponts, et I d affxes respectves = ; = 7 5 et = b Détermner l affxe de l mage du pont I par la rotaton de centre O et d angle c Placer le pont C d affxe C = + Détermner l affxe du pont N tel que CN sot un parallélogramme d Placer le pont D d affxe D = + Calculer Z= D C I 4 sous forme algébrque pus sous forme trgonométrque Justfer que les drotes (C) et (D) sont perpendculares et en dédure la nature du quadrlatère CD Correcton a y soluton de l équaton P() = 0, sot P( y ) = 0, sot ( ) ( ) ( ) ( ) y y + 74 y 74 = 0 y + y + y + y + 74y 74 = 0 Cec donne le système y + y= 0 y + y + y = ne convent pas dans la seconde lgne et y= qu convent b P( ) ( )( a b) ( )( 74) c P() = 0 : = + + = = 0, = 96 = 95= 5 59 d où les racnes =, =, = ; la premère lgne donne comme solutons y= 0 qu b 4 ' = e I = + = + c CN est un parallélogramme s = NC = + = = + d Calculer N C ( + )( 4) C Z= = = = = = = e D On a donc ( D, C) = donc les drotes (C) et (D) sont perpendculares ; comme CD est un parallélogramme, c est un losange EXERCICE Parte Nombres Complexes corrgés Guesm

23 = et sont des nombres complexes ; résoudre le système d équatons suvant = Dans le plan complexe mun d un repère orthonormé drect de centre O, d unté graphque 4 cm, on consdère les ponts et d affxes respectves : = + et = + Donner les écrtures de et sous forme exponentelle Placer les ponts et Calculer module et argument de En dédure la nature du trangle O et une mesure de l angle ( O, O) 4 Détermner l affxe du pont C tel que CO sot un losange Placer C Calculer l are du trangle C en cm Parte Sot f la transformaton qu à tout pont M d affxe assoce le pont M d affxe telle que ' = e 6 Défnr cette transformaton et donner ses éléments caractérstques Quelles sont, sous forme exponentelle, les affxes de, et C mages par f de, et C? Quelle est l are du trangle C en cm? Correcton Parte = + = = = + + = + = = = = + = + = + = e et = + = + = e e = = e = e donc module et argument 6 e Le trangle O est socèle en O pusque 4 On dot avor C= O L are du trangle C est : = et ( O O), = arg = 6, sot Z ( ) ( )( ) = = + = + + = + + C O C OC = C O 4 = + + ( + )( + ) = ( ) + ( + ) + = =, sot 6 cm Nombres Complexes corrgés Guesm

24 C O I Parte ' = e 6 : rotaton de centre O, d angle 6 e ' =, ' =, C' = ( + ) + = ( 6+ ) L are du trangle C est évdemment la même que celle de C EXERCICE4 On consdère dans C l équaton du second degré Z² + Z + = 0 Résoudre cette équaton On note les solutons et, la parte magnare de étant postve Vérfer que = Mettre et sous forme trgonométrque 4 Indquer sur quel cercle de centre O sont stués les ponts M et M d affxes respectves et Placer alors ces ponts avec précson dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal d unté graphque 4 cm Correcton Une équaton ultra-classque qu donne les racnes 4 + = = = = = = e e Déjà fat 4 + = = e et = = e 4 Les ponts en queston forment un trangle équlatéral avec le pont d affxe sur le cercle trgo EXERCICE5 On désgne par P le plan complexe Unté graphque : cm Résoudre l équaton d nconnue complexe : + 4= 0 On notera la soluton dont la parte magnare est postve et l autre Donner le module et l argument de chacun des nombres Ecrre sous forme algébrque et,,, Nombres Complexes corrgés 4

25 On consdère dans le plan les ponts (+ ), ( ), C( + ) et D( ) a Représenter les ponts,, C et D dans le plan P Quelle est la nature du quadrlatère CD? b Montrer que les ponts O, et D d une part et les ponts O, et C d autre part sont algnés Quel est le pont d ntersecton des dagonales de CD? c Quelles sont les affxes des vecteurs et C? Montrer que les drotes et C sont perpendculares Correcton + 4= 0 : les racnes sont = + et =, dont le module est et l argument / et / Pour les carrés on a = 4e = = 4e = + et a Comme on pouvat s y attendre (enfn, des fos c est dfférent ) les résultats du se retrouvent comme affxes des ponts du On fat la fgure : CD est un trapèe socèle (les drotes () et (CD) sont vertcales donc parallèles ; les ponts et étant conjugués sont symétrques par rapport à (Ox), même chose pour C et D b vec les arguments c est mmédat, snon on utlse les vecteurs : OC= + = ( ) = O La symétre par rapport à l axe réel montre que les dagonales se coupent en O c D= = et C= + = + On peut fare le produt scalare : DC = = 9 9= 0 C est bon EXERCICE6 Développer ( ) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l' équaton Résoudre dans l'ensemble des complexes les équatons 4 Sot P() le polynôme de la varable complexe défn par Vérfer que pour tout non nul, on a En dédure les solutons de l'équaton P() = 0 Correcton ( ) = + = 4 - C D + = pus O (+ ) + = 0 P( ) = (+ ) + (+ ) (+ ) + + = P( ) = ( ) (+ ) + = 0 : = (+ ) 4 = = + = ( ) Nombres Complexes corrgés 5

26 d où = = et = = () : + = + = 0, sot (): + = + = 0 sot = = ; ' ', + = = " ", P( ) = (+ ) + (+ ) (+ ) + ; on développe + (+ ) + + = + + (+ ) (+ ) +, on met au même dénomnateur et on smplfe : (+ ) (+ ) + (+ ) + (+ ) (+ ) + =, ok! En fasant le changement de varable + = Z on a l équaton Z (+ ) Z+ = 0 qu a donc les solutons Z =, Z = Il reste à revenr sur, ce qu donne les deux équatons du et donc les quatre solutons ' ' " ",,, 7 Interprétaton géométrque Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque 4 cm) Sot I le pont d affxe On note Γ le cercle de damètre [OI] et on nomme son centre Ω Parte On pose ao = + et on note 0 son mage Montrer que le pont 0 appartent au cercle Γ Sot le pont d affxe b, avec b= +, et le pont d affxe b telle que b' = a0b a Calculer b b Démontrer que le trangle O est rectangle en Parte Sot a un nombre complexe non nul et dfférent de, et son mage dans le plan complexe tout pont M d affxe non nulle, on assoce le pont M d affxe telle que ' = a On se propose de détermner l ensemble des ponts tels que le trangle OMM sot rectangle en M' a Interpréter géométrquement arg( ) a a Montrer que ( M' O; M' M) = arg( ) + k (où k Z) a En dédure que le trangle OMM est rectangle en M s et seulement s appartent au cercle Γ prvé de O et I Correcton Parte Ω a pour affxe / et Γ a pour rayon / ; on calcule Ω 0 = + = = donc 0 est sur Γ a b' = a0b = ( + ) + = + = + b vec l argument : on calcule Nombres Complexes corrgés 6

27 b b' + + / / + (+ )( + ) ', ' = arg = arg = arg = arg = arg= 0 b' / / 0 ( O ) On pouvat auss fare Pythagore Parte a arg( ) = ( O, I) pusque le vecteur I a pour affxe a et O a pour affxe a a ' a a a ( M' O; M' M) = arg( ) + k = arg( ) + k = arg( ) + k = arg( ) + k 0 ' a a a a OMM est rectangle en M s ( M' O; M' M), sot lorsque arg( ) = ( O, I) =± ( ), c est-à-dre a lorsque le trangle OI est rectangle en dot donc être sur le cercle de damètre [OI] On enlève les a ponts O et I snon l écrture arg( ) = ( O, I) n a pas de sens a EXERCICE8 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) d unté graphque : 4 cm On consdère le pont d affxe = + et le cercle (Γ) de centre et de rayon Fare une fgure qu sera complétée tout au long de l exercce a Détermner les affxes des ponts d ntersecton de (Γ) et de l axe ( O; u ) b On désgne par et C les ponts d affxes respectves = et C = Détermner l affxe D du pont D damétralement opposé au pont sur le cercle (Γ) Sot M le pont d affxe a Calculer le nombre complexe D b Interpréter géométrquement un argument du nombre au cercle (Γ) M M D M M ; en dédure que le pont M appartent 4 On note ( Γ ) le cercle de damètre [] La drote (M) recoupe le cercle ( Γ ) en un pont N a Montrer que les drotes (DM) et (N) sont parallèles b Détermner l affxe du pont N 5 On désgne par M l mage du pont M par la rotaton de centre et d angle a Détermner l affxe du pont M b Montrer que le pont M appartent au cercle ( Γ ) Correcton Nombres Complexes corrgés 7

28 y D M v N O C x a ( ) Γ a une équaton de la forme ( ) ( ) ( ) x + y = = x= x= ( ) ( ) ( x ) ( y ) ( x ) ( O u) + = = M x ; y Γ ; ou y= 0 y= 0 y= 0 y= 0 Par conséquent, les affxes des ponts d ntersecton de ( ) b D est damétralement opposé à sur ( ) = = ( + ) = + D D a pour affxe + Γ et de l axe ( ; ) O u sont respectvement et Γ donc D=, d où D =, sot 6 ( + ) + ( 6+ ) D M 5 5 ( 6 )( ) 0 a D M = = = = =, d où = 6 M 0 ( + M + ) D M b Un argument de est une mesure de l angle ( M, MD) ( M, MD) = arg( ) = + k ( k ) M cercle de damètre [ D ], le pont M appartent au cercle ( ) Z ; le trangle MD est rectangle en M ; M appartent alors au 4 a Comme N appartent au cercle ( Γ ), le trangle N est rectangle en N, les drotes ( N) et ( M ) sont donc orthogonales De plus les drotes ( MD ) et ( M ) sont orthogonales d après la queston précédente Γ Nombres Complexes corrgés 8

