. On considère les points A, B, C et D, d affixes respectives a, b, c et d :

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1 Nombres complexes Exercces corrgés s vous ave des remarques contacte mo EXERCICE Cet exercce comporte quatre affrmatons repérées par les lettres a, b, c et d Vous deve ndquer pour chacune de ces affrmatons, s elle est vrae (V) où fausse (F) Une réponse exacte rapporte 0,5 pont, une réponse fausse entraîne le retrat de 0,5 pont ucune justfcaton n est demandée Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal R= ( O; u, v) On consdère les ponts,, C et D, d affxes respectves a, b, c et d : a= ; b= ; c= + 4 ; d= + a (CD) est un parallélogramme b Le pont E, mage de C par la rotaton de centre et d angle, est un pont de l axe des abscsses c Soent f = 6 4et F le pont d affxe f Le trangle CDF est rectangle et socèle en D d Soent g= et G le pont d affxe g Le trangle CDG est rectangle et socèle en C Correcton Lorsqu on fat la fgure on répond mmédatement aux questons snon, avec a= ; b= ; c= + 4 ; d= + : Nombres Complexes corrgés Guesm

2 a Vra : (CD) est un parallélogramme ss = DC, sot = C D ce qu est évdent b Vra : = e ( ) = (+ 4 ) = 6 E C E c Vra : Le trangle CDF est rectangle et socèle en D s C a pour mage F dans la rotaton de centre D et d angle / On vérfe : f d= e ( c d) 6 4+ = (+ 4+ ) 4 = + 4 d Faux : CDG est rectangle et socèle en C s G a pour mage D dans la rotaton de centre C et d angle / Il est facle de vor que c est faux Par contre on a : CDG est socèle rectangle en D EXERCICE c d= e ( g d) + 4+ = ( + ) 4+ = 4+ ; L exercce comporte tros questons ndépendantes Pour chacune d elles, quatre réponses sont proposées, une seule réponse est exacte Une réponse exacte rapporte pont, une réponse fausse enlève 0,5 pont ucune justfcaton n est demandée + 4 Z= Z= vérfe + = 6+ ; l écrture algébrque de est : C D Le pont M d affxe Z est sur le cercle trgonométrque Un argument de 5 Z est 6 Z= Z Un argument de Z est Zest un magnare pur Le pont M d affxe Zest sur le cercle de centre O, de rayon 8 + Z= Le pont M d affxe Z² est sur l axe des ordonnées 8 + Correcton Le plus smple est de smplfer Z : + 4 (+ 4 )( + ) Z= = = Donc reponse C 4+ Ren qu en fasant la fgure on vot que est juste (arg(z)= /6) On peut vor les autres réponses : le module de Z est, C n est pas bon ; pour D : = + = + donc faux Comme est un réel, l faut que = +, sot = Cec élmne C et D Ce module vaut 0/, l faut donc que la parte réelle fasse 8/, réponse EXERCICE Dans chacun des cas suvants, répondre par VRI ou FUX ucune justfcaton n est demandée Les réponses nexactes sont pénalsées Le nombre complexe ( + ) est magnare pur 0 Le nombre complexe ( + ) est de module et l un de ses arguments est 7 Nombres Complexes corrgés Guesm

3 est le pont d affxe + dans un repère orthonormal L ensemble des ponts M d affxe vérfant ( + )( + + ) = 4 est le cercle de centre et de rayon 4 Correcton Vra : s on passe en forme trgonométrque c est mmédat : ( + ) = e 4 = e = Faux : Nombres Complexes corrgés 5 6 e = = e e = e ( + ) Faux : on développe : 5 7 donc de module mas d argument = ( ) 6 6 ( + )( + + ) = + ( ) + (+ ) + 4 d où en remplaçant par x + y, x + y + ( )( x y) + (+ )( x+ y) + 5= 4 x + y + x 4y+ = 0 ( x+ ) + ( y ) = 4 donc le centre est bon mas le rayon est On aurat pu remarquer drectement que + + = + d où est dentque EXERCICE4 Pour chacune des quatre questons de ce QCM, une seule des quatre propostons est exacte 0 ( + ) = 4 mas la concluson Le canddat ndquera sur sa cope le numéro de la queston et la lettre correspondant à la réponse chose ucune justfcaton n est demandée Une réponse exacte rapporte pont Une réponse nexacte enlève 0,5 pont L absence de réponse n apporte n n enlève aucun pont S le total est négatf, la note de l exercce est ramenée à 0 Dans le plan complexe, on donne les ponts, et C d affxes respectves +, et,08+,98 Le trangle C est : (a) : socèle et non rectangle (c) : rectangle et socèle (b) : rectangle et non socèle (d) : n rectangle n socèle À tout nombre complexe, on assoce le nombre complexe défn par : L ensemble des ponts M d affxe tels que ' = est : (a) : un cercle de rayon (c) : une drote prvée d un pont (b) : une drote (d): un cercle prvé d un pont 4 ' = + Les notatons sont les mêmes qu à la queston L ensemble des ponts M d affxe tels que est un réel est : (a): un cercle (c) : une drote prvée d un pont (b) : une drote (d): un cercle prvé d un pont 4 Dans le plan complexe, on donne le pont D d affxe L écrture complexe de la rotaton de centre D et d angle est : (a) : (c) : ' = + ' = Correcton Il faut calculer les dstances : (b) : (d) : = = + = 4 = 7, ' = + + ' = + + C= =,08+,98+ = 4,08,0 = 7,6868 C Guesm

4 et C= =,08+,98+ + = 5,08+,98 = 4,6868 C La réponse est donc (b) : rectangle et non socèle (on a M d affxe tels que ' = est donné par + C = C ) 4 4 ' = ' = = 4 = Réponse (b) : c est une drote (la médatrce des ponts d affxe et d affxe 4) L ensemble des ponts M d affxe tels que est un réel est : 4 arg( ') = 0( ) arg = 0( ) ( M, M) = 0( ) + Il s agt encore d une drote mas c l faut enlever le pont Réponse (c) : une drote prvée d un pont 4 D d affxe La rotaton de centre D et d angle est : ' = e ( ) ' = ( ) + = + = + Réponse (a) EXERCICE5 L exercce comporte 4 questons Pour chaque queston, on propose affrmatons Pour chacune d elles, le canddat dot ndquer s elle est vrae ou fausse en cochant la case correspondante ucune justfcaton n est demandée Les réponses à cet exercce sont à nscrre sur la feulle jonte en annexe Toute réponse ambguë sera consdérée comme une absence de réponse Chaque réponse exacte rapporte 0,5 pont Une bonfcaton de 0,5 pont est ajoutée chaque fos qu une queston est tratée correctement en enter (c est-à-dre lorsque les réponses aux affrmatons sont exactes) réponses nexactes dans une même queston entraînent le retrat de 0,5 pont L abstenton n est pas prse en compte, c est-à-dre ne rapporte n ne retre aucun pont S le total des ponts de l exercce est négatf, la note est ramenée à éro Dans l exercce, le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O; u, v) Q Pour tout n enter naturel non nul, pour tout réel θ, ( e θ ) n est égal à : cos n e θ Faux Vra n n ( θ ) sn( θ ) + Faux Vra cos( nθ) + sn( nθ ) Faux Vra + Faux Vra Q La parte magnare du nombre est égale à : Faux Vra Faux Vra Q Q4 Sot un nombre complexe tel que = x+ y (x et y réels) S est un magnare pur, alors est égal à :, et C sont des ponts d affxes respectves a, b et c telles que b a =, alors : c a ( C) y Faux Vra y Faux Vra Faux Vra C= C Faux Vra, = + k, k Z Faux Vra Nombres Complexes corrgés 4 Guesm

