Exercices sur les fluides non newtoniens

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1 Execices su les fluides non newtoniens IUT - GTE - Maseille Étude d un éfigéant d huile Un éfigéant d huile est composé d un goupe de 100 tubes cylindiques en paallèle de diamète D = 0.01 m et de longueu l = 4 m. À la vitesse moyenne U = 2 m/s, on y fait cicule de l huile dont la masse volumique moyenne est égale à 900 kg/m 3 mais dont la viscosité dynamique µ vaie linéaiement de µ 1 = 0.03 Pl à l entée jusqu à µ 2 = 0.1 Pl à la sotie en aison du efoidissement. Calcule la puissance P qu il faut founi à l huile pou lui faie tavese le éfigéant. On négligea les petes de chage singulièes à l entée et à la sotie des tubes. Donne une fomule patique pou calcule P et dans laquelle n intevient pas le diamète D. 2 Fluide de Bingham dans un tube Détemine la containte citique τ 0 d un fluide de Bingham de masse volumique 1600 kg/m 3 et qui commence juste à s écoule, sous l effet de son pope poids, dans un tube vetical de 250 mm de diamète, ouvet aux extémités. On chechea ainsi la valeu τ 0 qui satisfait l équation Q = 0, où Q est le débit volumique. On appelle la fomule de Rabinovitch-Mooney donnant le débit volumique Q en fonction de la containte τ et de la vitesse de cisaillement γ : τp Q = πr3 τp 3 τ 2 γ(τ)dτ (1) τ 0 où R est le ayon de la conduite et τ p la containte à la paoi. 3 Écoulement en conduite d un fluide de Bingham On considèe l écoulement hoiontal d une peintue viscoplastique de loi héologique de Bingham, qui s écit pou τ > τ 0, où τ 0 est égal au seuil de containte à pati duquel le cops de Bingham s écoule : τ = τ 0 + µ γ. Cette peintue de masse volumique ρ 1 = 1, 25 g/cm 3, supposée étalée su un mu vetical, ne commence à coule que si son épaisseu a dépassé 0.2 mm. D aute pat, placée dans un viscosimète de Couette où le jeu adial vaut 0.5 cm et la vitesse tangentielle vaut 5 cm/s, elle pésente une viscosité appaente égale à 5 poises (on penda g = 9.81 m/s 2 ). 1. Donne la loi héologique de la peintue (τ 0 et µ). 2. Étudie les vaiations de la tension tangentielle le long du ayon de la conduite. Pou cela on écia l équilibe des foces de containtes hoiontales (containtes de viscosité et pession) su un volume fluide défini su l axe de l écoulement de ayon, 0 < < R et de longueu dx. 3. Donne l expession du pofil de vitesse en fonction du ayon R du tube, pa intégation de la containte tangentielle de à = R. 4. Calcule les débits de peintue losque le ayon R pend successivement les valeus 2, 3, 4, 5 et 10 mm, pou un tube de longueu L = 10 m, sous une dénivellation à l entée de H = 2 m. 5. Compae aux débits d une huile newtonienne de même viscosité et de masse volumique ρ 1 = 0.8 g/cm 3, pou les mêmes valeus successives de R. Compae les deux fluides. 6. Tace les pofils de vitesse pou les deux fluides avec R = 4 mm. 1

2 4 Mélange d huile et d éthylcellulose On étudie un mélange d huile minéale et d éthylcellulose sous difféentes vitesses de cisaillement. Les elevés des mesues sont donnés dans le Tableau 1. γ (s 1 ) τ (P a) Table 1 Mesues de τ en fonction de γ. Figue 1 Rhéogamme du mélange d huile et d éthylcellulose. 1. À pati du héogamme τ = f( γ) de la Figue 1 (gauche), donne le type de fluide non newtonien. 2. Ce fluide suit une loi de puissance de type τ = k γ n (Fig.1 de doite). Détemine l indice d écoulement n et l indice de consistance k. 5 Ence d impimeie On étudie une ence d impimeie à l aide d un viscosimète otatif dont les caactéistiques sont les suivantes : vitesse de cisaillement γ = dγ dt (s 1 ) : γ = 7.5Ω, avec Ω la vitesse de otation du mobile en ad/s. containte de cisaillement τ (P a) : τ = C, où C est le couple ésistant s exeçant su le mobile en N.m. On a elevé les valeus données dans le Tableau 2. Le héogamme coespondant est donné à la Figue On considèe que los de l impession, le ouleau enceu exece su la suface de l ence une containte de cisaillement de l ode de 0.4 Pa. Évalue gaphiquement la viscosité de l ence sous cette containte. 2