29 Par conséquent, les drotes ( N ) et ( ) b Dans le trangle MD les drotes ( N) et ( MD ) sont parallèles et est le mleu de [ ] théorème des mleux la drote ( N ) coupe le segment [ ] [ M ], N M = = = a L écrture complexe de la rotaton de centre et d angle MD, orthogonales à la même drote, sont parallèles entre elles D ; d après le M en son mleu Donc N est le mleu de e =, c est-à-dre est : ( ) 6 = + + lors M = = b M M = + 0 = + = = Par conséquent, le Le trangle M est rectangle en M et est nscrt dans le cercle de damètre [ ] pont M appartent au cercle ( Γ ) EXERCICE9 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) consdère les ponts, et C d affxes respectves =, = + et C = Parte a Donner la forme exponentelle de pus de C b Placer les ponts,, et C Détermner la nature du quadrlatère OC Détermner et construre l ensemble des ponts M du plan tels que = Parte tout pont M d affxe tel que a Résoudre dans C l équaton, on assoce le pont M d affxe défn par 4 = b En dédure les ponts assocés aux ponts et C c Détermner et placer le pont G assocé au centre de gravté G du trangle O a Queston de cours Prérequs : le module d un nombre complexe, noté, vérfe Démontrer que : * pour tous nombres complexes et, = ; * pour tous nombres complexes non nul, = b Démontrer que pour tout nombre complexe dstnct de, (unté graphque cm), on 4 ' = = où est le conjugué de = c On suppose dans cette queston que M est un pont quelconque de, où est l ensemble défn à la queston de la parte Démontrer que le pont M assocé à M appartent à un cercle Γ dont on précsera le centre et le rayon Tracer Γ Correcton Nombres Complexes corrgés 9

30 a = + = + = e ; C e Quadrlatère OC : l s agt d un losange = est la médatrce de [O] : = OM= M = + = = 4 + 4= 0 = = = b On a donc = et C = C a ( ) ( ) c G a pour affxe ( ) a Queston de cours On utlse = = +, donc G a pour affxe ( ) 4 = = = = ans que les proprétés de = = = = ; * ( )( ) * Comme b =, on a : = = = = = = = c On a = et, de rayon = donc 0 Homographe Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) On appelle, et C les ponts d affxes respectves = + et = et C = = donc M appartent au cercle de centre C = Sot f l applcaton du plan prvé de dans le plan qu, à tout pont M d affxe dstncte de, assoce le + pont M d affxe défne par : ' = + Factorser ² en remarquant que = en est une soluton, pus résoudre l équaton (E) : ² = 0 Détermner les affxes des ponts nvarants par f (Un pont est nvarant lorsque = ) Détermner l ensemble des ponts M tels que M appartenne au cercle de centre O de rayon 4 En posant = x + y, détermner Im( ) en foncton de x et y En dédure l ensemble des ponts M tels que M appartenne à l axe des abscsses 5 a Montrer que pour tout dfférent de + on a l équvalence suvante : = ( C)( C) = b En dédure l ensemble des ponts M tels que M at une affxe magnare pure (on peut répondre à la queston b en admettant le résultat de la queston a) Correcton Nombres Complexes corrgés 0

31 On remplace par, sot + = 0 Ok = est soluton de (E) donc on factorse par ( ) et on obtent = ( )( ) M() est nvarant, s et seulement s : + = ( + ) = + ² + = + ² = 0 = ou = + Les ponts M () et M () sont nvarants par f Dre que M appartent au cercle de centre 0 et de rayon est équvalent à écrre ' = + ' = = + = + M= M + car + = ( ) = = Met + = ( + ) = = M Cela revent donc à chercher l ensemble des ponts M tels que M = M, ce sont les ponts équdstants de et de, c'est-à-dre la médatrce du segment [] 4 + x+ y+ x+ + y ( x+ + y)( x+ ( y )) ' = = = = + x+ y+ x+ + ( y ) ( x+ )² + ( y )² x² + x x( y ) + x+ ( y ) + xy+ y+ y( y ) = ( x+ )² + ( y )² x² + x+ x+ + y( y ) x( y ) ( y ) + xy+ y = + ( x+ )² + ( y )² ( x+ )² + ( y )² Sot pour la parte magnare : x( y ) ( y ) + xy+ y xy+ x y+ 6+ xy+ y x y+ 6 = = ( x+ )² + ( y )² ( x+ )² + ( y )² ( x+ )² + ( y )² M appartent à l axe des abscsses, s et seulement s la parte magnare de est nulle, c'est-à-dre x y+ 6= 0 (avec (x ; y) ( ; ) ), ou encore M appartent à la drote d équaton y= x+ 6 prvée du pont de coordonnées ( ; ) 5 a vant de commencer le calcul, l est mpératf de se famlarser avec les valeurs C et C C + = = et C + = = + + = ( + )( + + ) = ( + )( + ) (+ ) + + (+ ) = ( ) ( ) + (+ + ) + (+ ) + (+ + ) = (+ ) + ( ) + 4= = = 0 C C + = 0 Rasonnons avec le deuxème membre de l équvalence de départ : 5 5 ( C)( C) = ( C)( C) = Il ne reste à montrer que + = 5 C C = : C C C C 5 Nombres Complexes corrgés Guesm

32 9 9 9 on peut calculer C C = C = + = + = d où l égalté : b On remarque que ' = et donc que ' = = = = ' = ' ' + ' = 0 x' = En effet, s = x + y, alors ' + ' = x' + y' + x' y' = x' L équvalence devent donc : 5 est un magnare pur équvaut à ( C)( C) =, autrement dt = = = CM= CM CM CM CM C C = = M appartent donc au cercle de centre C de rayon 5 (prvé de ) En effet C = = C = + = = = + = + = 4 4 C EXERCICE Le plan complexe est mun du repère orthonormal drect ( O; u, v) ; unté graphque cm On appelle et les ponts du plan d affxes respectves a = et b = On consdère l applcaton f qu, à tout pont M dfférent du pont, d affxe, fat correspondre le pont M d affxe défne par = + On fera une fgure qu sera complétée tout au long de cet exercce Détermner les ponts nvarants de f c est-à-dre les ponts M tels que M = f(m) + = a Montrer que, pour tout nombre complexe dfférent de, ( )( ) b En dédure une relaton entre et +, pus entre arg ( ) et arg ( + ), pour tout nombre complexe dfférent de Tradure ces deux relatons en termes de dstances et d angles Montrer que s M appartent au cercle (C) de centre et de rayon, alors M appartent au cercle (C ) de centre et de rayon 4 Sot le pont P d affxe p= + a Détermner la forme exponentelle de (p +) b Montrer que le pont P appartent au cercle (C) c Sot Q le pont d affxe q= p où p est le conjugué de p Montrer que les ponts, P et Q sont algnés d En utlsant les questons précédentes, proposer une constructon de l mage P du pont P par l applcaton f Correcton M=f(M), sot (0;) et (0;-) = + = = =+ ou = Il y a donc deux ponts nvarants : + + = + = + = pour tout nombre dfférent de a ( )( ) ( ) ( ) Nombres Complexes corrgés

33 b En passant la relaton précédente au module, on a : + = = passant à l argument : arg( ) arg( ) arg( ) arg( ) arg( ) c Cec se tradut par : M M = = = + + u M = = et ( u; M ) ( ; ) ; de même en S M appartent au cercle (C) de centre et de rayon, alors M= d où queston c)) donc M ' = donc M appartent au cercle (C ) de centre et de rayon 4 a p+ = + = + = e M = = = (d après la M b On a p+ = car e θ = donc P appartent au cercle (C) (on se sert du 4a évdemment) q= p= = + q+ = + ; par alleurs comme P appartent au cercle (C) donc son c ( ) mage P appartent au cercle (C ) d après la queston (ou encore P ' = ) D autre part : ( u; P ) = ( u; P) = = et P = = ; donc et q = + On a donc p' = ( q ) P = Q p = + p' = + d Pour ceux qu ont cherché le rapport de proportonnalté entre les deux vecteurs (avec la méthode cdessus ou une autre) on peut dre que P est le mleu de [Q] Il faut placer P, Q et P sur le dessn avec les pontllés explcatfs Complément : D une façon plus générale, en partant d un pont P sur le cercle (C) = e θ, pour construre son mage P on commencera par fare le symétrque de P par rapport à l axe des ordonnées (le pont Q) ; Le pont Q se construt en deux étapes : d abord P symétrque de P par rapport à l axe des abscsses pour le conjugué, pus Q symétrque de P par rapport à l orgne pour fare l opposé) ou drectement symétrque par rapport à (Oy) Nombres Complexes corrgés

34 Pus on placera P sur le cercle (C ) à l ntersecton avec le segment [Q] Il faudrat fare la démonstraton dans le cas général (cas général de P sur le cercle (C)) pour le rapport de proportonnalté et vérfer qu l est toujours postf snon le pont P serat le deuxème pont d ntersecton de la drote (Q) et de (C ) EXERCICE Le plan est mun d'un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque : cm) Soent, et I les ponts d'affxes respectves +, et À tout pont M d'afïïxe, on assoce le pont M d'affxe telle que l'mage de M ' = 4 Le pont M est appelé Fare une fgure sur une feulle de paper mllmétré et compléter cette fgure tout au long de l'exercce Calculer les affxes des ponts et, mages respectves des ponts et Que remarque-t-on? Détermner les ponts qu ont pour mage le pont d'affxe 5 ' + 4= 4 a Vérfer que pour tout nombre complexe, on a : ( ) b En dédure une relaton entre ' + 4 et et, lorsque est dfférent de, une relaton entre arg ( + ' 4) et arg( ) c Que peut-on dre du pont M lorsque M décrt le cercle (C) de centre I et de rayon? e 5 Soent E le pont d'affxe +, J le pont d'affxe 4 et E l'mage de E u, IE a Calculer la dstance IE et une mesure en radans de l'angle ( ) b Calculer la dstance JE et une mesure en radans de l'angle ( u, JE' ) c Construre à la règle et au compas le pont E ; on lassera apparents les trats de constructon Correcton La fgure est lassée au lecteur ' = 4, ' = 4, les ponts et sont confondus 4= = 0 = 6 0= 4, = +, = 4 a ( ) ' + 4= 4+ 4= b ' + 4 = ( ) =, arg ( ' 4) arg( ) + = c Lorsque M décrt le cercle (C) de centre I et de rayon, on a = ' + 4 = 4, le pont M parcourt le cercle (C ) de centre J le pont d'affxe 4 et de rayon 4 5 IE= + e = e = donc E est sur (C) et E est sur (C ) = = = = ( u, IE) arg e ( u, JE' ) ( u, IE) c La fgure est lassée au lecteur faut pas charrer EXERCICE Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v), on consdère l applcaton f du plan dans lu-même qu, à tout pont M d affxe assoce le pont M d affxe telle que : ' = 4 Soent et les ponts d affxes = et = + a Calculer les affxes des ponts et mages des ponts et par f Nombres Complexes corrgés 4