5 CC = C Faux Vra Correcton Q Pour tout n enter naturel non nul, pour tout réel θ, ( e θ ) n est égal à : cos n e θ n n ( θ ) sn( θ ) Vra : cours + Faux : bof cos( nθ) + sn( nθ ) Vra : cours + Faux : + = ( x + y + x y ) = x Q La parte magnare du nombre est égale à : Vra :on a snθ = = y Faux : = ( x + y x + y ) = y y Vra : = y = y = y Q S est un magnare pur, alors est égal à : y Faux : = = Vra : comme est magnare pur, on a = y = y et = ( y) = y C= C Vra : d un côté on a b c = = = = C ; C c a par alleurs le trangle C est rectangle en d où + C = C 4C = C Q4, et C sont des ponts d affxes respectves a, b et c telles que b a =, alors : c a, = + k, k Z ( C) Faux : c a, = arg = arg b a = arg = ( C) CC = C Vra : CC = C = CC C ( C C) = 0 C = 0 ( C) ( ) EXERCICE6 On consdère le nombre complexe : Z= e + a On a : Z = Nombres Complexes corrgés 5 Guesm

6 b On a : Z= ( ) e c Le réel d On a : Correcton est un argument de Z Z= e a Vra : On a : Z = e = = + ( ) b Faux : On a : Z= e = ( ) e + c Faux : Le réel d Vra : On a : EXERCICE7 Z= + e = e 4 e = e or ( ) Z= e Queston 8 On consdère les nombres complexes a= + et b= lors : a arga= b Il exste au mons un p de c Il exste au mons un q de d Il exste au mons un n e Il exste au mons un m Correcton N tel que N tel que N tel que n b = N tel que p a sot réel q a sot magnare pur m a et a Vra : a= + = e donc arg a= b Vra : c Faux : p a est réel s q a est magnare pur s m b soent réels p = k sot p= kavec k N * q = + k sot q= + k avec * k N donc d Faux : b= = e 4 n d où b = > donc b = n a pas de soluton e Vra : Donc m a et EXERCICE8 m b est réel s * m = k sot m= 4 kavec k N Et d après ) 4 * q N m a est réel s m= k avec m b sont réels s m est un multple de et 4 comme par exemple { } Queston 9 Dans le plan mun d un repère ( O;, j) b tels que a et b soent les solutons de l équaton : a OMON = ab b a+ b est un nombre réel c Le mleu de [ M, N ] est sur l axe des abscsses ;4;6 * k N, on consdère les ponts M d affxe a et N d affxe + = 0 On a : Nombres Complexes corrgés 6 Guesm

7 d La drote ( MN ) est parallèle à l axe des ordonnées e M et N appartennent au cercle de centre O et de rayon Correcton a Faux : Résolvons l équaton : ( ) OM et ON dans le plan mun d un repère ( O;, j) On a donc ( ) = d'où a= + et b= donc b= a Les affxes de sont respectvement a et b ab= aa= a = + = et OMON= = b Vra : a b a a ( a) + = + = Re = C est un réel c Vra : Le mleu de [, ] a+ b a+ a M N a pour affxe = = donc l est sur l axe des abscsses d Vra : Les ponts M et N ont la même abscsse égale à donc la drote ( MN ) est parallèle à l axe des ordonnées e Faux : On a a = a = b = donc M et N appartennent au cercle de centre O et de rayon EXERCICE9 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) On prendra cm pour unté graphque Les questons suvantes sont ndépendantes Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes, l équaton + 6= 0, étant le conjugué de On consdère le pont d affxe 4 Détermner la forme algébrque de l affxe du pont tel que O sot un trangle équlatéral de sens drect Sot le pont D d affxe a Représenter l ensemble (E) des ponts M d affxe dfférente de tels que : arg( ) = + k ( k Z ) 4 b Représenter l ensemble (F) des ponts M d affxe tels que = + e θ, θ R 4 tout pont M d affxe, on assoce le pont M d affxe telle que l ensemble des ponts M tels que ' = Correcton + = ( x y) ( x y) x y ( y x ) = = 0, sot x+ y = 0 x= y y=, x= = et x y+ 6 = 0 8y = = ' = + Détermner O est un trangle équlatéral de sens drect s a pour mage par la rotaton de centre O, d angle r: ' = e b= e ( 4 ) = + ( 4 ) = + + ( ) a arg( ) = + k ( u; DM) = + k ; l s agt de la dem-drote fasant un angle de 45 avec 4 4 l horontale, passant par D et orentée vers la drote θ θ b = + e = e = : l s agt du cercle de rayon et de centre D Nombres Complexes corrgés 7 Guesm

8 4 ' = = + = + = + car le module du conjugué est le même que celu de l orgnal Il s agt du cercle de damètre IJ où I a pour affxe et J a pour affxe prvé des ponts I et J EXERCICE0 Dans le plan complexe mun du repère orthonormal ( O; u, v), on consdère les ponts M et M d affxes respectves et On pose = x + y et = x + y, où x, x, y, y sont des nombres réels On rappelle que désgne le conjugué de et que désgne le module de Montrer que les vecteurs OM et OM Re ' = 0 sont orthogonaux s et seulement s ( ) Montrer que les ponts O, M et M sont algnés s et seulement s Im ( ' ) = 0 pplcatons N est le pont d affxe orthogonaux? 4 On suppose non nul P est le pont d affxe que les ponts O, N et P soent algnés a Montrer que ( ) Quel est l ensemble des ponts M tels que les vecteurs OM et ON soent = On recherche l ensemble des ponts M d affxe tels b En utlsant l équvalence démontrée au début de l exercce, conclure sur l ensemble recherché Correcton OM apour coordonnées x y, OM x' y', ls sont orthogonaux s et seulement s xx' yy' 0 + = Calculons ' ( x' y' )( x y) ( x' x y' y) ( xy' yx' ) Re ( ' ) = 0 = + = + + Donc xx' + yy' = 0 s et seulement s det, ' = 0 ' ' = 0 Im ' = 0 O, M et M sont algnés s et seulement s ( OM OM ) xy yx ( ) pplcatons Prenons = = +, alors xx' yy' x( x y ) y( xy) x( x y ) ' x y xy produt scalare est donc nul s x= 0 (axe des ordonnées) ou 4 a On a ( ) ( ) + = + = + ; le x y = 0 (cercle trgonométrque) = = + = donc la condton du se tradut par ( ) ( ) Im Im Im = = b Comme est réel, la parte magnare est celle de = ( x y) = x + y + xy L ensemble cherché est la réunon des axes des abscsses et des ordonnées EXERCICE Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé drect ( O; u, v),, C désgnent les ponts d affxes respectves a=, b= et c= a Écrre b sous forme exponentelle b Placer les ponts et C sur une fgure Construre à la règle et au compas le pont sur ce dessn (lasser les tracés de constructon apparents) Nombres Complexes corrgés 8 Guesm