3 Ω (t/min) C (N.m) Table 2 Mesues de C en fonction de Ω. Figue 2 Rhéogamme d une ence d impimeie. 2. On considèe que l ence déposée su une épaisseu de 1 µm su du papie subit une containte de cisaillement en suface, losque le papie est vetical, de l ode de 0.01 Pa. Évalue gaphiquement la viscosité de l ence sous cette containte. 3. Touve la natue de l ence et détemine sa loi héologique. 6 Étude gaphique d un fluide non newtonien L étude héologique d un fluide a pemis d établi le gaphique pésenté su la Figue 3. Ce gaphique monte l évolution tempoelle de la viscosité appaente, pou tois valeus du taux de cisaillement ( γ = 100, 150 et 200 s 1 ) et coespond au Tableau 3 de valeus expéimentales de viscosité appaente. temps (s) γ = γ = γ = Table 3 Viscosité appaente (P a.s) en fonction du temps et pou 3 valeus du taux de cisaillement γ. 3

4 Figue 3 Viscosité appaente en fonction du temps pou 3 valeus du taux de cisaillement γ. On obseve pa ailleus que ce fluide ne s écoule pas sous l effet de son pope poids losqu il est placé dans un tube vetical ouvet aux extémités. Popose un modèle héologique pemettant de etouve ces ésultats expéimentaux et détemine les valeus numéiques des constantes qui y inteviennent. 7 Étude gaphique d une solution d hydoxyéthylcellulose L étude héologique d une solution d hydoxyéthylcellulose à 2% a pemis d établi le gaphique pésenté su la Figue 4. Figue 4 Fottement de paoi (P a) en fonction de la tempéatue pou 3 valeus du taux de cisaillement γ. Le gaphique 4 monte l influence de la tempéatue su le fottement visqueux, pou tois valeus du taux de cisaillement ( γ = 100, 150 et 200 s 1 ), en égime stationnaie, et coespond au Tableau 4 de valeus expéimentales. 1. Dans quelle catégoie classeie-vous ce fluide? Popose un modèle héologique pemettant de etouve ces ésultats expéimentaux. 4

5 tempéatue ( C) γ = 100 s γ = 150 s γ = 200 s Table 4 Fottement de paoi en fonction de la tempéatue pou 3 valeus du taux de cisaillement γ. 2. Détemine le gadient de pession associé à un écoulement de m 3 /s dans une conduite de section ciculaie (diamète D = 1 cm) à 20 C et 60 C. On donne ρ = 1000 kg/m 3. 8 Solution d hydoxyéthylcellulose Une solution d hydoxyéthylcellulose à 2% pésente une loi de compotement du type loi de puissance. À 20 C, l indice de consistance K vaut 93.5 N.s /m 2 et l indice d écoulement n vaut À 60 C, on a K = 38.5 N.s /m 2 et n = Détemine dans les deux cas, le gadient de pete de pession P/L associé à un écoulement de Q = m 3 /s dans un conduit de section ciculaie de D = 1 cm de diamète. On donne ρ = 1000 kg/m 3. Pou cela, on appelle les fomules suivantes pou le coefficient de fottement C f, la containte paiétale τ p et le nombe de Reynolds Re : où V m est la vitesse moyenne. τ p C f = 0.5ρVm 2 τ p = D P 4 L Re = 8 1 n 4n ρ( 3n + 1 = 16 Re (2) (3) )n Dn K V 2 n m (4) 9 Chute de pession en conduite ectiligne On considèe l écoulement stationnaie et laminaie d un fluide incompessible de masse volumique ρ = 1200 kg/m 3 dans une conduite ectiligne de section ciculaie (diamète D = 10 cm) à paois lisses. Une séie de mesues de la chute de pession P su une longueu de conduite L = 1 m, en fonction du débit volumique Q, a poduit le Tableau 5. Q (l/min) P (Pa) Table 5 Mesues de P en fonction de Q. 1. Jusqu à quelle valeu du nombe de Reynolds, le fluide peut il ête considéé comme newtonien? 2. À pati de cette valeu du nombe de Reynolds, le fluide pésente-t-il un compotement héofluidifiant ou héoépaississant? 3. Comment peut-on modélise le compotement du fluide au-delà du égime newtonien? Détemine les valeus numéiques des paamètes du modèle. 4. Quelle eeu su la chute de pession commet-on, si on utilise ce modèle pou les tois pemièes valeus du débit? Conclue. 5

