Représentation des systèmes dynamiques continus LTI

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1 UV Cour Repréenttion de ytème dynmique continu TI ASI 3

2 Contenu 2! Introduction " Définition d'un ytème " Clifiction de ytème! Quelque rppel " Trnformée de plce " e ignux uuel et leur trnformée de plce! Fonction de trnfert d'un ytème " Définition et détermintion de l FT " Elément crctéritique de l FT " Aocition de fonction de trnfert

3 Introduction 3! Qu'et-ce qu'un ytème? Sytème : enemle d'ojet intergint entre eux pour rélier une fonction. Il et connecté u monde extérieur à trver : # e entrée ignux d'excittion : ction envoyée u ytème perturtion qui ont en générl impréviile # e ortie : répone du ytème ux ignux d'entrée Perturtion Signux d entrée ou excittion u Sytème Signux de ortie ou répone y

4 Clifiction de ytème! Sytème ttique répone du ytème à une excittion et intntnée i R Eqution u y i u R! Sytème dynmique répone et fonction de l'excittion et de répone pée i R u C V c Eqution RC y& y u vec y V c! Sytème monovrile et multivrile " Monovrile : ytème à une entrée et une ortie " Multivrile : nomre d'entrée nomre de ortie > 2 4

5 Clifiction de ytème 2! Sytème continu et dicret " Continu : l'informtion circule à tout intnt de fçon continue RC y& y u " Dicret : l'informtion circule à de intnt dicret RC y k u RCy k k! Sytème linéire et non linéire " e ytème et linéire 'il tifit u principe de uperpoition " e ytème et non-linéire dn le c contrire Si y i et l répone du ytème à l'entrée u i lor l répone du ytème à u α iui et y αi yi i i 5

6 Clifiction de ytème 3 6! Sytème cul répone temporelle du ytème ne peut précéder on entrée! Sytème invrint ou ttionnire répone du ytème et invrinte pr trnltion dn le temp Soit yfu, y t l répone à l'intnt t à prtir de condition initile y t. e ytème et ttionnire i u, y f u t T, f t y t T On peut décrire le ytème linéire à temp invrint TI pr de fonction de trnfert en c continu ou en z c dicre Dn l uite, on étudier le ytème monovrile continu TI

7 Rppel ur l trnformée de plce! Définition de l Trnformée de plce T " x : ignl réel tel que x t < " Trnformée de plce de x : X x x e tdt " X : fonction de l vrile complexe σ jω, σ Exemple Soit le ignl x e t pour t et > X e te tdt e tdt X! Trnformée de plce invere σ j - x X t X e 2πj d σ j Signl x Temp t 7

8 Rppel ur l T 2! Propriété de l T x et y : ignux réel tel que x, y t < " inérité α x β y αx βy α, β R* " Dérivtion x& X x x x k k X k x, x,, x k : condition initile k 2x x k x : condition initile C prticulier : condition initile nulle x k k X " Intégrtion y t x dτ τ y X y X y Condition initile nulle : 8

9 Rppel ur l T 3! Rppel ur l T " Retrd temporel x t T e T X.5 x xt-t retrd T " Théorème de l vleur initile x lim x lim X t " Théorème de l vleur finle x lim x t lim X " Produit de convolution z : convolution de ignux réel x et y z x * y x τ y t τ dτ Z X. Y 9

10 T de quelque ignux uuel! Impulion de Dirc δ δ! Rmpe ou échelon de vitee v v tγ δ t t v 2! Echelon unité Γ Γ! Signl inuoïdl t t Γ Γ t < t x in ωt ϕ t x inϕ ω coϕ 2 ω 2

11 Répone temporelle d'un ytème TI u Sytème linéire y Un ytème linéire et imille à un filtre linéire F! Répone du ytème à une impulion de Dirc δ! Répone à une entrée quelconque u, " Rppel : " δ h F t h et l répone impulionnelle du ytème u u u τ δ t τ dτ * δ u τ δ t u F τ d y F τ Sytème linéire Sytème invrint δ t τ u τ F y dτ δ t h t τ F τ u t < y u τ h t τ d u * h τ u y F t produit de convolution de u et de h

12 Fonction de trnfert d'un ytème TI 2! Fonction de trnfert y u * h Y y U H H et l fonction de trnfert du ytème h H t et l T de l répone impulionnelle H Y U! Sytème continu régi pr une éqution différentielle n m y n y y u m u u t vec m n On uppoe le condition initile nulle c'et-à-dire y y y n u m u u

13 3 Fonction de trnfert d'un ytème TI 2! Sytème régi pr une éqution différentielle uite En utilint l T, on : U U U Y Y Y m m n n U Y m m n n U Y H n n m m fonction de trnfert l forme d'une frction rtionnelle : D N H N et D : polynôme en de degré repectif n et m e ytème et dit d'ordre n

14 Fonction de trnfert d'un ytème TI 3! Exemple : circuit RC i R u C V c Sortie du ytème : y V c " oi de l'électricité di Ri Vc u dt t Vc i τ dτ i CV & c C On en déduit : CV&& RCV& V u " Fonction de trnfert C 2 RC Vc U Vc H U C c c c RC 2 4

15 Répone d'un ytème TI pr l T 5! Exemple : circuit RC i u R C V c RC y& y u vec y V c Donner l'expreion de l répone du ytème pour une entrée échelon d'mplitude u 2V. tenion initile ux ord de l cpcité et V c.5v " Appliction de l T Y V Y U RC c u u uγ U uo RC Y V RC c RC U RC Y V RC RC c

16 Répone d'un ytème TI pr l T 2! Exemple : circuit RC uite uo RC Y V RC RC c En utilint le tle de trnformée, on : t RC y u e y F V 4243 c e y t RC.5.5 y y F y

17 Régime trnitoire et permnent Répone du circuit RC 2.5 Régim e trnitoire R é g im e perm nent! Régime permnent! Régiment trnitoire Soumi à un entrée échelon, rmpe, un ytème linéire tle ur un comportement ymptotique imilire à l'entrée : on dit qu'il tteint le régime permnent. C'et l prtie de l répone qui précède le régime permnent. e régime trnitoire et lié à l dynmique du ytème 7

18 Elément crctéritique de l FT H N D m! Pôle mode et zéro du ytème! Gin du ytème n m n " e pôle ont le rcine λ i C du polynôme D. e pôle ont oit réel, oit de pire de pôle complexe conjugué " Un ytème d'ordre n dmet n pôle ditinct ou non " e zéro ont le rcine z i C du polynôme N H K α m n α m n α K α : gin du ytème α 8

19 Stilité de ytème TI 9! Théorème Un ytème TI et tle i et eulement i tou e pôle λ i ont une prtie réelle Reλ i négtive Im Im Im Re Re Re Stle Intle Intle e domine de tilité et le demi-pln guche du pln complexe

20 Aocition de fonction de trnfert! Aocition en érie ou ccde y u H H 2 y H H H2! Aocition en prllèle u H H 2 y H H y H2 y 2! Fonction de trnfert en réction u - H y H 2 H H H H 2 2

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