9 On désgne par E le barycentre du système {( ; ) ; (C ; )} et par F le barycentre du système {( ; ) ; ( ; )} a Établr que l affxe e du pont E est égale à b Détermner l affxe f du pont F + a Démontrer que le quotent e c peut s écrre k où k est un nombre réel à détermner En dédure que, e b dans le trangle C, le pont E est le ped de la hauteur ssue de Placer le pont E sur le dessn b Démontrer que le pont F possède une proprété analogue Placer F sur le dessn 4 On désgne par H le barycentre du système {( ; ) ; ( ; ) ; (C ; 6)} Démontrer que le pont H est le pont d ntersecton des drotes (E) et (CF) Qu en dédut-on pour le pont H? Correcton a b= = e = b L abscsse de correspond au mleu de [O] ; l ordonnée est obtenue en traçant un trangle équlatéral de base [O] e= + = + = a ( C ) ( 6 ) b ( ) ( ) a f = + = 4 + = + + e c ( )( ) 4 = = = = = e b 9 ( + ) ( + 9) E, CE = ; comme E est sur [C] comme barycentre, (E) est une hauteur de C On a donc ( ) b Comme F est sur [], l ne peut être que le ped de la hauteur ssue de C : ( )( + ) f c 4 = = = = ( FCF, ) = f a donc F est le ped de la hauteur ssue de C sur le côté [] 4 vec les barycentres partels, on a H le barycentre du système {(F ; ) ; (C ; 6)}, H est sur (CF) ; de même H le barycentre du système {( ; ) ; (E ; 4)} donc H est sur (E) C est leur pont d ntersecton et donc l orthocentre de C EXERCICE 5 ponts Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v) On consdère le pont I d affxe et le pont d affxe = + a Montrer que le pont appartent au cercle Γ de centre le pont I et de rayon Sur une fgure (unté graphque cm), qu on complètera au fur et à mesure de l exercce, placer le pont I, tracer le cercle Γ, pus construre le pont b On consdère la rotaton r de centre le pont I et d angle Nombres Complexes corrgés 9 Guesm

10 Démontrer que le pont mage du pont par la rotaton r a pour affxe ( ) le pont appartent au cercle Γ c Calculer l affxe du pont C symétrque du pont par rapport au pont I d Quelle est la nature du trangle C? Justfer = + + Justfer que Dans cette queston, toute trace de recherche, même ncomplète, ou d ntatve même non fructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton On consdère les ponts E et F tels que : E= I et F= I Que peut-on conjecturer pour les drotes (F) et (CE)? Valder cette conjecture à l ade d une démonstraton Correcton a On a I() et ( ) + donc I= = + = I Le pont appartent au cercle (C) de centre le pont I et de rayon Pour construre le pont l sufft de tracer l horontale contenant le pont qu coupe le cercle (C) est le pont d abscsse postve b Par défnton un pont M d affxe a pour mage M d affxe tel que ' I = e ( I ), sot ' = ( ) ' = + + ; on a donc = ( + ) + + = + ( + ) La rotaton est une sométre, donc I = I = d après la queston a : le pont appartent donc au cercle (C) + C c Par défnton du mleu I = C = I = = Remarque : on aurat pu dre que C est l mage de par la rotaton r d Par défnton de la rotaton, la drote (I) est perpendculare à la drtote (I) D autre part [C] est un damètre de (C) Le trangle C est nscrt dans le cercle (C) ; un de ses côtés est un damètre, l est donc rectangle en et (I) étant à la fos hauteur et médane, le trangle C est socèle en Le trangle C est rectangle socèle en Il semble que (F) et (CE) soent perpendculares et de même longueur E C Démonstraton : l sufft de vérfer que =± F E= I = + = = E I ( ) ( ) ( ) ( ) ; F= I = + = = + + F I ; Nombres Complexes corrgés 0 Guesm

11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) + ( ) ( ) ( ) E C = = = = F EXERCICE Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal ( O; u, v) Unté graphque : cm On rappelle que, pour tous nombres complexes a et b, l ensemble C des nombres complexes l équaton = 8 a b = ( a b)( a + ab+ b ) Résoudre dans On désgne par, et C les ponts d affxes respectves a, b et c défnes par : a =, b= + et c= On appelle r la rotaton de centre et d angle et r la rotaton de centre et d angle On pose ' = r'( ) et C' = rc ( ) et on note b et c les affxes respectves de et C a Placer les ponts, et C dans le repère ( O; u, v) Dans la sute de l exercce, on complètera cette fgure b Montrer que b' = + + c Montrer que b et c sont des nombres conjugués On appelle M, N, P et Q les mleux respectfs des segments [C], [ ], [ C ] et [C C] On note m, n, p et q leurs affxes a Montrer que l affxe n du pont N est égale à + ( ) algnés b Montrer que n + = (q + ) Que peut-on en dédure pour le trangle MNQ? c Montrer que le quadrlatère MNPQ est un carré Correcton vec a = et b = on a : 0 =, ( )( 4) + En dédure que les ponts O, N et C sont = + + ; 4 6 ( ) + = =, = = + a a =, b= + et c= b ( ) b' a= e ( b a) b' = + = + + c ( ) = = = d où les solutons c' a= e ( c a) c' = + = + Qu est ben le conjugué de b b+ b' a n ( ) ( ( ) ) = = = et ( + ) = ( ) C est parel ( ) + vecteurs sont colnéares, les ponts sont algnés n + + c ON + = + = = OC, les b+ c b M a pour affxe =, q est le mleu de [CC ] et a pour affxe le conjugué de n (pusque c et c sont + les conjugués respectfs de b et b ), sot q ( ) = Nombres Complexes corrgés Guesm

12 q+ = + + = d où n + = (q + ) Le trangle MNQ est un trangle rectangle socèle car le vecteur MQ a pour mage le vecteur MN par la rotaton r On a alors n+ = + ( + ) + = et ( ) ( ) c Comme Q est le symétrque de N par rapport à (Ox) et que M et P sont sur (Ox), les trangles MNP et MQP sont sométrques donc MNPQ est un carré N ' j M O P C Q EXERCICE4 Dans le plan orenté, on consdère les ponts O et fxés et dstncts, le cercle C de damètre [O], un pont M varable appartenant au cercle C et dstnct des ponts O et, ans que les carrés de sens drect MPN et MKLO La fgure est représentée c-contre Le but de l'exercce est de mettre en évdence quelques éléments nvarants de la fgure et de montrer que le pont N appartent à un cercle à détermner On munt le plan complexe d'un repère orthonormal drect de sorte que les affxes des ponts O et soent respectvement 0 et On désgne par le nombre complexe de module et d'argument On note k, l, m, n et p les affxes respectves des ponts K, L, M, N et P L K O M N C' P Démontrer que, quel que sot le pont M chos sur le cercle C, on a m = Nombres Complexes corrgés Guesm

13 Établr les relatons suvantes : l = m et p = m + + On admettra que l'on a également n= ( ) m+ et k= ( + ) m a Démontrer que le mleu Ω du segment [PL] est un pont ndépendant de la poston du pont M sur le cercle C b Démontrer que le pont Ω appartent au cercle C et précser sa poston sur ce cercle 4 a Calculer la dstance KN et démontrer que cette dstance est constante b Quelle est la nature du trangle Ω NK? 5 Démontrer que le pont N appartent à un cercle fxe, ndépendant du pont M, dont on détermnera le centre et le rayon Correcton N K P Ω M L O V Le centre du cercle a pour affxe, le rayon est, on a donc m = L est l mage de M par la rotaton de centre O, d angle, on a donc l = m ; de même P est l mage de M par la rotaton de centre, d angle, on a donc p = e ( m ) p= ( m ) + = m+ + De la même manère on a n= ( ) m+ et k= ( + ) m a Ω a pour affxe p+ l m+ + + m + = = ; comme m n apparaît plus, Ω ne dépend pas de M + b On a évdemment = = donc Ω appartent au cercle C Ω est à l ntersecton de C et de la médatrce de [O] Nombres Complexes corrgés Guesm