35 b On suppose que deux ponts ont la même mage par f Démontrer qu ls sont confondus ou que l un est l mage de l autre par une symétre centrale que l on précsera Sot I le pont d affxe a Démontrer que OMIM est un parallélogramme s et seulement s b Résoudre l équaton + = 0 a Exprmer ( ' + 4) en foncton de ( ) arg( ' + 4) et arg( ) + = 0 En dédure une relaton entre ' + 4 et pus entre b On consdère les ponts J et K d affxes respectves J = et K = 4 Démontrer que tous les ponts M du cercle (C) de centre J et de rayon ont leur mage M sur un cercle que l on détermnera c Sot E le pont d affxe = 4 Donner la forme trgonométrque de + 4 et démontrer à l ade du E a qu l exste deux ponts dont l mage par f est le pont E Précser sous forme algébrque les affxes de ces deux ponts Correcton a = ' = ( ) 4( ) = 4+ 4 = 4+ et ' b appelons u et v les affxes des ponts U et V en queston : dentques s E = + = = 4+ u' = u 4u et v' = v 4v ; leurs mages sont u' = v' u 4u= v 4v u v 4u+ 4v= 0 ( u v)( u+ v) 4( u v) = 0 ( u v)( u+ v 4) = 0 u+ v On a donc sot u= v, sot u+ v= 4 =, et dans ce cas le mleu de [UV] a pour affxe et l un est l mage de l autre par la symétre de centre a I( ) OMIM est un parallélogramme s et seulement s OM= M' I 0= ' ' + + = 0 + = 0 b + = 0 : = 9 = = d où = +, = ' + 4 = a ( ' + 4) = 4+ 4 = ( ) arg( ' + 4) = arg( ) + k b Sot M un pont du cercle (C) de centre J() et de rayon, son affxe est telle que =, et son mage M est telle que ' + 4 = = 4 d où M est sur le cercle de centre K( 4), de rayon 4 c + 4= = e ; s E est l mage d un pont, on a E arg( E + 4) = arg( ) + k = arg( ) + k arg( ) = k 4 Sur le cercle trgo l y a donc deux arguments possbles, modules : et = = = Concluson on a E + = Il reste à trouver les = e ou = e 4, sot 4 4+ = + e 4 = + + = + ou = + e 4 = + = 4 Smltude, Lban ponts Le plan complexe est mun d un repère orthonormé drect ( O; u, v) On prendra cm pour unté graphque Sot le pont d affxe et le pont d affxe a Détermner l affxe du pont mage de par l homothéte de centre et de rapport Nombres Complexes corrgés 5 Guesm

36 b Détermner l affxe du pont mage de par la rotaton de centre et d angle 4 Placer les ponts, et On appelle f la transformaton du plan dans lu-même qu, à tout pont M d affxe, assoce le pont M d affxe tel que = ( + ) + a Montrer que a pour mage par f b Montrer que est le seul pont nvarant par f ' c Établr que pour tout nombre complexe dstnct de, = Interpréter ce résultat en termes de dstances pus en termes d angles En dédure une méthode de constructon de M à partr de M, pour M dstnct de a Donner la nature et précser les éléments caractérstques de l ensemble Σ des ponts M du plan dont l affxe vérfe = b Démontrer que = ( + )( ) En dédure que s le pont M appartent à Σ, alors son mage M par f appartent à un cercle Σ, dont on précsera le centre et le rayon c Tracer Σ et Σ sur lamême fgure que, et Correcton a : '/ ' ( ) ' ( ) ( ) h = = = + (,) b : ' ''/ '' 4 ( ' ) '' 4 ( ' ) 4 ( ) r(, /4) = e = e + ' = e +, sot ' = ( + ) ( ) + = ( + )( ) + = + Remarque : s on développe dès le début, les calculs sont vrament très lads ' = + + = + a ( ) = = 0 = donc est le seul pont nvarant par f b ( ) c ( ) ' + + = = = MM' MM' M : On a donc avec les vecteurs MM' M = = = et arg ( M, MM' ) = arg( ) = [ ] d affxe ' et M d affxe Pour un pont M quelconque on trace le cercle de centre M, de rayon M pus la perpendculare à (M) passant par M qu va couper le cercle précédent en un seul pont M pour lequel l angle drot sera négatf a = caractérse le cercle de centre, de rayon b On vérfe par le calcul : ' ( ) ( ) ( )( ) Donc lorsque =, on a centre, de rayon = + + = + = + c La fgure est lassée au lecteur, le correcteur est fatgué 5 Transformatons Sot P le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( O;, j) complexe on consdère dans P les ponts M d affxe, N d affxe ' = + = = donc M appartent au cercle de ' (unté graphque : cm) Pour tout et Q d affxe Détermner les nombres complexes pour lesquels deux au mons de ces tros ponts, M, N et Q sont confondus Dans ce qu sut on supposera M, N et Q deux à deux dstncts Exprmer les dstances MN et MQ en foncton de Détermner et construre dans P l ensemble E des ponts M tels que MN = MQ Nombres Complexes corrgés 6

37 Montrer que l angle ( MN, MQ) l ensemble F des ponts M tels que le trangle MNQ sot rectangle en M 4 Dans cette queston = a pour mesure un argument de + Détermner et construre Calculer les affxes de N et Q et construre le trangle MNQ dans le plan P Que peut on constater? Explquer ce résultat à partr des questons et Correcton M, N confondus : confondus : MN=, = = 0, = ; M, Q confondus : = = 0, =, = ; N, Q = = 0, = Deux des ponts sont confondus lorsque = 0, ou MQ= ; MN= MQ = = + + = Il s agt du cercle de centre le pont d affxe, de rayon ( )( + ) ( MN, MQ) = arg = arg = arg( + ) ( ) MNQ est rectangle en M ss ( MN, MQ) =± arg( + ) =± + R x+ = 0 x= : l s agt de la drote vertcale passant par 4 = : = + = ; = = ( ) = Le trangle MNQ est rectangle socèle : socèle car + = + = = et rectangle car Re( ) = EXERCICE6 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque 4 cm) Sot le pont d affxe = et le pont d affxe 5 6 = e Sot r la rotaton de centre O et d angle On appelle C l mage de par r a Détermner une écrture complexe de r b Montrer que l affxe de C est = e 6 c Ecrre et C sous forme algébrque d Placer les ponts, et C C Sot D le barycentre des ponts, et C affectés respectvement des coeffcents, et a Montrer que l affxe de D est D = + Placer le pont D b Montrer que,, C et D sont sur un même cercle Sot h l homothéte de centre et de rapport On appelle E l mage de D par h a Détermner une écrture complexe de h b Montrer que l affxe de E est E = Placer le pont E 4 a Calculer le rapport D b En dédure la nature du trangle CDE Correcton E C C On écrra le résultat sous forme exponentelle Nombres Complexes corrgés 7

38 a = ; b c C 5 6 = e r: ' = e e = e = e e = 5 6 = e = ; 6 C = e = d Fgure c-dessous a ( ) D = + C = = + = + + b Tous ces ponts sont sur le cercle trgonométrque car leur module est a ( ) b E h: '/ ' = ' = = + = + + D C 4 a = = = = + = e E C b Le trangle CDE est équlatéral : CD= CE et ( CE, CD) = ( ) 7 Rotaton et translaton Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque : 4 cm) On donne les ponts et d affxes respectves et Pour chaque pont M du plan, d affxe, on désgne par M d affxe, l mage de M par la rotaton de centre O et d angle, pus par M, d affxe, l mage de M par la translaton de vecteur u On note T la transformaton qu, à chaque pont M, assoce le pont M a Démontrer que ' = e Nombres Complexes corrgés b Détermner l mage du pont c Montrer que T admet un unque pont nvarant dont on précsera l affxe On pose = x + y, avec x et y réels 8

39 a On prend 0 ; calculer la parte réelle du quotent ' en foncton de x et de y b Démontrer que l ensemble (Γ) des ponts du plan, tels que le trangle OMM sot rectangle en O, est un cercle dont on précsera le centre et le rayon, prvé de deux ponts Tracer (Γ) Dans cette queston, on pose = + a Vérfer que M (Γ) et placer M et M sur la fgure b Calculer ' et l are du trangle OMM en cm² Correcton a La rotaton de centre O d'angle a pour expresson complexe : = e La translaton de vecteur u a pour expresson complexe : ' = donc ' = e b = = e d où ' = e = e e = = 0 donc c L'ensemble des ponts nvarants est l'ensemble des ponts d'affxe tels que : T Oou T() = O = e ( e ) = ( ) = ( ) = ( + ) = ( + ) d où 4 4 = = e Le pont Ω d'affxe a e est le seul pont nvarant pour T ' x e x y y = = e = + = + = + ( + ) donc x+ y x² + y² x² + y² x² + y² ' x R e( ) = x ² + y ² b OMM' est un trangle rectangle, donc ( OM, OM') = + k c'est à dre est un magnare pur ou ' ' x encore, sa parte réelle est nulle Or R e( ) = donc le problème revent à résoudre l'équaton : x ² + y ² x = 0 x² + y² x= 0 x² x+ + y² = ( x )² + y² = x² + y² D'autre part, pour que le trangle OMM' exste, l ne faut pas que M = 0 n que M' = 0 ; ce derner cas est réalsé lorsque M = On enlève donc O et Dans le plan complexe, ce cercle a pour équaton = L'ensemble des ponts M tels que le trangle OMM' sot rectangle est le cercle de centre de rayon prvé des ponts O et ) On pose = + = e 4 a = + = = donc M (Γ) Pour placer M' sur la fgure, l faut applquer à M la rotaton d'angle pus la translaton de vecteur u b Nombres Complexes corrgés 9