6 10 Écoulement de Poiseuille ente deux plaques planes On considèe un écoulement pemanent laminaie de fluide incompessible ente deux plaques planes hoiontales distantes de H (Fig.5). Figue 5 Écoulement de Poiseuille plan ente deux plaques paallèles. 1. Explique pouquoi l écoulement peut ête considéé comme unidiectionnel tel que : U = U(y), V = 0, W = 0, et P/ x = dp/dx = Cste. 2. Écie l équation fondamentale en pojection su l axe hoiontal avec pou loi de compotement du fluide, une écitue généalisée sous la fome : τ xy = µ a du/dy µ a = k(du/dy) n (5) où µ a est la viscosité appaente, k est une constante, n > 0 pou un fluide dilatant, n = 0 pou un fluide newtonien et n < 0 pou un fluide pseudoplastique. 3. Intége cette équation dans le cas généal avec µ a (y), compte tenu de la symétie et des conditions aux limites (on intégea de la paoi inféieue y = 0 jusqu à une position quelconque dans l écoulement, y, avec 0 < y < H). 4. On calculea pou compaaison les cas d un fluide newtonien n = 0, d un fluide dilatant n = 2 et d un fluide pseudoplastique n = 2/3. Donne les pofils de vitesse, pa intégation de τ xy de la paoi inféieue (y = h) à un point quelconque dans l écoulement ( h < y < +h). On les notea espectivement U new (y), U dil (y) et U pse (y). Calcule les vitesses de débit coespondantes (pou un fluide incompessible la vitesse de débit est donnée pa : U d S = UdS où S est la section doite de l écoulement, ici S = H 1 A alos U d H = h new U(y)dy). On les notea U h d (y), Ud dil pse (y) et Ud (y). En posant dp/dx = λρud 2 /(2D), etouve la loi donnant λ en fonction du nombe de Reynolds, pou le fluide newtonien. On généalisea ensuite la définition du coefficient de pete de chage linéique pa dp/dx = λρ(u non newtonien d ) 2 /(2D). Défini un nombe de Reynolds pou chacun des deux fluides non-newtoniens, puis donne la loi λ = f(re) en écoulement laminaie unidiectionnel plan des fluides incompessibles dilatant et pseudoplastique considéés. 11 Écoulement bidimensionnel d un fluide non-newtonien en canal On considèe l écoulement laminaie et stationnaie d un liquide ente deux paois paallèles (Fig.6). On note x la coodonnée dans la diection de l écoulement et y la coodonnée dans la diection pependiculaie à l écoulement et aux paois. Les paois coespondent aux plans d équations y = e/2 et y = e/2. La dimension du canal dans la toisième diection est notée H, supposée suffisamment gande pou que l écoulement puisse ête assimilé à l écoulement ente deux plans infinis paallèles. 6

7 Figue 6 Écoulement bidimensionnel d un fluide non-newtonien en canal. 1. Touve l expession équivalente à la fomule de Rabinovich-Mooney pou cette configuation 2D de l écoulement dans une conduite. Pou le calcul du débit volumique, on exploitea la symétie du pofil de vitesse pa appot au plan médian d équation y = En déduie les expessions du débit volumique et du coefficient de fottement dans le cas d un fluide newtonien. Retouve également l expession du pofil de vitesse V (y). On expimea (1) le débit volumique en fonction du gadient de pession, (2) la vitesse en fonction du gadient de pession et de la vitesse maximale dont on donnea l expession, (3) le coefficient de fottement en fonction du nombe de Reynolds basé su la vitesse moyenne et la lageu du canal. 3. Donne de même les expessions du débit volumique et du coefficient de fottement pou un fluide d Ostwald. 12 Écoulement d une solution de polymèe su un plan incliné On cheche à détemine l épaisseu h d une couche de solution de polymèe qui s écoule su un plan incliné sous l effet de la gavité (Fig.7). Le plan incliné fait un angle θ pa appot à l hoiontale. La solution est caactéisée pa un compotement héologique en loi de puissance : τ x = m( u/ ) n. Les solutions de polymèe sont en généal héofluidifiantes et n est alos inféieu à 1. L écoulement est laminaie et stationnaie et le fluide est considéé comme incompessible. L épaisseu h est supposée constante. Figue 7 Écoulement d un polymèe su un plan incliné. 1. Taduie toutes les hypothèses puis éduie les équations de continuité et de quantité de mouvement. 2. Quelles sont les conditions aux limites su le plan incliné (y = 0) et su la suface libe du film liquide (y = h)? 7