14 4 a La symétre de la fgure par rapport à la drote (LMP) montre que KN= O= Par le calcul on a KN = n k = ( ) m+ ( + ) m = m = m = = Il est nutle de fare le calcul b Pour la même rason de symétre, Ω NK est l mage de Ω O et est donc socèle rectangle Ce coup-c on ne fat pas le calcul 5 Pusque Ω NK est socèle rectangle, son côté est centre Ω de rayon La dernère queston est asse pénble s on utlse le calcul, vor KN = donc Ω N =, N parcourt un cercle de EXERCICE5 Cet exercce content une resttuton organsée de connassances Parte On suppose connus les résultats suvants : Dans le plan complexe, on donne par leurs affxes, et C tros ponts, et C lors C C C = C Sot un nombre complexe et sot θ un réel : est un enter relatf et arg C = ( C, C)( ) C e θ = s et seulement s = et ( ) arg = θ+ k, où k Démonstraton de cours : démontrer que la rotaton r d angle α et de centre Ω d affxe ω est la transformaton du plan qu à tout pont M d affxe assoce le pont M d affxe tel que α ( ω) ' ω= e Parte Dans un repère orthonormal drect du plan complexe ( O; u, v) d unté graphque cm, on consdère les ponts,, C et D d affxes respectves =, =, = + et = + a Donner le module et un argument pour, chacun des quatre nombres complexes,, C et D b Comment construre à la règle et au compas les ponts,, C et D dans le repère ( O; u, v)? c Quelle est la nature du quadrlatère CD? On consdère la rotaton r de centre et d angle E = r () et F = r (C) C Soent E et F les ponts du plan défns par : a Comment construre à la règle et au compas les ponts F et E dans le repère précédent? b Donner l écrture complexe de r c Détermner l affxe du pont E Correcton Parte Démonstraton de cours : la rotaton r d angle α et de centre Ω d affxe ω envoe M() sur M ( ) de sorte ' ω M' M = Ω =Ω ω ' ω α α que = e ' ω = e ( ω) ( ΩM, Ω M' ) = α ' ω ω arg = α ω D Nombres Complexes corrgés 4 Guesm

15 Parte a =, =, = + et = + = = = e C = + = + = e C 6 ; D 5 6 ; = = = e D = + = + = e b Les ponts sont sur le cercle de centre O, de rayon (cercle de damètre [PQ]) ; est un sommet de trangle équlatéral, D est damétralement opposé à, est sur la bssectrce de QOD et est tel que l arc Q= Q ' ; C est damétralement opposé à (trats pontllés nors sur la fgure) ; D ' a E C Q O P F c Le quadrlatère CD est un rectangle (c est un parallélogramme car ses dagonales se coupent en leur mleu et les deux dagonales sont de même longueur) C est même un carré car les dagonales sont à angle drot (calculer l angle) a Pusqu l s agt de trangles équlatéraux, on construt les deux cercles de rayon, de centre et de centre ; une des deux ntersectons est E ; même chose avec les cercles de rayon C, de centres et C (en rouge et vert sur la fgure) b ' = e ( ) ' + = ( + ) c E ( ) E ( ) + = + = + +, sot E = = + Nombres Complexes corrgés 5 Guesm

16 EXERCICE6 ts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) Unté graphque : 0,5 cm On note j le nombre complexe e On consdère les ponts, et C d affxes respectves a = 8, b = 6j et c = 8j Sot l mage de par la rotaton de centre C et d angle, l mage de C par la rotaton de centre et d angle, C l mage de par la rotaton de centre et d angle Placer les ponts,, C,, et C dans le repère donné On appelle a, b et c les affxes respectves des ponts, et C a Calculer a On vérfera que a est un nombre réel b Montrer que b' = 6e En dédure que O est un pont de la drote ( ) c On admet que c' = 7+ 7 Montrer que les drotes ( ), ( ) et (CC ) sont concourantes en O On se propose désormas de montrer que la dstance M+M+MC estmnmale lorsque M = O a Calculer la dstance O + O + OC b Montrer que j = et que + j+ j = 0 c On consdère un pont M quelconque d affxe du plan complexe On rappelle que a = 8, b = 6j et c = 8j Dédure des questons précédentes les égaltés suvantes : ( ) ( ) ( ) a + b j + c j = a+ bj + cj = d On admet que, quels que soent les nombres complexes, + ' + '' + ' + '' Montrer que M+M+MC est mnmale lorsque M = O Correcton Nombres Complexes corrgés 6

17 C' ' O j C ' a Notons au préalable que b= 6j= 6e = 6 + et a' c= e ( b c) a' = 8e + e 6e 8e = 8e + 6e 8e b c= 8j = 8e = 8 = = = 4 b' a= e ( c a) b' = 8+ e 8e 8 = 8+ 8e 8e = = 8 8 = 6e b' On a alors ( O, O' ) = arg = arg b' argb= = donc O et O' sont colnéares et O est sur b ( ) c et sont sur (Ox) ;, O et sont algnés, l sufft de montrer que C, O et C sont algnés : c' = 7+ 7 = 4 + = 4e c' OC, OC' = arg = arg c' argc= =, ok c d où ( ) a O+ O+ OC= a + b + c = = Nombres Complexes corrgés 7

18 b 6 = = = = j e e e c ( ) ( ) ( ), + j+ j = + = 0 a + b j + c j = a+ bj + cj j j = a+ bj + cj ( + j+ j ) = avec (a ), ( b ) j et ( ) d Utlsons ' '' ' '' ( ) ( ) ( ) c j : a + b j + c j a + b j + c j = a + b + c = M+ M+ CM ; comme ( ) ( ) ( ) a + b j + c j = a+ bj + cj =, cette valeur est le mnmum de M+M+MC et l est obtenu lorsque = 0, sot lorsque M est en O 7 Calcul a On consdère le nombre complexe = Mettre sous forme trgonométrque Calculer b Résoudre dans C l'équaton En dédure les solutons dans C de l'équaton Correcton a = = e = 4e =, = 8e = 8 et En dédure 99 et = 0 (on remarquera que cette équaton a une racne évdente réelle) ( ) + 8= 0 Donner les solutons sous forme algébrque Comme on tourne à chaque fos de 60, tous les exposants multples de ramèneront sur l axe réel (un coup postf, un coup négatf) ; tous les multples de + (comme, 4, 7, ) seront sur la drote ssue de O et passant par, enfn tous les multples de + seront sur la drote ssue de O passant par 99 est un multple de 6 (x), on a b = e =, et + 8= 0 a comme racne évdente ; on factorse + : développant et dentfant les coeffcents : Les autres racnes sont alors : = +, = Pour résoudre + 8 = ( + )( + 4) = e = ( ) + 8 = ( + )( a + b+ c) ce qu donne en ( ) + 8= 0 on reprend l équaton précédente avec le changement d nconnue Z=, ce qu donne les solutons en Z ; on revent en arrère pour les solutons en Z+ Z= = Z+ = = Z d où les tros solutons : 0 = ( ) =, = (+ ) = et = ( ) = pts EXERCICE8 Dans l ensemble C des nombres complexes, désgne le nombre de module et d argument Montrer que ( + ) = 8 On consdère l équaton (E) : 6 = 8 a Dédure de une soluton de l équaton (E) b L équaton (E) possède une autre soluton ; écrre cette soluton sous forme algébrque Dédure également de une soluton de (E ) : = 8 4 On consdère le pont d affxe et la rotaton r de centre O et d angle Nombres Complexes corrgés 8