40 + + ' = e = ( + )( + ) = + + = = ( )² + ( )² = ( )² = = OM OM ' ' + + Il en résulte que l'are du trangle OMM' est égale à : = = = ller plus lon dans ce problème, c'état s'apercevor que la transformaton T état la rotaton de centre Ω d'angle En effet, en effectuant un changement de repère où Ω serat le centre, on aurat : Z= ω c'est à dre = Z+ ω avec ω= e L expresson complexe de T devent donc : ( ) ' = e Z' + ω= e ( Z+ ω) Z' + e = e ( Z+ e ) Z' + e = e Z+ e Z' = e Z+ e e Z' = e Z car 8 Second degré et rotaton e e = + + = 0 Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équaton : + = 0 Sot K, L, M les ponts d'affxes respectves K = + ; L = ; M = Placer ces ponts dans le plan mun d'un repère orthonormal drect (O; e, e) (Unté graphque : 4 cm) On complétera la fgure dans les questons suvantes a N est le symétrque du pont M par rapport au pont L Vérfer que l'affxe N du pont N est : + ( ) b La rotaton de centre O et d'angle transforme le pont M en le pont et le pont N en le pont C Détermner les affxes respectves et C des ponts et C C c La translaton de vecteur u d'affxe transforme le pont M en le pont D et le pont N en le pont Détermner les affxes respectves D et des ponts D et 4 a Montrer que le pont K est le mleu des segments [D] et [C] C K b Montrer que : = K D O M K L N c En dédure la nature du quadrlatère CD Correcton + = 0 ; les racnes sont = + et = Nombres Complexes corrgés 40 Guesm

41 M+ N a Pour calculer N on fat = L N = L M = + = + ( ) b Rotaton de centre O et d'angle = ( + ( )) = + C : on multple par On a donc ( ) = = et c Translaton de vecteur u d'affxe : on ajoute aux affxes : = = ( ) et = + + = + 4 a [D] et [C] ont même mleu pusque CD est un parallélogramme (évdent ) On fat le mleu de D + [D] par exemple : = ( + + ) = = K b C K + + = = + + ( ) K S on multple le dénomnateur par on a [ + ( )] = +, sot le numérateur Le quotent vaut ben c S on prend le module de ce qu on vent de trouver on a C K C K = = C K = K KC= K K K arg = arg( )( ), = ( ) K C K De même s on prend l argument on a ( K KC) Concluson : dagonales égales, on a donc un rectangle ; ces dagonales sont perpendculares on a un losange ; CD est un carré 9 ème degré et rotaton Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) P son affxe On consdère dans C l équaton (E) : a Détermner les réels a, b, c tels que + 8= 0 D Pour tout pont P, on convent de noter + 8 = ( + )( a + b+ c) pour tout complexe b Résoudre l équaton (E) (on donnera les solutons sous forme algébrque x+y) c Ecrre ces solutons sous la forme re θ, où r est un réel postf On consdère les ponts, et C d affxes respectves, et +, le pont D mleu de [O] et la rotaton R de centre O et d angle a Montrer que R()=, R()=C et R(C)= En dédure que le trangle C est équlatéral Placer, et C dans le plan b On consdère le pont L défn par L= OD Détermner son affxe L Détermner un argument de vecteur L L D En dédure que le vecteur OL est orthogonal au vecteur OD et au c Montrer que L est sur le cercle de damètre [O] Placer L sur la fgure Correcton a On développe et on dentfe les coeffcents ou ben on utlse le fat de tête : + 8 = ( + )( + 4) a + b = ( a+ b)( a ab+ b ) ou ben on b Il y a évdemment la soluton ans que les solutons de Nombres Complexes corrgés qu sont et +

42 c = e, = = e,+ = + = e a R( ) = = e = + ( ) =, ok, et parel pour les autres Les ponts, et C sont sur le cercle de centre O, de rayon b D a pour affxe ( ) O + = L = + D = L D L = + = + = arg = ( OL) ( OD) D c (OL) est orthogonale à (OD) et (OD) est parallèle à (L) donc (OL) est orthogonale à (L), concluson L est sur le cercle de damètre [O] EXERCICE40 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque cm) On consdère dans l ensemble des nombres complexes, l équaton (E) d nconnue suvante : I Résoluton de l équaton (E) Montrer que est soluton de (E) Détermner les nombres réels a, b, c tels que : + ( 8 + ) + (7 8 ) + 7= 0 Résoudre l équaton (E) dans l ensemble des nombres complexes II On appelle, et C les ponts d affxes respectves 4+, 4, + ( 8 + ) + (7 8 ) + 7 = ( + )( a + b+ c) Placer les ponts sur une fgure que l on complétera dans la sute de l exercce Le pont Ω est le pont d affxe On appelle S l mage de par la rotaton de centre Ω et d angle de mesure Calculer l affxe de S Démontrer que les ponts,, S, C appartennent à un même cercle (C) dont on détermnera le centre et le rayon Tracer (C) 4 À tout pont M d affxe, on assoce le pont M d affxe + 0 ' = a Détermner les affxes des ponts,, C assocés respectvement aux ponts, et C b Vérfer que,, C appartennent à un cercle (C ) de centre P, d affxe Détermner son rayon et tracer (C ) c Pour tout nombre complexe, exprmer ' en foncton de d Sot M un pont d affxe appartenant au cercle (C) Démontrer que ' = 5 e En dédure à quel ensemble appartennent les ponts M assocés aux ponts M du cercle (C) Correcton I ( ) + ( 8 + )( ) + (7 8 )( ) + 7= = 0 Développement pus dentfcaton donnent + ( 8 + ) + (7 8 ) + 7 = ( + )( 8+ 7) 8+ 7 = 0 a pour racnes 4 + et 4 II Vor plus lon R : S s ω= ( a ω) s= (4+ ) + = + ( Ω, ) Nombres Complexes corrgés 4

43 Il est asse évdent sur la fgure que (C) a pour centre Ω et pour rayon O= + = 5 On vérfe asément que Ω =Ω C=Ω S= 5 (4 + ) (9+ )( ) a ' = = = = = 4, 4+ + ( + )( ) 5 ' C' (4 ) (+ )( + ) 0+ 5 = = = = = 4+, 4 ( )( + ) 5 ( ) + 0 ( )( + ) 0+ 5 = = = = = 4+ ( )( + ) 5 b Il est mmédat que P' = 4 + = 5 = P' = PC' C' ' S P j O Ω C = ' c ' = + = + + = = d M un pont d affxe appartenant au cercle (C) est tel que = 5 d où ' = = = e Donc s M appartent au cercle (C), M appartendra au cercle de centre le pont P d affxe, de rayon 5 EXERCICE4 5 On consdère le nombre complexe a= e On note I,,, C, D les ponts du plan complexe d'affxes, a, a, a, a 4 Vérfer que a 5 = Montrer que I = = C = CD = DI Vérfer que, pour tout complexe : 4 En dédure que + a + a + a + a 4 = 0 5 Montrer que a = a et que 4 a = a 6 En dédure que ( a+ a) + ( a+ a) = 0 7 Résoudre, dans R, l'équaton 4x + x = = ( )( ) Nombres Complexes corrgés 4

44 8 Calculer ( a+ a) et en dédure la valeur exacte decos 5 9 Placer les ponts I,,, C et D dans le plan complexe (unté 4 cm) Correcton a = e = e = Les ponts I,,, C, D, sont les mages successves les uns des autres par la rotaton de centre O d angle : I va sur, sur, etc On a donc égalté des dstances (une rotaton est une sométre) 5 On développe et ça marche tout seul 4 Comme a 5 =, a est une soluton de l équaton =, sot de ( )( ) = 0, mas 4 comme a ne vaut pas, a est soluton de = 0 et est donc tel que + a+ a + a + a = a = e = e, a = e = e = e = e 6 Utlsons a = a et que 4 a = a dans Même chose pour 4 4 a = a + a+ a + a + a = 0 + a+ a + a + a= 0, or ( a+ a) = a + aa+ a = a + + a, on retrouve ben la même relaton Les solutons sont x =, x = ( a+ a) = e 5 + e 5 = cos, donc en rempalçant dans 5 ( a+ a) + ( a+ a) = 0, on a (cos ) + (cos ) = 0 4cos + cos = 0, cos est donc une des deux solutons précédentes Comme l est forcément postf ( + 5 = 7 < 90 ), l vaut 5 4 EXERCICE4 On consdère dans l ensemble des nombres complexes, l équaton (E) : + 6= 0 a Montrer que est soluton de (E), pus que (E) peut s écrre sous la forme ( )( a + b+ c) = 0 où a, b, c sont tros réels que l on détermnera b En dédure les solutons de (E) sous forme algébrque pus sous forme exponentelle Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) a Placer les ponts, et D d affxes respectves =, = et = + b Calculer l affxe C du pont C tel que CD sot un parallélogramme Placer C Sot E l mage du pont C par la rotaton de centre et d angle rotaton de centre D et d angle + a Calculer les affxes E et F des ponts E et F b Placer les ponts E et F 4 a Vérfer que F E = b En dédure la nature du trangle EF D, et F l mage du pont C par la Nombres Complexes corrgés 44

45 c Sot I le mleu de [EF] Détermner l mage du trange E par la rotaton de centre I et d angle Correcton (E) : a d où + 6= 0 + 6= 0 donc est soluton ; on développe : a= a= b a = ( )( a + b+ c) = a a + b b+ c c b= 4 c b= 0 c = 8 c= = ( )( ) = 0 b = 6 = (4 ) d où les racnes =, = et = + D = = + = e, a Fgure c-dessous b On dot avor C= D = = + ( + ) ( ) = + 4 C D C a = e ( ) = (+ 4 ) = 6 E C E et = e ( ) = + + (+ 4+ ) = + + 4= 4+ 6 F D C D F b Vor fgure F = = = e C D J O I E 4 a F ( 4+ 6 ) ( ) + 8 (+ 8) = = = = 6 ( ) E F F b On a donc = = = F= E donc FE est socèle en De même on a E E F arg = arg = ( E, F) = F E, le trangle est rectangle E Nombres Complexes corrgés 45 Guesm