8 3. Monte que l équation de quantité de mouvement se éduit à : u y = (ρgh m sin θ(1 y h ))1/n (6) 4. Détemine le champ de vitesse u(y). Quelle est l allue du champ de vitesse? Comment vaiet-elle avec l indice n? 5. Monte que le débit q (pa unité de longueu dans la diection ) et l épaisseu h sont eliés pa : q = En déduie l expession de h en fonction de (m, n, q, ρ, θ). h /n (ρgh m sin θ)1/n (7) 6. Quelle elation existe-t-il ente le débit et l épaisseu pou une solution aqueuse d hydoxyéthylcellulose à 0.5% en masse avec m = 0.84 P a.s n et n = 0.51? 13 Écoulement d un fluide en loi de puissance dans un tube de ayon vaiable On considèe l écoulement laminaie, stationnaie et unidiectionnel d un fluide non newtonien de type loi de puissance dans une conduite de ayon R() vaiable (Fig.8). Le vecteu vitesse se éduit ainsi à V = (v (, ), 0, 0). Le gadient de pession axial p/ est constant et noté p/l. Figue 8 Schéma du tube de ayon vaiable R(). 1. Détemine la loi de vaiation du ayon R en fonction de la position. 2. Détemine le pofil adial de la composante τ du tenseu des containtes. 3. En déduie le pofil suivant de la vitesse v. 4. Donne l expession de la vitesse v maximale. 5. À pati du débit volumique, établi l expession du gadient de pession p en fonction de m, n, L, Q, R L, R Écoulement d un fluide de type Bingham dans un système de Couette cylindique On considèe deux cylindes concentiques de longueu L et de ayons espectifs κr et R (Fig.9). Le cylinde extéieu est en otation à la vitesse angulaie ω 0, alos que le cylinde intéieu est fixe. L écoulement est laminaie et stationnaie. On peut monte aisément que le vecteu vitesse se éduit à : V = (0, v θ (), 0) et qu il n y a pas de gadient de pession. Le fluide est incompessible et de type Bingham. 1. Apès avoi simplifié l équation de quantité de mouvement selon θ, détemine le pofil selon de la containte τ θ. On poua l expime en fonction du couple T défini pa : τ p = T/(2πLR 2 ), où τ p est la containte paiétale. 8

9 Figue 9 Dispositif de Couette cylindique. 2. Établi le pofil de vitesse v θ () pou un fluide de Bingham. 3. Monte finalement que le couple T est donné pa : T = 4πLµ 0(κR) 2 1 κ 2 [ω 0 τ 0 µ 0 ln κ] (8) Cette denièe elation est connue sous le nom d équation de Reine-Rivlin. Équations en coodonnées catésiennes et cylindiques En coodonnées catésiennes (x, y, ), l équation de continuité s écit, pou un matéiau incompessible : v i x i = v x x + v y y + v = 0 (9) Les équations de quantité de mouvement s écivent : v x t + v v x x x + v v x y y + v v x = 1 P ρ x + g x + ν( 2 v x x v x y v x 2 ) (10) v y t + v v y x x + v v y y y + v v y = 1 P ρ y + g y + ν( 2 v y x v y y v y 2 ) (11) v t + v v x x + v v y y + v v = 1 P ρ + g + ν( 2 v x v y v 2 ) (12) où g = (g x, g y, g ) est la foce de gavité. Les composantes du tenseu des containtes sont données pa : τ xx = 2µ v x x µ[ v x x + v y y + v ] (13) τ yy = 2µ v y y µ[ v x x + v y y + v ] (14) τ = 2µ v µ[ v x x + v y y + v ] (15) τ xy = τ yx = µ( v x y + v y x ) (16) τ y = τ y = µ( v y + v y ) (17) τ x = τ x = µ( v x + v x ) (18) En coodonnées cylindiques (, θ, ), l équation de continuité s écit, pou un matéiau incompessible : 9

10 1 (v ) + 1 v θ θ + v = 0 (19) Su chaque coodonnée, les équations de quantité de mouvement s écivent : ρ[( t + v + v θ θ + v )v v2 θ ] = ρg + τ + 1 τ θ θ ρ[( t + v + v θ θ + v )v θ + v v θ ] = ρg θ + τ θ + 1 τ θθ θ ρ( t + v + v θ θ + v )v = ρg + τ + 1 τ θ θ où g = (g, g θ, g ) est la foce de gavité. + τ + τ θ + τ + τ τ θθ + 2τ θ + τ (20) (21) (22) Les composantes du tenseu des containtes sont données pa : τ = 2µ v µ[1 (v ) + 1 v θ θ + v ] (23) τ θθ = 2µ( 1 v θ θ + v ) µ[1 (v ) + 1 v θ θ + v ] (24) τ = 2µ v µ[1 (v ) + 1 v θ θ + v ] (25) τ θ = τ θ = µ( (v θ ) + 1 v θ ) (26) τ θ = τ θ = µ( v θ + 1 v θ ) (27) τ = τ = µ( v + v ) (28) 10