19 a Détermner l affxe b du pont, mage de par r, ans que l affxe c du pont C, mage de par r b Montrer que b et c sont solutons de (E ) 5 a Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) (unté graphque cm), représenter les ponts, et C b Quelle est la nature de la fgure que forment les mages de ces solutons? c Détermner le centre de gravté de cette fgure Correcton Sot on développe brutalement en utlsant le bnôme de Newton, sot on calcule d abord 6 ( + ) = + + =, ce qu donne ( + ) = ( ) = 8 Une autre possblté état de mettre + sous e forme trgonométrque : = 4 6 d où ( + ) = e 4 = 8e = 8 a Comme trouver + 6 ( + ) = 8, on a b D une manère générale l équaton ( ) + = 8 = ( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) = donc 6 De la même manère on peut écrre ( + ) = ( + ) smplfer et trouver ) 4 a La défnton de r donne : pour C : 4 ( + ) est une soluton On peut développer et = u a les deux solutons = u et = u, sot c l autre racne donc ' = e, sot avec : c= be = e e = e = = ( + ) est une soluton de (E ) (on peut b= e = + = ; pus 6 b En utlsant la forme trgonométrque on a : b = e = 8e = 8 et la même chose pour c 5 a b c : La rotaton de centre O d angle transforme en, en C et C en donc le trangle C est équlatéral de centre O qu est donc son centre de gravté On donne le nombre complexe = + + a Exprmer ² sous forme algébrque b Exprmer ² sous forme exponentelle c En dédure sous forme exponentelle Correcton a ( ) ² = + + = ²( ) = + (+ )( ) + = 4 = b ² = = 4 4e 4 = c EXERCICE9 4 ² 4 ² 4,arg( ²) [ ] arg( ) [ ] arg( ) [ ] = e = = = = = = Nombres Complexes corrgés 9

20 Sur [ ; [, on aurat sot = e 8, sot = e = e Le sgne de la parte réelle et de la parte magnare de donné dans l énoncé nous donne EXERCICE0 On consdère le polynôme P défn par : ( ) Calculer P( ) et P( ) 4 P = e = = pus montrer qu l exste un polynôme Q du second degré à coeffcents réels, que l on détermnera, tel que, pour tout C, on at P( ) ( ) Q( ) = + Résoudre dans C l équaton P() = 0 Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal ( O; u, v), les ponts,, C, D d affxes respectves =, =, C = + et D = C, pus montrer que ces quatre ponts appartennent à un même cercle C 4 On note E le symétrque de D par rapport à O Montrer que = e pus détermner la nature du trangle EC Correcton P( ) = 9 6( ) = 0, ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 4 E P = = 0 P = + + a+ b = + a + a+ b + a+ b donc a= 6 et b=, sot ( ) ( )( 6 ) P = : = 6 84= 48= ( 4 ) , = = +, = = P() = 0 a pour racnes et ans que et Comme et d un côté, C et D de l autre sont symétrques par rapport à l axe (( O, u ), les trangles C et D ont mêmes cercles crconscrts, ls appartennent donc au même cercle 4 E, le symétrque de D par rapport à O a pour affxe = + D ( + )( ) C = = = = = e E Le trangle EC est donc équlatéral EXERCICE Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque cm) Résoudre dans C l équaton = 0 On consdère les ponts et qu ont pour affxes respectves les nombres complexes a= 4 4 et b= a Ecrre a et b sous forme exponentelle b Calculer les dstances O, O, En dédure la nature du trangle O On désgne par C le pont d affxe c= + et par D son mage par la rotaton de centre O et d angle Détermner l affxe du pont D 4 On appelle G le barycentre des tros ponts pondérés (O ; ), (D ; +), ( ; +) Nombres Complexes corrgés 0 Guesm

21 a Justfer l exstence de G et montrer que ce pont a pour affxe g= b Placer les ponts,, C, D et G sur une fgure c Montrer que les ponts C, D et G sont algnés d Démontrer que le quadrlatère OGD est un parallélogramme Correcton = 0 : = = 64 = (8 ) d où = = ou = 4 4 a a= 4 4= 8 = 8e 6 et b= b= 4 + 4= = e b Il est mmédat que O= O= 8 ; = b a = = 8 = 8 O est équlatéral 5 r: ' = e d= e ( + ) = e e e 6 e 6 + = = = évdemment en utlsant les coordonnées cartésennes) (on peut le fare 4 a G : barycentre de (O ; ), (D ; +), ( ; +) exste car la somme des coeffcents n est pas nulle Son affxe est G = ( O + D + ) = d+ b= = b Il faut évdemment utlser les formes trgo G D C O c C, D et G sont algnés : CD a pour affxe d c= ( + ) = + et DG g d= = 4 + 4= 4( d c) donc DG= 4CD a pour affxe d ppelons K le mleu de [D], alors G est le barycentre de (O ; ), (K ; ) d où OG= OK OG= OK, donc K est le mleu de [OG] Mêmes mleux donc parallélogramme + Nombres Complexes corrgés

22 EXERCICE On consdère le polynôme P de la varable complexe, défn par : ( ) ( ) P( ) = a Détermner le nombre réel y tel que y sot soluton de l équaton P() = 0 b Trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout nombre complexe, on at ( )( ) P( ) = + a+ b c Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes, l équaton P() = 0 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) On prendra cm pour unté graphque a Placer les ponts, et I d affxes respectves = ; = 7 5 et = b Détermner l affxe de l mage du pont I par la rotaton de centre O et d angle c Placer le pont C d affxe C = + Détermner l affxe du pont N tel que CN sot un parallélogramme d Placer le pont D d affxe D = + Calculer Z= D C I 4 sous forme algébrque pus sous forme trgonométrque Justfer que les drotes (C) et (D) sont perpendculares et en dédure la nature du quadrlatère CD Correcton a y soluton de l équaton P() = 0, sot P( y ) = 0, sot ( ) ( ) ( ) ( ) y y + 74 y 74 = 0 y + y + y + y + 74y 74 = 0 Cec donne le système y + y= 0 y + y + y = ne convent pas dans la seconde lgne et y= qu convent b P( ) ( )( a b) ( )( 74) c P() = 0 : = + + = = 0, = 96 = 95= 5 59 d où les racnes =, =, = ; la premère lgne donne comme solutons y= 0 qu b 4 ' = e I = + = + c CN est un parallélogramme s = NC = + = = + d Calculer N C ( + )( 4) C Z= = = = = = = e D On a donc ( D, C) = donc les drotes (C) et (D) sont perpendculares ; comme CD est un parallélogramme, c est un losange EXERCICE Parte Nombres Complexes corrgés Guesm