46 c Comme I est le mleu de l hypothénuse du trangle rectangle socèle EF, les trangles IE et IF sont également rectangles socèles Par la rotaton de centre I et d angle on a donc E va en et va en F Enfn comme E = D et (E) est orthogonal à (D), les trangles E et DF sont sométrques donc a pour mage D (on peut le fare par le calcul) EXERCICE4 Le plan est rapporté au repère orthonormal ( O; u, v) Unté graphque : cm À tout pont M d affxe du plan, on assoce le pont M d affxe par l applcaton f qu admet pour (+ 4 ) + 5 écrture complexe : ' = 6 On consdère les ponts,, C d affxes respectves = +, = et C = Détermner les affxes des ponts,, C mages respectves de,, C par f Placer les ponts,, C,,, C On pose = x + y (avec x et y réels) Détermner la parte réelle et la parte magnare de en foncton de x et y Montrer que l ensemble des ponts M nvarants par f est la drote (D) d équaton Quelle remarque peut-on fare? y= x Tracer (D) 4 Sot M un pont quelconque du plan et M son mage par f Montrer que M appartent à la drote (D) 5 a Montrer que, pour tout nombre complexe : est réel b En dédure que, s M' M, les drotes (O) et (MM ) sont parallèles ' + = + En dédure que le nombre 6 ' 6 Un pont quelconque N étant donné, comment construre son mage N? (on étudera deux cas suvant que N appartent ou non à (D)) Effectuer la constructon sur la fgure Correcton (+ 4 )(+ ) + 5( ) (+ 4 )() + 5() a' = = 0, b' = = =, (+ 4 )( ) + 5( ) c' = = 6 N C x - y = 0 O=' j ' N' C' Nombres Complexes corrgés 46

47 (+ 4 )( x+ y) + 5( x y) x 4 y+ (y+ 4 x) + 5x 5y 8x 4y 4x y x' + y' = = = +, sot x y y' = 4x y x' = et 4x y = x x' = x 4x y= x x y= 0 Un pont M est nvarant s ' = y= x y' = y x y x y= y x 4y= 0 = y Les ponts, et C sont algnés sur cette drote, alors que ce ne sont pas des ponts nvarants 4 On a 4x y x' = et 5 a Repartons de x y y' =, sot (+ 4 ) + 5 ' = : 6 y' = x' donc M est ben sur (D) (+ 4 ) ( ) ' 6 6 (( + 4 ) + 5 )( ) ( )( ) = = = = = = = Ok C est un réel car + = x et = y donc On pouvat remplacer par x+ y : + x y x 4y x y + = + = = (4x y x) + (x y y) ' ( x y) + (x 4 y) = = + + 5x 0y x y = [ ( x y+ 4 x 8 y ) + ( x 4 y x+ 4 y ) ] = = 5 5 Ce qu donnat le résultat drectement b Un vecteur drecteur de (MM ) est MM' d affxe ', un vecteur de (O) est O d affxe : on ' regarde donc ( O, MM' ) = arg = 0[mod ] donc les drotes sont parallèles 6 S N est sur (D) l est nvarant, on n y touche pas ; s N n est pas sur (D), (NN ) est parallèle à (O) et N est sur (D), l sufft de fare l ntersecton de la parallèle à (O) passant par N avec (D) EXERCICE44 Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) On désgne par I le pont d affxe =, par le pont d affxe =, par le pont d affxe + et par (C) le cercle de damètre I [] On fera une fgure que l on complètera avec les dfférents éléments ntervenant dans l exercce On prendra pour unté graphque cm Détermner le centre Ω du cercle (C) et calculer son rayon Sot D le pont d affxe du cercle (C) Sur le cercle (C), on consdère le pont E, d affxe E D + 9 = Ecrre D sous forme algébrque pus démontrer que D est un pont 4 +, tel qu une mesure en radans de ( ΩI, ΩE) est 4 Nombres Complexes corrgés 47

48 a Précser le module et un argument de b En dédure que E 5 5 = E + 4 Sot r l applcaton du plan P dans lu-même qu à tout pont M d affxe assoce le pont M d affxe tel que ' 4 + = e + a Détermner la nature de r et ses éléments caractérstques b Sot K le pont d affxe K = Détermner par le calcul l mage de K par r Comment peut-on retrouver géométrquement ce résultat Correcton Ω a pour affxe + = ; le rayon du cercle est + + = 9+ 6 = 5 D + 9 (+ 9 )(4 ) = = = = D est un pont du cercle (C) s Guesm D Ω = + + = 4+ = = Ok! 4 4 E O I K Ω, Ω = ( ) 4 a ( I E) donc 5 arg = 0 Par alleurs E est sur (C) donc E + = E Ω arg = arg E + arg = arg E + = b On a donc 4 E + = e E = + + = I Ω car 4 a ' 4 + = e + est la défnton d une rotaton de centre Ω et d angle 4 Nombres Complexes corrgés 48

49 5 5 5 b ' 4 + = e + ' = + + ' = + L mage de 4 L mage de K par r est donc E : K est le pont d ntersecton entre (C) et (Ox), donc son mage est le pont E EXERCICE45 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) d affxes respectves,, et on porte les ponts,, et tout pont M d affxe, dstnct de O,,, et on assoce les ponts M et M d affxes respctves et tels que les trangles M M et M M soent rectangles socèles avec (, M MM ) ( MM, = M) = (fgure c-dessous) a Justfer les égaltés : = ( ) et = ( ) + b Vérfer que et peuvent s écrre : = ( + ) et = ( + ) On se propose dans cette queston de détermner les ponts M pour lesquels le trangle OM M est équlatéral a Montrer que OM = OM + = + En dédure l ensemble des ponts des ponts M tels que OM = OM et tracer sur la fgure jonte b Montrer que OM = MM + = = En dédure l ensemble des ponts Γ des ponts M tels que OM = MM et tracer Γ sur la fgure jonte c En dédure les deux ponts M pour lesquels OM M est un trangle équlatéral et les placer sur la fgure a Quelle relaton peut-on en écrre entre et s OM M est un trangle équlatéral? b Déduse-en que est alors soluton des équatons e 7 4 ( + ) = e ( + ) 4 ( ) ( ) e + = e + c Déduse-en les affxes des ponts M répondant à la queston Nombres Complexes corrgés 49

50 M M M ' O ' Correcton a Par la rotaton de centre M et d angle /, a pour mage M donc = ( ) ; de même par la rotaton de centre M et d angle /, M a pour mage donc = ( ) + b = ( ) = ( ) = + = ( + ) = ( + ) C est évdemment la même chose pour = ( + ) Méthode algébrque ± ± a S OM M est un trangle équlatéral alors = e ( ) = e O O b Mettons les deux relatons du b sous forme trgonométrque : 4 4 = e ( + ) = e ( + ) et 4 ± = e ( + ) ; remplaçons dans = e, ce qu donne e d où en solant les deux solutons = ± ± e ( + ) = e e ( + ) e ( + ) = e ( + ) e e e 7 e, = 4 Méthode géométrque + + OM = OM 0 = 0 ( + ) = ( + ) a + + = + + = + + car = et = 50 Nombres Complexes corrgés Guesm 4 e e e

51 L ensemble des ponts des ponts M tels que OM = OM est la médatrce des ponts ( ) et ( ) b + OM = MM = + = ( + )( + ) ( )( + ) + = = + = + = ouf! + = ( x+ ) + y = ( x + y ) x + y x = 0, = ( x ) + y = x x+ + y = 0, on retrouve ben la même chose Γ est donc le cercle de centre, de rayon c OM M est un trangle équlatéral lorsque M est à l ntersecton de Γ et de M E M ' O F ' 46 Des carrés Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal drect (O; u, v) On consdère tros ponts dstncts, et C d'affxes respectves a, b et c a Interpréter géométrquement l'argument du quotent c a b a b Montrer que, et C sont algnés s et seulement s c a est un nombre réel b a Placer sur une fgure (unté graphque : cm) les ponts, et C d'affxes respectves a =, b =, c = 4+ Montrer, à l'ade de la proprété précédente, que les ponts, et C sont algnés On consdère les ponts,, C,,, C tels que les quadrlatères O, O, OC C C soent des carrés drects a Tracer les carrés O, O, OC C C b Donner les affxes a et b des ponts et pus les affxes a et b des ponts et Nombres Complexes corrgés 5

52 c À l'ade de la rotaton de centre O et d'angle, calculer l'affxe c de C à l'ade de c d En dédure que les ponts, et C sont algnés 4 a Détermner le réel a tel que le barycentre du système {(O, a), (C, ), (C, )} sot C (Rappel : le barycentre G du système (, α ), (,β ), est tel que αg+ βg + = 0 ) b Calculer l'affxe c de C c Montrer que les ponts,, C sont algnés Correcton, et C d'affxes respectves a, b et c a arg c a = arg( c a) arg( b a) = ( u, C) ( u, ) = (, C) b a c a c a b, et C sont algnés : (, C) = 0( ) arg = 0( ) R b a b a c a On calcule : = = = donc les ponts sont algnés b a a O, O, OC C C C C v O u a = a = + ; b = b = + b C c c 0 = e ( c 0) c = c = ( 4+ ) = 4 ; on a alors OC = OC + OC c = c + c = 4+ 4= 4 + ( 4) d On peut reprendre le calcul du début ou smplement dre que, et C sont les mages de, et C par la rotaton de centre O d angle ; comme ces ponts sont algnés leurs mages le sont également Nombres Complexes corrgés 5