23 = et sont des nombres complexes ; résoudre le système d équatons suvant = Dans le plan complexe mun d un repère orthonormé drect de centre O, d unté graphque 4 cm, on consdère les ponts et d affxes respectves : = + et = + Donner les écrtures de et sous forme exponentelle Placer les ponts et Calculer module et argument de En dédure la nature du trangle O et une mesure de l angle ( O, O) 4 Détermner l affxe du pont C tel que CO sot un losange Placer C Calculer l are du trangle C en cm Parte Sot f la transformaton qu à tout pont M d affxe assoce le pont M d affxe telle que ' = e 6 Défnr cette transformaton et donner ses éléments caractérstques Quelles sont, sous forme exponentelle, les affxes de, et C mages par f de, et C? Quelle est l are du trangle C en cm? Correcton Parte = + = = = + + = + = = = = + = + = + = e et = + = + = e e = = e = e donc module et argument 6 e Le trangle O est socèle en O pusque 4 On dot avor C= O L are du trangle C est : = et ( O O), = arg = 6, sot Z ( ) ( )( ) = = + = + + = + + C O C OC = C O 4 = + + ( + )( + ) = ( ) + ( + ) + = =, sot 6 cm Nombres Complexes corrgés Guesm

24 C O I Parte ' = e 6 : rotaton de centre O, d angle 6 e ' =, ' =, C' = ( + ) + = ( 6+ ) L are du trangle C est évdemment la même que celle de C EXERCICE4 On consdère dans C l équaton du second degré Z² + Z + = 0 Résoudre cette équaton On note les solutons et, la parte magnare de étant postve Vérfer que = Mettre et sous forme trgonométrque 4 Indquer sur quel cercle de centre O sont stués les ponts M et M d affxes respectves et Placer alors ces ponts avec précson dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal d unté graphque 4 cm Correcton Une équaton ultra-classque qu donne les racnes 4 + = = = = = = e e Déjà fat 4 + = = e et = = e 4 Les ponts en queston forment un trangle équlatéral avec le pont d affxe sur le cercle trgo EXERCICE5 On désgne par P le plan complexe Unté graphque : cm Résoudre l équaton d nconnue complexe : + 4= 0 On notera la soluton dont la parte magnare est postve et l autre Donner le module et l argument de chacun des nombres Ecrre sous forme algébrque et,,, Nombres Complexes corrgés 4

25 On consdère dans le plan les ponts (+ ), ( ), C( + ) et D( ) a Représenter les ponts,, C et D dans le plan P Quelle est la nature du quadrlatère CD? b Montrer que les ponts O, et D d une part et les ponts O, et C d autre part sont algnés Quel est le pont d ntersecton des dagonales de CD? c Quelles sont les affxes des vecteurs et C? Montrer que les drotes et C sont perpendculares Correcton + 4= 0 : les racnes sont = + et =, dont le module est et l argument / et / Pour les carrés on a = 4e = = 4e = + et a Comme on pouvat s y attendre (enfn, des fos c est dfférent ) les résultats du se retrouvent comme affxes des ponts du On fat la fgure : CD est un trapèe socèle (les drotes () et (CD) sont vertcales donc parallèles ; les ponts et étant conjugués sont symétrques par rapport à (Ox), même chose pour C et D b vec les arguments c est mmédat, snon on utlse les vecteurs : OC= + = ( ) = O La symétre par rapport à l axe réel montre que les dagonales se coupent en O c D= = et C= + = + On peut fare le produt scalare : DC = = 9 9= 0 C est bon EXERCICE6 Développer ( ) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l' équaton Résoudre dans l'ensemble des complexes les équatons 4 Sot P() le polynôme de la varable complexe défn par Vérfer que pour tout non nul, on a En dédure les solutons de l'équaton P() = 0 Correcton ( ) = + = 4 - C D + = pus O (+ ) + = 0 P( ) = (+ ) + (+ ) (+ ) + + = P( ) = ( ) (+ ) + = 0 : = (+ ) 4 = = + = ( ) Nombres Complexes corrgés 5

26 d où = = et = = () : + = + = 0, sot (): + = + = 0 sot = = ; ' ', + = = " ", P( ) = (+ ) + (+ ) (+ ) + ; on développe + (+ ) + + = + + (+ ) (+ ) +, on met au même dénomnateur et on smplfe : (+ ) (+ ) + (+ ) + (+ ) (+ ) + =, ok! En fasant le changement de varable + = Z on a l équaton Z (+ ) Z+ = 0 qu a donc les solutons Z =, Z = Il reste à revenr sur, ce qu donne les deux équatons du et donc les quatre solutons ' ' " ",,, 7 Interprétaton géométrque Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque 4 cm) Sot I le pont d affxe On note Γ le cercle de damètre [OI] et on nomme son centre Ω Parte On pose ao = + et on note 0 son mage Montrer que le pont 0 appartent au cercle Γ Sot le pont d affxe b, avec b= +, et le pont d affxe b telle que b' = a0b a Calculer b b Démontrer que le trangle O est rectangle en Parte Sot a un nombre complexe non nul et dfférent de, et son mage dans le plan complexe tout pont M d affxe non nulle, on assoce le pont M d affxe telle que ' = a On se propose de détermner l ensemble des ponts tels que le trangle OMM sot rectangle en M' a Interpréter géométrquement arg( ) a a Montrer que ( M' O; M' M) = arg( ) + k (où k Z) a En dédure que le trangle OMM est rectangle en M s et seulement s appartent au cercle Γ prvé de O et I Correcton Parte Ω a pour affxe / et Γ a pour rayon / ; on calcule Ω 0 = + = = donc 0 est sur Γ a b' = a0b = ( + ) + = + = + b vec l argument : on calcule Nombres Complexes corrgés 6

27 b b' + + / / + (+ )( + ) ', ' = arg = arg = arg = arg = arg= 0 b' / / 0 ( O ) On pouvat auss fare Pythagore Parte a arg( ) = ( O, I) pusque le vecteur I a pour affxe a et O a pour affxe a a ' a a a ( M' O; M' M) = arg( ) + k = arg( ) + k = arg( ) + k = arg( ) + k 0 ' a a a a OMM est rectangle en M s ( M' O; M' M), sot lorsque arg( ) = ( O, I) =± ( ), c est-à-dre a lorsque le trangle OI est rectangle en dot donc être sur le cercle de damètre [OI] On enlève les a ponts O et I snon l écrture arg( ) = ( O, I) n a pas de sens a EXERCICE8 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) d unté graphque : 4 cm On consdère le pont d affxe = + et le cercle (Γ) de centre et de rayon Fare une fgure qu sera complétée tout au long de l exercce a Détermner les affxes des ponts d ntersecton de (Γ) et de l axe ( O; u ) b On désgne par et C les ponts d affxes respectves = et C = Détermner l affxe D du pont D damétralement opposé au pont sur le cercle (Γ) Sot M le pont d affxe a Calculer le nombre complexe D b Interpréter géométrquement un argument du nombre au cercle (Γ) M M D M M ; en dédure que le pont M appartent 4 On note ( Γ ) le cercle de damètre [] La drote (M) recoupe le cercle ( Γ ) en un pont N a Montrer que les drotes (DM) et (N) sont parallèles b Détermner l affxe du pont N 5 On désgne par M l mage du pont M par la rotaton de centre et d angle a Détermner l affxe du pont M b Montrer que le pont M appartent au cercle ( Γ ) Correcton Nombres Complexes corrgés 7