53 4 a On cherche a pour que aoc + CC + CC = 0, or OC + OC = OC OC + C C + OC + C C = OC C O + C C + C C = 0 Concluson a = b Déjà fat c,, C sont algnés : même calcul 47 Trangle et sprale, Pondcherry pts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) On prendra pour unté graphque 5 cm + On pose 0 = et, pour tout enter naturel n, n+ = n On note n le pont du plan d affxe n Calculer,,, 4 et vérfer que 4 est un nombre réel Placer les ponts 0,,, et 4 sur une fgure Pour tout enter n, on pose un n tout enter naturel n, u n = = Justfer que ( ) n u est une sute géométrque pus établr que, pour partr de quel rang n 0 tous les ponts n appartennent-ls au dsque de centre O et de rayon 0,? 4 a Etablr que, pour tout enter naturel n, n+ n+ n n = En dédure la nature du trangle O n n+ b Pour tout enter naturel n, on note l n la longueur de la lgne brsée 0 n n On a ans l l? = Exprmer l n en foncton de n Quelle est la lmte de la sute ( ) n 0 n n Correcton Guesm + = 0 = = + ; = = = ; = = ; 4 = = donc 4 est ben un nombre réel n + + Pour tout enter n, un = n donc un+ = n+ = n = n = n = un ns, (u n ) est ben une sute géométrque de premer terme u 0 = et de rason n appartent au dsque de centre O et de rayon 0, s n Donc n un = u0q = ln0,05 n 0, un 0, 0, 05 n ln ln 0, 05 n 8, 6 n0 = 9 ln/ partr du rang 9, tous les ponts n appartennent au dsque de centre O et de rayon 0, n Nombres Complexes corrgés 5

54 + + n n n+ n 4 a + + = = = = = = + + n+ + ( + ) n On en dédut que n+ n+ O n n+ est socèle en n+ n = =, or n+ n n+ n n+ n = donc = n + n = n + O donc O O n+ n+ n+ n n+ arg = arg( ) = () or n arg = ( n+ O, n+ n ) n+ O, n+ n = n+ O n n+ est rectangle en n+ Concluson O n n+ est un trangle rectangle et socèle en n+ n+ donc ( ) ( ) b Dans le trangle O n n+ rectangle et socèle en n+, d'après le théorème de Pythagore, on a : On n+ n = On n+ n = = = u n n = = n ns, 0 =, =, (l n ) est la somme des n premers termes d'une sute géométrque de premer terme et de rason l n n n n n = = = = lm n + n = 0 car s <q<, lm q n = 0 donc l n = n + lm ln = = + 48 Trangle rectangle Le plan P est rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v) [unté graphque : cm] On consdère les ponts I et d'affxes respectves et Le pont K est le mleu du segment [I] On appelle (C) le cercle de damètre [I] Fare une fgure et la compléter au fur et à mesure de l'exercce + 4 Sot le pont d'affxe b où b= Ecrre b sous forme algébrque et montrer que appartent au cercle (C) Sot D le pont du cercle (C) tel que ( KI, KD) = + k, où k est un enter relatf, et sot d l'affxe de D a Quel est le module de b En dédure que d+ Donner un argument de d + d= c Détermner un réel a vérfant l'égalté : + a = + a 4 4 Sot x un réel non nul et M le pont d'affxe nature du trangle IM n + x m= On pose x : m Z= Calculer Z et en dédure la m + : Nombres Complexes corrgés 54

55 4 Sot N un pont, dfférent de, du cercle (C) et n son affxe Démontrer qu'l exste un réel y tel que + y n= y Correcton + 4 (+ 4 )(+ ) b= = = = appartent au cercle (C) s et seulement s K = IK =,5 : K( K ) avec K = b= + = d où k = = + = + = donc a KD( d+ ), d+ = KD=,5 car D appartent au cercle (C), arg( d+ ) = ( u ; KD) = ( KI ; KD) = + k b On en dédut que d e (cos sn ) ( ) c + = = + = + = + donc K= =,5 et appartent au cercle (C) 0 d= + = a = + 4(+ a) = ( a)(+ ) 4+ 8a= + a+ a a a = a= + a + ( a) a= a= 8a + x m x x x Z x + + = = = = = x, Z = x et arg( Z) = + k m+ + x + + x+ x x m or arg( Z) = arg( ) = ( M; IM) donc le trangle IM est rectangle en M, ce qu sgnfe que le pont M m+ appartent au cercle (C) 4 + y n n n= n( y) = + y n ny= + y y( + n) = n y= = y n+ n+ pusuue N est dfférent de Vérfons que y est réel [s n = (N = I) alors on prend y = 0] : n n argy= arg( ) = arg( ) + arg( ) = + k' + + k'' = k donc y est réel n+ n+ car n Nombres Complexes corrgés 55 Guesm

56 EXERCICE49 On consdère un cercle de centre O et tros ponts, et C de ce cercle On désgne par, et C les mages respectves des ponts, et C par la rotaton de centre O et d angle Soent U, V, W les mleux respectfs des segments [ ], [ C] et [C ] Démontrer que ces ponts sont les sommets d un trangle équlatéral Correcton Prenons un cercle trgonométrque (le rasonnement et les résultats sont dentques avec un cercle «normal») sur lequel nous prenons les tros ponts, et C d affxes a= e α, b= e β et c= e γ Par la α+ β+ γ+ rotaton R de centre O d angle on obtent a' e =, b' e = et c' = e Les mleux de [ ], [ C] et [C ] ont pour affxes respectves : α+ u= ( a' + b) = e + e β v= ( b' + c) = e + e β+, γ γ+ et w= ( c' + a) = e + e α U ' ' O V W C C' Nombres Complexes corrgés 56

57 Montrons que ces tros ponts forment un trangle équlatéral en cherchant par exemple ce que vaut v u : l argument devrat fare ± et le module, ce qu est suffsant w u e e e e e e e e e v u e e + e e e e = = = w u γ+ α+ α β γ α α β γ e + e e + e e e + e e e e e e + α e e e β+ α γ + β + + β γ α + β γ α β Comme on sat que l on dot trouver un trangle équlatéral, en s appuyant sur la fgure, normalement le ± résultat dot être e : en l occurrence nous multplons donc le dénomnateur par e cela donnera ben le numérateur Or e e + e e e e = e + e e e e γ α β γ α β β en espérant que e = = = e et e = + = + = e, c est donc correct EXERCICE50 On consdère le plan complexe P mun d un repere orthonormal d orgne O Détermner l ensemble des ponts M d affxe tels que = tout complexe non nul, on assoce le nombre complexe défn par transformaton T de P prvé de O vers lu-même a Détermner l mage de par T On la note Γ b Détermner l mage de Γ par T c Détermner les ponts d ntersecton de Γ et Fare une fgure Correcton ' = On défnt ans une = caractérse l ensemble des ponts M tels que OM= M où a pour affxe C est donc la médatrce de [O] a S on a ' = alors = ' ; pour un pont M() de son mage M '( ') sera telle que ' ' = = = = ' ' ' ' ' ' ' M est donc sur le cercle Γ de centre et de rayon b La transformaton T est dentque dans les deux sens : s M est sur alors M est sur Γ et s M est sur Γ alors M est sur : l mage de Γ est c S un pont M() est à l ntersecton des deux ensembles alors son abscsse est et l est sur le cercle trgonométrque ( = = ) ; ce sont donc les ponts e et e Nombres Complexes corrgés 57

58 Guesm P M O Q M' EXERCICE5 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O; u, v) On consdère les ponts, et C d affxes respectves = +, = et C = ans que le cercle Γ de centre et de rayon La drote (O) coupe le cercle Γ en deux ponts H et K tels que OH < OK On note H et K les affxes respectves des ponts H et K a Fare une fgure en prenant cm comme unté graphque b Calculer la longueur O En dédure les longueurs OK et OH c Justfer, à l ade des notons de module et d argument d un nombre complexe, que ( ) 4 H 4 ( ) e = K = + e et Dans toute la sute, on consdère l applcaton f du plan qu à tout pont M d affxe 0 assoce le pont 4 M d affxe telle que : ' = a Détermner et placer les ponts mages de et C par f b On dt qu un pont est nvarant par f s l est confondu avec son mage Détermner les ponts nvarants par f a Montrer que pour tout pont M dstnct de O, on a : OM OM' = 4 b Détermner arg ( ') en foncton de ( ) arg 4 Soent K et H les mages respectves de K et H par f a Calculer OK et OH b Démontrer que 4 K' = ( ) e et H' ( ) 4 = + e c Explquer comment construre les ponts K et H en utlsant unquement la règle et le compas à partr des ponts K et H Réalser la constructon Correcton Nombres Complexes corrgés 58

59 a y H' K K' v H C' O u C b O= ; OK= O+ r= +, OH = O r= c u O (, ) ( ) = OKe = + K 4 e ; u O (, ) ( ) = OHe = H Dans toute la sute, on consdère l applcaton f du plan qu à tout pont M d affxe 0 assoce le pont 4 M d affxe telle que : ' = a ' = = = =, C' = = = b 4 = = 4 =± a OM OM' = ' = ' = 4 = 4 Montrer que pour tout pont M dstnct de O, on a : b arg ( ' ) = arg( 4) arg( ) = arg( ) C ( ) ( ) a OK' OK= 4 OK' = = =, OH' OH = 4 OH' = = b arg( ) arg( ) K' 4 4 = K = = et parel pour H K' ( ) c OK' = OH et OH' = OK ; K et H sont sur la drote y= x 4 e 4 = e et 4 H' = ( + ) e EXERCICE5 On consdère le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) Dans tout l exercce, P \O désgne le plan P prvé du pont orgne O Queston de cours On prend comme pré-requs les résultats suvants : S et sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg( ) = arg()+ arg( ) à k près, avec k enter relatf Nombres Complexes corrgés 59

60 Pour tout vecteur w non nul d affxe on a : arg ( ) ( u, w) = à k près, avec k enter relatf = ' a Sot et des nombres complexes non nuls, démontrer que arg arg( ) arg ( ' ) avec k enter relatf à k près, b Démontrer que s,, C sont tros ponts du plan, deux à deux dstncts, d affxes respectves a, b, c, on c a a : arg = (, C) à k près, avec k enter relatf b a On consdère l applcaton f de P \O dans P \O qu, au pont M du plan d affxe, assoce le pont M d affxe défne par : = On appelle U et V les ponts du plan d affxes respectves et a Démontrer que pour 0, on a arg ( ' ) arg( ) = à k près, avec k enter relatf En dédure que, pour tout pont M de P \O les ponts M et M = f(m) appartennent à une même dem-drote d orgne O b Détermner l ensemble des ponts M de P \O tels que f(m) = M c M est un pont du plan P dstnct de O, U et V, on admet que M est auss dstnct de O, U et V Établr l égalté : = = + En dédure une relaton entre arg et arg a Sot un nombre complexe tel que et et sot M le pont d affxe Démontrer que M est sur la drote (UV) prvée de U et de V s et seulement s est un nombre réel non nul b Détermner l mage par f de la drote (UV) prvée de U et de V Correcton Queston de cours - S et sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg( ) = arg()+ arg( ) à k près, avec k enter relatf - Pour tout vecteur w non nul d affxe on a : arg ( ) ( u, w) = à k près, avec k enter relatf a On utlse arg( ) = arg()+ arg( ) avec =, ce qu donne arg arg arg 0 arg arg + = = = ; on réutlse la proprété du produt avec = et on a le résultat b (, C) ( u, C) ( u, ) arg( c a) arg( b a) arg c a = = = en utlsant la proprété b a a = donc arg ( ' ) = arg( ) = ( arg) = arg S M est sur une dem-drote d orgne O, on a u, OM arg arg u = = =, OM donc M est sur la même dem-drote ( ) ( ) b = = = = donc les ponts M nvarants est le cercle trgonométrque c Le calcule est un peu pénble = = = = = La dernère + égalté est due à = et aux proprétés du conjugué Nombres Complexes corrgés 60 Guesm

61 arg = arg arg = arg arg = VM, UM R VM, UM = 0+ k, sot U, V et M algnés VM, UM = VM, UM ; donc s M est sur UV, VM, UM = k et M est sur le cercle de damètre [UV] prvé des ponts U et V On a donc ( ) a ( ) ( ) b En utlsant la relaton précédente on a ( ) ( ) ( ) EXERCICE5 Parte Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) Pour réalser la fgure, on prendra pour unté graphque cm Sot P le pont d affxe p où p = 0 et Γ le cercle de damètre [OP ] On désgne par Ω le centre de Γ Sot, et C les ponts d affxes respectves a, b et c où a= 5+ 5, b= + et c= 8 4 Montrer que, et C sont des ponts du cercle Γ Sot D le pont d affxe + Montrer que D est le projeté orthogonal de O sur la drote (C) Parte (On rappelle que = ) tout pont M du plan dfférent de O, d affxe, on assoce le pont M d affxe tel que représente le nombre conjugué de Montrer que les ponts O, M et M sont algnés 0 ' = où Sot la drote d équaton x = et M un pont de d affxe On se propose de défnr géométrquement le pont M assocé au pont M a Vérfe que + = 4 b Exprme ' + ' en foncton de et et en dédure que 5 ( ' + ' ) = ' ' c En dédure que M appartent à l ntersecton de la drote (OM) et du cercle Γ Placer M sur la fgure Correcton Parte a= 5+ 5, b= + et c= 8 4 Ω ; Ω = = 5, Ω = + 5 = 4+ = 6+ 9 = 5 et Ω C= = 4 = 5 ( 5) donc, et C sont des ponts du cercle Γ On vérfe par exemple que D est sur C, sot que D est colnéare à C : 8 det ( D, C) = = 7+ 7= 0 et que OD est orthogonal à 7 C : = = 7 Parte On peut écrre 0 0 ' OM' 0 = = = OM, ce qu montre que les ponts O, M et M sont algnés OM a M a pour affxe = + y donc + = + y+ y= 4 b ' ' ( + ) 80 + = + = + = = ; on a donc ( ) ' + ' = ' ' = = c Il est clar que M est sur (OM) pusque O, M et M sont algnés Il reste à montrer que M est sur Γ, sot que ' 5 = 5 ( ' 5)( ' 5) = 5 ( ' 5)( ' 5) = 5 ' ' 5( ' + ') + 5= 5 ' ' = 5( ' + ') Nombres Complexes corrgés 6

62 C est bon EXERCICE54 Dans le plan orenté, on consdère un carré drect CD de centre O Sot P un pont du segment [C] dstnct de On note Q l ntersecton de (P) avec (CD) La perpendculare à (P) passant par coupe (C) en R et (CD) en S Fare une fgure Sot r la rotaton de centre et d angle a Précse, en justfant votre réponse, l mage de la drote (C) par la rotaton r b Détermne les mages de R et de P par r c Quelle est la nature de chacun des trangles RQ et PS? On note N le mleu du segment [PS] et M celu du segment [QR] Sot s la smltude de centre, d angle 4 et de rapport a Détermne les mages respectves de R et de P par s b Quel est le leu géométrque du pont N quand P décrt le segment [C] prvé de? c Démontre que les ponts M,, N et D sont algnés Correcton S D C Q O P R a CD est un carré de sens drect, donc D = et de plus, = D, fnalement r() = D La rotaton conserve les angles et l algnement donc l mage de la drote (C) est une drote perpendculare à (C) et qu passe par D, c est la drote (CD) b R est un pont de (C) ; son mage par r dot être un pont de (CD) La perpendculare à (R) passant par coupe (CD) en Q donc r(r) = Q De même on a r(p) = S c Les trangles RQ et PS sont rectangles socèles En effet, comme r(r) = Q et r(p) = S, on a R = Q, P = S et PS = RQ = par défnton de la rotaton Nombres Complexes corrgés 6

63 a Le trangle RQ est socèle, donc M, mleu de [QR], est auss le ped de la hauteur du trangle On a (M) perpendculare à (RM) Le trangle RQ est rectangle en, donc la médane relatve à l hypoténuse a pour longueur la moté de celle-c, donc M = MR Le trangle MR est donc également rectangle socèle On a RM =, avec le théorème de Pythagore, on trouve 4 M= R Concluson : L mage par s du pont R est le pont M De même, l mage par s du pont P est le pont N b P décrt le segment ]C] s() = O et s(c) = D, donc l mage par s du segment ]C] est le segment ]OD] N, mage de P par s, décrt donc le segment ]OD] c On dédut de la queston précédente que les ponts O, N et D sont algnés Or appartent à la drote (OD) donc est algné avec les précédents Il reste à vérfer que M appartent également à cette drote : l mage par s de la drote (C) est la drote (OD), or R, qu appartent à (C), a son mage M sur (OD) Les ponts M,, N et D sont donc algnés EXERCICE55 Lnéarser le polynôme Correcton e cos5x= 5x 5x + e P = cos 5xsnx 5x 5x e + e 0x 0x cos ²5 x= = ( e + + e ) 4 e snx= x x e x x 0x 0x e e x 7x x x 7x x cos ²5x sn x= ( e + + e ) = ( e e + e e + e e ) 4 8 ( x x 7x 7x x x ) = e e e + e + e e 8 x x 7x 7x x x e e e e e e = ( + ) 4 = (sn x sn7 x+ sn x ) 4 56 Transformaton et représentaton paramétrque d un cercle ( O; u, v) est un repère orthonormal drect du plan orenté d unté graphque cm On consdère l applcaton f de ce plan prvé de O dans lu-même qu à tout pont M d affxe non nulle, assoce le pont M d affxe ' = + a On consdère les ponts P(), Q( ), R(), U( ) Calculer les affxes de leurs mages par f notées P, Q, R et U b Sot E d affxe Montrer que E est l mage par f de deux ponts E et E dont on calculera les affxes et sous forme algébrque et exponentelle c Placer E pus E et E On se propose de détermner l ensemble (Γ ) des ponts M lorsque M décrt une courbe donnée (Γ) a Prélmnare : On note r le module de et θ un argument ; on désgne par x et y les coordonnées de Nombres Complexes corrgés 6

64 En utlsant l écrture trgonométrque de, exprmer en foncton de r et θ et montrer que : x' = r+ cosθ r y' = r snθ r (on appelle représentaton paramétrque une telle écrture) b On suppose que M décrt le cercle (Γ ) de centre O et de rayon Justfer que les ponts R et E appartennent à (Γ ) Dédure du a une représentaton paramétrque de (Γ ) Précser la nature géométrque de (Γ ) Correcton a 5 5 P =, ' P = +, ' P = Q =, ' Q = +, ' Q = U = ' U = + = + ² = + = R = R' = + 0 = + ² = = b Sot à résoudre l équaton E' = : E' = E+ = et E 0 E² + E + = 0 ; ( ) = ² 4= = ² = d où c E Guesm ±, E E E = = + = e = = e θ a = x + y, = re = rcosθ+ rsnθ, θ θ θ ' = + = re + = re + e = rcosθ + rsnθ + cos( θ ) + sn( θ ) d où θ re r r r ' = rcosθ + rsnθ + cosθ snθ = r+ cosθ + r snθ r r r r x' = r+ cosθ r Par dentfcaton, on obtent : y' = r snθ r b R et E sont sur le cercle de centre O et de rayon, donc leurs mages appartennent à (Γ ) Nombres Complexes corrgés 64

65 Les ponts M() sont tels que OM= = r= En remplaçant dans la représentaton paramétrque, on x' = + cosθ = cosθ obtent : y' = snθ = 0 Les ponts M sont tels que leur abscsse est x = cosθ et leur ordonnée nulle, où θ parcourt R Lorsque θ parcourt R, cosθ reste comprs entre et, ou encore, l abscsse de M est comprse entre et (Γ ) est le segment [QP] 57 utour du cercle Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal ( O; u, v), on consdère les ponts () et () Sot un réel θ appartenant à ]0 ; [ On note P le pont d affxe P e θ = + Montrer que le pont P appartent au cercle (C) de centre et de rayon Exprmer l angle ; P en foncton de θ En dédure l ensemble (E) des ponts P quand θ décrt l ntervalle ]0 ; [ On appelle P l mage de P par la rotaton de centre O et d angle θ et on note P l affxe de P Montrer que P' = P, pus que P appartent au cercle (C) 4 Dans toute la sute on prend θ = On appelle r la rotaton de centre O et d angle et l mage de par r a Défnr l mage (C ) du cercle (C) par r b Détermner les affxes de P et de P mage de P par r c Placer sur une fgure,, (C), P, (C ) et P d Démontrer que le trangle MO est équlatéral e Sot le pont Q symétrque de P par rapport à Montrer que P est le mleu de [ Q] Correcton Le cercle de centre et de rayon, est l ensemble des ponts P tels que P = θ θ P= = + e = e =, donc P appartent à (C) P θ P e θ ; P = arg = arg = arge = θ [] Lorsque θ décrt l ntervalle ]0 ; [, on a θ qu décrt ]0 ; [, c'est-à-dre le cercle (C) prvé du pont (C ) est donc le cercle (C) prvé du pont L expresson complexe de la rotaton de centre O et d angle θ Ic on a, pusque P θ est ( ) θ ' 0= e 0 ' = e = + e θ θ θ θ θ θ θ θ, P' Pe ( e ) e e e e e P = = + = + = + = Pest l affxe de P symétrque de P par rapport à l axe des abscsses, donc P appartent auss au cercle de centre de rayon qu est symétrque par rapport à cet axe Nombres Complexes corrgés 65 Guesm