28 y D M v N O C x a ( ) Γ a une équaton de la forme ( ) ( ) ( ) x + y = = x= x= ( ) ( ) ( x ) ( y ) ( x ) ( O u) + = = M x ; y Γ ; ou y= 0 y= 0 y= 0 y= 0 Par conséquent, les affxes des ponts d ntersecton de ( ) b D est damétralement opposé à sur ( ) = = ( + ) = + D D a pour affxe + Γ et de l axe ( ; ) O u sont respectvement et Γ donc D=, d où D =, sot 6 ( + ) + ( 6+ ) D M 5 5 ( 6 )( ) 0 a D M = = = = =, d où = 6 M 0 ( + M + ) D M b Un argument de est une mesure de l angle ( M, MD) ( M, MD) = arg( ) = + k ( k ) M cercle de damètre [ D ], le pont M appartent au cercle ( ) Z ; le trangle MD est rectangle en M ; M appartent alors au 4 a Comme N appartent au cercle ( Γ ), le trangle N est rectangle en N, les drotes ( N) et ( M ) sont donc orthogonales De plus les drotes ( MD ) et ( M ) sont orthogonales d après la queston précédente Γ Nombres Complexes corrgés 8

29 Par conséquent, les drotes ( N ) et ( ) b Dans le trangle MD les drotes ( N) et ( MD ) sont parallèles et est le mleu de [ ] théorème des mleux la drote ( N ) coupe le segment [ ] [ M ], N M = = = a L écrture complexe de la rotaton de centre et d angle MD, orthogonales à la même drote, sont parallèles entre elles D ; d après le M en son mleu Donc N est le mleu de e =, c est-à-dre est : ( ) 6 = + + lors M = = b M M = + 0 = + = = Par conséquent, le Le trangle M est rectangle en M et est nscrt dans le cercle de damètre [ ] pont M appartent au cercle ( Γ ) EXERCICE9 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) consdère les ponts, et C d affxes respectves =, = + et C = Parte a Donner la forme exponentelle de pus de C b Placer les ponts,, et C Détermner la nature du quadrlatère OC Détermner et construre l ensemble des ponts M du plan tels que = Parte tout pont M d affxe tel que a Résoudre dans C l équaton, on assoce le pont M d affxe défn par 4 = b En dédure les ponts assocés aux ponts et C c Détermner et placer le pont G assocé au centre de gravté G du trangle O a Queston de cours Prérequs : le module d un nombre complexe, noté, vérfe Démontrer que : * pour tous nombres complexes et, = ; * pour tous nombres complexes non nul, = b Démontrer que pour tout nombre complexe dstnct de, (unté graphque cm), on 4 ' = = où est le conjugué de = c On suppose dans cette queston que M est un pont quelconque de, où est l ensemble défn à la queston de la parte Démontrer que le pont M assocé à M appartent à un cercle Γ dont on précsera le centre et le rayon Tracer Γ Correcton Nombres Complexes corrgés 9

30 a = + = + = e ; C e Quadrlatère OC : l s agt d un losange = est la médatrce de [O] : = OM= M = + = = 4 + 4= 0 = = = b On a donc = et C = C a ( ) ( ) c G a pour affxe ( ) a Queston de cours On utlse = = +, donc G a pour affxe ( ) 4 = = = = ans que les proprétés de = = = = ; * ( )( ) * Comme b =, on a : = = = = = = = c On a = et, de rayon = donc 0 Homographe Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) On appelle, et C les ponts d affxes respectves = + et = et C = = donc M appartent au cercle de centre C = Sot f l applcaton du plan prvé de dans le plan qu, à tout pont M d affxe dstncte de, assoce le + pont M d affxe défne par : ' = + Factorser ² en remarquant que = en est une soluton, pus résoudre l équaton (E) : ² = 0 Détermner les affxes des ponts nvarants par f (Un pont est nvarant lorsque = ) Détermner l ensemble des ponts M tels que M appartenne au cercle de centre O de rayon 4 En posant = x + y, détermner Im( ) en foncton de x et y En dédure l ensemble des ponts M tels que M appartenne à l axe des abscsses 5 a Montrer que pour tout dfférent de + on a l équvalence suvante : = ( C)( C) = b En dédure l ensemble des ponts M tels que M at une affxe magnare pure (on peut répondre à la queston b en admettant le résultat de la queston a) Correcton Nombres Complexes corrgés 0

31 On remplace par, sot + = 0 Ok = est soluton de (E) donc on factorse par ( ) et on obtent = ( )( ) M() est nvarant, s et seulement s : + = ( + ) = + ² + = + ² = 0 = ou = + Les ponts M () et M () sont nvarants par f Dre que M appartent au cercle de centre 0 et de rayon est équvalent à écrre ' = + ' = = + = + M= M + car + = ( ) = = Met + = ( + ) = = M Cela revent donc à chercher l ensemble des ponts M tels que M = M, ce sont les ponts équdstants de et de, c'est-à-dre la médatrce du segment [] 4 + x+ y+ x+ + y ( x+ + y)( x+ ( y )) ' = = = = + x+ y+ x+ + ( y ) ( x+ )² + ( y )² x² + x x( y ) + x+ ( y ) + xy+ y+ y( y ) = ( x+ )² + ( y )² x² + x+ x+ + y( y ) x( y ) ( y ) + xy+ y = + ( x+ )² + ( y )² ( x+ )² + ( y )² Sot pour la parte magnare : x( y ) ( y ) + xy+ y xy+ x y+ 6+ xy+ y x y+ 6 = = ( x+ )² + ( y )² ( x+ )² + ( y )² ( x+ )² + ( y )² M appartent à l axe des abscsses, s et seulement s la parte magnare de est nulle, c'est-à-dre x y+ 6= 0 (avec (x ; y) ( ; ) ), ou encore M appartent à la drote d équaton y= x+ 6 prvée du pont de coordonnées ( ; ) 5 a vant de commencer le calcul, l est mpératf de se famlarser avec les valeurs C et C C + = = et C + = = + + = ( + )( + + ) = ( + )( + ) (+ ) + + (+ ) = ( ) ( ) + (+ + ) + (+ ) + (+ + ) = (+ ) + ( ) + 4= = = 0 C C + = 0 Rasonnons avec le deuxème membre de l équvalence de départ : 5 5 ( C)( C) = ( C)( C) = Il ne reste à montrer que + = 5 C C = : C C C C 5 Nombres Complexes corrgés Guesm

32 9 9 9 on peut calculer C C = C = + = + = d où l égalté : b On remarque que ' = et donc que ' = = = = ' = ' ' + ' = 0 x' = En effet, s = x + y, alors ' + ' = x' + y' + x' y' = x' L équvalence devent donc : 5 est un magnare pur équvaut à ( C)( C) =, autrement dt = = = CM= CM CM CM CM C C = = M appartent donc au cercle de centre C de rayon 5 (prvé de ) En effet C = = C = + = = = + = + = 4 4 C EXERCICE Le plan complexe est mun du repère orthonormal drect ( O; u, v) ; unté graphque cm On appelle et les ponts du plan d affxes respectves a = et b = On consdère l applcaton f qu, à tout pont M dfférent du pont, d affxe, fat correspondre le pont M d affxe défne par = + On fera une fgure qu sera complétée tout au long de cet exercce Détermner les ponts nvarants de f c est-à-dre les ponts M tels que M = f(m) + = a Montrer que, pour tout nombre complexe dfférent de, ( )( ) b En dédure une relaton entre et +, pus entre arg ( ) et arg ( + ), pour tout nombre complexe dfférent de Tradure ces deux relatons en termes de dstances et d angles Montrer que s M appartent au cercle (C) de centre et de rayon, alors M appartent au cercle (C ) de centre et de rayon 4 Sot le pont P d affxe p= + a Détermner la forme exponentelle de (p +) b Montrer que le pont P appartent au cercle (C) c Sot Q le pont d affxe q= p où p est le conjugué de p Montrer que les ponts, P et Q sont algnés d En utlsant les questons précédentes, proposer une constructon de l mage P du pont P par l applcaton f Correcton M=f(M), sot (0;) et (0;-) = + = = =+ ou = Il y a donc deux ponts nvarants : + + = + = + = pour tout nombre dfférent de a ( )( ) ( ) ( ) Nombres Complexes corrgés