66 4 a L mage d un cercle par une rotaton est un cercle de même rayon Il sufft de détermner l mage du centre de (C) Sot ce pont L expresson complexe de r est : d affxe ' = e = e = b (C ) est le cercle de centre et de rayon : P' = e + e = + e = = e P Les ponts P et P sont symétrques par rapport à (Ox) (vor queston ) ' = e L mage de est donc θ P = + e = + e = + + = + = e d P et O sont sur le cercle de centre et de rayon, donc P = O = De plus OP= = e = donc le trangle est équlatéral e Q est le symétrque de P par rapport à P est sur le cercle (C) On a donc P= Q = = = = e Vérfons s P est le P Q mleu de [ Q], ou encore, s ' P' = P' Q : P Q Q P = Q P' = e e = + = P' Q 58 Transformatons et carré, Lban 00 Résoudre dans C l équaton : 4 + 5= 0 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé drect ( O; u, v) ponts,, C, P d affxes respectves : d affxe 5 = + w = P' ' = e e = =, ' P' = + 6, d unté graphque cm on consdère les = 6, C =, P = + et le vecteur w 4 a Détermner l affxe Q du pont Q, mage du pont dans la translaton t de vecteur w b Détermner l affxe R du pont R, mage du pont P par l homothéte h de centre C et de rapport c Détermner l affxe S du pont S, mage du pont P par la rotaton r de centre et d angle Placer les ponts P, Q, R et S a Démontrer que le quadrlatère PQRS est un parallélogramme b Calculer R P Q Q En dédure la nature précse du parallélogramme PQRS P c Justfer que les ponts P, Q, R et S appartennent à un même cercle, noté (C) On calculera l affxe de son centre Ω et son rayon ρ 4 La drote (P) est-elle tangente au cercle (C)? Correcton, 4 + 5= 0 : les solutons sont + 6 et 6 Nombres Complexes corrgés 66

67 a = + 6, = 6, C 5 7 Q = + = 6 + = w b ( ) =, P = +, 4 5 = + w R C P C = R = = S = e P S = = + c ( ) a PQ= Q P = = ; SR= R S = 5 + = ; on a PQ= SR donc PQRS est un parallélogramme R Q ( 5)( 5 ) 46 b = = = = = = P Q Donc QR est orthogonal à QP et QR= QP PQRS est un carré c Les sommets d un carré sont toujours sur un même cercle R + p Ω = = et de rayon ρ = PR= = 7 de centre ( ) 4 -t-on P orthogonale au rayon PΩ? = + 6 = + 4 ; = = 4 On P PΩ / 4 fat le produt scalare : = 6 8 = 0 4 Donc non 59 Rotatons et cercles 5 ponts Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) consdère les ponts,, C d affxes respectves a=, b= et c= + (unté graphque cm), on a Mettre les affxes des ponts, et C sous forme trgonométrque Les placer sur la fgure b Calculer c a En dédure que le trangle C est rectangle socèle b a a On appelle r la rotaton de centre telle que r( ) = C Détermner l angle de r et calculer l affxe du pont D mage de C par r b Sot ( Γ ) le cercle de damètre [C] Détermner et construre l mage ( Γ ') du cercle ( Γ ) par la rotaton r Sot M un pont de ( Γ ) d affxe, dstnct de C et M d affxe son mage par r a Montrer qu l exste un réel θ appartenant à 0 ; ; tel que = + e θ b Exprmer en foncton de θ c Montrer que ' c est un réel En dédure que les ponts C, M et M sont algnés c Nombres Complexes corrgés 67

68 d Placer sur la fgure le pont M d affxe Correcton a a= = e, b= = e 4, c= + = e 4 ( ) = + e et construre son mage par la rotaton r c a + b = = = = b a + C c a c a On a = = = C = et ( ; C) = arg = arg( ) = donc le trangle C b a b a est rectangle socèle a Comme ( ; C) =, l angle de r est = e = + + = + On applque la formule de la rotaton : ( ) ( ) D C D b Comme une rotaton conserve les dstances, le cercle ( Γ ) a pour mage le cercle de damètre r( ) r( C) = [ CD] a Le centre G de ( Γ ) est le pont d affxe ; son rayon est On a donc pour M : où θ est l angle ( u; GM) de C b Comme on a ' ( ) c GM= = = e = + e θ θ vare de 0 à mas ne prend pas la valeur pour que M sot dfférent θ =, cela donne : ( ) θ θ ( e )( e + ) θ θ ( e )( e + ) θ θ ' = + e ' = e + + θ θ θ θ ' c e + + e e + + e cosθ = = = = = qu est ben réel θ θ θ θ c + e e e + e + + snθ On a alors ( CM ; CM' ) = 0[ ] donc les ponts C, M et M sont algnés d Pour placer le pont M l sufft de prendre la médatrce de [OG] qu coupe ( Γ ) au pont M d affxe = + e On construt son mage M par la rotaton r en traçant (CM) qu coupe ( Γ ') en M 60 Transformaton non lnéare Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormé drect ( O; u, v) (unté graphque : cm) On désgne par le pont d'affxe Une transformaton f assoce à tout pont M du plan, dstnct de, ² d'affxe, le pont M' d'affxe ' défn par : ' = Détermner les ponts M confondus avec leur mage M' Etant donné un complexe dstnct de, on pose = x + y et ' = x' + y', avec x, y, x', y' réels a Montrer que x( x² + y² y) x' = x² + ( y)² b En dédure l'ensemble E des ponts M dont l'mage M' est stuée sur l'axe des magnares purs Dessner l'ensemble E Trouver une relaton smple lant les longueurs OM, M et OM' En dédure l'ensemble F des ponts M du plan tels que M et M' soent stués sur un même cercle de centre O Dessner l'ensemble F Correcton Nombres Complexes corrgés 68

69 Sot Ω ( ω) un éventuel pont nvarant, on aurat : ω² ω= ω( ω) = ω² ( ω= 0) ou( ω= ω) ( ω= 0) ou ω= ω a On calcule ( ) ( ) ( ² ² )( ( )) ² x+ y x² + xy y² x + xy y x y ' = x' + y' = = = x+ y x+ ( y) x² + ( y)² x x² y+ xy² x²( y) + xy( y) + y²( y) x' + y' = x² + ( y)² x( x² y² y+ y²) x² y x²( y) + y² ( y) x' + y' = + x² + ( y) ² x² + ( y)² Par dentfcaton, on obtent la réponse demandée b L'ensemble des ponts dont l'mage est sur l'axe des magnares purs ont leur abscsse x' nulle, c'est à dre x( x² + y² y) x' = 0 = 0 x= 0 ou x² + y² y= 0 x= 0 ou x² + ( y )² = x² + ( y)² ( ) ( ) ( ) ( ) L'ensemble des ponts M est donc l'axe des ordonnées d'équaton x = 0 (sauf ) ans que les ponts du cercle de centre de rayon OM= M O =, M= M =, OM' = M' O = ' On a ² ' =, cette égalté reste vrae pour les modules : ² ² OM² ' = = = OM' = OM² = OM' M M S les ponts M et M' sont sur le même cercle de centre O, alors les longueurs OM et OM' sont égales Sot à résoudre l'équaton : OM² OM' M OM² OM M ( OM 0) ou( OM M) = = = =, c'est-à- dre s M = O ou M est sur la médatrce de [O] On constate que le pont Ω appartent ben à F M' j M C G' D O G x Nombres Complexes corrgés 69

70 EXERCICE6 Le plan P est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) On fera une fgure qu sera complétée au fur et à mesure Sot f l applcaton qu à tout pont M de P d affxe non nulle assoce le pont M d affxe : ' = + Sot E le pont d affxe E = Détermner l affxe du pont E mage de E par f Détermner l ensemble des ponts M tels que M = M On note et les ponts d affxes respectves et Sot M un pont dstnct des ponts O, et a Montrer que, pour tout nombre complexe dfférent de 0, et, on a : b En dédure une expresson de M en foncton de M M M, M foncton de l angle ( ) ' + + = ' M, M M pus une expresson de l angle ( ) 4 Sot la médatrce du segment [] Montrer que s M est un pont de dstnct du pont O, alors M est un pont de 5 Sot Γ le cercle de damètre [] a Montrer que s le pont M appartent à Γ alors le pont M appartent à la drote () b Tout pont de la drote () a-t-l un antécédent par f? (La foncton f est appelée foncton de Joukowsk et est utlsée en aéronautque pour étuder des profls d ale) Correcton ' E = + = 0 = + = + = =± + + ' ( + ) + a = = = = ' + ( ) + b M ' ' + M = = = = M ' ' + M ' (, ) arg ' + arg + M M = = = ( M, M) 4 M est un pont de : M' M= M = = M' = M' ; M est un pont de M' M, M =± M, M =± =± donc M appartent à () 5 a M appartent à Γ : ( ) ( ) Guesm b S M a pour affxe Z, où est M? Z= + Z+ = 0 qu a toujours une ou deux solutons Tous les ponts ont des antécédents par f, qu ls soent sur [] ou non en Nombres Complexes corrgés 70 Guesm