33 b En passant la relaton précédente au module, on a : + = = passant à l argument : arg( ) arg( ) arg( ) arg( ) arg( ) c Cec se tradut par : M M = = = + + u M = = et ( u; M ) ( ; ) ; de même en S M appartent au cercle (C) de centre et de rayon, alors M= d où queston c)) donc M ' = donc M appartent au cercle (C ) de centre et de rayon 4 a p+ = + = + = e M = = = (d après la M b On a p+ = car e θ = donc P appartent au cercle (C) (on se sert du 4a évdemment) q= p= = + q+ = + ; par alleurs comme P appartent au cercle (C) donc son c ( ) mage P appartent au cercle (C ) d après la queston (ou encore P ' = ) D autre part : ( u; P ) = ( u; P) = = et P = = ; donc et q = + On a donc p' = ( q ) P = Q p = + p' = + d Pour ceux qu ont cherché le rapport de proportonnalté entre les deux vecteurs (avec la méthode cdessus ou une autre) on peut dre que P est le mleu de [Q] Il faut placer P, Q et P sur le dessn avec les pontllés explcatfs Complément : D une façon plus générale, en partant d un pont P sur le cercle (C) = e θ, pour construre son mage P on commencera par fare le symétrque de P par rapport à l axe des ordonnées (le pont Q) ; Le pont Q se construt en deux étapes : d abord P symétrque de P par rapport à l axe des abscsses pour le conjugué, pus Q symétrque de P par rapport à l orgne pour fare l opposé) ou drectement symétrque par rapport à (Oy) Nombres Complexes corrgés

34 Pus on placera P sur le cercle (C ) à l ntersecton avec le segment [Q] Il faudrat fare la démonstraton dans le cas général (cas général de P sur le cercle (C)) pour le rapport de proportonnalté et vérfer qu l est toujours postf snon le pont P serat le deuxème pont d ntersecton de la drote (Q) et de (C ) EXERCICE Le plan est mun d'un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque : cm) Soent, et I les ponts d'affxes respectves +, et À tout pont M d'afïïxe, on assoce le pont M d'affxe telle que l'mage de M ' = 4 Le pont M est appelé Fare une fgure sur une feulle de paper mllmétré et compléter cette fgure tout au long de l'exercce Calculer les affxes des ponts et, mages respectves des ponts et Que remarque-t-on? Détermner les ponts qu ont pour mage le pont d'affxe 5 ' + 4= 4 a Vérfer que pour tout nombre complexe, on a : ( ) b En dédure une relaton entre ' + 4 et et, lorsque est dfférent de, une relaton entre arg ( + ' 4) et arg( ) c Que peut-on dre du pont M lorsque M décrt le cercle (C) de centre I et de rayon? e 5 Soent E le pont d'affxe +, J le pont d'affxe 4 et E l'mage de E u, IE a Calculer la dstance IE et une mesure en radans de l'angle ( ) b Calculer la dstance JE et une mesure en radans de l'angle ( u, JE' ) c Construre à la règle et au compas le pont E ; on lassera apparents les trats de constructon Correcton La fgure est lassée au lecteur ' = 4, ' = 4, les ponts et sont confondus 4= = 0 = 6 0= 4, = +, = 4 a ( ) ' + 4= 4+ 4= b ' + 4 = ( ) =, arg ( ' 4) arg( ) + = c Lorsque M décrt le cercle (C) de centre I et de rayon, on a = ' + 4 = 4, le pont M parcourt le cercle (C ) de centre J le pont d'affxe 4 et de rayon 4 5 IE= + e = e = donc E est sur (C) et E est sur (C ) = = = = ( u, IE) arg e ( u, JE' ) ( u, IE) c La fgure est lassée au lecteur faut pas charrer EXERCICE Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v), on consdère l applcaton f du plan dans lu-même qu, à tout pont M d affxe assoce le pont M d affxe telle que : ' = 4 Soent et les ponts d affxes = et = + a Calculer les affxes des ponts et mages des ponts et par f Nombres Complexes corrgés 4

35 b On suppose que deux ponts ont la même mage par f Démontrer qu ls sont confondus ou que l un est l mage de l autre par une symétre centrale que l on précsera Sot I le pont d affxe a Démontrer que OMIM est un parallélogramme s et seulement s b Résoudre l équaton + = 0 a Exprmer ( ' + 4) en foncton de ( ) arg( ' + 4) et arg( ) + = 0 En dédure une relaton entre ' + 4 et pus entre b On consdère les ponts J et K d affxes respectves J = et K = 4 Démontrer que tous les ponts M du cercle (C) de centre J et de rayon ont leur mage M sur un cercle que l on détermnera c Sot E le pont d affxe = 4 Donner la forme trgonométrque de + 4 et démontrer à l ade du E a qu l exste deux ponts dont l mage par f est le pont E Précser sous forme algébrque les affxes de ces deux ponts Correcton a = ' = ( ) 4( ) = 4+ 4 = 4+ et ' b appelons u et v les affxes des ponts U et V en queston : dentques s E = + = = 4+ u' = u 4u et v' = v 4v ; leurs mages sont u' = v' u 4u= v 4v u v 4u+ 4v= 0 ( u v)( u+ v) 4( u v) = 0 ( u v)( u+ v 4) = 0 u+ v On a donc sot u= v, sot u+ v= 4 =, et dans ce cas le mleu de [UV] a pour affxe et l un est l mage de l autre par la symétre de centre a I( ) OMIM est un parallélogramme s et seulement s OM= M' I 0= ' ' + + = 0 + = 0 b + = 0 : = 9 = = d où = +, = ' + 4 = a ( ' + 4) = 4+ 4 = ( ) arg( ' + 4) = arg( ) + k b Sot M un pont du cercle (C) de centre J() et de rayon, son affxe est telle que =, et son mage M est telle que ' + 4 = = 4 d où M est sur le cercle de centre K( 4), de rayon 4 c + 4= = e ; s E est l mage d un pont, on a E arg( E + 4) = arg( ) + k = arg( ) + k arg( ) = k 4 Sur le cercle trgo l y a donc deux arguments possbles, modules : et = = = Concluson on a E + = Il reste à trouver les = e ou = e 4, sot 4 4+ = + e 4 = + + = + ou = + e 4 = + = 4 Smltude, Lban ponts Le plan complexe est mun d un repère orthonormé drect ( O; u, v) On prendra cm pour unté graphque Sot le pont d affxe et le pont d affxe a Détermner l affxe du pont mage de par l homothéte de centre et de rapport Nombres Complexes corrgés 5 Guesm